2017年05月21日数学（因式分解难题）2
一．填空题（共10小题）
22的值为xy，则x．y+1．已知x+y=10，xy=16
2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．
2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是3．若多项式x．
2﹣4x﹣3=4x．4．分解因式：
22=196+985．利用因式分解计算：202．+202×
222=ab+bc+ca，则△+cABC的形状是6．△ABC三边a，b，c满足a+b．22222222=101 +…﹣+3100﹣4+5．﹣6+7．计算：12﹣
8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．232345678=a+a．+a++a+aa+aa19．如果+a+++a=0，代数式a
22﹣1，则b的值是﹣b可化为（x+a）．．若多项式10x6x﹣
二．解答题（共20小题）
22的值一定能被20整除．n﹣3）为整数，试说明（11．已知nn+7）﹣（
2y﹣4xy+12．因式分解：4xy．
13．因式分解
第1页（共31页）
32ab﹣（1）a
2+4xy．x﹣y）（2）（
14．先阅读下面的内容，再解决问题，
22﹣6n+9=0，求m+2mn+2n和n的值．例题：若m
22﹣6n++2n解：∵m9=0+2mn
222﹣6nn++2mn+n9=0+∴m
22=0）n﹣+n）3+（∴（m
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
22y的值．x4=0，求2xy+）若（1x4y+2y+﹣
22﹣6a﹣6b+18c都是正整数，且满足a+|+b3b（2）已知△ABC的三边长a，，﹣
c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和222222，因此4，124，012=4，20﹣2这三个数都是和，20=6﹣”谐数．如4=2﹣谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．
16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
第2页（共31页）
张，请你将它们张，长方形②3）如果现有小正方形①1张，大正方形③2（1将，并运用面积之间的关系，（在图2虚线框中画出图形）拼成一个大长方形22分解因式．+3ab+多项式a2b
，34已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为（2）求长方形②的面积．
张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，8（3）现有三种纸片各，求把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接）可以拼成多少种边长不同的正方形．
用若干块这样的硬纸片有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，17．（1）．拼成一个新的长方形，如图2
中长方形的面积；①用两种不同的方法，计算图2
．②由此，你可以得出的一个等式为：
所示．32）有若干块长方形和正方形硬纸片如图（
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
22因式分解的结果，画出你的拼图．2b+5ab+②请你用拼图等方法推出2a
nn3223b，…s=a+b=ab=a，+=a，设﹣，+．已知18ab=1ab=1sbs+，s+，n213313第页（共页）
；1）计算s（2的过程：）请阅读下面计算s（23
，﹣1a+b=1，ab=因为
23231=1）=s+（a+b）=1=a×+b=（a+b）（as+b﹣（﹣）﹣ab所以s232的计算结果，再用你学到的方法计算）中s你读懂了吗？请你先填空完成（23．s4三者之间的关系式；，s）试写出s，s（3nn2n1﹣﹣．）得出的结论，计算s（4）根据（3 620.049.8++0.419．（1）利用因式分解简算：9.8×
2）a﹣﹣（14a（a﹣1）（2）分解因式：
22的值．n，求m2n、﹣8n+20．阅读材料：若m16=0﹣2mn+
22222=0）+（n16，∴（m﹣﹣2mn+n8n）m解：∵+﹣2mn+2n8n﹣+16=0 2222．，m=4=0，∴4=0，（n﹣）m∴（﹣n）﹣+（n4）n=0，∴（m﹣）n=4
根据你的观察，探究下面的问题：
22的值．y，求x2y﹣+2y+1=0（1）已知x+2xy+
22，+25=0﹣6a﹣、a、bc都是正整数，且满足a8b+b的三边长（2）已知△ABC
的值．的最大边c求△ABC
2． +a﹣bc=，则aba（3）已知﹣b=4，+c﹣6c+13=0
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及例题：已知二次三项式xm的值．
第4页（共31页）
222+（n++m=x3）x+n），则x﹣4x解：设另一个因式为（x+n），得x4x﹣+m=（x+3）（x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a）（1）若二次三项式x，则a=；
2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+（2）若二次三项式2x5），则b=；
2+5x﹣k有一个因式是（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．
22．分解因式：
2﹣x2x；（1）
2﹣116x；（2）
223；yy﹣9x﹣（3）6xy
2．y）9（x﹣+12（x﹣y）+（4）4
2222），试确定+=3（ac+ba23．已知，b，c是三角形的三边，且满足（a++c）b三角形的形状．
24．分解因式
42242yy﹣4x+）（12x
322．+4a2abb（2）2a﹣
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为；
22、mn）之间的等量关）nm、（﹣n+）观察图②请你写出三个代数式（（2m系是．
第5页（共31页）
2．yy=7，xy=10，则（x﹣）=（3）若x+
）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．（4
．如图③，它表示了
22．3n4mn（n）m+3n）=m++（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+
2的值．cb+ab+c16=0+，求2a+．已知26a、b、c满足a﹣b=8，
且满足，、c分别为正整数a、b高27．已知：一个长方体的长、宽、，
+abc=2006c++ab+bc+aca+b
求：这个长方体的体积．
222．）﹣2（x15x28．（﹣﹣4x）4x﹣
．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：29
2）+x（x+11+x+x（x+1）
]1）x（xx=（1+x）[1+++
2）+）x（1x=（1+
3）x=（1+
次．，共应用了（1）上述分解因式的方法是
20042若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）（x+1）则需应用上述方法x+…+2，（）次，结果是．
2n（n）为正整数）．（…+xx+1++xx3（）分解因式：1++x（+1）x（x1）+
323xx=2代入此多项式，发现多项式x+10．对于多项式30x5x﹣，如果我们把
+2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）5x﹣（注：把x=a代入多项第6页（共31页）
式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式322+mx+n（2）x），x写成：x﹣5xx++10=（﹣
（1）求式子中m、n的值；
32﹣2x﹣）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式（2x13x﹣10的因式．
第7页（共31页）
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
22的值为160xy，xy=16，则x．y+．1（2016秋?望谟县期末）已知x+y=10
【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵x+y=10，xy=16，
22=xy（x+yxy）=10×16=160∴x．y+
故答案为：160．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x2）．﹣3【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．
2﹣20x+189）=2x；﹣2【解答】解：∵（x﹣1）（x
2﹣12x+=2x16；）﹣2（x﹣4）（2x
2﹣12x+18．∴原多项式为2x
222．3）﹣）6x+9=2（xx18=212x2x﹣+（﹣
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次第8页（共31页）
项正确．
2+mx+4?昌邑市期末）若多项式x能用完全平方公式分解因式，则20153．（春m 的值是±4．
2222﹣）4ab（a+、（a﹣b）b【分析】利用完全平方公式（a+b））=（a﹣b=+4ab计
算即可．
22，2）4=（x【解答】解：∵x±+mx+
22±4x+4=x4即x，+mx+
∴m=±4．
故答案为：±4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．
2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（（2015秋?利川市期末）分解因式：4x2x+1）．4．
2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项【分析】ax系数a分解成两个因数a，a的积a?a，把常数项c分解成两个因数c，c2211122+bx+那么可以直接写成结果：axc=cac+a正好是一次项b，并使的积c?c，112221（ax+c）（ax+c），进而得出答案．21122﹣4x﹣3=（2x﹣3）4x【解答】解：（2x+1）．
故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．
22=90000+98．利用因式分解计算：20155．（春?东阳市期末）202202+×196【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．
2298+解：原式=202+2x202x98【解答】
第9页（共31页）
2）98202+=（
2=300
=90000．
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．
222=ab+bc++cb，c满足aca+b，，6．（2015秋?浮梁县校级期末）△ABC三边a则△ABC的形状是等边三角形．
2+（aa，再化简得（﹣b）【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以222=0，得出：a=b=c﹣c）﹣c），即选出答案．+（b
222=ab+bc+ac等号两边均乘以+bc+2得：【解答】解：等式a
222=2ab+2bc+2a2ac+2b，+2c
222222=0，2bcc++bab﹣2ab+c+a﹣﹣2ac+即
222=0，c）+（b﹣即（a﹣b））+（a﹣c
解得：a=b=c，
所以，△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．
22222222=101100﹣6++（2015秋?鄂托克旗校级期末）计算：1﹣2…+3﹣﹣
4+5．75151．
222222），进一﹣+（101﹣2）+（5100﹣4）1【分析】通过观察，原式变为+（3步运用高斯求和公式即可解决．
22222222101100+﹣6…+【解答】解：1﹣23+﹣﹣4+5
222222）100+（101﹣4（2（=1+3﹣）+5﹣）
第10页（共31页）
=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）
=（1+101）×101÷2
=5151．
故答案为：5151．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．
8．（2015秋?乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．
【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；
②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；222ab﹣=b=a﹣ab+﹣﹣1b★b）=（﹣a）a+（1b）+aa③若+b=0，则（★a）（22=2ab，本选项正确；=﹣﹣b2a
④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，
其中正确的有③④．
故答案为③④．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
232345678=a+aaaaa，aa1张掖校级期末）春（9．2015?如果+++a=0代数式++a++a++第11页（共31页）
0．
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
23=0，++a+aa【解答】解：∵1
2345678，aaa++a++aa∴a+a++
23523）a+a，）+a+（1a=a（1+a+++aa
=0+0，
=0．
故答案是：0．
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
22﹣1，则）b的﹣b可化为（x+a10．（2015春?昆山市期末）若多项式x﹣6x值是﹣8．
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．
222﹣1a），﹣b=（x﹣﹣6xb=（x﹣3）+﹣【解答】解：∵x9
∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，
解得：a=﹣3，b=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）
22的值一定能被20整除．﹣3）为整数，试说明（n+7）﹣（n11．已知n
22，看因式中有没有203）7+）即可．﹣（n﹣【分析】用平方差公式展开（n 22=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3n【解答】解：（+7）﹣（n﹣）3）=20（n+2），
22的值一定能被20整除．）﹣（n﹣3+∴（n7）
22=（a+b）（a﹣ba【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：﹣b）．第12页（共31页）
2y﹣4xy4x+y．12．（2016秋?农安县校级期末）因式分解：
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
2y﹣4xy4x+y【解答】解：
2﹣4x+4x1）=y（
2．）2x（﹣1=y
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（2015秋?成都校级期末）因式分解
32ab）a﹣（1
2+4xy）．）（x﹣y（2
【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
22）=a（a+b）﹣b（a﹣b）；【解答】解：（1）原式=a（a
22222．）x+2xy++yy（2）原式=x2xy﹣+y=+4xy=x（
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2015春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
22﹣6n+9=0，求m和例题：若m2mn++2nn的值．
22﹣6n2n+9=0解：∵m+2mn+
222﹣6n++n9=0m∴++2mnn
22=0）﹣+（n3nm∴（+）
第13页（共31页）
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
22y的值．x4=0，求2xy+（1）若x4y+2y+﹣
22﹣6a﹣6b+18，bc都是正整数，且满足a+|+b3（2）已知△ABC的三边长a，﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
2222=0），y+x﹣y）2+（1）首先把x（+2y﹣2xy+4y+4=0，配方得到（【分析】再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；
2222+|33）﹣+（b﹣，配方得到（18+|3﹣c|=0a﹣3）（2）先把a+b+﹣6a﹣6bc|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．
22﹣2xy+4y+2y+4=0【解答】解：（1）∵x
222+4y++2xyy∴x4=0+y，﹣
22=02）+（y∴（x﹣y）+
∴x=y=﹣2
∴；
22﹣6a﹣6b+18+|3﹣c（2）∵a|+b=0，
22﹣6b+9+|3﹣c﹣6a+9+b|=0a∴，
22+|3﹣c）b﹣3|=03∴（a﹣）（+
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形．
【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．
15．（2015秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，第14页（共31页）
222222，因此4﹣24”．如4=2，﹣020=6，12=4，﹣那么称这个正整数为“和谐数12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．
2222说明36是“和谐数”﹣8，；2016=5052016﹣）利用【分析】（136=10503不是“和谐数”；
2﹣（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；
22=4，最大的为：﹣0之间的所有“和谐数”中，最小的为：2（3）介于1到20022=196，将它们全部列出不难求出他们的和．﹣4850
【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：
2222；5038﹣；2016=50536=10﹣
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
22=（2k+2+2k）（2k+2﹣∵（2k+2）﹣（2k）2k）
=（4k+2）×2
=4（2k+1），
∵4（2k+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
222222222=2500．﹣48）=50（…4（2（0（S=2﹣）+4﹣）+6﹣）++50
第15页（共31页）
故答案是：2500．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．
16．（2015春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将22
分解因式．2b+3ab多项式a+
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．
【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；
（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正22=169，将a+b=17两边同时平方，可求得aba方形③的面积之和为的值，从+b而可求得长方形②的面积；
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式第16页（共31页）
22222．因为现有三种纸片各8+m=n张，ab+2nmab可知：（na+mb）
22≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知nn≤≤8，m2，m≤2，从而可得出答案．
【解答】解：（1）如图：
拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形
22=（a+2b）（a+∴ab+3ab+2b）；
（2）∵长方形②的周长为34，
∴a+b=17．
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，
22=169．+∴ab
2222=289b，+b）2ab=17，整理得：a+两边同时平方得：将a+b=17（a+
∴2ab=289﹣169，
∴ab=60．
∴长方形②的面积为60．
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）
22222．b+2nmab（na+mb）+=nam=∴正方形的面积
∵现有三种纸片各8张，
22≤8，2mn≤8（n、m∴n8≤，m为正整数）
∴n≤2，m≤2．
∴共有以下四种情况；
①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；
第17页（共31页）
；2b，正方形的边长为a+②n=1，m=2
；b，正方形的边长为2a+③n=2，m=1
．2b，正方形的边长为2a+④n=2，m=2
解题的关键是要注意结合图形解决问题，【点评】此题考查因式分解的运用，灵活运用完全平方公式．
1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图（1（2014秋?莱城区校级期中）17．．2所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图
中长方形的面积；2①用两种不同的方法，计算图
22．a+1）+1=a②由此，你可以得出的一个等式为：（+2a
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
22因式分解的结果，画出你的拼图．2b+5ab+②请你用拼图等方法推出2a
【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．
22；1+）；长方形的面积=（a【解答】解：（1）①长方形的面积=a2a++1
22；1）（a+②a+2a+1=
222；+）2ab=ab++（2）①如图，可推导出（ab
22=（2a+b）（a+2b+2a②+5ab2b）．
第18页（共31页）
运用本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；【点评】图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
22，+b=a+b，s=a+（2013秋?海淀区校级期末）已知ab=1，ab=﹣1，设s18．21n33n b+，…，ss=a=a+b n3；1）计算s（2的过程：2）请阅读下面计算s（3
，﹣1a+b=1，ab=因为
23234+1=﹣（﹣）=1×s1）ab=（a+b）（=s+ba）﹣ab（+=a所以sb+232的计算结果，再用你学到的方法计算）中s你读懂了吗？请你先填空完成（23．s4三者之间的关系式；s，s，（3）试写出s n2n1n﹣﹣．s3）得出的结论，计算（4）根据（6的值，即可，ab）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b【分析】（1）（2推出结论；
；=SS+S3（）根据（1）所推出的结论，即可推出nnn21﹣﹣66．S+S+b=S=S+=2Sa34（）根据（）的结论，即可推出364453119第页（共页）
222﹣2ab=3）；=（a解：（1）S=a++bb【解答】2
22322333+ab（a+bb+b）a=a+b，）（a+b）=a+ab++ab（2）∵（
33﹣11=a，+b∴3×
33=4，即S+b=4∴a；32222=7），2+b（）ab﹣∵S=（a4∴S=7；4
（3）∵S=3，S=4，S=7，423∴S+S=S，423∴S+S=S；nn2n1﹣﹣
（3）∵S+S=S，S=3，S=4，S=7，41n3nn22﹣﹣∴S=4+7=11，5∴S=7+11=18．6【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S=3，S=4，S=7，分析归纳出规律：S+S=S．nn32n241﹣﹣
2+0.4×9.8）利用因式分解简算：9.8+0.04重庆校级期末）19．（2013春?（1
2﹣（1﹣）a）4a（2）分解因式：（a﹣1
【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；
（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．
220.2+0.2××9.8（【解答】解：1）原式=9.8+2
2）+0.2（=9.8
=100；
第20页（共31页）
2﹣（1﹣a）（a﹣1）（2）4a
2﹣4a+11）（4a）a=（﹣
2．）﹣1﹣1）（2a=（a
【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．
22﹣8n+16=0，求m惠山区校级期末）阅读材料：若m、﹣2mn+2n20．（2013春?n 的值．
22222﹣8n+n16）﹣2mn+n=0）解：∵m﹣2mn+2n+﹣8n+16=0，∴（m（
2222=0，∴n=4，m=4．，（n﹣4+（n﹣4））=0，∴（m﹣n）n∴（m﹣）=0
根据你的观察，探究下面的问题：
22+2y+1=0，求+2yx﹣y（1）已知x的值．+2xy
22﹣6a﹣8b+b+25=0都是正整数，且满足2）已知△ABC的三边长a、b、ca，（求△ABC的最大边c的值．
2﹣6c+13=0，则a﹣b+c+c=7．b=4（3）已知a﹣，ab
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
22+2y+1=0+2xy+2y1【解答】解：（）∵x
222+2y+y1）=0（y2xy∴（x++）+
第21页（共31页）
22=0）+）1+（y∴（x+y
∴x+y=0 y+1=0
解得x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
22﹣6a﹣8b+b+（2）∵a25=0
22﹣8b+b16）=0﹣6a+9）+（∴（a
22=04）+（b∴（a﹣3）﹣
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4
∴c＜7，又c是正整数，
∴c最大为6；
2﹣6c+13=0）b+c，4a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+（3）∵
2222=0），（c﹣b）=（+2）3+整理得：（b+4b+4）+（c﹣6c+9
∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．（2012秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
2﹣4x+m有一个因式是（x+例题：已知二次三项式x3），求另一个因式以及m的值．
222+（n+3）m=x4x则）+（3xm=4x得）+（解：设另一个因式为xn，x﹣+（+）xn，x﹣+第22页（共31页）
x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=（1）若二次三项式x﹣3；
2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=（2）若二次三项式2x9；
2+5x﹣）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2xk有一个因式是（3（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
22+（2n﹣n）=2x3）++5x﹣k=（2x﹣3）（n（3）设另一个因式为（x+），得2xxx ﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
22﹣5x+2a=x6，x+（a﹣2）=x﹣【解答】解：（1）∵（x2）（x+a）﹣
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3；
22+bx﹣5+9x﹣5=2x（）∵（2x﹣1）x+5）=2x，（2
∴b=9；
22+（2n﹣）=2x3）+3k=），得2x+5x﹣（2x﹣）（xnnx3（）设另一个因式为（+x ﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
第23页（共31页）
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
22．（2012春?郯城县期末）分解因式：
2﹣x）2x；（1
2﹣1）16x；（2
223；yy）6xy﹣9x﹣（3
2．）﹣y+9（x（4）4+12x﹣y）（
【分析】（1）直接提取公因式x即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；【解答】解：
2﹣1=（4x+1）（4x﹣（2）16x1）；
223，﹣﹣9xy6xy（3）y
22），6xy+y=﹣y（9x﹣
2；）﹣y=﹣y（3x
2，）﹣9（xy+yx1244（）+（﹣）
第24页（共31页）
2，]y）3（x﹣=[2+
2．2）3x﹣3y+=（
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．
23．（2012春?碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2222）cb，试确定三角形的形状．=3（a++
【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
2222），+=3（ac+【解答】解：∵（a+b+c）b
222222，3c，=3a++b3b+c+2ab+2bc+a∴2ac+
222222﹣2ac=0a，+2ab+bc+c+a﹣+b2bc﹣
222=0），c﹣b﹣c）a+（即（a﹣b）+（
∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，
∴a=b=c，
故△ABC为等边三角形．
【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
24．（2011秋?北辰区校级期末）分解因式
42242y4x+2x（1）y﹣
322．2abb）2a﹣4a+2（
【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．
42242y﹣4xy+）（【解答】解：12x
第25页（共31页）
4224）y+=2（xy﹣2x
222）y﹣=2（x
22；﹣y（=2x+y））（x
2322ab2（）2ab﹣4a+
22）b=2a（a﹣2ab+
2．）=2a（a﹣b
提取公因式后利用公式此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，【点评】进行二次分解，注意分解要彻底．
的长方形，沿图中虚2n25．（2011秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
2）；（m）图②中的阴影部分的面积为﹣n（1
22、mn之间的等量关﹣n）m+n）、（m（2）观察图②请你写出三个代数式（22=4mn n）n）．﹣（m﹣+系是（m
2=9x﹣y）．）若（3x+y=7，xy=10，则（
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
22．3mn+n2m+）=2mn+）（如图③，它表示了m+n（
22．3n4mn++）（m3n）=m+nm使它的面积能表示）（5试画出一个几何图形，（+
【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．
第26页（共31页）
（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．
（3）此题可参照第（2）题．
（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．
（5）可参照第（4）题画图．
2；）m﹣n）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（【解答】解：（1 22=4mn；n））﹣（m﹣+（2）（mn
222﹣40=94xy=7y）；x﹣y）﹣=（x+（（3）
22；+n+3mn）n）（2m+n=2mm（4）（+
（5）答案不唯一：
例如：
．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．
2+16=0，求2a+b+﹣c满足ab=8，ab+cc、已知200926．（秋?海淀区期末）a、b 的值．
【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其2222+8b+16正好符合完全平方c+8b+；+16=0此时可发现b得：cab代入++16=0b 公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．
第27页（共31页）
【解答】解：因为a﹣b=8，
所以a=b+8．（1分）
2+16=0+c，又ab
2+16=0．（2）b+c分）所以（b+8
22=0．+c即（b+4）
22≥0c），≥0，又（b+4
则b=﹣4，c=0．（4分）
所以a=4，（5分）
所以2a+b+c=4．（6分）
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
27．（2010春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积．
【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．
【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，
（1+b）（c+1+a+ac）=2007，
（1+b）（c+1）（a+1）=2007，
第28页（共31页）
2007只能分解为3×3×223
∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223
∴a、b、c也只能分别为2、2、222
∴长方体的体积abc=888．
【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．
222﹣4x）﹣（xx15﹣4x）．﹣228．（2007秋?普陀区校级期末）（
2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣【分析】把（x5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．
222﹣4x）﹣15）4x，﹣2（【解答】解：（xx﹣
22﹣4x﹣5）3）（x，=（x﹣4x+
=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
29．（2007春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：2）+1x（x（+xx+1）+1+x
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
2（1+x1+x））=（
3）+x1=（
（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
22004，（2）若分解1+x+x（x+1）+x（xx…+++1）（x+1）则需应用上述方法2004
第29页（共31页）
2005．+x）次，结果是（1
2n（n为正整数）．（x+1）x（x+1）++…xx（3）分解因式：1+x+（x+1）+
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
2005．）+x2）需应用上述方法2004次，结果是（1（
3n，1）x（xx（+1）++…+x（1+）[1+x+x（x+1）]+x（3）解：原式=
23n，1）（x1）++…+x（1+x）x（1+x）+x（+=
33n，）x+1）+…+x=（1+x）（+x（x+1
nn，）x+）1+x（1=（x+
．）+=（x1
+1n
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
32+x+10﹣5x，如果我们把．30（2007春?射洪县校级期末）对于多项式
xx=232+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式代入此多项式，发现多项式x（﹣
5xx﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），322+mx+n（2）x）于是我们可以把多项式写成：x，﹣5xx++10=（x﹣
（1）求式子中m、n的值；
32﹣2x）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x13x﹣（2﹣10的因式．
232+（n﹣2mx））x﹣2n，得2m=xnmx（2x1【分析】（）根据（﹣）x++）+（﹣出有关m，n的方程组求出即可；
第30页（共31页）
32﹣13x﹣10，得其值为02x，则多项式可分解为（x+1由把（2）x=﹣1代入x）﹣2+ax+（xb）的形式，进而将多项式分解得出答案．
232+（n﹣2m）（m﹣2）x﹣2）（xn+mx+）=xx+【解答】解：（1）方法一：因（x ﹣2n，
32+x+10，﹣5x（2分）=x
所以，
解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），
322+mx+n）（x）中，5x（+x+10=x﹣2方法二：在等式x﹣
分别令x=0，x=1，
即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）
32﹣13x﹣10，得其值为1代入x0﹣2x，2（）把x=﹣
2+ax+b）的形式，）（x（7分）则多项式可分解为（x+1
用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）
322﹣3x﹣10）（）x，（9分）x所以x﹣2x13x﹣﹣10=（+1
=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
第31页（共31页）