2.7勾股定理的应用(1)
赣榆县沙河中学陈安全
学习目标1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．
2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．
学习难点勾股定理的实际运用；转化思想的过程渗透。
教学过程
1．情境创设
提出问题：如果知道桥面以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？得到引入与复习.
2．例题教学
例1 南京玄武湖东西隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直
角三角形,从C处到B处,如果直接走湖底隧道CB,比绕道CA (约
1.36km)和AB (约
2.95km)减少多少行程?(精确到0.1km)
课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题．通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智．
3.探索活动
一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端
下滑1m ，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流．
在上面的情境中， 问题一(如果梯子的顶端下滑 1m ，那么梯子的底端滑动多少米?) 组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导．从上面问题一所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流．
设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题．教学中学生可能会有多种思考．比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m ，而底端只滑动4m ，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m ，即顶端下滑2m 时，底端到墙的垂直距离是8m ，即底端电滑动2m 等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法．
练习:
1.如图,太阳能热水器的支架AB 长为90cm,与AB 垂直的BC 长120cm.太阳能真空管AC 有多长
?
2. 如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m
B.8m
C.9m
D.10m
3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管
放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？
4. 小结
我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边
一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上.
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,则梯子的顶端A 与它的底端B 哪个距墙角C 远? ⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1m?
⑶有人说,在滑动过程中,梯子的底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大,你赞同吗?
就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．
【课后作业】班级姓名学号
知识与基础
1.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（）.
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
2.等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（）.
A.56
B.48
C.40
D.30
3.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为（）.
A.10m
B.11m
C.12m
D.13m
4.一海轮以24n mile／h的速度从港口A出发向东南方向航行，另一海轮以18n mile／h的速度同时从港口A出发向西南方向航行，离开港口2h后，两海轮之间的距离为（）.
A. 84n mile
B. 60n mile
C. 48n mile
D.36 n mile
5.如图，已知S1、 S2和 S3分别是 RtΔABC的斜边AB及直角边BC和AC为直径的半圆的面积，则S1、 S2和 S3满足关系式为（）.
A. S1< S2 +S3
B. S1= S2+ S3
C. S1> S2+ S3
D. S1= S2 S3
6.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.
A.22㎝
B.33㎝
C.44㎝
D.55㎝
7.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）.
A.17m
B.18m
C.25m
D.26m
8.等腰三角形ABC 的面积为12㎝2
，底上的高AD ＝3㎝，则它的周长为 。
9.轮船在大海中航行，它从A 点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A 点的距离为 ㎞。
10.如图，为测湖两岸A 、B 间的距离，小兰在C 点设桩，使△ABC 为直角三角形，并测得BC ＝12m ，AC ＝15m ，则A 、B 两点间的距离是 m 。
11.如果梯子的底端离建筑物7m ，则25m 的消防梯可到达建筑物的高度是 m 。
12. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km ，乙往南走了6km ，这时甲、乙两人相距
__________km ．
13．如图，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，
要爬行的最短路程（ 取3）是（ ）．
（A ）20cm （B ）10cm （C ）14cm （D ）无法确定
14.如图，铁路上A 、B 两点相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15㎞，CB ＝10㎞，现在要在铁路AB 上修建一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应修建在离A 站多少千米处？
思考题：
如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC, △ADC的面积为30，DC=12,AB=3, BC=4,求△ABC的面积
A B
C D