数理金融期末复习 Last revised by LE LE in 2021
数理金融期末复习资料 【名词解释】 1、数理金融：数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融 学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。 2、绝对风险规避系数：一条效用函数的曲线如果凹度越大，则表示投资者越是规避风 险，曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量，用二阶导数除以一阶导数，得到一个衡量度。称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。公式见书p83 3、期望效用函数：见书p84定理4-2 4、β系数：衡量一个证券系统性风险的指标，是指证券的收益率和市场组合的收益率的 协方差再除以市场组合的收益率方差。 5、有效集：能同时满足预期收益率最大，风险最小的投资组合的集合。有效集是一条向 右上方倾斜的曲线，它反映了高风险高收益的原则，有效集是一条向上凸的曲线，有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 6、套利：利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下 赚取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误，价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利有五种基本形式：空间套利，时间套利，工具套利，风险套利和税收套利。 7、分离定理：所有投资者都持有相同的风险证券组合，投资者的风险偏好与风险证券构 成的选择无关，即一个投资者的最佳风险证券组合，可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。 8、期权的价值：期权的价值等于内在价值和时间价值之和，内在价值等于零和期权立即 执行时所具有的价值这两者中的较大者。期权的时间价值在内在价值为零时最大，并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。随着时间延长，期权的时间价值递增，但增幅是递减的。 9、期权价格的影响因素：标的资产价格，期权的协定价格，期权的有效期限，标的资产 价格的波动率，无风险利率和标的资产的收益率。 10、布莱克斯克尔斯模型：见书p135 11、二项式定价模型：见书p135
App 运营与推广的数理分析模型 （作者：沙水） 2014年移动互联网发展火热得不行，关于移动互联网是否存在泡沫的讨论日渐增多，各垂直领域App 的投融资也十分疯狂，拿到千万级美金风投的移动互联网产品数以十计，投资项目的数量与投资金额较之前都成倍增长。 与此同时，App 推广成本也水涨船高，各大主流应用市场一位难求。如何更好的推广App ，提高用户数，提高用户留存，提升用户活跃度成为了各移动互联网产品首要关心的问题。按常规推广方式来说，好渠道不多、资源有限、成本高企。另外口碑营销也是吸引用户的重要方式，每年总有少数几款应用依靠口碑突然爆红，但实属特例，可遇不可求。最后，做好产品的精细化运营尤其是用户运营的最高境界粉丝运营，也能帮助提升用户体验，提高用户活跃度。 站在运营推广角度来说，我们都知道移动App 的新增用户数、次日留存率、活跃用户数、口碑营销、精细化运营的重要性，但是它们对移动互联网产品的定量化影响到底有多大呢？相信很多人都对此无法准确说明，只能从定性分析的角度去解释。鉴于此，沙水斗胆卖弄下读本硕时候的技能，通过数学建模的方式来定量分析移动互联网产品运营推广中各核心要素的影响权重，并建立一个可衡量的数理分析模型指导大家日常的产品运营推广工作。而且该模型可以解释用户数从0到100万甚至上千万过亿的发展路径，希望对各位移动互联网同仁有所帮助。 一、 模型假设 1、0x ：初始活跃用户数，即种子用户数 2、n x ：每日新增用户数，n 为正整数 3、n μ：推广第一天新增用户n 天之后的用户留存率，1μ即为次日留存率 4、δ：新增用户留存率的抗衰减系数，即随着天数的增加用户的第2日、3
《数理金融》教学大纲 前言 数理金融是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融行为内生规律的一门课程。本课程修读对象为金融系系统掌握微积分、线性代数、概率论等数学基础知识和经济学、金融学等经济理论知识的三、四年级本科学生。本课程是为适应学院培养“宽口径”、“厚基础”、“重能力”的经济管理专门人才而开设的一门金融系金融工程专业的专业课。 本课程旨在使学生了解和掌握从事金融工程、理财等实务工作所必须的数理金融知识。主要包括数理金融的基本理论和基本知识，熟悉各种数学方法和模型在金融学中的应用,掌握不确定情形下的效用函数、投资者行为、证券投资组合的选择、市场有效性理论、金融风险测度、汇率分析等知识，为进一步深入学习奠定基础。 本课程教学方法：通过数学推导、案例分析、习题讲解使学生掌握数理金融的应用。 本课程的先导课程是微积分、线性代数、概率论、经济学、金融学
《数理金融学》教学大纲目录 教学内容 (1) 第一章数理金融引论 (1) 第二章数学方法在金融中的应用 (1) 第三章不确定性情况下的效用函数 (3) 第四章投资者行为分析 (4) 第五章市场有效性分析 (5) 第六章金融风险测度 (5) 第七章证券投资组合与资产定价 (6) 重点章节 (重要问题) (8) 参考书目 (9) 课时分配 (10)
教学内容 第一章数理金融引论 教学要求：本章讲述了数理金融的基本思想，梳理了数理金融的发展脉络，阐述了数理金融与金融学、数学的关系，确立了数理金融在金融学科体系中的地位。通过本章学习重点掌握数理金融的相关概念，了解数理金融的发展背景，认清数理金融在金融学科体系中的作用。 内容结构： 第一节数理金融的相关机理 一、数理金融的含义 二、数理金融和相关学科的关系 第二节数理金融的发展沿革 一、数理金融的历史发展 二、数理金融的现代进展 第三节数理金融的结构框架 一、经济学基础 二、数学基础 三、金融学基础 第四节行为金融学对数理金融的挑战 一、行为金融学概述 二、行为金融学与数理金融的关系 三、行为金融学对数理金融提出的挑战 本章重点（重要问题）： 数理金融的含义数理金融的三大基础
第18卷 第1期2010年 2月 中国管理科学Chinese Journal of Management Science Vol.18,No.1 Feb., 2010文章编号:1003-207(2010)01-0039-07 过度自信心理影响期货价格的数理模型分析 王书平,邝 雄,吴振信 (北方工业大学经济管理学院,北京 100144) 摘 要:过度自信心理是金融市场中投资者的一种非理性心理,对金融产品价格有重要影响。本文结合期货市场的特征,建立了过度自信心理影响期货价格的数理模型。通过模型分析表明,过度自信心理会造成过度自信投机者和套利者合约交易量的增加,投机者和套利者的过度自信程度会影响期货均衡价格的走向,同时,过度自信会平抑由噪声交易造成的价格波动。最后,本文利用模拟的方法验证了上述结论。关键词:过度自信;投机;套利;期货价格中图分类号:F830.9 文献标识码:A 收稿日期:2009-06-27;修订日期:2009-12-25 基金项目:教育部人文社会科学研究青年基金项目 (08J C790004);北京市教委学科与研究生教育专项基金(PXM2009_014212_077689) 作者简介:王书平(1977-),男(汉族),湖南涟源人,北方工业 大学经济管理学院,副教授,经济学博士,研究方向:金融经济与计量经济分析1 1 引言 过度自信是指人们在决策时过度相信自己的判断能力和所掌握的私人信息,高估自己决策的成功机会的一种非理性心理。对于这种心理,学者们主要从实证检验、产生和影响机理以及长期存在性等三个方面进行了研究。检验过度自信心理在金融市场中是否存在,由于心理行为的复杂性,无法直接证实这种心理的存在,学者们一般使用统计或计量的方法去检验由这种心理造成的某些变量之间的相关关系,从变量之间相关关系的特征“侧面”去证实这种心理的存在。如Odean (1999)[1]是从投资者交易量和收益率之间的关系去检验过度自信心理的,检验发现,随着投资者交易量增加,而收益率没有上升,从而认为市场在一定程度上存在过度自信心理。Stat man 、Thorley 和Vorkink (2006)[2]则使用向量自回归和脉冲响应函数,研究了单个证券交易量与市场收益率、单个证券滞后收益率之间的关系,结果表明,变量之间存在显著的正相关关系,也从一个侧面证实了投资者存在过度自信心理。过度自信心理的产生和影响机理也是学者们探讨的重要问题,出现了一些有代表性的研究成果,如Odean (1998)[3] 总结了之前学者们研究过度自信心理产生的原因及影响的相关文献,并在此基础上,建立了过度自信的价格接受者、内部交易者和做市商三种不同交易主体对金融市场造成不同影响的数理模型,得出了过度自信会增加市场交易量和市场深度、加大市场波动和对市场效率造成不同影响等一系列结论。Daniel 、Hirshleifer 和Subrahmanyam (1998)[4]建立的D HS 模型把投资者分为两类:存在过度自信和自我归因心理的非知情交易者和知情交易者,分别从投资者信心不发生变化和投资者信心依赖于结果变化两种情况,分析了由这些心理因素造成的市场的反应过度和反应不足行为,进而探讨了这些行为对股价和收益率的影响。K o 和Huang (2007)[5]的文章重点分析了过度自信对于市场有效性的影响,他们建立的模型表明,在过度自信的程度不是很高的情况下,由于过度自信会引进更多的信息进入市场而只产生微弱的价格误判效应,所以过度自信市场总体上比起理性的市场更能增进市场的效率。我国学者在过度自信的影响方面也有一些突出的学术成果,如杨春鹏和吴冲锋(2005)[6]根据Kahneman 和Tversky 的展望理论,建立了含有过度自信心理的股票的展望价值模型,在此模型上研究了过度自信、自我归因心理和正反馈交易行为的相互关系问题。陈其安和曹其华(2006)[7]的文章基于过度自信程度取决于行为人过去经历的假设,建立了基金经理人过去成败经历影响其过度自信心理进而影响其投资行为的数学模型,以此分析此情况下股票市场和基金经理人业绩的表现。文凤华和黄德龙等(2007)[8]使用的是数值模拟的方法,对投资者受过
数理金融期末复习资料 【名词解释】 1、数理金融：数理金融学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，是数学与金融学 相结合而产生的一门新的学科，是金融学由定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金融模糊决策向精确化决策发展的结果。 2、绝对风险规避系数：一条效用函数的曲线如果凹度越大，则表示投资者越是规避风险， 曲线的凹度可以由函数的二阶导数来衡量，用二阶导数除以一阶导数，得到一个衡量度。 称之为阿罗—普拉特绝对风险规避度量。公式见书p83 3、期望效用函数：见书p84定理4-2 4、β系数：衡量一个证券系统性风险的指标，是指证券的收益率和市场组合的收益率的协方 差再除以市场组合的收益率方差。 5、有效集：能同时满足预期收益率最大，风险最小的投资组合的集合。有效集是一条向右 上方倾斜的曲线，它反映了高风险高收益的原则，有效集是一条向上凸的曲线，有效集曲线上不可能有凹陷的地方。 6、套利：利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚 取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误，价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机会，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利有五种基本形式：空间套利，时间套利，工具套利，风险套利和税收套利。 7、分离定理：所有投资者都持有相同的风险证券组合，投资者的风险偏好与风险证券构成 的选择无关，即一个投资者的最佳风险证券组合，可以在并不知晓投资者的风险偏好前就可以确定了。 8、期权的价值：期权的价值等于内在价值和时间价值之和，内在价值等于零和期权立即执 行时所具有的价值这两者中的较大者。期权的时间价值在内在价值为零时最大，并随着标的资产的市场价格与协定价格之差的绝对值变大而递减。随着时间延长，期权的时间价值递增，但增幅是递减的。 9、期权价格的影响因素：标的资产价格，期权的协定价格，期权的有效期限，标的资产价 格的波动率，无风险利率和标的资产的收益率。 10、布莱克斯克尔斯模型：见书p135 11、二项式定价模型：见书p135
A 卷 第 1页 蚌埠学院13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ） 注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本） 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式：闭卷 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0% 2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型，贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为 A 0.06 B 0.144 C 0.12 D 0.132 3．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12，贝塔值为1.3.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了； B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了； D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等； D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()ax u x e -=-,则其绝对风险厌恶函数()A x = 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分） 1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T ，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分） 某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???，假设你是风险厌恶 者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险σp 2 的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X m ==，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 2 0;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险σp 2 . 装 订 线 内 不 要 答 题
2003-2004学年第一学期期末考核工作安排意见 13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ） 注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本） 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式：闭卷 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A 15.3% B 15.8% C 14.7% D 15.0% 2．无风险收益率和市场期望收益率分别是0.06和0.12.根据CAPM 模型，贝塔值为1.2的证券X 的期望收益率为 A 0.06 B 0.144 C 0.12 D 0.132 3．无风险收益率为0.07，市场期望收益率为 0.15.证券X 的预期收益率为 0.12，贝塔值为1.3.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了； B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了； D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等； D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为() ax u x e ,则其绝对风险厌恶函数() A x 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分） 1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T ，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分） 某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???，假设你是风险厌恶 者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险 p 2 的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以 供你选择进行投资，其期望收益率向量为 () (2,1,3)T E X ，协方差矩阵为∑=[1 0 装 订 线 内 不 要 答 题
CAPM模型的提出 CAPM是诺贝尔经济学奖获得者威廉·夏普(William Sharpe) 与1970年在他的著作《投资组合理论与资本市场》中提出的。他指出在这个模型中，个人投资者面临着两种风险： 系统性风险（Systematic Risk)：指市场中无法通过分散投资来消除的风险。比如说：利率、经济衰退、战争，这些都属于不可通过分散投资来消除的风险。 非系统性风险（Unsystematic Risk）：也被称做为特殊风险（Unique risk 或Idiosyncratic risk），这是属于个别股票的自有风险，投资者可以通过变更股票投资组合来消除的。从技术的角度来说，非系统性风险的回报是股票收益的组成部分，但它所带来的风险是不随市场的变化而变化的。 现代投资组合理论（Modern portfolio theory)指出特殊风险是可以通过分散投资（Diversification）来消除的。即使投资组合中包含了所有市场的股票，系统风险亦不会因分散投资而消除，在计算投资回报率 的时候，系统风险是投资者最难以计算的。 资本资产定价模型公式 夏普发现单个股票或者股票组合的预期回报率(Expected Return)的公式如下： 其中，(Risk free rate),是无风险回报率， 是证券的Beta系数， 是市场期望回报率(Expected Market Return)， 是股票市场溢价(Equity Market Premium). CAPM公式中的右边第一个是无风险收益率，比较典型的无风险回报率是10年期的美国政府债券。如果股票投资者需要承受额外的风险，那么他将需要在无风险回报率的基础上多获得相应的溢价。那么，股票市场溢价（equity market premium）就等于市场期望回报率减去无风险回报率。证券风险溢价就是股票 市场溢价和一个?系数的乘积。 Beta系数
1.设当前无风险利率为6%，市场回报率的均值和标准差分别为0.10，0.20。如果 给定股票的回报率与市场回报率的协方差为0.05，求该股票回报率的期望值。 解：由于 2 0.05 1.25(0.20) β= =， 所以 0.06 1.25(0.100.06)0.11i r =+-=。 即股票的期望回报率为11%。 2．考虑用100的资本投资两种证券，它们回报率的均值和标准差分别为： 10.15r =，0.20i v =；20.18r =，20.25v =。若两个回报率的相关系数0.4ρ=-， 投资者的效用函数为：0.005()1x U x e -=- 求这两个证券的最优组合。 解：设1w y =，2100w y =-，由式 1 []n i i i E W w w r ==+ ∑ 得： []1000.150.18(100)1180.03E W y y y =++-=-。 又由于12(1,2)0.02c v v ρ==-，由式 22 1 1()(,)n n i i i j i i j i Var W w v w w c i j ==== +∑∑∑ 得： 22()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0.02)Var W y y y y =+--- 20.142516.5625y y =-+。 所以我们应该选择y ，使下式的值达到最大： 21180.030.005(0.142516.5625)/2y y y ---+ 或等价的，最大化 2 0.011250.0007125/2y y -。 简单计算后得知y 取下值时，上式达到最大： 0.01125 15.7890.0007125 y = =。 即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。 将15.789y =代入前面等式，得[]117.526E W =，()400.006Var W =，最大期望效用等于： 1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416--+=。 这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部投资到证券2时，期望效用为0.4413。 3．（股票定价）企业1在时期1t =将发行100股股票，该种股票在时期2t =的价值为随机变量1(2)V 。企业 的资金都是通过发行这种股票而筹集的，以至于股票持有者有资格获得完全的收益流。最后给出的有关数据是 111000,2 (2)1800,2 P V P ? =??=??=??，12(,)0.045Cov X X = 0.3.= 0.10r =，()0.20M E X = 试用资本资产基本定价方程求出该股票的合理价值。 解： 应用证券市场线性方程 112()()cov(,)() M M M E X r E X r X X X σ-=+ 0.200.10 0.100.0450.15$0.09 -=+ ?=。 即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现1[(2)]E V ，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有 111 [(2)]1000800900$22 E V = ?+?=。 以15%贴现，(1)900/1.15$V I =，因有100股，故每股价值为7.83$。 4．假设一个证券现在的售价是30，名义利率是8%（单位时间为1年），这种证券的波动率是0.20。求一个3个月后到期且执行价为34的买入期权的无套利价格。 解：本题中的参数是： 0.25t =， 0.08r =， 0.20σ=， 34K =， (0) 30S =， 所以我们就有 0.020.005log(34/30) 1.0016(0.2)(0.5) ω+-= ≈-。 由此得到 0.0230( 1.0016)34( 1.1016)C e -=Φ--Φ- 30(0.15827)34(0.9802)(0.13532)=- 0.2383≈。 这个期权合适的价格就应该是24美分。
摘要 本文通过对数据建立数学建模竞赛的预测模型和定量评估模型，并对夏季运动会进行了评价。通过历届夏季奥运会的运动员人数等相关数据，运用二次指数平滑预测法建立了人数预测的数学模型；另外，竞赛项目的普及程度、流行程度和财政收入情况，能够在一定程度上反映各竞赛项目的全球影响力水平，即采用数理统计法进行研究，选取此3项一级指标和14项二级指标进行统计学分析，对夏季奥运会竞赛项目的全球影响力进行综合评估、对比和档次的划分，并作合理化建议。 针对问题一，运用二次指数平滑预测法建立了预测函数： 212121?156093360T y a b T T +=+=+ 对函数进行合理的运算和证明，所得到的结果为18969人，误差预测结果为 0.3178，说明模型的拟程度很好。 对于问题二，运用综合评价的思想，定义指标函数： 12341 n i i P P P P P ==+++∑ 根据全球影响力总分的百分位数划分出4个档次，对各档次项目的全球影响力进行定量评估，并提出合理化建议。 关键字：二次指数平滑 数理统计法 定量分析 综合评价模型
一、问题重述 奥林匹克运动是人类社会的一个罕见的杰作，它将体育运动的多种功能发挥得淋漓尽致，影响力远远超出了体育的范畴。请搜集参加历届夏季奥运会的运动员人数等数据，试着探讨以下问题： （1）建立数学模型，预测2012年第30届伦敦奥运会参赛运动员人数。 （2）定量评价夏季奥运会，并提出合理化建议。 二、问题分析 本题目主要研究奥运会参赛运动员的人数，以及通过已有的数据对夏季奥运会竞赛项目全球影响力进行定量分析，进而对其影响力和发展前景提出合理化建议。 问题一：是建立模型预测2012年第30届伦敦奥运会参赛运动员人数，属于预测分析的问题，并通过简单的分析可知，每届参赛的数量呈明显上升趋势，所以该问题可采用时间序列预测中的二次指数平滑预测法建立模型，以参赛人数为研究对象，对数据整理后，运用二次多项式对数据进行拟合预测。 问题二：是对夏季奥运会进行定量评估，主要采用数理统计法进行研究，选取国际奥委会项目委员会上所作报告中的3项一级指标（竞赛项目普及度、流行度、财政收入)，14项二级指标作为各竞赛项目全球影响力评估分析的依据。并应用SPSS 软件对选取指标的数据分布情况进行分析，发现所选取的数据多数不服从正态分布，因此，采用位置百分法进行数据计算。 其次，应用位置百分法对14项二级指标进行排序（奥运会奖牌分布百分比标准差为低优指标，其他指标均为高优指标），计算出各竞赛项目单项指标在28个项目中所处位置的百分比，并将该百分比作为位置百分P 。 100 m P n = ? （P 为位置百分，n 为样本含量，m 为某一成绩的位置） 最后，计算各竞赛项目14项指标的总分，即竞赛项目全球影响力总分。根据全球影响力总分的百分位数划分出4个档次，对各档次项目的全球影响力进行说明，并提出合理化建议。 竞赛项目全球影响力评估分值可以表示为： 12341 n i i P P P P P ==+++∑ 三、模型假设 1. 假设各项数据真实可靠； 2．假设问题属于线性问题； 3．假设数据具有可预测性。
蚌埠学院2013～2014学年第二学期课程考试 《数理金融学》试卷（A 卷）参考答案及评分标准 命题教师：熊洪斌 考试班级：11应数本1、2，13数学（升本）1、2 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 凹函数（或0u (x )''<）； 2. a; 3. 马科维茨； 4. 美式期权； 5. 3%. 三、分析题（每小题15分，共30分） 1.解：首先计算这两种工作的预期月收入1ER 和2ER ： 150010005.020005.01=?+?=ER （元）（2分） 150051001.0151099.02=?+?=ER （元）（2分） 可见，两种工作月收入的期望值都为1500元，即12=ER ER 再计算这两种工作月收入的方差21σ和2 2σ： 250000)15001000(5.0)15002000(5.02221=-?+-?=σ（3分） 9900)1500510(01.0)15001510(99.02222=-?+-?=σ(3分) 所以，两种工作的标准差分别为5001=σ，11302=σ.21σσ>说明，第一种工作虽然收入可高达2000元，但风险大（即方差大）；第二种工作虽然收入最高只有1510元，但风险小（即方差小）.（2分） 12=ER ER 21σσ>，由于该人是风险厌恶者，所以他会选择第二种工作.（3分） 2.解：令正状态定价向量123(,,)T j j j j =（1分） 则：3 1 1 (1,1),T T i i Z R j j =?= ?（3分） 即：12312312332122411/R j j j j j j j j j ì++=????++=í???++=?? （1分）解得12314234112R R j j j ì??=??????=-í?????=-???? .（3分） 所求向量12312311(,,)(,,)442T T R R j j j j ==--（1分） 当8 23 R <<时0(1,2,3)i i j >=，市场无套利，因而存在等价概率分布律.（2分） 等价概率分布律为：（3分） 四、计算题（共15分） 解：股票的价格二叉树模型为：04240 ,12%,1/12138 u f d q S S r q S τ====-= 第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q . 由无套利原理知：0.121/1240 4238(1)e q q ′?+- 从 40(10.01)4238(1)q q ?=+- 我们得到2.442384q q q =-= 所以 0.6q = （3分） 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均. (1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 310 u d q C C q C =-=看涨期权的价格为： 01 1.8 [3(1)0] 1.7821.01 1.01 C q q （美元）= ?-?（4分） (2)执行价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：
APT模型与资本资产定价模型的异同点 1976年，美国学者斯蒂芬·罗斯在《经济理论杂志》上发表了经典论文“资本资产定价的套利理论”，提出了一种新的资产定价模型，此即套利定价理论模型(APT模型)。APT模型用套利概念定义均衡，不需要市场组合的存在性，而且所需的假设比资本资产定价模型(CAPM模型)更少、更合理。 与资本资产定价模型一样，APT模型假设： 1.投资者有相同的投资理念； 2.投资者是回避风险的，并且要效用最大化； 3.市场是完全的。 与资本资产定价模型不同的是，APT模型还包括以下假设： 1.单一投资期； 2.不存在税收； 3.投资者能以无风险利率自由借贷； 4.投资者以收益率的均值和方差为基础选择投资组合。 APT模型的理论意义 APT模型导出了与资本资产定价模型相似的一种市场关系。套利定价模型以收益率形成过程的多因子模型为基础，认为证券收益率与一组因子线性相关，这组因子代表证券收益率的一些基本因素。事实上，当收益率通过单一因子(市场组合)形成时，将会发现APT模型形成了一种与资本资产定价模型相同的关系。因此，APT模型可以被认为是一种广义的资本资产定价模型，为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系。套利定价理论与现代资产组合理论、资本资产定价模型、期权定价 模型等一起构成了现代金融学的理论基础。 APT模型的基本机制 APT模型的基本机制是：在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。ＡＰＴ作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。APT模型是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。当两种证券的收益受到某种或某些因素 的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。
13—14学年第二学期 《数理金融学》期末考试试题（A ） 注意事项：1.适用班级：11数学与应用数学本1.本2,2013数学（升本） 2.本试卷共1页.满分100分. 3.考试时间120分钟. 4.考试方式：闭卷 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．某证券组合由X 、Y 、Z 三种证券组成，它们的预期收益率分别为10%、16%、20% 它们在组合中的比例分别为30%、30%、40%，则该证券组合的预期收益率为______ A % B % C % D % 2．无风险收益率和市场期望收益率分别是和.根据CAPM 模型，贝塔值为的证券X 的期望收益率为 A B 0.144 C D 3．无风险收益率为，市场期望收益率为 .证券X 的预期收益率为 ，贝塔值为.那么你应该 A 买入X ，因为它被高估了；B 卖空X ，因为它被高估了 C 卖空X ，因为它被低估了；D 买入X ，因为它被低估了 4.一个看跌期权在下面哪种情况下不会被执行？ A 执行价格比股票价格高； B 执行价格比股票价格低 C 执行价格与股票价格相等； D 看跌期权的价格高于看涨期权的价格 5.假定IBM 公司的股价是每股95美元.一张IBM 公司4月份看涨期权的执行价格为100美元，期权价格为5美元.忽略委托佣金，看涨期权的持有者将获得一笔利润，如果股价 A 涨到104美元 B 跌到90美元 C 涨到107美元 D 跌到 96美元 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.风险厌恶型投资者的效用函数为 2.设一投资者的效用函数为()ax u x e -=-,则其绝对风险厌恶函数()A x = 3.均值-方差投资组合选择模型是由 提出的. 4.可以在到期日前任何一天行使的期权称之为 5.考察下列两项投资选择：（1）风险资产组合40%的概率获得 15%的收益，60%的概率获得5%的收益；（2）银行存款收益率为6%;则风险投资的风险溢价是 三、分析题（每小题15分，共30分） 1.设某人面临两种工作，需要从中选择出一种, 其收入R 1R 2都是不确定的.第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高.如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣得1000元.假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/ 2.第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元.但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本工资收入.不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能性为99％.假设该人是风险厌恶者，这个人会选择哪一种工作呢？请说明理由. 2.经济系统中有一只无风险资产与2只风险资产12,X X .无风险利率为r ，无风险收益为1R r =+，风险资产12,X X 在时间0的价格分别为121v v ==，在时期1有3个可能的状态，它们的收益矩阵为：Z=[3 1 2;2 2 4]T ，试求正状态定价向量、等价概率分布，并讨论相应的套利机会. 四、计算题（共15分） 某个股票现价为40美元.已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元.无风险年利率为12%（连续复利）. 请用无套利原理说明，（1）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？ （2）执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系. 五、综合题（共25分）假设你的初始财富禀赋为单位资金1，将全部用于投资风险资产，证券市场上有n 种风险资产可供你选择，风险资产的收益率为随机向量 12(,,,)T n X X X X =???,其期望收益率向量为12(,,,)T n μμμμ=???，假设你是风险厌恶 者，期望收益率水平为r p ,目标是构建一投资组合w 实现风险最小化，现在请利用所学知识，完成如下任务：（1）建立一个投资组合优化数学模型；（2）求解最优组合w; （3）求解最小化风险?p 2的数学表达式；（4）假设市场上只有3种风险资产可以供你选择进行投资，其期望收益率向量为()(2,1,3)T E X m ==，协方差矩阵为∑=[1 0 0;0 2 0;0 0 4]，你的期望收益率为r p =2，请求解你此时的最优投资组合w 及面临的风险?p 2. 装 订 线 内 不 要 答 题
第一章练习参考答案 1. 解：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是 011 a a b b w e e e φφ =++。他的最优化问题是011 011 ,, 011 011 1 max log(log log) 2 s.t.()0 ,,0 a b a b c c c a a b b a b c c c w c c c c c c φφ ++ -++= ≥ 其一阶条件为： 00 1 1 011 1/ 1 (1/) 2 1 (1/) 2 0,0,, a a a b b b a a b b i i c c c c c c w c i a b λμ λφμ λφμ φφ μ =+ =+ =+ ++= == 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些 约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,) i i c i a b μ==。对于c我们立即得到如下解： 1 c λ =, 1 1 11 2 a a c λφ =, 2 1 11 2 b b c λφ = 把c的解代人预算约束，我们可以得到λ的解： 2 λ ω = 最后，我们有 1 2 c w =, 1 1 4 a a w c φ =, 1 1 4 b a w c φ = 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。 2.解：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。经济中有参与者1和2，他们具有的禀 赋分别为： 1 :100 e - - -2 200 :0 50 e - - - 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数： 1 ()l o g(l o g l o g) 2a b U c c c c =++ 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。 现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;] a a φφφ =为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为 T w e φ =，这里[1;] φφ =；
资本性资产定价模型 一、CAPM 模型的提出 资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model 简称CAPM)是由夏普(William Sharpe)、林特尔(John Lintner)、特里诺(Jack Treynor)和莫辛(Jan Mossin)等人在马柯维茨(Harry Markowtitz)的资产组合理论的基础上发展起来的。1952年,马柯维茨在《金融杂志》上发表题为《投资组合的选择》的博士论文是现代金融学的第一个突破,他否定了古典定价理论中投资者单纯追求期望收益率最大化的假设,提出了组合均值-方差理论,即分别用均值和方差代表预期收益率和风险,指出组合投资能够分散风险,投资者通过对投资组合的均值和方差的权衡,确定效用最大化的投资组合。 夏普、林特纳等人在马柯维茨投资组合理论的基础上,推导出了风险资产的定价模型。在模型推导过程中,还在现代投资组合理论的假设基础上增加了新的假设:如资本市场是完美的,没有交易成本,信息是免费的并且是立即可得的;所有投资者借贷利率相等;投资期是单期的或者说投资者都有相同的投资期限;投资者有相同的预期等。同时，他指出在这个模型中，个人投资者面临着两种风险： 系统性风险（Systematic Risk)：指市场中无法通过分散投资来消除的风险。比如说：利率、经济衰退、战争，这些都属于不可通过分散投资来消除的风险。 非系统性风险（Unsystematic Risk ）：也被称做为特殊风险（Unique risk 或 Idiosyncratic risk ），这是属于个别股票的自有风险，投资者可以通过变更股票投资组合来消除的。从技术的角度来说，非系统性风险的回报是股票收益的组成部分，但它所带来的风险是不随市场的变化而变化的。 现代投资组合理论（Modern portfolio theory)指出特殊风险是可以通过分散投资（Diversification ）来消除的。即使投资组合中包含了所有市场的股票，系统风险亦不会因分散投资而消除，在计算投资回报率的时候，系统风险是投资者最难以计算的。 资本资产定价模型的目的是在协助投资人决定资本资产的价格，即在市场均衡时，证券要求报酬率与证券的市场风险(系统性风险)间的线性关系。市场风险系数是用β值来衡量.资本资产(资本资产)指股票，债券等有价证券。CAPM 所考虑的是不可分散的风险(市场风险)对证券要求报酬率之影响，其已假定投资人可作完全多角化的投资来分散可分散的风险(公司特有风险)，故此时只有无法分散的风险，才是投资人所关心的风险，因此也只有这些风险，可以获得风险贴水。 二、资本性资产定价模型公式 夏普发现单个股票或者股票组合的预期回报率(Expected Return)的公式如下： () f m a f a r r r r -?+=β 其中，f r (Risk free rate),是无风险回报率，纯粹的货币时间价值； a β是证券的Beta 系数， m r 是市场期望回报率 (Expected Market Return)， () f m r r -是股票市场溢价 (Equity Market Premium). CAPM 公式中的右边第一个是无风险收益率，比较典型的无风险回报率是10年期的美国政府债券。如果股票投资者需要承受额外的风险，那么他将需要