第八节 空间直线及其方程
直线的一般方程 直线的参数方程和对称方程 两直线的夹角 直线与平面的夹角
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一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ? A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ? ? A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 空间直线的一般方程 x
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
z
Π1
Π2
L
o
y
2
确定空间直线的条件 ? 由两个平面确定一条直线； ? 由空间的两点确定一条直线； ? 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
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二、空间直线的参数方程与对称式方程
方向向量的定义： 如果一非零向量 s 平行于 一条已知直线L，向量 s 称为 直线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
? M ( x , y , z ) ∈ L, M 0 M // s x
z
s
L
? M0
o
?M
y
s = {m , n, p},
M 0 M = { x ? x 0 , y ? y0 , z ? z 0 }
则 { x ? x 0 , y ? y0 , z ? z 0 } = t { m , n , p }
4
? x = x0 + mt ? ? y = y0 + nt ? z = z + pt ? 0
消去参数t，有
直线的参数方程
x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 = = 直线的对称式方程 m n p
直线的一组方向数 方向向量的余弦称为直线的方向余弦.
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注：
1. 表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程 ;
? x = x0 , x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 ? = = 3. 理解为: ? y ? y0 = z ? z0 . 0 n p ? n p ?
4. 任一条直线均可表示为对称式方程.
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例1 用对称式方程及参数方程表示直线
?x + y + z + 1 = 0 . ? ?2 x ? y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
? y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ? ? , ? y0 ? 3 z 0 ? 6 = 0
解得 y0 = 0,
z 0 = ?2
点坐标 (1,0,?2),
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因所求直线与两平面的法向量都垂直 取
s = n1 × n2 = {4,?1,?3},
x ?1 y ?0 z + 2 对称式方程 = = , 4 ?1 ?3 ? x = 1 + 4t ? . 参数方程 ? y = ? t ? z = ?2 ? 3t ?
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例 2 一直线过点 A( 2,?3,4) ，且和 y 轴垂直相 交，求其方程.
解
因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 B( 0,?3, 0), 取 s = BA = { 2, 0, 4},
x?2 y+3 z?4 = = . 所求直线方程 2 0 4
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三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x ? x1 y ? y1 z ? z1 = = , 直线 L1 : m1 n1 p1 x ? x2 y ? y2 z ? z 2 直线 L2 : = = , m2 n2 p2
cos( L^L ) = ,
1 2
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 | m1 + n1 + p1 ? m 2 + n2 + p2
2 2 2 2 2 2
两直线的夹角公式
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两直线的位置关系：
(1) L1 ⊥ L2 ?? m1 m 2 + n1 n2 + p1 p2 = 0, m1 n1 p1 = = , ( 2) L1 // L2 ?? m 2 n2 p2
例如， 直线 L1 : 直线 L2 :
s1 = {1,?4, 0}, s2 = {0,0,1}, ∴ s1 ⊥ s2 ,
即 L1 ⊥L2 .
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∵ s1 ? s2 = 0,
? x ? 4z = 3 例 3 一直线 L 过点(-3,2,5)，且和直线 ? 2 x ? y ? 5 z = 1 平行， ?
求其方程.
解
i ∵ s = n1 × n2 = 1
j 0
k ? 4 = ?{4,3,1}
2 ?1 ?5
∴ 所求直线方程
x+3 y?2 z?5 = = . 4 3 1
方法2:设 s = { m , n, p}
∵ s ⊥n1 , s ⊥n2 ? m ? 4p = 0 m n p ∴? ? = = 4 3 1 ? 2m ? n ? 5 p = 0
取 s = {4,3,1}
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例 4 一直线过点 M0(2,1,3)，且与直线 L: 垂直相交，求其方程.
x +1 y ?1 z = = 3 2 ?1
l
M1
解
设所求直线为l , 先求两直线的交点。
M0
L
过点M0做平面垂直于直线L： 3x+2y-z=5
? x = ?1 + 3t ? ∵ L的参数方程： y = 1 + 2t 代入平面方程 ? ? z = ?t ?
所以交点为 M1(2/7, 13/7, -3/7) 取 s = kM 0 M 1 = { 2,?1,4} 所求直线方程 x ? 2 = y ? 3 = z ? 3 .
2
?1
4
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四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角? 称为直线与平面的夹角． ? π 0≤? ≤ . 2
x ? x0 y ? y0 z ? z 0 L: = = , s = {m , n, p}, m n p n = { A, B , C }, Π : Ax + By + Cz + D = 0,
^n) = π ? ? (s,
2
^n) = π + ? (s,
2
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π sin ? = cos( ? ? ) = cos( π + ? ) . 2 2
sin ? =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ? m 2 + n 2 + p 2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ?? ( 2) L // Π ??
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
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x ?1 y z +1 = = 例 5 设直线 L : ，平面 2 2 ?1 Π : x ? y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角.
解
n = {1,?1, 2},
s = {2,?1, 2},
sin ? =
| Am + Bn + Cp | 2 2 2 2 2 2 A + B +C ? m +n + p
7 | 1 × 2 + ( ?1) × ( ?1) + 2 × 2 | = . = 3 6 6? 9
∴ ? = arcsin 7 3 6
为所求夹角．
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五、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
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思考题
x?4 y z?2 = = 中， m 、 在直线方程 2m n 6+ p n、 p 各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、
yoz 都平行.
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思考题解答
s = {2m , n, 6 + p},
且有 s ≠ 0.
∵ s ? k = 0, ?6 + p = 0 ?? ? 2m = 0
s ? i = 0,
∴ p = ? 6, m = 0,
∵ s ≠ 0, ∴ n ≠ 0,
故当 m = 0, n ≠ 0, p = ?6 时结论成立．
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空间直线与平面的方程及其位置关系
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 １0级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中,在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具,通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.１ 直线的对称式（点向式)方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v （非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1－1） 叫做直线l 的向量式参数方程,（其中ｔ为参数)。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ,那么 （１.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （１.１-2) （1.１－1)叫做直线l 的坐标式参数方程。
第六节 空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断两 直线的位置关系,并会建立直线方程. 课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的 条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程 教学难点: 空间直线方程的求解 教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容: 一、直线的标准方程 如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =--- ,且0M M s ,则有 000x x y y z z m n p ---== (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 {2,3,5}=-s 由式(1)可得直线方程为 123235x y z --+==- 【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M = 为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 123369 x y z -++== 即 123123x y z -++== 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 111212121 x x y y z z x x y y z z ---==--- 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点) , , ( z y x M和它的一个法线向量} , , {C B A = n，对平面上的任一点) , , (z y x M，有向量⊥ M M n，即 M M ?= n 代入坐标式，有： ) ( ) ( ) ( = - + - + -z z C y y B x x A此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221 {,,}. a b a b a b a b a b a b a b ?=--- ; (1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 0=+++D Cz By Ax 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n
例2：设平面过原点及点)2,3 ,6(-，且与平面8 2 4= + -z y x垂直，求此平面方程。 解：设平面为0 = + + +D Cz By Ax，由平面过原点知0 = D 由平面过点)2,3 ,6(-知0 2 3 6= + -C B A， {4,1,2} ⊥- n0 2 4= + - ∴C B A C B A 3 2 - = = ? 所求平面方程为0 3 2 2= - +z y x 三、空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为： ? ? ? = + + + = + + + 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程 平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。 已知直线上的一点) , , ( z y x M和它的一方向向量} , , {p n m = s，设直线上任一点为) , , (z y x M，那么 M 与s平行，由平行的坐标表示式有： p z z n y y m x x - = - = - 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。 . 的直线 为方向向量 ) 3 , 0,2 ( 且以 ) 3,2,1( 表示过点 3 - 3 2 2 1 例如- - = - = - s z y x
一、向量的向量积：b a ? 二、平面及其方程 一、平面的点法式方程 1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。 平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。 2．平面的点法式方程 已知平面上的一点),,(0000z y x M 和它的一个法线向量},,{C B A =n ，对平面上的任一点),,(z y x M ，有向量⊥M 0n ，即 00M M ?=n 代入坐标式，有： 此即平面的点法式方程。 【求平面方程的方法】 233231131221{, , }. a b a b a b a b a b a b a b ?=---;(1)在平面上找出一个点. (2)找出一个与平面垂直的非零向量(法向)
二、 平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示。 平面的一般方程为： 几个平面图形特点： 1）D ＝0：通过原点的平面。 2）A ＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。 同理：B ＝0或C ＝0：分别表示一个平行于y 轴或z 轴的平面。 3）A ＝B ＝0：方程为0=+D C Z ，法线向量},0,0{C ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。 同理：0=+D A X 和0=+D B Y 分别表示平行于yoz 面和xoz 面的平面。 4）反之：任何的三元一次方程，例如：011765=+-+z y x 都表示一个平面，该平面的法向量为}7,6,5{-=n 例2：设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程。 解：设平面为0=+++D Cz By Ax ，由平面过原点知 0=D 由平面过点)2,3,6(-知 0236=+-C B A ， {4,1,2}⊥-n 024=+-∴C B A C B A 3 2-==? 所求平面方程为0322=-+z y x
空间直线及其方程Newly compiled on November 23, 2020
第六节 空间直线及其方程 Straight Line in Space and Equation 教学目的: 理解空间直线的概念;熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程;会判断 两直线的位置关系,并会建立直线方程. 课 题: 直线的标准方程;直线的参数方程;直线的一般方程;两直线的夹角,平行与垂直的 条件. 教学重点: 空间直线的图形及其方程 教学难点: 空间直线方程的求解 教学方法: 精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容: 一、直线的标准方程 如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量. 设直线L 过空间一点0000(,,)M x y z ,且有方向向量{,,}m n p =s ,求此直线的方程. 在直线上任取一点(,,)M x y z ,则向量0000{,,}M M x x y y z z =---,且0M M s ,则有 (1) (1)即为直线L 的方程,称为直线L 的标准方程或对称方程,,,m n p 叫做直线的方向数. 【例1】 求过点0(1,2,3)M -,且垂直于平面23580x y z +-+=的直线方程. 解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量,即 由式(1)可得直线方程为 【例2】 设直线经过两点12(1,2,3),(4,4,6)M M --,求其方程. 解 取12{3,6,9}M M =为直线的方向向量,并选直线上一点1M ,由式(1)得直线方程为 即 注 1.直线的方向向量不是唯一的,但同一条直线的所有方向向量互相平行; 2.直线上点的坐标选取不是唯一的,因此直线方程也不是唯一的; 3.在直线的标准方程中,方向数,,m n p 可以有一个或两个为零,这时方程(1)应理解为当分母为零时,分子必为零. 由例2知,过点11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 的直线方程为 称此方程为直线的两点式方程. 二、直线的参数方程 令直线的标准方程000x x y y z z t m n p ---===,则有 000 x x mt y y nt z z pt =+??=+??=+? (t 为参数) (2) 方程(2)称为直线的参数方程. 显然直线上任一点都对应唯一确定的t 值.反之,每取定一个t 值,都得到一个确定的点.
空间直线及其方程 §8.4 空间直线及其方程 ü直线的一般方程 ü直线的参数方程和对称方程 ü两直线的夹角 ü直线与平面的夹角 一、空间直线的一般方程 定义空间直线可看成两平面的交线． Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y 注：表示同一直线的一般方程不唯一。 确定空间直线的条件 ?由两个平面确定一条直线； ?由空间的两点确定一条直线； ?由空间的一点和一个方向来确定一条直线。 二、空间直线的参数方程与对称式方程 r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量． 设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：y r?M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x?x0,y?y0,z?z0}则{x?x0,y?y0,z?z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+nt z=z+pt0 消去参数t，有直线的参数方程 x?xy?yz?z==直线的对称式方程mnp 直线的一组方向数
方向向量的余弦称为直线的方向余弦. 注： 1. 表示同一直线的对称方程不唯一； 2. 对称式方程可转化为一般方程; x=x0,x?x0y?y0z?z0 3.==理解为:y?y=z?z.0np p n 4. 任一条直线均可表示为对称式方程. 设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2) r则s={x2?x1,y2?y1,z2?z1} x?x1y?y1z?z1直线的对称方程为：==x2?x1y2?y1z2?z1例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0.2x?y+3z+4=0 解在直线上任取一点(x0,y0,z0) y0+z0+2=0取x0=1?,y0?3z0?6=0 解得y0=0,z0=?2 点坐标(1,0,?2), 因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,?1,?3}, x?1y?0z+2对称式方程==,4?1?3 x=1+4t.参数方程y=?t z=?2?3t 例2 一直线过点A(2,?3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程. 解因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为B(0,?3,0), r取s=={2,0,4}, x?2y+3z?4==.所求直线方程204 三、两直线的夹角
§3.4 空间直线的方程 一、直线的点向式方程 1. 如图3-6, 在空间给定了一点M0与一个非零矢量，那么通过点M0且与矢量平行 的直线l就唯一地被确定，矢量叫做直线l的方向矢量. 显然，任何一个与直线l平行的非零矢量都可以作为直线l的方向矢量. 2. 取空间取标架{O;,,}, 设M0的径矢为＝，直线l上任意点M的径矢 为＝，则＝＝+＝＋t叫做直线l的矢量式参数方程，其 中t为参数，它的几何意义是在{M0; }下，的坐标或分量. 3. 设M0(x0, y0, z0), M(x, y, z), ＝{X, Y, Z}, 则 叫做直线l的坐标式参数方程, 其中t为参数. 从上式中消去参数t，则得 ＝＝. 叫做直线l的对称式方程或称直线l的标准方程，其中X, Y, Z不全为0，若某一为0，例如Z＝0, 此时可理解为z －z0＝0. 4. 通过空间两点M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2)的直 线l的方程为 ＝＋t(－). 或 即＝＝. 叫做直线l的两点式方程. 5. 在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量 ＝{cosα, cosβ, cosγ}, 这时直线l的方程为＝+t, 或＝＝.
这叫做直线l的法式方程, 其中t的绝对值恰好是直线l上两点M0与M间的距离，这是因 为| t | = |－| = ||. 6. 直线的方向矢量的方向角γ与方向余弦cosα, cosβ, cosγ分别叫做直线的方 向角与方向余弦；直线的方向矢量的分量X, Y, Z或与它成比例的一组数l, m, n(l: m: n=X: Y: Z)叫做直线的方向数，由于与直线共线的任何非零矢量，都可以作为直线的方向矢量，因此 π－α，π－β，π－γ及cos(π－α)=－cosα, cos(π－β)=－cosβ, cos(π－γ)=－cosγ, 也可以看作是直线的方向角与方向余弦. 显然直线的方向余弦与方向数之间有下面的关系： cosα＝，cosβ＝， cosγ＝. 由于我们讨论的直线不是有向直线，而且两非零矢量{X, Y, Z}与{X′, Y′, Z′}共线的充要条件是X: Y: Z= X′: Y′: Z′，所以我们将用X: Y: Z 来表示与非零矢量{X, Y, Z}共线的直线的方向(数). 例1. 求z轴的参数方程和对称式方程. 解：因为z轴过原点(0, 0, 0)，坐标矢量＝{0, 0, 1}显然是z轴的一个方向矢量，从而z轴的参数方程为 对称式方程为 ＝＝. 例2．求过点P(1, 2,－1)与z轴相交且与平面π：6x+2y+z－1=0平行的直线方程. 解：所求直线与z轴的交点为（0，0，c）,则直线方程为 ＝＝， 因为所求直线与平面π平行， 所以两矢量{1, 2, －1－c}与{6, 2, 1}垂直， 从而 6+4+(－1－c)=0, 即c = 9. 故所求直线为 ＝＝. 例3．一直线与三坐标轴间的夹角分别为α, β, γ，证明 sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2. 证明：因为 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 ， 所以 sin2α＋sin2β＋sin2γ ＝(1－cos2α)＋(1－cos2β)＋(1－cos2γ)
空间直线与平面的方程以及位置关系 高天仪 20101105295 数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班 指导教师 李树霞 摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。 关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数 1 空间直线的方程 1.1 直线的对称式（点向式）方程 空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量. 任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量. 直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一 点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线, 则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1） 叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。 如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么 （1.1-1）式得 ?? ? ??+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2） （1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。 消参数t 即得 Z z z Y y y X x x 0 00-=-=- (1.1-3)
则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。 例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直线方程。 解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为 直线l 上的任意点（如右图），那么 },,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为： );(121r r t r r -+= （1.1-4） 坐标式参数方程为 ?? ? ??-+=-==-+=) ()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5） 对称式方程为 1 21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。 1.1.1直线的方向数 ①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为 00v t r r +=(参数方程) 或 ?? ? ??+=+=+=γ βαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.1-7） 标准方程 γ βαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （1.1-8） 由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. ②直线的几个问题 Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向. Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z 或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系