第1章向量代数
向量是一种重要的代数工具，同时具有很强的几何直观性。利用向量可以很简洁地解决许多科学与工程技术中的问题，在力学、物理和工程技术中有着广泛的应用。向量也是工程数学的一个重要基础，微分几何学是工程数学的一个重要分支和交叉学科。为了奠定这方面的基础，本章将介绍向量的概念和它的基本运算。
1.1 向量的线性运算
1.1.1 向量及其表示
向量的概念来源于物理学。很多物理量不仅有大小，还有方向，例如速度、位移、力等。抛开它们的物理意义，只保留大小与方向两个要素，就抽象为数学中向量的概念。
定义1.1 既有大小，又有方向的量称为向量，或者叫矢量。
一般用有向线段表示一个向量，线段的长度表示它的大小，线段的方向表示它的方向。以A为起点，B为终点的有向线段所表示的向量记为。还常用黑体小写字母a，b，c等表示向量。
如果两个向量大小相等、方向相同，就称这两个向量相等。
由两个向量相等的定义可知，一个向量平行移动后，成为与原来向量相等的向量，因此向量的起点可以放在空间中的任意一点。这种能任意平移的向量称为自由向量。如果我们把一个向量的起点放在坐标的原点，则该向量常称为向径或矢径。
如果两个向量的大小相等而方向相反，则称这两个向量互为反向量或负向量。
向量的长度也称为向量的模。向量的模用|
|表示（有些书上也有用双竖线||
||表示的，本书一律使用单竖线表示），向量a的模用|a|表示。模为1的向量称为单位向量。模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的起点和终点是重合的，因此它没有确定的方向。
如果向量a与向量b 的方向相同或相反，就称它们平行，记作a // b。如果向量a与向量b方向互相垂直，就称它们垂直或正交，记作a⊥b。规定零向量与任何向量都平行且正交。
1.1.2 向量的线性运算
将物理中速度或力的合成法则加以抽象，就得到向量加法的定义。
定义1.2 给定具有共同起点O 的两个向量a =OA ，b =OB ，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的对角线向量c = (图1.1) 就称为这两个向量的和，记作
OC =OA +OB 或者 c = a + b
这种求和的方法称为平行四边形法则。
从图1.1 可知，=，所以 =+ 这称为两个向量的和的三角形法则。
向量的加法满足交换律和结合律。
a +
b = b + a (1.1) a + (b +
c ) = (a + b ) + c (1.2)
从上述定义1.2还可以得到
a + 0 = a (1.3) a + (-a ) = 0 (1.4)
向量的减法为向量加法的逆运算。对于向量a ，b ，定义
a -
b = a + (- b )
下面定义向量与数的乘积。
定义1.3 定义向量a 与实数λ 的乘积为一个向量，记为λ a , 它的模为|λ||a |，它的方向规定为：当λ > 0 时，与a 同向；当λ < 0 时，与a 反向。这种运算称为向量的数乘。
由数乘的定义可知0·a = 0，并且对任意实数λ，μ，都有
1?a = a (1.5) λ(μa ) = (λμ)a (1.6)
进一步可以证明
(λ +μ)a =λa +μa , (1.7) λ (a +b ) =λ a +λ b (1.8)
在所有向量构成的集合中，可以引入加法和数乘两种运算，而且这两种运算满足性质(1.1)—(1.8)。我们将这样的集合(附带加法与数乘运算) 称为线性空间或向量空间，线性空间中的元素称为(抽象的)
向量。一般地，线性空间中的加法与数乘运算称为线
性运算。
1.1.3 向量的共线与共面
定义1.4 一组向量如果它们都平行于某条直线则称为是共线的；一组向量如果它们都平行于某个平面则称为是共面的。
不难看出，一组向量共线当且仅当其中任意两个向量共线；一组向量共面当且仅当其中任意三个向量共面。因此研究向量共线、共面问题的关键是研究“两个向量共线”和“三个向量共面”。因此可得到两个命题。
命题1.1 向量a ，b 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数λ、μ，使得λ a +μb = 0
命题1.2 向量a , b , c 共面的充分必要条件是存在不全为零的实数λ, μ, ν， 使得λ a + μb + νc = 0。
下面对命题1.2做出证明，以便大家更进一步熟悉向量的线性运算。 证明 必要性：若a , b , c 中有任意两个向量共线，例如a , b 共线，则由上一命题1.1知，存在不全为零的实数λ，μ，使得λ a + μb = 0。则λ，μ不全为零，且λ a + μb + 0 ·c = 0。
设a , b , c 中任意两个向量都不共线。在空间中取定一点O ，作OA = a , OB = b , OC = c ，过C 点作OB 的平行线交直线OA 于点D (图1.2)，由三角形法则知：存在实数λ, μ，使得
= + =λ+μ 移项后得
λ a + μb + (-1)c = 0
其中λ, μ,1不全为零。
充分性：设存在不全为零的实数λ, μ, ν，使得λ a +μb +ν c = 0，不妨设ν≠0，于是
b a
c ν
μ
λ
-
-
=v
因此c 是以b a ν
μ
λ
-
-
,v
为边的平行四边形的对角线，从而a , b , c 共面。 定义1.5 设a 1, a 2, …..a n 为一组向量，λ1, λ2,......λn 为实数。称向量
a =λ1a 1+λ2a 2+……+λn a n
为向量a 1, a 2, …..a n 的线性组合。
利用这个定义，命题1.1 和命题1.2 也有如下的表述方式：两个向量共线当且仅当某一个向量为另一个的线性组合(倍数)；三个向量共面当且仅当某一个向量为另外两个向量的线性组合。
例1.1 证明 向量a +b +c , a -b -c , a +2b +2c 共面。 证明： 为证明三个向量共面，要证明
λ (a +b +c )+μ(a -b -c )+ν (a +2b+2c) = 0
有不全为零的解λ, μ,ν。上式化简后得
(λ +μ +ν )a +(λ -μ +2ν )b +(λ -μ +2ν )c = 0.
所以只要证明方程组
?
??=+-=++020νμλνμλ
存在不全为零的解。易见λ = -3, μ = 1, ν = 2 为一组非零解，因此三个向量共面。
1.2 向量的乘积运算
1.2.1 向量的数量积
物理学上功的概念很好地说明了向量的数量积的概念，W = |F ||S|cos θ。这里的功W 是由力F 和位移S 两个向量所唯一决定的一个数量。
定义1.6 两个向量a 与b 的数量积为一个实数，它等于两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，记为a ·b 。如果向量a , b 的夹角为θ ，则
a ·
b = |a ||b |cos θ.
数量积也常称为内积。
设 a =，b =。过B 点作直线OA 的垂线，垂足为P 。向量OP 称为向量在向量 上的投影向量。容易看出
a a b
a 2
||?=
特别地，当a 为单位向量时，a a b )(?=
由数量积的定义知，a ·b = 0 当且仅当两个向量是正交的(包含其中一个向量为零
向量的情形)。
在直角坐标系下两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和。即，给定两个向量
a = a 1i+a 2j+a 3k ,
b = b 1i+b 2j+b 3k ,
则有
a ·
b = a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3
对向量a , b , c 及实数λ，数量积具有如下的性质。 (1) 交换律：a ·b = b ·a , (2) 分配律：(a +b ) ·c = a ·c +b ·c , (3) 结合律：(λ a ) ·b =λ (a ·b ) = a ·(λ b ), 另外，定义向量的平方运算，a 2 = a ·a ≥ 0,
等号成立当且仅当a = 0。
设向量a , b 之间的夹角为θ ，则由数量积的定义知
23
22212322213
32211||cos b b b a a a b a b a b a ++++++=
?=
b ||a b a θ (1.9)
例1.2 证明Cauchy 不等式
(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3)2 ≤(a 12+a 22+a 32)( b 12+b 22+b 32).
证明. 设a = (a 1, a 2, a 3), b = (b 1, b 2, b 3)，则有
a ·
b = a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3,
|a |2 = a 12+a 22+a 32, |b |2 = b 12+b 22+b 32
由数量积的定义a ·b = |a ||b |cos θ 及|cos θ | ≤ 1 推知
(a ·b )2 ≤ |a |2|b |2.
把它写成坐标的形式，即得欲证的不等式。
1.2.2 向量的向量积
定义1.7 两个向量a , b 的向量积a ×b 为一个向量，它的方向与a , b 都垂直，且使a , b , a ×b 构成右手系；它的模等于以a , b 为边的平行四边形的面积，即|a ×b | = |a ||b |sin θ ，其中θ 为a , b 间的夹角。
例如，物理学的速度向量v =ω ×R ，|v | = |ω||R |sin θ , 象这样由两个向量ω, R 决定第三个向量v 的现象在物理学和微分几何中是十分常见的。
向量的向量积具有以下性质。设a , b , c 为三个向量，λ 为实数，则有 (1) 反交换律：a×b = -b×a ,
(2) 结合律：(λ a )×b =λ (a ×b ) = a ×(λ b ),
(3) 分配律：(a +b )×c = a ×c +b ×c . 向量积在直角坐标系下的运算为
a ×
b =(a 2b 3-a 3b 2)i +(a 3b 1-a 1b 3)j +(a 1b 2-a 2b 1)k 写成行列式的形似为
3
21321
b b b a a a k
j i
b a =? (1.10) 1.2.3 混合积的定义
定义1.8 给定三个向量a , b , c ，称(a ×b ) ·c 为a , b , c 的混合积。记作(a , b , c )
混合积是一个数量。以a , b , c 为棱可以构成如图1.3所示的平行六面体，其体积V 等于以a , b 为边的平行四边形的面积S 乘以高h ，即
V = Sh. 由向量积的定义知
S = |a ×b |.
另一方面, 设a ×b 与c 的夹角为?，则有|h| = |c ||cos ?|。于是
V = |a ×b ||c ||cos ?| = |(a ×b ) ·c |.
注意到? 为锐角时，a , b , c 构成右手系，V = (a ×b ) · c ；当?为钝角时，a , b , c 构成左手系，V = -(a ×b ) ·c 。因此混合积(a ×b ) ·c 表示的是以a , b , c 为棱的平行六面体的“有向体积”。
由于轮换a , b , c 的次序时，不会改变左右手系，因此混合积的值不变。即
(a ×b ) ·c = (b ×c ) ·a = (c ×a ) ·b .
另一方面，交换a , b , c 中任意两个的次序会改变左右手系，因此混合积的值改变符号，例如
(a ×b ) ·c = -(b ×a ) ·c .
直角坐标系下，设a = (a 1, a 2, a 3), b = (b 1, b 2, b 3), c = (c 1, c 2, c 3)，因为
k j i k
j i b a 2
12
1313132323
21321b b a a b b a a b b a a b b b a a a +-==?
所以
32
1212313113232)(c b b a
a c
b b a a
c b b a a +-==
??c b a 即
3
2
1
3213
21
(c c c b b b a a a =??c b)a (1.11) 命题1.3 三个向量a = (a 1, a 2, a 3), b = (b 1, b 2, b 3), c = (c 1, c 2, c 3) 共面当且仅当
03
2
1
321321=c c c b b b a a a 证明. 由于混合积(a × b ) · c 表示的是a , b , c 构成的平行六面体的有向体积，a , b , c 共面当且仅当(a ×b ) ·c = 0。由上面的公式即得命题。
定义1.9 给定三个向量a , b , c ，称(a ×b )×c 为这三个向量的二重外积。 命题1.4 对任意向量a , b , c ，有(a ×b )×c = (a ·c )b -(b ·c )a . 证明. 取一个右手直角坐标系，设
a = (a 1, a 2, a 3),
b = (b 1, b 2, b 3),
c = (c 1, c 2, c 3).
只要验证等式两边的向量具有相同的坐标即可。由于
a ×
b = (a 2b 3-a 3b 2, a 3b 1-a 1b 3, a 1b 2-a 2b 1),
所以(a ×b )×c 的第一个坐标为
(a 3b 1-a 1b 3)c 3-(a 1b 2-a 2b 1)c 2.
另一方面，(a ·c )b -(b ·c )a 的第一个坐标为
(a 1c 1+a 2c 2+a 3c 3)b 1-(b 1c 1+b 2c 2+b 3c 3)a 1 = (a 3b 1-a 1b 3)c 3-(a 1b 2-a 2b 1)c 2
因此等式两边向量的第一个坐标相同，同理另两个坐标相同，从而等式成立。
上述公式通常称作二重外积展开式，从这个公式可以看出，外积不满足结合律，就是说，一般情况下，
(a ×b )×c ≠ a ×(b ×c ),
因为上式左边是a 和b 的线性组合，而右边是b 和c 的线性组合。这就提醒大家多个向量的连续作向量积运算是有顺序的。
例1.3 证明 拉格朗日恒等式 (a ×b)·(c ×d ) = (a ·c )(b ·d)-(a ·d)(b ·c ). 证明. (a ×b)·(c ×d) = (a ×b , c , d )
=((a ×b )×c ) ·d = ((a ·c )b -(b ·c )a ) ·d = (a ·c )(b ·d )-(a ·d )(b ·c ).
或写作
d b c b d
a c a d c
b a ????=???)()(
1.3 自然标架及合同变换
1.3.1 自然标架
设e 1， e 2， e 3 为空间中三个不共面的向量，则对每个向量a 都存在唯一的三元有序实数组(x 1, x 2, x 3)，使得 a = x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3。由于这种唯一性，向量e 1, e 2, e 3 定义了空间的一种自然标架，或称仿射坐标系，(x 1, x 2, x 3) 为向量a 在基e 1, e 2, e 3 下的坐标。 如果给定自然坐标系[O , e 1, e 2, e 3]，对空间中一点A ，向量OA ，坐标(x 1, x 2, x 3)三者间存在一一对应的关系.
空间中的点A ←→向量OA ←→坐标(x 1, x 2, x 3)
空间直角坐标系为一个特殊的自然标架，它的三个坐标向量为两两垂直的单位向量。一般用i , j , k 表示这三个坐标向量，相应的坐标轴为x 轴，y 轴和z 轴。直角坐标系的特殊性使得某些计算变得容易。
设[O , i , j , k ] 为一个空间直角坐标系。图1.4，向量a = a 1i +a 2j +a 3k = (a 1, a 2, a 3)。取空间中的一点A 使得
OA = a ，由向量坐标的定义可知
212121||||a a a OA a ++==
上式给出了一个向量的模长与其坐标的关系。
而两点间的距离公式
d =222)()()(121212z z y y x x -+-+-
也只有在直角坐标系下成立。
此外直角坐标系中方向余弦cos α, cos β , cos γ，如图1.4所示。也是直角坐标下所特有的。
从图1.4 不难看出, α
c o s ||1a a =， βc o s ||2a a =， γcos ||3a a = 于是有
()???
? ??+++
+
++=
23
22213
23
2
2
2
1223
22211,
,cos ,cos ,cos a a a a a a a a a a a a γβα
从而
1cos cos cos 222=++γβα
1.3.2 坐标定向及合同变换
由前面所建的坐标系可以知道，三维欧氏空间与三维欧氏向量空间之间有一个一一对应，点的坐标可以对应一个向量。向量的运算可以化作点的坐标的运算。
现考虑在三维欧氏空间取定两个正交标架：
E 1{}3211,,;e e e O 与E 2{}',',';'3211e e e O ，两者具有如下的关系：
332211e e e c c c ++= i i e T e ?='，i =1, 2, 3 (1.12a)
T 为3×3正交矩阵，因为E 1与E 2均为正交标架，所以det T =±1。这两个标架相差原点间的一个平移OO'以及矩阵T 诱导的一个正交变换。
欧氏空间给了一个正交标架，称为给了欧氏空间一个定向，若两个标架间相差的正交变化阵的行列式为1，称为定向相同，否则称它们的定向相反。显然，定向相同是一个等价关系，因此欧氏空间有且仅有两个定向。例如，{}3211,,;e e e O 和
{}1321,,;e e e O 为同一定向，{}3211,,;e e e O 和{}1311,,;e e e O 定向相反。通常将三维
欧氏向量空间中由{i , j , k }决定的定向称为自然定向（右手定向）。
有了标架的变换关系后，容易推出欧氏空间同一点在不同标架下的坐标间的变换关系。设P 点在新老两个坐标系的坐标分别为(x 1, x 2, x 3)与(x ’1, x ’2, x ’3)，即
332211e e e x x x ++=， '''''''332211e e e x x x ++=
那么由式(1.12a)有
)'()()(i i i x c x ?+=T ，i =1, 2, 3 (1.12b)
如果在欧氏空间中固定一个标架。把上述空间中，点之间一对一的变换记作Γ，这种变换Γ如果保持空间中任意两点间的距离不变，则称为合同变换，或欧氏变化。即对于任意两点P 和Q
))(),((||),(Q ΓP Γd Q P d ==
所以，合同变换的一般表达式可以写作
0)(P P P Γ+=T
即平移P 0与正交变换T 的复合。
从几何角度看，欧氏变换是将欧氏空间的点做下述三种变换：平移、旋转、镜面反射。当det T =1时，对应的合同变换称为E 3的一个刚体运动；当det T =-1时，对应的合同变换称为反向刚体运动。直观地讲，刚体运动排除了反射变换的情形，换句话说，刚体运动是平移和旋转的复合。
同样对三维欧氏空间中的一个正交标架做合同变换，就得到了另一个标架，反之，给定任意两个标架{}3211,,;e e e O 与{}',',';'3211e e e O 。首先可以通过平移将O 1点移到O 1’点，然后通过适当的旋转或反射使(e 1, e 2, e 3)分别与(e ’1, e ’2, e ’3)重合。也就是说，可以通过三维欧氏空间的一个刚体运动将标架{}3211,,;e e e O 变为{}',',';'3211e e e O 。显然，这样的运动是唯一的。
上述所定义的合同变换从概念上看似乎很抽象，其实矢量旋转、参数变换、坐标系变换等都是典型的合同变换。例如，直角坐标到极坐标的变换（x =ρcos θ, y =ρsin θ），不仅坐标发生了变化而且参数也发生了变换。
1.4 矢量旋转与坐标变换
1.4.1 矢量旋转
如图1.5所示，设任意单位向量ω，a 为任意向量，其始点在ω轴上，a 绕ω旋转任意角ε得新的矢量b ，求新的矢量b 。
显然b 是a 、ω、ε的函数。b 作为空间向量，a 、ω两个向量不足以表达，因此引入第三个矢量ω×a 。这样b 就可以表达作
)( 321a ωωa b ?++=λλλ (1.13)
这里有三个未知量λ1、λ2、 λ3，研究回转过程可知，b 大小不变，即
a a
b b ?=? (1.14) b 与ω的夹角不变，即
ωa ωb ?=? (1.15) a 绕ω旋转角度ε
图1.5 矢量旋转
|
|||c o s b ωb
ωa ωa ω???
??=
ε (1.16) 这样由上述三式(1.14)-(1.16)可确定λ1、λ2、 λ3。对式(1.13)两端做ω数量积 21)(λλ+?=?ωa ωb 利用式(1.15)可得
))(1(12ωa ?-=λλ (1.17) 对式(1.13)两端做a 数量积
)(221a ωa b a ?+=?λλ (1.18) 利用拉格朗日恒等式可得
22)(||a ωa a ω?-=?，22)(||b ωb b ω?-=? 2)()()(a ωb a b ωa ω?-?=??? 即
22)()(a ωb a a ω?-?=?
利用式(1.16)可得
22))(cos 1(cos a ωa b a ?-+=?εε 与 (1.18)式做对比可知
ελc o s 1=， ))(cos 1(2ωa ?-=ελ 利用式(1.13)，注意到22b a =可得
222
322222))(cos 1(cos 2)()()cos 1(cos a ωa ωa ωa a ?-+?+?-+=εελεε 所以
22
3222)(sin ])([a ωa ωa ?=?-λε 经验证
ελsin 3=
这样可得旋转矢量表达式
εεεs i n
)())(cos 1(cos a ωωωa a b ?+?-+= (1.19) 由矢量旋转的表达式(1.19)可以看出，矢量旋转其实是一种矢量运算，因此，向量运算可以在向量旋转前或后进行，其结果是相同的。拿向量的向量积来解释就是说，两个向量先做向量积再施行旋转与先施行旋转再做数量积，其最终得到的结果是一样的。
1.4.2 坐标变换
对于任意一个刚体，为了完全确定它在空间的位置，只要在刚体上固定一个坐标系，如果我们能够对某个参考坐标系描述这个坐标系的位置，那么也就说明了那个刚体在空间的位置。这就要用到坐标变换。这里所说的坐标变换是指坐标系的变化，这种变换广义上可以理解成一个映射或算子，即矢量在一个坐标系中描述变换为在另一个坐标系的描述，或算子作用于一个矢量，表示一个移动或转动，或二者兼有。
如图1.6所示，两个坐标系{}11111,,z y x o S -、{}22222,,z y x o S -，在坐标系S 1中存在径矢T z y x P O ],,[1111=，那么如何在坐标系S 2中表达P O 1。这就要用到坐标变换问题。 根据式(1.12)肯定存在如下的表达式
P O P O 1212?+=R c (1.20)
即，坐标系S 1经过一个平移1221O O =c (在S 2坐标系表达)，再做一个旋转R 变换到与S 2重合。这时径矢T z y x P O ],,[2222=即为P O 1在坐标系S 2中的表达。
1. 旋转坐标变换
下面我们先来研究旋转变换矩阵R ，由式(1.12)知道，R 为3×3正交矩阵，对于右旋标架det T =1。
????
?
?????=3332
31
232221
1312
11
21a a a a a a a a a R (1.21) 把坐标系S 1经过一个平移c 21，使其原点重合；R 21中每个元素为对应坐标轴夹角的余弦，即2111i i ?=a ，2112i j ?=a ，2121j i ?=a ，其它元素依次类推。假设坐标系S 1相对于S 2绕z 2轴旋转θ角后重叠，则旋转变换矩阵为
????
??????-=10
0c o s s i n 0s i n c o s 21θθ
θ
θ
R 由R 的形成可以看出，R 的每一行或每一列的元素平方和等于1，任意两行或任意两列元素乘积之和等于零，R 的逆矩阵等于它的转置，[R ]-1= [R ]T ，表示了它的逆变换。
从标架的角度看，R 21就是坐标系S 1在S 2中的描述，它的三列就是S 1的三个坐标轴单位矢量(i 1, j 1, k 1)在S 2中的表示。
图1.6 坐标变换
从映射或算子的观点看，如果在S 1有一矢量a 1想求其在S 2中的表达a 2，则1212a R a ?= 这时要求坐标系S 1、S 2它们是同原点的。这对于自由矢量变换没有问题，如果变换的矢量为径矢则必需考虑式(1.20)的既平移又旋转。把式(1.20)化作映射或算子，则要引入齐次坐标变换。
2. 齐次坐标变换
齐次变换把坐标当作4维来考虑。实数轴有限远点与笛卡尔坐标系中点的坐标形成一一对应的关系，无穷原点在三维欧氏空间没有坐标，为了刻画无穷原点，需要引入
齐次坐标),,,(*
*
*
l z y x ，如果把齐次坐标写作)1,,,(*
**l
z l y l x 。我们会发现，当l ≠0时表示
有限远点，当l =0时表示了无穷原点的坐标。因此，有限远点的齐次坐标可以写作
)1,,,(z y x 。把式(1.20)的变换用齐次变换来描述，则P O P O 1212?=M
????
?
????
?
??=10
|__||342421
1421a a a R M (1.22) 元素a 14, a 24, a 34表示坐标系S 1原点O 1在坐标系S 2中的坐标，即21214i ?=O O a ，
21224j ?=O O a ，21234k ?=O O a
如果进行逆变换，即坐标系S 2向坐标系S 1变换
????
?
????
?
??
=10
|__||342412
1412b b b R M (1.23) 这时，b 14=-(a 11a 14+a 21a 24+a 31a 34)，b 12=-(a 12a 14+a 22a 24+a 32a 34)，b 13=-(a 13a 14+a 23a 24+a 33a 34)， 仔细观察会发现，括号内的项目分别为M 21第4列元素同第1、2、3列元素的乘积之和。
为了熟悉上述的矢量变化，下面我们举一个机械手的运动分析的例子。 例1.4 图1.7所示为一个工业4自由度机械手。第1个自由度，|OO 1|=l 1段可绕O-z 轴旋转任意角度q 1；第2个自由度，|O 1O 2|=l 2段可绕O 1-x 1轴旋转任意角度q 2；第3个自由度，|O 2O 3|=l 3段可绕O 2-x 2轴旋转任意角度q 3；第4个自由度，|O 3P|=s 段可绕O 3-y 3轴旋转任意角度q 4。试确定P 点的运动轨迹。
解 建立如图1.7所示的坐标系，坐标系{}z y x o S ,,-为空间固定坐标系，
{}11111,,z y x o S -与第1段杆件固联，z 与z 1轴重合，S 1绕z 轴相对S 旋转q 1；依次类推，
{}22222,,z y x o S -与第2段杆件固联，x 2与x 1轴重合，其相对S 1的x 1轴旋转q 2；
{}33333,,z y x o S -与第3段杆件固联，x 3与x 2轴重合，其相对S 2的x 2轴旋转q 3。
首先确定P 点在坐标系3S 中的轨迹，因 T s s P O ]sin ,cos ,0[3αα-=，旋转轴{}0,1,03y ，旋转角度q 4，利用矢量旋转公式(1.19)可得
T q s s q s ]cos sin ,cos ,sin sin [443ααα--=p
坐标系23S S →齐次变换矩阵
?????
????
???-=10
00
0c o s s i n 0s i n c o s 0
000
1
3
3
33323q q l q q M 坐标系12S S →齐次变换矩阵
?????
????
???-=10
00
0c o s s i n 0s i n c o s 0
000
1
2
2
22212q q l q q M 坐标系S S →1齐次变换矩阵
?????
????
???-=10
00
010000cos sin 0sin cos 11
11
1
01q q
l q q M 连乘上述矩阵，即可得到P 点在坐标系S 中的轨迹方程
??
??
??????+++-+++++++-++-+-==)s i n ()s i n (c o s )c o s ()s i n (c o s )c o s (c o s s i n s i n )c o s ()s i n (s i n )c o s (s i n c o s 3233231
2323213321313123213213321313
3
231201q q z q q y q q l l q q q z q q q y q x q q l l l q q q z q q q y q x p M M M p 如果是上述问题的逆命题，已知P 点的运动轨迹或位置坐标，求机械手运动的转角(q 1, q 2, q 3, q 4)，利用上式也是可以确定的。
最后要说明一下，对于复合变换一定要注意矩阵的相乘顺序，左乘右乘结果是不同的；自由矢量变换使用旋转映射即可，径矢或点的坐标变换则需使用齐次映射。
习 题
1．求证 任意三点A , B , C 共线的充分必要条件是存在不全为零的实数k 1, k 2, k 3，使得
0321=++k k k , 且k 1+k 2+k 3 = 0.
2．已知P (1, 2, 3), Q (2, 4, -1)，求向量PQ 的方向余弦。 3．分配律：(a +b ) ·c = a ·c +b ·c ,
4．四面体OABC 中，OA ⊥ BC , OB ⊥AC ，利用向量代数，证明：OC ⊥AB. 5． 已知三点A (1, 1, -1), B (2, 2-1), C (2, 1, 0)，求向量与之间的夹角θ 。 6．求一个单位向量，使它与向量a = -i +2j+k , b = i+3k 都垂直。
7．已知向量a , b 的夹角为600，|a | = 2, |b | = 3，求向量a+2b 与2a -b 的内积。
8．求垂直于向量a = (-1, 2, 1) 和b = (1, 0, 3) 的单位向量。
9．设三角形的三个顶点为A (1, 1, 2), B (-2, 0, 3), C (2, 4, 5)，利用向量代数求⊿ABC 的面积以及BC 边上的高h 。
10. 设四面体的四个顶点为A (1, 2, 3), B (2, 1, 4), C (1, 3, 5), D (3, 2, 1)，利用向量代数求该四面体的体积。
11．设e 1, e 2, e 3 为一组基。
(1) 证明：a = e 1+e 2+e 3, b = e 1-e 2+e 3, c = e 1+e 2-e 3 也是一组基。 (2) 求向量d = a +2b -3c 在基e 1, e 2, e 3 下的坐标。
12．弧齿锥齿轮的铲形轮为一个弧形齿冠轮，图1.8。它是这样形成的：刀盘内a 、外b
刃、
绕刀盘中心O c旋转形成的锥面的一部分M即为弧齿锥齿轮铲形轮的两侧齿面。试建立弧齿锥齿轮的铲形轮方程。
向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 131323 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =， q =，则BC =_______________，CD =__________________．
2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________． 4．设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________． ?_____________________; 5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?． b ? +c + c b = c a．计算a 2．已知3 ?b || a?． |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3．设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小． i j F5 3 2+
向量代数与空间解析几何-期末复习题-高等数学下册-(上海电机学院)
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2 222 =+y x 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141:1+=+=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3 π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3)
5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42 =绕z 轴旋转一 周，所得旋转曲面方程是[B ] A. ) (42y x z += B. 2 2 2 4y x z +±= C. x z y 422 =+ D. x z y 422 ±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程 222 22 x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ?={0, 3, 4}, b ?={2, 1, -2},则 = b proj a ?ρ[ C ]
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量b a , =.则=同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量, ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a x | |a a | |a z 。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量与有共同的始点，则与,共面且平分与的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且|2|a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。以及它的对角线交 点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，垂直于 坐标面。 三、选择题 1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 已 知 梯 形 OABC 、 21AB 2 1 -b a 21-a b -21a b 21-b a ,⊥b
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.
第六章.向量代数与空间解析几何 本章内容在本课程当中是单独的一个部分，应该说是属于几何的内容，之所以需要在微积分的课程里进行单独的讨论，是因为我们在后面学习多元函数的微积分时，必须和这些几何知识发生关系，所谓多元的函数，从几何意义方面来理解，就是定义域在平面乃至更高维度的空间区域上，这样如果要想得到对于多元函数的直观几何理解，就必须对于平面乃至更高维度的空间中的几何现象具有一定的知识。 向量。 向量可以说是几何的最为基本的概念。因为几何对象的两个基本要素：方向和长度，用一个向量就可以完全表达，从向量的概念出发，可以构造出整个的几何世界。 由于本课程的限制，我们不从一般的观念出发来展开向量的理论，而是基于直观的，运用向量来表示的几何当中的有向直线段，来说明我们需要涉及的有限的向量知识。 我们完全可以把一个向量理解为一根有向直线段，而不会出现任何理论上的错误。基于向量的这种直观图象，可以定义向量的基本属性。 首先，我们定义两个向量相等的意思，就是两个向量的大小与方向都相同，对于这里的具体的一种向量—有向直线段，就是必须长度相等，而方向相同，所谓方向相同，按照几何的意义，就是两根直线段相互平行，而且指向相同。 注意，这里初学者常常产生误解的地方，就是认为要求两个有向直线段方向一样，就一定是要求它们在同一个直线上，或者是相互重合，这是因为还不习惯在一般的空间当中考虑问题，特别是要养成在三维空间当中考虑几何对象的习惯，记住方向相同，是与这两个向量的空间位置无关的，只要它们所在的直线相互平行，而指向一致即可。 在两个向量之间定义加法与减法，就是我们在力学当中以及很熟悉的力的合成的平行四边形法则，当然这是一种直接的基于几何图象的定义方式，下面我们通过在空间引入坐标，来得到更一般的定义。 空间直角坐标系以及向量代数。 在空间当中引入坐标的目的，和物理学当中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法，首先一个坐标系必须能够提供方向的定义，使得任意的方向都能够由于坐标系而得到确定与唯一的描述；然后必须能够提供长度的单位，基于这个单位能够度量空间长度。 能够满足上面这两个基本要求的坐标系可以有很多的形式，我们经常使用的坐标系就是直角坐标系。 我们已经强调了一个向量的大小与方向是与它所处的空间位置没有关系的，换一个说法，就是一个向量在空间进行平移时，不影响它的大小与方向。那么在空间中，对任意一个向量的度量，都可以通过把这个向量平移到以坐标系的原点为起点的位置，再用它的终点的坐标来表征这个向量的大小与方向。显然，任意的一个向量，只要是通过平移而处于这种方式，就只会唯一的，而空间中的任意一点在一个这样的直角坐标系里的标度也是唯一的。因此这样决定的一个向量的坐标也就是唯一的。 本课程我们主要只考虑三维的情况，因此一个向量可以用一个唯一的坐标来表示，在直角坐标系里，也就是由三个实数组成的三元组：（a ，b ，c ）。 基于上面对于唯一性的分析，可以得到坐标表示的向量的相等的含义，就是坐标三元组的分别相等。 进一步，为了更为方便地度量一般的向量，我们引入单位向量的概念，就是在坐标轴方向上具有单位 长度的向量，在直角坐标系当中，习惯的写法，就是 ，，，分别表示在X ，Y ，Z 轴上的单位向量。 按照坐标三元组的写法，就是 =（1，0，0）； i r j r k r i r
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
第五章 向量代数与空间解析几何 5.1向量 既有大小又有方向的量 表示：→ -AB 或a （几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB 、|a |、||a 1． 方向余弦：??? ? ??=||,||,||)cos ,cos ,(cos r r r z y x γβα r ＝（x ，y ，z ）,| r |=2 22z y x ++ 2． 单位向量 )cos ,cos ,(cos γβα=→ a 模为1的向量。 3． 模 → →→ ?=++=a a z y x a 2 22|| 4． 向量加法（减法） ),,(212121z z y y x x b a ±±±=±→ → 5． a ·b ＝| a |·| b |cos θ212121z z y y x x ++= a ⊥ b ?a ·b ＝0（a ·b ＝b ·a ） 6． 叉积、外积 |a ?b | =| a || b |sin θ= z y x z y x b b b a a a k j i a // b ?a ?b ＝0.( a ?b= - b ?a ) ? 2 12 12 1z z y y x x == 7． 数乘：),,(kz ky kx ka a k ==→ → 例1 1||,2||==→ → b a ，→ a 与→ b 夹角为 3 π ，求||→ →+b a 。 解 2 2 ||cos ||||2||2)()(||→ →→→ → →→ →→ →→ → → → → → ++= ?+?+?= +?+=+b b a a b b b a a a b a b a b a θ 713 cos 12222 = +???+= π 例2 设2)(=??c b a ，求)()]()[(a c c b b a +?+?+。 解 根据向量的运算法则 )()]()[(a c c b b a +?+?+
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
矢量的基本代数运算
《微分几何简介》笔记 Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数 定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。 1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量 在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量 1 e ，2 e ，3 e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用 ] ,,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1 e ，2 e ，3 e 称为σ 的基矢(或底矢)。 若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1 x ，2 x ，3 x 就是r 径矢在σ里的分量： 3 32 211e e e r x x x ++= 若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为 3 32211e e e r x x x ++=，3 3221 1e e e s y y y ++= 则矢量 3 33222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=
其中) 3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量 均为0的矢量称为零矢。 在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量3 3221 1e e e αa a a ++=的长为 23 2 2 21a a a ++=α 若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则 α/i a 叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1 e 间的角] ,0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。 1.2 矢量的基本代数运算 现有矢量3 3221 1e e e αa a a ++=和3 3221 1e e e βb b b ++=，则 1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。 3 33222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+ 2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。 3 3 3 2 2 2 1 1 1 )()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=- 3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则 3 32 21 1e e e αa a a λλλλ++= 4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量 θcos 3 32 21 1βαβα=++=?b a b a b a
第7章 向量代数与空间解析几何 7.1 向量及其线性运算 7.1.1 基本要求 1. 理解向量的概念. 2. 掌握向量的线性运算. 3. 理解向量的几何表示. 7.1.2 答疑解惑 1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？ 答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头；若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ， v ，F ，12M M 等都可表示向量. 2. 向量的起点都在坐标原点吗？ 答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 由于AB 与BA 的方向总是不同的，所以它们不相等. 4. 向量在轴上的投影是不是向量？ 答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负可为零，而不是一个向量. 7.1.3 基本题型分析 题型 有关向量的运算问题 例1 化简3525-??-+-+ ??? b b a a b . 解 3525-??-+-+ ???b b a a b 5(13)112??=-+--+ ?? ?a b 522=--a b . 例2 已知非零向量a 和b ，求一个向量c ，使之平分向量a 和b 之间的夹角. 解 因为向量a 和b 为非零向量，所以其单位向量0a ，0b 存在，且0=a a a ，0=b b b . 以0a ，0b 为邻边所生成的平行四边形是一个菱形，这个菱形的对角线平分对角，于是可
第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））
应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）
旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；
(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为
(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）
()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平 行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量. 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种: → a 、→ AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模. 向量→ a 、→ AB 的模分别记为||→ a 、||→ AB . 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量. 零向量： 模等于0的向量叫做零向量, 记作→0.规定：→ 0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.记作a // b .规定： 零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的终点重合, 此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和, 记作a +b , 即c =a +b . 当向量a 与b 不平行时, 平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形, 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b . 向量的减法: 设有两个向量a 与b , 平移向量使b 的起点与a 的起点重合, 此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 → → → → → A O O B OB O A AB -=+=, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a 与实数λ的乘积记作λa , 规定λa 是一个向量, 它的模|λa |=|λ||a |, 它的方向当λ>0时与a 相同, 当λ<0时与a 相反. (1)结合律 λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律 (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λa +λb . 例1 在平行四边形ABCD 中, 设?→ ?AB =a , ?→ ?AD =b .
第七章 空间解析几何参考答案 第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（ 1，－ 2，3）在 [ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2. 方程 2 x 2 y 2 2 在空间解析几何中表示的图形为 [ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3. 直线 l 1 x 1 y 1 z 1 x y 1 0 : 2 3 与 l 2 : x y z 2 ，的夹角是 [ C ] 4 A. 4 B. 3 C. D. 0 2 4. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 xoy 平面的对称点是 [ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5. 将 xoz 坐标面上的抛物线 z 2 4 x 绕 z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. z 2 4 ( x y ) B. z 2 4 x 2 y 2 C. y 2 z 2 4 x D. y 2 z 2 4 x 6. 平面 2x-2y+z+6=0 与 xoy 平面夹角的余弦是 [B ] A. 1 B. 1 C. 2 2 3 3 3 D. 3 7. 在空间直角坐标系中，点（ 1， 2,3 ）关于 yoz 平面的对称点是 [ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 2 2 8. 方程 x y z 2 表示的是 [ B ] a 2 b 2 A. 椭圆抛物面 B. 椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知 a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则 proj a b [ C ] A. 3B. 1 C. -1 D. 1 3 10．已知 a , b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. a 2 b 2 (a b ) 2 B. a 2 b 2 ( a b ) 2 C. (a b) 2 (a b )2 D. ( a b ) 2 ( a b ) 2 a 2 b 2
第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 6—3 1、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()2 22321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-= z y x 化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程. 2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0 )4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(2 2 =+-y x . 3、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b.
精品文档 精品文档 第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.
向量及向量的基本运算 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量 的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段 的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。< 注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都 可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合， 记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b BC a AB ==,，则 a +b =BC AB +=AC 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说 明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；
3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -, 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有 共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则