核心素养视角下对数学测评的研究1
——以2017年浙江省中考试题为例
1朱先东 2吴增生
1.浙江省杭州市育海外国语学校，浙江杭州 311122
2.浙江省仙居县教育局教研室浙江台州 317300
摘要：研究核心素养引领下的数学测试评价，对导向基于核心素养的数学教学，具有重要的作用。本文以2017年浙江省各地10份中考试卷为样本，基于喻平的数学核心素养评价框架，研究了这10份试卷对核心素养考核的情况，发现：（1）这10份试卷均比较重视数学核心素养的考核；（2）不同的试卷对数学核心素养不同水平的考核有较大分歧，说明命题者命题时没有系统规划对数学核心素养考核的方案，只是凭经验自发地在考核知识、技能、思想方法等内容中考核数学核心素养。在上述研究的基础上提出基于数学核心素养的命题改进建议。关键词：核心素养命题研究
1.引言。数学核心素养指的是学生具备适应终身发展和社会发展需要的数学方面的必备品格和关键能力，它蕴含在知识的发生、发展和应用过程中，又超越具体的知识和技能。正在修订的高中数学课程标准明确界定了6个方面的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，并指出了要围绕学生的数学核心素养制订教学内容、评价标准，修订教材。目前，数学核心素养的研究已经成为数学教育研究的热点。从知网上搜索，关于数学核心素养的中文文献241篇，2004年、2008年、2009年、2011年各1篇，2013年4篇，2015年15篇，2016年105篇，2017年113篇，近两年呈“爆发”态势。在这些文献中，绝大多数是关于数学核心素养的内涵、结构及发展数学核心素养的教学研究，其中关于数学核心素养评价的研究不多，大概十几篇，其中最具典型性是喻平，董林伟等在《数学教育学报》2017年第1期和第2期发表的8篇文献[1]—[8]。中考是初中学生学业水平的终结性评价，是区域大型测试评价，需要把学生核心素养发展水平作为重要的评价内容纳入到测评中，因此，需要研究现有中考试题中对核心素养的评价状况，在此基础上提出今后以核心素养为导向的中考命题改革方向。
2.研究设计
2.1分析框架的设计
数学核心素养的评价属于数学学习评价的范畴，成熟的学习评价模型有以下几个：（1）布鲁姆的学习评价模型，把学生的发展分为认知、情感和动作技能三个领域，在各个领域划分出不同的水平[9]。（2）PISA测试，PISA对素养的定义是：学生运用所学知识和技能，进行分析、推理、交流以及在各种情境中解决（解释）问题的能力.PISA数学素养评价一般分为两个维度：第一维度为知识内容，包括空间与形状、变化与关系、数量、不确定性；第二维度为情境，分为个人情境、教育或职业情境、公共和科学的情境；要求学生把现实问题转化为数学问题，解决数学问题，并解释原来问题。根据学生的表现，把学生素养发展划分成6个水平。（3）SOLO分类理论，根据学生对某一具体问题的反应，对学生解决问题时所达到的由低到高的5个结构层次划分为5级水平。（4）正在修订的高中课程标准对核心素养划分出“毕业水平”和“高考”水平。喻平在文[1]中，分析了上述评价模型，提出了把数学核心素养水平划分为“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三个水平的方法，明确了三个
作者简介：1.朱先东（1966-），男，浙江临海人，特级教师，主要从事数学教学与命题评价研究
2.吴增生，男, 汉族，浙江仙居人，1962-.浙江省特级教师、正教授级教师，浙江省基础教育课程改革初中数学指导专家组成员，浙江省义务教育教材审定委员，人民教育出版社初中教材社外作者、培训专家,
教育部国培专家库成员，浙江师范大学教育硕士导师，主要研究方向：中学数学教育研究.
水平划分的标准，具有可操作性，也具有比较充分的依据。本研究采用喻平提出的数学核心素养评价框架，对2017年浙江省10份中考试题进行数据分析，在分析研究的基础上提出今后以核心素养为导向的中考命题改革的方向。
2.2分析指标的确定
2.2.1分析指标体系的确定。根据喻平的核心素养评价框架，把6个核心素养都划分为三个水平，如表1：
在《义务教育数学课程标准（2011版）中，用10个核心关键词描述核心素养，分别是（1）数感，（2）符号意识，（3）空间观念，（4）几何直观，（5）推理能力，（6）模型思想，（7）运算能力，（8）数据分析观念，（9）应用意识，（10）创新意识。其中（1）（2）对应着数学抽象；（3）（4）对应着直观想象；（5）对应着逻辑推理；（6）对应着数学建模；（7）着数学运算；（8）对应着数据分析[10]。因此，为了简化研究，本研究以2017年浙江省10份中考试卷为样本，着重分析试卷中对6个核心素养不同水平的测评情况。由于初中学生的认知发展阶段与高中阶段有所区别，数学思考的深刻性也有差异，因此，本研究中6个核心素养的三种水平划分在喻平等人提出的标准的基础上有所调整。
6个核心素养及其水平标定如下：
A1：能再认和回忆数学概念、事实、定理、法则等。
A2：能在新的情境下辨别数学概念、事实、定理、法则等；能辨别知识之间的联系和区别，知道知识的由来。
A3：能理解和抽象新的概念，探索和发现新的规律，类比已有经验在新的情境中发现和提出问题，形成解决问题的思路概要，根据问题需要进行分类讨论。
R1：能应用已有知识进行三步以内的推理，并能说明推理的依据，会通过简单类比和归纳发现已经学习过的结论。
R2：能应用已有知识进行三步以上的推理证明，会分析证明思路，能用类比和归纳发现比较隐含的规律并用例子进行验证。
R3：能用合情推理发现结论提出猜想，用演绎推理证明结论，能分析问题特点，构造适当的模型（如作辅助线）证明结论。
C1：能根据法则、公式进行三步以内的数和代数式的运算、会解简单的方程（组）、不等式（组）。
C2 ：能选择合理的方法进行运算并能说明算理，会对运算结果进行评价。
C3：在复杂的新情境中，结合问题探究需要选择适当的方法进行运算，用运算结果解释问题，理解新运算定义并根据新定义进行运算。
M1：能用数和符号表示数量关系，用代数式、方程、不等式、函数中的一种模型表示熟悉情境下简单的数量关系。
M2：能用符号表示数量关系，在新的情境下用代数式、方程、不等式、函数模型中的一种表示数量关系，分析模型中的数量关系得到结论，解释原问题。
M3：能综合运用数、代数式、方程、不等式、函数模型表示新情境中的数量关系，研
究问题，探究规律。
I 1：会根据要求画（作）出简单的几何图形，理解几何图形的基本结构，想象图形的变化。
I 2：在新的情境下，会画出图形表示问题结构和数量关系，会把已知条件标注在图形上并作简单推理得到结论，能解析函数图象中的数量关系及其变化。能用数学术语、图形和符号表示图形的特征及图形的变化，说出图形变化前后的关系。
I 3：能根据问题需要画出图形，分析图形结构和变化，发现和提出问题，分析和解决问题，会熟练运用数形结合思想探究问题。
D 1：知道统计的过程，了解全面调查和抽样调查的含义，会阅读统计图表获得数据信息，会计算和辨别统计量，理解统计量的特点和意义。知道概率的意义。
D 2：能根据问题背景的需要确定适当的数据收集方法，选择适当的统计图描述数据，选择适当的统计量分析数据，会用列举法（表格和树形图）求古典概型的概率，会用频率估计概率并能运用统计和概率知识解决简单的实际问题。
D 3：理解数据的随机性，知道每次抽样分析得到的数据可能不一样，但只要数据足够多，就能反映出数据中蕴含的规律，理解用频率估计概率的含义。
2.2.3分析指标值的标定。在确定分析指标体系后，需要对具体试题标定不同素养类型及不同水平指标的值。
例1如图1，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知12cos 13
α=，则小车上升的高度是（▲） A ．5米 B ．6米 C ．6.5米 D ．12米
本题考核学生锐角三角函数的概念，属于熟悉情境下的概念辨别，分值为3分，因此标定为考核数学抽象水平1，分值标定为A 1—3.
例2如图2，AB 是⊙O 的直径，CD 、EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB =10，CD =6，EF =8.则图中阴影部分的面积是（▲） A.252
π B.10π C.24+4π D. 24+5π 要解决这个问题，因为分别计算两个阴影部分面积没有
现成的公式，难以做到，自然想到等积变换，考虑到AB,CD,EF 三
条线段长构成一组勾股数，自然想到构造直角三角形，过F 作圆的
直径FG ，连接GE,OE,OC,OD 。通过平行线背景下的等积变换，全等
三角形知识，圆心角、弧弦之间的关系知识，最终把两个阴影图形的面积的和转化成半圆面积。这个试题中，既考核直观想象，又考核逻辑推理。本题3分，考虑到直观想象在解题中的重要作用，此题的解决需要创造性地构造几何结构解决问题，因此，此题分数划分为I3——2，R3——1。
例3在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB +BC =10m .拴住小狗的10m 长的绳图2 G
图
1
（图4-2）
(图4-1
) 子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S （m 2）.
(1)如图3-1，若BC ＝4m ，则S ＝▲m 2.
(2)如图3-2，在矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一正△CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其它条件不变.则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为▲m.
在这个问题中题1主要是直观想象，水平是迁移水平，即水平2；问题2则是考核直观想象和数学建模(建立函数模型)，水平为创新水平，即水平3。
因此本题标定分值为I 3——2，M 3——2。
例4问题背景
如图4-1，在正方形ABCD 的内部，作∠DAE =∠ABF =∠BCG =∠CDH ，根据三角形全等的条件，易得△DAE ≌△ABF ≌△BCG ≌△CDH ，从而得到四边形EFGH 是正方形. 类比探究
如图4-2，在正△ABC 的内部，作∠BAD =∠CBE =∠ACF ，AD ，BE ，CF 两两相交于D ，E ，F 三点（D ，E ，F 三点不重合）.
（1）△ABD ，△BCE ，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明.
（2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由.
（3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系.设BD =a ，AD =b ，AB =c ，请探索a ，b ，c 满足的等量关系.
此题各小题的分值为第（1）题3分、第（2）题3分、第（3）题4分。
第（1）（2）题类比正方形的研究猜想结论并用演绎推理证明，其中直观想象对问题解决也有作用，标定为A 3——1，I 2——1 ，R 3——4；
第（3）题则需要构造直角三角形，用勾股定理得到结论222
+c a ab b =+，因此标定为： I 3——2，R 3——2。
例5在全市人民的努力下,我市剿灭劣Ⅴ类水“河道清淤”工程取得了阶段性成果.右表
图3-1
D C B A
图3-2
A
（备用图）
是全市十个县(市、区)指标任务数的统计表；图5是截止2017 年3 月31 日和截止5 月4 日,全市十个县(市、区)指标任务累计完成数的统计图.
（1）截止3 月31 日,完成进度(完成进度=累计完成数÷任务数×100%)最快、最慢的县(市、区)分别是哪一个?
（2）求截止5 月4 日全市的完成进度；
（3）请结合图表信息和数据分析,对I县完成指标任务的行动过程和成果进行评价.
本试题中的（1）是从图表中获取数据信息，标定为D1——2；
第（2）题是用平均数分析全市完成进度，标定位D2——3；
第（3）题需要自己确定新的统计量“两阶段的进度差”分析数据，是创新运算，标定为D3——3.
试题的素养及水平标定方法：把上述标定方案及案例发给三位特级教师（分别有丰富的命题经验，担任多次命题组长；担任过多次试题评价经验的专家），通过交流研讨，取得一致标定结果，在此基础上计算各份试卷中各个核心素养不同水平的分数并转换成占整份试卷总分的权重（百分数，保留两位小数）如表1.
3.研究结果
3.1通过对浙江省2017年10份中考试卷的每个试题的每个小题的素养标定，得到不同素养不同水平权重如表2.
表2不同素养不同水平的权重汇总表
由表中数据可见，总体上，数学抽象的权重为15.72%，逻辑推理的权重为20%，数学