Harbin Institute of Technology–HIT
系统辨识与自适应控制
黄显林、班晓军
黄显林班晓军
控制理论与制导技术研究中心
哈尔滨工业大学
banxiaojun@https://www.doczj.com/doc/4818010860.html,
2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第1页
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第五讲
渐消记忆与限定记忆最小二乘法
内容提要:
1. 数据饱和现象实例
据现实
2. 数据饱和现象原因
33. 渐消记忆法算法流程
4. 渐消记忆法算法推导
5. 渐消记忆法算法算例
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6. 限定记忆法算法流程
7. 限定记忆法算法推导
8. 限定记忆法算例
算
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数据饱和现象：
直观上，随着采集到的数据越来越多，递推最小二乘法应该给出更精确地参数估计值；但实际上，随着迭代次应该给出更精确地参数估计值但实际上随着迭代次数增加，“估计值”与“真实值”的偏差会愈来愈远。
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二、数据饱和现象的原因
见板书
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三、解决的方案
1. 增加“新数据”在计算中的权重，减小“老数据”在
计算
中的权重——渐消记忆法；
2. 去掉一部分老数据——限定记忆法。
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四、渐消记忆算法流程
8
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为了确保P(N)的对称性8
(01]
其中2013-03-22控制理论与制导技术研究中心第28页
2(0,1]λρ=∈其中，
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仿真结论：
1. 渐消记忆法在一定程度上克服了“数据饱和问题。该算法对于时变系统的辨识问题比题”该算法对于“时变系统的辨识问题”比一般递
推算法更有效。
推算法更有效
2. 遗忘因子对辨识精度有显著影响，需要适当选取。
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思考：能否从动态系统的角度考虑为什么遗忘因子小会导致很大的震动？
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七、限定记忆最小二乘算法计算公式
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其中，
8
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八、限定记忆最小二乘算法推导过程
见板书
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九、限定记忆最小二乘算法程序流程
1N
1. 先用递推算法根据前n+N 个数据估计。
()
N
θ
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y u→↓
(1)(1),(0)
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(2),(1)
y u→↓
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(),(1)y n u n ?→↓
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2. 将作为限定记忆算法的初值，开始调用限定记忆算法()()Q N P N =记忆算法。
(1),()y n N u n N +++→↓
↓
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仿真结论：限定记忆法可以有效改善数据饱和现象，
可在很大程度上改善递推最小二乘算法的性能。但是，可在很大程度上改善递推最小乘算法的性能但是
如何有效的确定N是一个值得思考的问题。
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九九乘法口诀表 1×1=1 1×2=2 2×2=4 1×3=3 2×3=6 3×3=9 1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16 1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36 1×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49 1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=64 1×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81
口诀表 一一得一 一二得二二二得四 一三得三二三得六三三得九 一四得四二四得八三四十二四四十六 一五得五二五一十三五十五四五二十五五二十五 一六得六二六十二三六十八四六二十四五六三十六六三十六 一七得七二七十四三七二十一四七二十八五七三十五六七四十二七七四十九 一八得八二八十六三八二十四四八三十二五八四十六八四十八七八五十六八八六十四 一九得九二九十八三九二十七四九三十六五九四十五六九五十四七九六十三八九七十二九九八十一
乘法口诀的背诵新要求 1.横背 2. 竖背 3. 倒背 4. 拐弯背 5.个位上是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的乘法口诀： 如：个位上是0的乘法口诀有：2×5=10 4×5=20 5×6=30 5×8=40 ； 个位上是1的乘法口诀有：1×1=1 3×7=21 9×9= 81 ； 个位上是2的乘法口诀有：1×2=2 2×6=12 3×4= 12 4×8= 32 6×7= 42 8×9= 72； 个位上是3的乘法口诀有：1×3=3 7×9=63 ； 个位上是4的乘法口诀有：1×4=4 2×2=4 2×7= 14 3×8= 24 4×6= 24 6×9= 54 8×8= 64；个位上是5的乘法口诀有：1×5=5 3×5=15 5×5= 25 5×7= 35 5×9= 45 ； 个位上是6的乘法口诀有：1×6=6 2×3=6 2×8= 16 4×4= 16 4×9= 36 6×6= 36 7×8= 56；个位上是7的乘法口诀有：1×7=7 3×9=27 ； 个位上是8的乘法口诀有：1×8=8 2×4=8 2×9= 18 3×6= 18 4×7= 28 6×8= 48 ；
九九的乘法口诀特别难记，可以发动全家一起来想办法巧记这些口诀。比如： 1.找规律对比着记：如五九四十五和六九五十四，七九六十三和四九三十六等等。 2.利用故事来记：唐僧历尽九九八十一难，孙悟空有八九七十二变，而猪八戒只有一半法力，四九三十六变。 3.利用同音来记：舅舅八十一岁了（九九八十一） 4.观察个位和十位的由来：几乘九，十位就是几减1，个位就是九减十位上的数字，如四九三十六。 你在背口诀的时候，发现了9的乘法口诀有什么规律？如何熟记“9的乘法口诀”？ ①个位从大到小，十位从小到大。 记住四九三十六，五九多少可以怎么想？三九多少可以怎么想？为什么会出现这种情况？因为都加了9。让孩子理解前后二句口诀之间的关系非常重要! ②成组的规律。 大家观察“9的乘法口诀”的积，除“一九得九”外，其他的积互相之间有哪些关系？ 比如：二九十八， 18， 九九八十一， 81， 两位数个位数字和十位数字交换了位置，你们还能找出几组这样的口诀吗？
三九二十七， 27；八九七十二， 72； 四九三十六， 36；七九六十三， 63； 五九四十五， 45；六九五十四， 54。 掌握这个特点、有的时候不用从头到尾背，记住“二九十八”就把哪句也记住了。（九九八十一） ③9的口诀得数还有这样的规律： 1个9，比10少1，是9， 2个9，比20少2，是18， 3个9，比30少3，是27， …… 9个9，比90少9，是81。 这个规律也能帮助我们熟记9的乘法口诀，比如七九( )，比70少7，既70 — 7 = 63，七九六十三。 ④ 仔细观察9的乘法口诀的积，除9以外，都是两位数，这些两位数，把十位上的数字和个位上的数字加起来的和有什么特点？（十位上的数字和十位上的数字加起来都是9，1+8=9、2+7=9、……、8+1=9） ⑤ “9的乘法口诀”和我们的双手也有一个很特殊的规律，所以我们还可以用“手指记忆法”来帮助我们记忆9的乘法口诀，用10个手指来记，学生既有兴趣又记得牢！ 请伸出双手，在记忆“一九得九”这句口诀时，我们可以弯曲左手小拇指，在弯曲的手指右侧，还有9根手指，这里的“9”就代表积各位上的9；同
九九乘法口诀：4种记忆方法 一一得一 一二得二二二得四 一三得三二三得六三三得九 一四得四二四得八三四十二四四十六 一五得五二五一十三五十五四五二十五五二十五 一六得六二六十二三六十八四六二十四五六三十六六三十六 一七得七二七十四三七二十一四七二十八五七三十五六七四十 二七七四十九 一八得八二八十六三八二十四四八三十二五八四十六八四十八七八五十六八八六十四 一九得九二九十八三九二十七四九三十六五九四十五六九五十 四七九六十三八九七十二九九八十一 中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。 中国春秋战国时代不但发明了十进位制，还发明九九表。后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。十进位制和九九表是古代中国
对世界文化的一项重要的贡献。今日世界各国较少使用希腊等国的乘法。 《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。 九九的乘法口诀特别难记，可以发动全家一起来想办法巧计这些口诀。比如： 1.找规律对比着记：如五九四十五和六九五十四，七九六十三和四九三十六等等。 2.利用故事来记：唐僧历尽九九八十一难，孙悟空有八九七十二变，而猪八戒只有一半法力，四九三十六变。 3.利用同音来记：舅舅八十一岁了（九九八十一） 快速背熟乘法口诀方法： ①先了解乘法口诀的意义，发现乘法表的规律,再加以引导.
如何让孩子速记乘法口诀 参考文献:二年级数学教材、数学新课标内容摘要：二年级数学教材、乘法口诀教学课件 “乘法口诀”可以看成是中华文明的一个瑰宝，也是中华民族聪明才智的结晶。“乘法口诀”简明易懂，读起来朗朗上口，体现了汉字单音节的优越性。 乘法口诀又是二年级数学教学的重点内容，是计算的基础知识，教材要求学生理解乘法口诀的意义并熟记乘法口诀。乘法口诀是学习表内乘除法，乃至多位数乘除法的重要基础，因为任何多位数的乘法，都要分解为若干个一位数的乘法才能计算，而除法计算，也要根据乘法与除除法的关系，利用乘法口诀来求商。因为学习乘除法运算之前必须牢固掌握乘法口诀。 在小学二年级的数学教材中，表内乘除法是全册书的重点和难点，是学生必须练好的基本功之一。在实际教学中，我发现，孩子们在背诵几遍乘法口诀之后，就不愿意继续去背诵。经常是按顺序一个挨着一个背，很熟练，随意抽出一个就背不出来了。结果，有很多孩子在计算表内乘除法时，计算速度慢，经常出错。那么在教学中，如
何提高孩子们背诵口诀的热情和兴趣、熟练掌握口诀呢?带着这个问题，我在教学中努力思索，进行各种尝试。 一、看口诀，明意义。简单和孩子说说乘法是怎么回事，然后重点观察乘法口诀表的规律，进行有规律的背诵记忆，并最终能做到熟练背
在让孩子们记忆口诀时，要让他们明确口诀的由来，知道乘法的基本意义，要让他们知其然，而且要知其所以然，绝对不能仅把口诀当成顺口溜，盲目背诵。这样，在孩子们实在记不清某句口诀时，可以用最原始的方法推导出最终的结果。所有的乘法口诀全部学习完之后，我们要让孩子们熟练掌握，就必须多读多背。但是，单一形式的读和背，学生势必感到枯燥乏味，我们必须想出多种有趣的方法，灵活的使用口诀，让孩子们背得高兴，掌握得熟练。如:背诵口诀表，可以横着背，还可以竖着背、斜着背、拐弯背;在背的形式上，可以自己背，师提生背，生提生背等等。 (2)找规律，巧记忆。 竖着背 1、第1列都是关于谁的口诀？第2列呢？第3列呢？第4、5、6、7、8、9列呢？ 2、看看这个小阶梯，第一列从谁乘到谁？第二列呢？第三列呢？以此类推。（第1列1-9，第2列2-9，第3列3-9……）横着背、道理和竖着背是一样的 三、在游戏中训练
快速记忆乘法口诀的六种方法 快速记忆乘法口诀的六种方法 一、机械族的机械记忆法 机械族的精灵口才很好，擅长读背。因此，他们很喜欢反复读诵乘法口诀。不过他们的方法很特别哦! 1.竖着背 比如，一一得一，一二得二，一直背到一九得九，接着背二二得四，二三得六，一直到二九十八，然后是三三得九，三四十二，一直到三九二十七，如此类推，接下来，依次是四四十六的竖列、五五二十五的竖列、六六三十六的、七七四十九的、八八六十四的、最后九九八十一的。这种方法有个规律，几的竖列，就逐渐增加几，可以按此规律帮助记忆。 2.横着背 比如第一横行，就一句一一得一;第二横行两句，一二得二，二二得四;往下类推，第几行就几句，最后九句，从一九得九到九九八十一。这种方法也有个规律，第几行，后一句就比前一句增加几。 3.拐弯背 比如，首先背一二得二，此时接着背二二得四，这时拐弯向下背二三得六、二四得八、一直到二九十八;然后回到一三得三、二三得六、三三得九，再拐弯往下三四一十二，一
直到三九二十七;如此类推，回到一四得四接着拐弯。这页 1 第 样背的一个特点是，从一到九的口诀都有九句，几的口诀就逐渐增加几。 二、理解族的理解记忆法 理解族的精灵擅长逻辑推理。当他们能按顺序熟读口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个 9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，“八九七 十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。这样以点带面，从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。 三、对比族的对比记忆法 对比族的精灵们擅长观察和比较。于是他们发现了下面的规律。 得数相同的(乘数不重复) 一四得四、二二得四 一六得六、二三得六 一八得八、二四得八 二六十二、三四十二
巧背乘法口诀 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
巧背乘法口诀 青峰陡口小学：韩静 上学期我教学二年级学生背口诀的时候，为了减轻后面的教学负担，我在教学乘法口诀时，每一个学生都过关了。但也发现了以下问题。 为了完成老师下达的任务，同学们已经程度不同的将乘法口诀背出了，但是从一开始都是顺着背的，从一一得一、一二得二…一直到九九八十一。都能够比较流利地背出，但是如果要不按顺序抽着背的话，可能就没有那么熟练了。 有些同学习惯于再从开头的地方往下背，“顺”到这句口诀时才“找”着了，这样花费的时间也比较多。 还有些同学在遇到一句“陌生”的口诀时，会采用“算”的办法，当然，这也不失为一种办法，例如“四四”算作是“两个四的和再相加”，这种方法比较顺着背有了个动脑筋的过程，久而久之地也会找到规律，但速度还是不快。 但在二年级上册的数学教材中，表内乘法是全册书的重点和难点，也是中高年级计算的基础，所以熟练记忆乘法口诀是必须练好的基本功之一。而且今年二年级下册数学新教材里就涉及到用乘法口诀迁移到表内除法，熟练的记忆乘法口诀就尤为重要了。学好表内乘法能为今后进一步学习乘法打好良好的基础，但是二年级的孩子要在短时间内全部准
确无误地记住45句乘法口诀是一件不容易的事。从前往后数记忆乘法口诀既影响计算速度，也不利于学生对所学的知识的灵活应用。 那么在教学中，如何提高孩子们背诵口诀的热情和兴趣，熟练掌握口诀呢?带着这个问题，我在教学中努力思索，进行各种尝试。总结为如下： 1、用典故、口头禅帮助记忆： 在《西游记》中，孙悟空在太上老君的炼丹炉中被炼了“七七四十九天”终于炼出了火眼金睛，因此，“七七四十九”也是不容易忘记的；孙悟空神通广大，变幻莫测，可以不断地“摇身一变”，有“八九七十二变”之绝招，因此，“八九七十二”也是好记的； 唐僧师徒四人前往西天取经，跋山涉水、冲破重重艰难险阻、历经“九九八十一难”，终于到达西天佛国，取得真经。因此，“九九八十一”也称作“九九归一”，记住了，就不容易忘了。 人们常用“不管三七二十一”来比喻不考虑其它因素的断然行为，因此“三七二十一”应该是比较容易记忆的了。 2、找规律巧记忆 如5的乘法口诀:5的口诀有5句，每句差5。个位数字5和0。 如积是整十数的：二五一十、四五二十、五六三十、五八四十。 如九乘以（十以内—除去零）任何一个数相乘，其积的十位数就等于这个数小一的数，个位数就是这个数和为十的对应数（9→1、8→2、7→3、6→4、5→5）；九乘八，十位数为八减—等于七，个位数是（八对应的二），积是七十二。
大九九乘法口诀表的背诵技巧--19*19 大九九乘法口诀表 1乘的乘法有: 1X1=1 1X2=2 1X3=3 1X4=4 1X5=5 1X6=6 1X7=7 1X8=8 1X9=9 1X10=10 1X11=11 1X12=12 1X13=13 1X14=14 1X15=15 1X16=16 1X17=17 1X18=18 1X19=19 2乘的乘法有: 2X2=4 2X3=6 2X4=8 2X5=10 2X6=12 2X7=14 2X8=16 2X9=18 2X10=20 2X11=22 2X12=24 2X13=26 2X14=28 2X15=30 2X16=32 2X17=34 2X18=36 2X19=38 3乘的乘法有: 3X3=9 3X4=12 3X5=15 3X6=18 3X7=21 3X8=24 3X9=27 3X10=30 3X11=33 3X12=36 3X13=39 3X14=42 3X15=45 3X16=48 3X17=51 3X18=54 3X19=57 4乘的乘法有: 4X4=16 4X5=20 4X6=24 4X7=28 4X8=32 4X9=36 4X10=40 4X11=44 4X12=48 4X13=52 4X14=56 4X15=60 4X16=64 4X17=68 4X18=72 4X19=76 5乘的乘法有: 5X5=25 5X6=30 5X7=35 5X8=40 5X9=45 5X10=50 5X11=55 5X12=60 5X13=65 5X14=70 5X15=75 5X16=80 5X17=85 5X18=90 5X19=95
记忆乘法口诀的六种方法 机械族的机械记忆法 机械族的精灵口才很好，擅长读背。因此，他们很喜欢反复读诵 乘法口诀。不过他们的方法很特别哦! 1.竖着背 比如，一一得一，一二得二，一直背到一九得九，接着背二二得四，二三得六，一直到二九十八，然后是三三得九，三四十二，一 直到三九二十七，如此类推，接下来，依次是四四十六的竖列、五 五二十五的竖列、六六三十六的、七七四十九的、八八六十四的、 最后九九八十一的。这种方法有个规律，几的竖列，就逐渐增加几， 可以按此规律帮助记忆。 2.横着背 比如第一横行，就一句一一得一;第二横行两句，一二得二，二二得四;往下类推，第几行就几句，最后九句，从一九得九到九九八 十一。这种方法也有个规律，第几行，后一句就比前一句增加几。 3.拐弯背 比如，首先背一二得二，此时接着背二二得四，这时拐弯向下背 二三得六、二四得八、一直到二九十八;然后回到一三得三、二三得六、三三得九，再拐弯往下三四一十二，一直到三九二十七;如此类推，回到一四得四接着拐弯。这样背的一个特点是，从一到九的口 诀都有九句，几的口诀就逐渐增加几。 理解族的理解记忆法 理解族的精灵擅长逻辑推理。当他们能按顺序熟读口诀后，必然 会有若干自己比较熟悉的口诀，例如:二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法
口诀，比如：8×９的结果想不出，则可思考“９个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把 “8×9”的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后， “八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。这样以点带面， 从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。 对比族的对比记忆法 比族的精灵们擅长观察和比较。于是他们发现了下面的规律。 得数相同的(乘数不重复) 一四得四、二二得四 一六得六、二三得六 一八得八、二四得八 二六十二、三四十二 一九得九、三三得九 三六十八、二九十八 二八十六、四四十六 三八二十四、六四二十四 六六三十六、四九三十六 两个乘数相同的 一一得一、二二得四、 三三得九、四四十六、 五五二十五、六六三十六、 七七四十九、八八六十四、 九九八十一。 积的十位与个位数字交换的
小学数学知识快速记忆法 那么，怎样才能快速记忆呢?下面就来为大家推荐的小学数学快速记忆法，欢迎参阅!小学数学快速记忆法1.机械族的机械记忆法机械族的精灵口才很好，擅长读背。 因此，他们很喜欢反复读诵乘法口诀。 不过他们的方法很特别哦!■竖着背比如，一一得一，一二得二，一直背到一九得九，接着背二二得四，二三得六，一直到二九十八，然后是三三得九，三四十二，一直到三九二十七，如此类推，接下来，依次是四四十六的竖列、五五二十五的竖列、六六三十六的、七七四十九的、八八六十四的、最后九九八十一的。 这种方法有个规律，几的竖列，就逐渐增加几，可以按此规律帮助记忆。 ■横着背比如第一横行，就一句一一得一;第二横行两句，一二得二，二二得四;往下类推，第几行就几句，最后九句，从一九得九到九九八十一。 这种方法也有个规律，第几行，后一句就比前一句增加几。 ■拐弯背比如，首先背一二得二，此时接着背二二得四，这时拐弯向下背二三得六、二四得八、一直到二九十八;然后回到一三得三、二三得六、三三得九，再拐弯往下三四一十二，一直到三九二十七;如此类推，回到一四得四接着拐弯。 这样背的一个特点是，从一到九的口诀都有九句，几的口诀就逐
渐增加几。 2.理解族的理解记忆法理解族的精灵擅长逻辑推理。 当他们能按顺序熟读口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀。 比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9，也就是“81-9=72，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，“八九七十二这句也将成为铭记于心的口诀了。 这样以点带面，从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。 3.对比族的对比记忆法对比族的精灵们擅长观察和比较。 于是他们发现了下面的规律。 ■积的得数相同的：(两个乘数不重复的)一四得四、二二得四一六得六、二三得六一八得八、二四得八二六十二、三四十二一九得九、三三得九三六十八、二九十八二八十六、四四十六三八二十四、六四二十四六六三十六、四九三十六■两个乘数相同的：一一得一、二二得四、三三得九、四四十六、五五二十五、六六三十六、七七四十九、八八六十四、九九八十一。 ■积的十位数字与个位数字交换的：二七十四、五八四十三四十二、三七二十一五九四十五、六九五十四四九三十六、七九六十三三
巧记乘法口诀 在小学二年级上册的数学教材中，表内乘除法是全册书的重点和难点，是学生必须练好的基本功之一。在实际教学中，我发现，孩子们在背诵几遍乘法口诀之后，就不愿意继续去背诵。经常是按顺序一个挨着一个背时，很熟练，随意抽出一个就得不出结果。结果，有很多孩子在计算表内乘除法时，计算速度慢，经常出错。那么如何提高孩子们背诵口诀的热情和兴趣，熟练掌握口诀呢? (1)找规律，巧记忆。 在1-9这些口诀中，有很多都是有规律可寻的。 比如，任一句口诀，和其相邻的两句都有联系。当五七多少想不出时，只要记得五六三十，再加上5就可以得出五七三十五;或者用五八四十减去5得出五七的口诀。也可以用四七二十八加上7或六八四十八减去7得出这句口诀。 再例如，2的9句口诀，就是我们原来经常说的双数，两个两个数;5的9句口诀，就是我们平时5个5个数(这些在一年级认识100以内各数时，学生已经非常熟练)。也可以用钟表记忆法： 9的乘法口诀，更是有意思，在其口诀得数的数字中间就有规律，每一句口诀的得数(9、18、27、36、45、54、63、72、81)，数字拆开再相加，都等于9，而且前后照应(18和81，27和72，36和63，45和54)。更巧的是，9的口诀还可以用我们一个简单的"手指操"来表示。
如图：4x9 1，把你的双手举起来 2，你的10个手指从左到右代表数字1到10 3，弯下左起第4指，表示4x 9 4，弯下手指的左边每个手指代表10，计：10，20，30； 弯下手指的右边每个手指代表1，计：1，2，3，4，5，6（或计：31，32，33，34，35，36）4x 9=36 试试看你神奇的手指来做9的乘法。
《大九九乘法口诀表》背诵技巧 1乘的乘法有: 1X1=1 1X2=2 1X3=3 1X4=4 1X5=5 1X6=6 1X7=7 1X8=8 1X9=91X10=10 1X11=11 1X12=12 1X13=13 1X14=14 1X15=15 1X16=16 1X17=17 1X18=18 1X19=19 2乘的乘法有: 2X2=4 2X3=6 2X4=8 2X5=10 2X6=12 2X7=14 2X8=16 2X9=18 2X10=20 2X11=22 2X12=24 2X13=26 2X14=28 2X15=30 2X16=32 2X17=34 2X18=36 2X19=38 3乘的乘法有: 3X3=9 3X4=12 3X5=15 3X6=18 3X7=21 3X8=24 3X9=27 3X10=30 3X11=33 3X12=36 3X13=39 3X14=42 3X15=45 3X16=48 3X17=51 3X18=54 3X19=57 4乘的乘法有: 4X4=16 4X5=20 4X6=24 4X7=28 4X8=32 4X9=36 4X10=40 4X11=44 4X12=48 4X13=52 4X14=56 4X15=60 4X16=64 4X17=68 4X18=72 4X19=76 5乘的乘法有: 5X5=25 5X6=30 5X7=35 5X8=40 5X9=45 5X10=50 5X11=55 5X12=60 5X13=65 5X14=70 5X15=75 5X16=80 5X17=85 5X18=90 5X19=95 6乘的乘法有: 6X6=36 6X7=42 6X8=48 6X9=54 6X10=60 6X11=66 6X12=72 6X13=78 6X14=84 6X15=90 6X16=96 6X17=102 6X18=108 6X19=114 7乘的乘法有: 7X7=49 7X8=56 7X9=63 7X10=70 7X11=77 7X12=84 7X13=91 7X14=98 7X15=105 7X16=112 7X17=119 7X18=126 7X19=133 8乘的乘法有: 8X8=64 8X9=72 8X10=80 8X11=88 8X12=96 8X13=104 8X14=112 8X15=120 8X16=128 8X17=136 8X18=144 8X19=152 9乘的乘法有: 9X9=81 9X10=90 9X11=99 9X12=108 9X13=117 9X14=126 9X15=135 9X16=144 9X17=153 9X18=162 9X19=171 10乘的乘法有: 10X10=100 10X11=110 10X12=120 10X13=130 10X14=140 10X15=150 10X16=160 10X17=170 10X18=180 10X19=190 11乘的乘法有: 11X11=121 11X12=132 11X13=143 11X14=154 11X15=165 11X16=176 11X17=187 11X18=198 11X19=209 12乘的乘法有: 12X12=144 12X13=156 12X14=168 12X15=180 12X16=192 12X17=204 12X18=216 12X19=228 13乘的乘法有: 13X13=169 13X14=182 13X15=195 13X16=208 13X17=221 13X18=234 13X19=247 14乘的乘法有:14X14=196 14X15=210 14X16=224 14X17=238 14X18=252 14X19=266 15乘的乘法有: 15X15=225 15X16=240 15X17=255 15X18=270 15X19=285
乘法口诀表快速记忆技巧 一、按顺序背诵必不可少。 这对于绝大多数学生来说应该不是难点。中国人学乘法可谓是独具优势，由于发音简单，因而琅琅上口，对于文化程度欠缺的老年人尚能运用自如，更何况我们这一代见多识广的小学生呢。 二、理解口诀的意义。 在学习了乘法的意义之后，相信学生们对口诀的意义应该能有较好的理解，对于判断结果的大致范围会有一定的帮助。例如6×8，表示6个8或8个6连加，那么当学生背不出口诀时，可通过加法算出结果，或者通过它的意义估计出积的结果大约在50左右，继而排除一些不可能的结果，朝这个范围思考口诀。 三、推算出口诀的结果。 当学生能按顺序熟背口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，“八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。这样以点带面，从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。 四、找寻积的特点。 我们还可通过积与因数的一些特点来帮助学生记忆或判断结果的正误。例如：1的口诀完全不需要过多的记忆，积与另一个因数相同;2的口诀结果都是双数，也就是学生常说的“2、4、6、8、10”;5的口诀末尾不是“5”就是“0”，看另一个因数，是双数则积的末尾是0，是单数积的末尾就是5。再有就是根据两个因数来判断积的奇偶性，“双数×双数”积是双数，“双数×单数”积是双数，“单数×单数”积是单数。当然这一判断方法对于二年级的学生来说无疑有些难度，适合思维拓展题，若仅仅是为了判断积的正确与否，也许孩子们并不愿意用。 五、在游戏中熟练。 我想这应该是该年龄段的学生乐于接受的一种记忆方式，因为纯粹的背显得很枯燥，多背一些孩子就会由于兴趣的降低而思维混乱、错误百出，老师可以在课堂中运用“补口诀比赛”或通过一些网络小游戏来帮助学生提高兴趣。在家里学生也可下载一些类似的网络游戏或与家长玩“算24点”的游戏增加口诀的运用机会，孩子们会很快发现口诀记忆并不那么困难。
致我们都熟悉的乘除法乘法口诀表，至今，是证明我记忆力着实一般的一个抹不去的存在。小学时候，印象深刻，班主任要求当天背下乘法口诀表，而且极其严厉的要求除了横着背、竖着背，居然还要斜着背……我背不下乘法口诀表，和几个小朋友一起被班主任留校背诵，最终天黑得不行，俺娘给俺接回家了。虽然后来还是追赶上了，不过自信着实被打击了一下。 为什么我不惜自毁数学老师的形象，翻出自己的这段黑历史呢？主要还是在于对于一升二年级的小朋友马上就要在这个暑期学习乘除法，而乘除法往往成为已经成人的家长们非常容易轻视的一个大 =积”的教法了吗？ 怎样规避上面的问题呢？ 1、提前熟悉逐步背诵乘法口诀表。简单和孩子说说乘法是怎么回事，然后重点观察乘法口诀表的规律，进行有规律的背诵记忆，并最终能做到熟练背诵口诀； 2、抓住课上时间认真听懂乘法的本源和使用意义。让孩子明白加法和乘法之间的对应关系，同时多练习多举例，可以让孩子用“讲故事”的方法自己去编好一个乘法算式对应的背景，也就是有点自己编个小应用题的感觉；
3、及时更新知识，与老师所教授内容及最新规定统一，避免孩子混淆。 除法篇 现象1：无法理解除法的本质意义，初步学的时候基本是照猫画虎列出算式，但并不明白除法的“平均分”这一过程，当堂课也许孩子例题都“完成”了，但孩子对于除法的学习远没有完成。很多三四年级的孩子在做应用题的时候，一到除法的一步还是犯蒙，无从下笔，除法的理解程度直接影响中高年级的学习效果。大量的应用题会涉及除法的理解和应用，比如归一问题、盈亏问题、鸡兔同笼问题、行程问题等等； 现象2：除法的计算十分费力，没有像对应的乘法口诀表那样的口诀，对于通过乘法逆向求除法操
一年级怎样快速高效记住九九乘法表 九的乘法口诀特别难记，能够发动全家一起来想办法巧计这些口诀。比如： 1. 找规律对比着记：如五九四十五和六九五十四，七九六十三和四九三十六等等。 2. 利用故事来记：唐僧历尽九九八十一难，孙悟空有* 七十二变，而猪八戒只有一半法力，四九三十六变。 3. 利用同音来记：舅舅八十一岁了（九九八十一） 4. 观察个位和十位的由来：几乘九，十位就是几减1，个位就是九减十位上的数字，如四九三十六。 你在背口诀的时候，发现了9 的乘法口诀有什么规律？如何熟记“9的乘法口诀”？ ①个位从大到小，十位从小到大。 记住四九三十六，五九多少能够怎么想？三九多少能够怎么想？为什么会出现这种情况？因为都加了9。让孩子理解前后二句口诀之间的关系非常重要！ ②成组的规律。 大家观察“9 的乘法口诀”的积，除“一九得九”外，其他的积互相之间有哪些关系？ 比如：二九十八，18，九九八十一，81，两位数个位数字和十位数字交换了位置，你们还能找出几组这样的口诀吗？ 三九二十七，27；*七十二，72； 四九三十六，36；七九六十三，63；
五九四十五，45；六九五十四，54。 掌握这个特点、有的时候不用从头到尾背，记住“二九十八”就把哪句也记住了。（九九八十一） ③9的口诀得数还有这样的规律： 1个9，比10少1，是9， 2个9，比20少2，是18， 3个9，比30少3，是27，9个9，比90少9，是81。 这个规律也能协助我们熟记9的乘法口诀，比如七九（），比70 少7，既70—7=63，七九六十三。 ④仔细观察9的乘法口诀的积，除9 以外，都是两位数，这些两位数，把十位上的数字和个位上的数字加起来的和有什么特点？（十位上的数字和十位上的数字加起来都是9, 1+8=9、2+7=9……、8+1=9） ⑤“9的乘法口诀”和我们的双手也有一个很特殊的规律，所以我们还能够用“手指记忆法”来协助我们记忆9 的乘法口诀,用10个手指来记,学生既有兴趣又记得牢！ 请伸出双手,在记忆“一九得九”这句口诀时,我们能够弯曲左手小拇指,在弯曲的手指右侧,还有9 根手指,这里的“ 9”就代表积各位上的9；同样,在记忆“二九十八”时,弯曲左手无名指,弯曲的手指左侧,有一跟指头,这里的“ 1”代表积中十位上的数字1,弯曲手指右侧，还有8 根手指，这里的“ 8”代表积中各位上的数字8，也就是“二九十八”。 从左往右数，第几个手指弯曲表示几九的几，弯曲手指的左边表示积的十位上的数字，右边表示积的个位上的数字。 让孩子多操作、练习，让学生在操作中体会其中的含义，并记忆“9的乘法口诀”。 以上方法孩子喜欢哪种就用哪种来记忆，方法多样，目的只有一个，
大九九乘法口诀表 1乘的乘法有: 1X1=1 1X2=2 1X3=3 1X4=4 1X5=5 1X6=6 1X7=7 1X8=8 1X9=9 1X10=10 1X11=11 1X12=12 1X13=13 1X14=14 1X15=15 1X16=16 1X17=17 1X18=18 1X19=19 2乘的乘法有: 2X2=4 2X3=6 2X4=8 2X5=10 2X6=12 2X7=14 2X8=16 2X9=18 2X10=20 2X11=22 2X12=24 2X13=26 2X14=28 2X15=30 2X16=32 2X17=34 2X18=36 2X19=38 3乘的乘法有: 3X3=9 3X4=12 3X5=15 3X6=18 3X7=21 3X8=24 3X9=27 3X10=30 3X11=33 3X12=36 3X13=39 3X14=42 3X15=45 3X16=48 3X17=51 3X18=54 3X19=57 4乘的乘法有: 4X4=16 4X5=20 4X6=24 4X7=28 4X8=32 4X9=36 4X10=40 4X11=44 4X12=48 4X13=52 4X14=56 4X15=60 4X16=64 4X17=68 4X18=72 4X19=76 5乘的乘法有: 5X5=25 5X6=30 5X7=35 5X8=40 5X9=45 5X10=50 5X11=55 5X12=60 5X13=65 5X14=70 5X15=75 5X16=80 5X17=85 5X18=90 5X19=95 6乘的乘法有: 6X6=36 6X7=42 6X8=48 6X9=54 6X10=60 6X11=66 6X12=72 6X13=78 6X14=84 6X15=90 6X16=96 6X17=102 6X18=108 6X19=114 7乘的乘法有: 7X7=49 7X8=56 7X9=63 7X10=70 7X11=77 7X12=84 7X13=91 7X14=98 7X15=105 7X16=112 7X17=119 7X18=126 7X19=133 8乘的乘法有: 8X8=64 8X9=72 8X10=80 8X11=88 8X12=96 8X13=104 8X14=112 8X15=120 8X16=128 8X17=136 8X18=144 8X19=152
乘法口诀表快速记忆方法 乘法口诀表快速记忆方法 一、按顺序背诵必不可少。这对于绝大多数学生来说应该不是难点。中国人学乘法可谓是独具优势，由于发音简单，因而琅琅上口，对于文化程度欠缺的老年人尚能运用自如，更何况我们这一代见多识广的小学生呢。 二、理解口诀的意义。在学习了乘法的意义之后，相信学生们对口诀的意义应该能有较好的理解，对于判断结果的大致范围会有一定的帮助。例如6×8，表示6个8或8个6连加，那么当学生背不出口诀时，可通过加法算出结果，或者通过它的意义估计出积的结果大约在50左右，继而排除一些不可能的结果，朝这个范围思考口诀。 三、推算出口诀的结果。当学生能按顺序熟背口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，“八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。这样以点带面，从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。
四、找寻积的特点。我们还可通过积与因数的一些特点来帮助学生记忆或判断结果的正误。例如：1的口诀完全不需要过多的记忆，积与另一个因数相同;2的口诀结果都是双数，也就是学生常说的“2、4、6、8、10”;5的口诀末尾不是“5”就是“0”，看另一个因数，是双数则积的末尾是0，是单数积的末尾就是5。再有就是根据两个因数来判断积的奇偶性，“双数×双数”积是双数，“双数×单数”积是双数，“单数×单数”积是单数。当然这一判断方法对于二年级的学生来说无疑有些难度，适合思维拓展题，若仅仅是为了判断积的正确与否，也许孩子们并不愿意用。 五、在游戏中熟练。我想这应该是该年龄段的学生乐于接受的一种记忆方式，因为纯粹的背显得很枯燥，多背一些孩子就会由于兴趣的降低而思维混乱、错误百出，老师可以在课堂中运用“补口诀比赛”或通过一些网络小游戏来帮 助学生提高兴趣。在家里学生也可下载一些类似的网络游戏或与家长玩“算24点”的游戏增加口诀的运用机会，孩子们会很快发现口诀记忆并不那么困难。 六、在实际生活中运用。正所谓数学源自生活，运用于生活，乘法口诀的运用渗透于我们生活的方方面面，若想更熟练的掌握，课堂是有局限性的，我们当让孩子感受到它在实际生活中的运用价值，这点需要家长配合，利用一切与之
乘法口诀记忆技巧 给大家分享一些乘法口诀记忆技巧，希望大家喜欢。 《九九乘法歌诀》，又常称为小九九。现在学生学的小九九口诀，是从一一得一开始，到九九八十一止，而在古代，却是倒过来，从九九八十一起，到二二得四止。因为口诀开头两个字是九九，所以，人们就把它简称为九九。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样一一得一九九八十一。 中国使用九九口诀的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到三九二十七、六八四十八、四八三十二、六六三十六等句子。由此可见，早在春秋、战国的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。 现在人们一般把那些有心计、会算计、善谋划的人形容为心里有小九九。 九九表，又称九九歌、九因歌，是中国古代筹算中进行乘法、除法、开方等运算中的基本计算规则，沿用到今日，已有两千多年。现在小学初年级学生、一些学龄儿童都会背诵。不过欧洲直到十三世纪初不知道这种简单的乘法表。西方文明古国的希腊和巴比伦，也有发明的乘法表，不过比起九九表繁复些。巴比伦发明的希腊乘法表有一千七百多项，而且不够完全。由于在十三世纪之前他们计算乘法、
除法十分辛苦，所以能够除一个大数的人，会被人视若数学专家。十三世纪之初，东方的计算方法，通过阿拉伯人传入欧洲，欧洲人发现了他的方便之处，所以学习这个新方法。当时，用新法乘两个数这类题目，是当时大学的教材。 乘法口诀记忆技巧： 一、按顺序背诵必不可少 这对于绝大多数学生来说应该不是难点。中国人学乘法可谓是独具优势，由于发音简单，因而琅琅上口，对于文化程度欠缺的老年人尚能运用自如，更何况我们这一代见多识广的小学生呢。 二、理解口诀的意义 在学习了乘法的意义之后，相信学生们对口诀的意义应该能有较好的理解，对于判断结果的大致范围会有一定的帮助。例如68，表示6个8或8个6连加，那么当学生背不出口诀时，可通过加法算出结果，或者通过它的意义估计出积的结果大约在50左右，继而排除一些不可能的结果，朝这个范围思考口诀。 三、推算出口诀的结果 当学生能按顺序熟背口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：89的结果想不出，则可思考9个9减去一个9，也就是81-9=72，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把89的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，八九七十二这句也将成为铭记于心的口诀
致我们都熟悉的乘除法 乘法口诀表，至今，是证明我记忆力着实一般的一个抹不去的存在。小学时候，印象深刻，班主任要求当天背下乘法口诀表，而且极其严厉的要求除了横着背、竖着背，居然还要斜着背……我背不下乘法口诀表，和几个小朋友一起被班主任留校背诵，最终天黑得不行，俺娘给俺接回家了。虽然后来还是追赶上了，不过自信着实被打击了一下。 为什么我不惜自毁数学老师的形象，翻出自己的这段黑历史呢？主要还是在于对于一升二年级的小朋友马上就要在这个暑期学习乘除法，而乘除法往往成为已经成人的家长们非常容易轻视的一个大敌。 乘除法的启蒙学习，不仅仅是学习两种计算那么简单，也不仅仅是一个乘法口诀表的问题，这将是孩子数学学习中的一个跨越，同时乘除法理解的好坏直接影响到今后理解应用题的能力以及对运算定律的熟练程度。 面我将就在教学过程中经常发现的一些现象分享给大家，希望大家能避免走同样的弯路。 乘法篇 现象1：因为家长们的重视程度不同，孩子们在暑期上课时对于乘法口诀的熟悉程度也不同，往往发现提前慢慢背诵口诀表的孩子们，在课堂上能够将更多精力放在对于乘法本源和意义的理解上，同时在一些基础记忆题目中因为完成的出色，会更加自信；而从没有接触的孩子们当堂课要完成从加法到乘法的跨越式理解，还要处理完全陌生的乘法口诀表，还要接受不明所以的为什么别人能记住我记不住的刺激，可以说这节课算得上孩子自信心上重重的一击。话说当年我就是落后这一步，导致现在也不大自信自己的记忆力…… 现象2：孩子口诀背的很熟，可是拿个3+3+3+3+3+3+3+3= ？问孩子，还是在心里默默的一个一 个的加。这是为什么呢？很明显孩子口诀背会了，认为乘法完全掌握了，并没有去认真体会老师课上所讲解乘法的由来和存在的意义，会背不会用，让乘法口诀成为一面高高举起的大旗。 现象3：家长们根据自己的经验，教给孩子“被乘数乘以乘数等于积”的概念，然后因为孩子总是列不好式子中的谁做被乘数，谁做乘数而大发雷霆。可是，孩子的混乱在于哪里呢？孩子真的懂得了乘法是若干个相同加数求和的简便运算吗？家长们真的知道课改后已经不再用“被乘数X乘数=积”的教法了吗？ 怎样规避上面的问题呢？ 1、提前熟悉逐步背诵乘法口诀表。简单和孩子说说乘法是怎么回事，然后重点观察乘法口诀表的规律，进行有规律的背诵记忆，并最终能做到熟练背诵口诀；
乘法口诀表快速记忆方法乘法口诀表快速记忆方法 一、按顺序背诵必不可少。这对于绝大多数学生来说应该不是难点。中国人学乘法可谓是独具优势，由于发音简单，因而琅琅上口，对于文化程度欠缺的老年人尚能运用自如，更何况我们这一代见多识广的小学生呢。 二、理解口诀的意义。在学习了乘法的意义之后，相信学生们对口诀的意义应该能有较好的理解，对于判断结果的大致范围会有一定的帮助。例如6×8，表示6个8或8个6连加，那么当学生背不出口诀时，可通过加法算出结果，或者通过它的意义估计出积的结果大约在50左右，继而排除一些不可能的结果，朝这个范围思考口诀。 三、推算出口诀的结果。当学生能按顺序熟背口诀后，必然会有若干自己比较熟悉的口诀，例如: 二五一十、九九八十一等，将这些口诀作为参照物，可运用推算的方法很快找到与之相邻的乘法口诀，比如：8×9的结果想不出，则可思考“9个9减去一个9”，也就是“81-9=72”，当然得出结论后不能写上72就算了，还应把“8×9”的口诀在心里默念一遍，那么多经历几次这样的思考后，“八九七十二”这句也将成为铭记于心的口诀了。这样以点带面，
从若干口诀辐射到所以口诀，效果应该会比较明显。 页 1 第 四、找寻积的特点。我们还可通过积与因数的一些特点来帮助学生记忆或判断结果的正误。例如：1的口诀完全不需要过多的记忆，积与另一个因数相同;2的口诀结果都是双数，也就是学生常说的“2、4、6、8、10”;5的口诀末尾不是“5”就是“0”，看另一个因数，是双数则积的末尾是0，是单数积的末尾就是5。再有就是根据两个因数来判断积的奇偶性，“双数×双数”积是双数，“双数×单数”积是双数，“单数×单数”积是单数。当然这一判断方法对于二年级的学生来说无疑有些难度，适合思维拓展题，若仅仅是为了判断积的正确与否，也许孩子们并不愿意用。 五、在游戏中熟练。我想这应该是该年龄段的学生乐于接受的一种记忆方式，因为纯粹的背显得很枯燥，多背一些孩子就会由于兴趣的降低而思维混乱、错误百出，老师可以在课堂中运用“补口诀比赛”或通过一些网络小游戏来帮助学生提高兴趣。在家里学生也可下载一些类似的网络游戏或与家长玩“算24点”的游戏增加口诀的运用机会，孩子们会很快发现口诀记忆并不那么困难。 六、在实际生活中运用。正所谓数学源自生活，运用于生活，乘法口诀的运用渗透于我们生活的方方面面，若想更熟练的掌握，课堂是有局限性的，我们当让孩子感受到它在实