方程与不等式专题。
一．选择题（共12小题）
1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（）
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
3．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）
A．非实数B．正数C．负数D．非正数
4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（）
A．1 B．4 C．2 D．0
5．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（）
A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元
7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（）
A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣12
8．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1
9．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（）A．6000元B．5500元C．2500元D．2000元
10．分式方程=无解，则m的值为（）
A．2 B．1 C．1或2 D．0或2
11．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
12．已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（）
A．﹣4≤m＜﹣3 B．﹣8≤m＜﹣6 C．4＜m≤6 D．4≤m＜6
二．填空题（共10小题）
13．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是．
14．若不等式组无解，则m的取值范围是．
15．敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击小时后可追上敌军．
16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为．
17．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则= ．
18．若不等式组无解，则m的取值范围是．
19．一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要秒．
20．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则a2+b2= ．21．方程=x﹣1的根为．
22．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠．
三．解答题（共6小题）
23．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．24．一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，求这件夹克衫的成本是多少元？
25．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的？
26．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答：
（1）甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
（2）求出原方程组的正确解．
27．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1①，这个数i
叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．
如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．（不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．）
例题1：i3=i2?i=﹣1?i=﹣i；i4=i3?i=﹣i?i=﹣i2=﹣（﹣1）=1
例题2：（2+i）+（3﹣4i）=（2+3）+（1﹣4）i=5﹣3i（5+i）×（3﹣4i）=15﹣20i+3i﹣4i2=15﹣17i+4=19﹣17i
同样我们也可以化简===2i
也可以解方程x2=﹣1，解为x1=i，x2=﹣i．
读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：i5= ，i6= ；
（2）计算：（2+i）2；
（3）在复数范围内解方程：x2﹣x+1=0．
28．为了更好的保护美丽图画的邛海湿地，西昌市污水处理厂决定先购买A、B 两型污水处理设备共20台，对邛海湿地周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640吨，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080吨．
（1）求A、B两型污水处理设备每周分别可以处理污水多少吨？
（2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？
最少是多少？
方程与不等式专题。
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（）
A．﹣1 B．2 C．﹣7 D．0
【分析】根据不等式组的解集的情况得出关于m的不等式，求得m的解集，再解分式方程得出x，根据x是非负整数得出m所有的m的和．
【解答】解：∵关于x的不等式组有解，
∴1﹣2m＞m﹣2，
解得m＜1，
由得x=，
∵分式方程有非负整数解，
∴x=是非负整数，
∵m＜1，
∴m=﹣5，﹣2，
∴﹣5﹣2=﹣7，
故选C．
【点评】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及解分式方程是解题的关键．
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）
A．k＜1且k≠0 B．k≠0 C．k＜1 D．k＞1
【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0且二次项系数不为0即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，
即（﹣6）2﹣4×9k＞0，
解得，k＜1，
∵为一元二次方程，
∴k≠0，
∴k＜1且k≠0．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
3．不论x，y取何实数，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13总是（）
A．非实数B．正数C．负数D．非正数
【分析】先根据完全平方公式进行配方得到x2+y2+4x﹣6y+14=（x+2）2+（y ﹣3）2+1，然后根据非负数的性质进行证明．
【解答】解：x2﹣4x+y2﹣6y+13=x2﹣4x+4+y2﹣6y+9
=（x﹣2）2+（y﹣3）2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2≥0，
∴不论x、y取何值，代数式x2﹣4x+y2﹣6y+13的值总是非负数，
故选A．
【点评】本题考查了配方法的应用：配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a ±b）2；配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．关于x的分式方程﹣=1有增根，则m的值为（）
A．1 B．4 C．2 D．0
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：将分式方程﹣=1两边同乘（x﹣1），
得m﹣2﹣2x=x﹣1．
若原分式方程有增根，
则必有x=1，
将x=1代入m﹣2﹣2x=x﹣1，
得m=4．
故选（B）
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
5．有一个底面半径为10cm，高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒入
一个底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即大杯的体积=12个小杯的体积，再利用圆柱体的体积公式列方程求解．
【解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2?x×12
解得：x=10
则小杯的高为10cm．
故选C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
6．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%，那么商店在这次交易中（）
A．赚了10元B．亏了10元C．赚了20元D．亏了20元
【分析】设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，根据售价﹣成本=利润，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可求出x（y）的值，再将其代入400﹣x﹣y中即可得出结论．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，第二件的进价为y元，
根据题意得：200﹣x=25%x，200﹣y=﹣20%y，
解得：x=160，y=250，
∴400﹣x﹣y=400﹣160﹣250=﹣10（元）．
答：商店在这次交易中亏了10元．
故选B．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．已知关于x的方程x﹣=﹣1的解是正整数，则符合条件的所有整数a的积是（）
A．12 B．36 C．﹣4 D．﹣12
【分析】利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出a的值，计算即可．
【解答】解：x﹣=﹣1
去分母，6x﹣4+ax=2x+8﹣6
移项、合并同类项，（4+a）x=6，
x=，
由题意得，a=﹣3、﹣2、﹣1、2，
则符合条件的所有整数a的积是﹣12，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
8．方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，则a的取值范围是（）
A．﹣1＜a＜0 B．﹣1＜a＜1 C．0＜a＜1 D．＜a＜1
【分析】由方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，即可得不等式组，解此不等式
组即可求得答案．
【解答】解：∵方程|2x﹣1|﹣a=0恰有两个正数解，
∴，
解得：0＜a＜1．
故选C．
【点评】此题考查了含绝对值符号的一元一次方程的求解方法．此题难度较大，解题的关键是根据题意得到不等式组：．
9．按国家2011年9月1日起实施的有关个人所得税的规定个人月工资（薪金）中，扣除国家规定的免税部分3500元后的剩余部分为应纳税所得额，全月应纳税所得额不超过1500元的税率为3%，超过1500元至4500元部分的税率为10%，若小明妈妈某月缴了145元的个人所得税，则她的月工资是（）A．6000元B．5500元C．2500元D．2000元
【分析】设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500）元，由税率×税额=税金，建立方程求出其解即可．
【解答】解：设小明妈妈某月工资为x元，则应缴个人所得税额为（x﹣3500）元，由题意，得
3%×1500+10%（x﹣3500﹣1500）=145，
解得：x=6000．
答：小明妈妈的月工资是6000元．
故选A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，税率×税额=税金的运用，分段计费
的计算方法的运用，解答时根据应缴个人所得税145元建立方程是难点．
10．分式方程=无解，则m的值为（）
A．2 B．1 C．1或2 D．0或2
【分析】先把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1，由于关于x的分式方程=无解，讨论：x=1或方程（1﹣m）x=﹣1无解，当x=1时，（1﹣m）×1=﹣1，解得m=2，当方程（1﹣m）x=﹣1无解，1﹣m=0，解得m=1．【解答】解：把分式方程化为整式方程得到（1﹣m）x=﹣1，
∵关于x的分式方程=无解，
∴x=1或或方程（1﹣m）x=﹣1无解，
当x=1时，（1﹣m）×1=﹣1，解得m=2，
当方程（1﹣m）x=﹣1无解，1﹣m=0，解得m=1．
∴m=1或2，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．也考查了分类讨论的思想．
11．若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）=0，得到x=5，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣5），
得x﹣6+x﹣5=﹣k，
∵原方程有增根，
∴最简公分母（x﹣5）=0，
解得x=5，
当x=5时，k=1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．已知关于x的不等式组有五个整数解，m的取值范围是（）
A．﹣4≤m＜﹣3 B．﹣8≤m＜﹣6 C．4＜m≤6 D．4≤m＜6
【分析】此题可先求解不等式组得到关于m的不等式解集，再根据整数解的个数确定m的取值范围．
【解答】解：，
解①得：x＞，
解②得：x≤7，
则不等式组的解集是：＜x≤7．
不等式组有五个整数解，则一定是7，6，5，4，3，
则2≤＜3．
解得：则4≤m＜6，
故选：D．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二．填空题（共10小题）
13．已知点P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y为整数，则点P的个数是 6 ．
【分析】先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值．
【解答】解：∵点P（x，y）位于第二象限，∴x＜0，y＞0，
又∵y≤2x+6，∴2x+6＞0，即x＞﹣3，所以﹣3＜x＜0，x=﹣1或﹣2，
当x=﹣1时0＜y≤4，y=1，2，3，4；
当x=﹣2时，y≤2，即y=1或2；
综上所述，点P为：（﹣1，1），（﹣1，2）（﹣1，3），（﹣1，4），（﹣2，1），（﹣2，2）共6个点．
【点评】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求特殊值．
14．若不等式组无解，则m的取值范围是m＜．
【分析】先求出各个不等式的解集，因为不等式组无解，所以必须是大大小小找不到的情况，由此即可求出答案．
【解答】解：解不等式组可得，因为不等式组无解，所以m＜．
【点评】本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式组中的字母的值，同样也是利用口诀求解．
注意：当符号方向不同，数字相同时（如：x＞a，x＜a），没有交集也是无解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
15．敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击 6 小时后可追上敌军．
【分析】设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军；等量关系为：我军的路程=敌军路程+敌我两军相距14千米；可列出方程，解可得答案．【解答】解：设我军以7千米/小时的速度追击x小时后可追上敌军．
根据题意得：7x=4（1+x）+14，
解得：x=6．
【点评】注意追及问题中的等量关系，不要忘记加上原来相距的距离．
16．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为﹣4 ．
【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，整体代入求得a的数值即可．
【解答】解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，
∴m+n=3，mn=a，
∵（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，
∴mn﹣（m+n）+1=﹣6
即a﹣3+1=﹣6
解得a=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1?x2=．
17．已知x，y均为实数，且满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，则= ﹣或2 ．
【分析】当x=y时，容易求解；
当x≠y时，由关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，可知x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根，由根与系数的关系，求出x+y与xy的值，再根据=，代入即可求值．【解答】解：当x≠y时，
∵x、y满足关系式x2﹣2x﹣6=0，y2﹣2y﹣6=0，
∴x、y是z2﹣2z﹣6=0的两根，
∴x+y=2，xy=﹣6，
∴===﹣．
当x，y的值相等时，原式=2．
故答案为：﹣或2．
【点评】本题容易忽视的情况是x，y可能是同一个值这一个情况．
18．若不等式组无解，则m的取值范围是m≥8 ．
【分析】不等式组无解就是两个不等式的解集没有公共部分，可利用数轴进行求解．
【解答】解：x＜8在数轴上表示点8左边的部分，x＞m表示点m右边的部分．当点m在8这点或这点的右边时，两个不等式没有公共部分，即不等式组无解．则m≥8．
故答案为：m≥8．
【点评】本题考查不等式组中不等式的未知字母的取值，利用数轴能直观的得到，易于理解．
19．一座桥长1200米，一列火车以每秒20米的速度通过这座桥，火车车身长300米，则火车从上桥到离开需要75 秒．
【分析】从火车从上桥到离开的路程：桥长+车身=1200+300=1500米，然后根据时间=路程÷速度列式可得结论．
【解答】解：设火车从上桥到离开需要x秒，
则20x=1200+300，
x=75（秒），
则火车从上桥到离开需要75秒．
故答案为：75．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
20．若实数a，b满足（a2+b2）（a2+b2﹣8）+16=0，则a2+b2= 4 ．
【分析】把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
【解答】解：令a2+b2=x，则原方程可化为：
∴x2﹣8x+16=0，
即（x﹣4）2=0，
∴x﹣4=0，
解得x=4，
即a2+b2=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使复杂问题简单化，变得容易处理．
21．方程=x﹣1的根为 4 ．
【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围验算即可得出答案．
【解答】解：由二次根式性质得：
x+5≥0且x﹣1≥0，
∴x≥1．
将=x﹣1两边平方得：
x+5=x2﹣2x+1，
整理得：x2﹣3x﹣4=0，
分解因式：（x﹣4）（x+1）=0，
12
∵x≥1，
∴x=4．
故答案为：4．
【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根式的性质．
22．要使关于x的方程有唯一的解，那么m≠ 3 ．
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得方程的解，根据方程有唯一解，可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3），得
x﹣2（x﹣3）=m
x=6﹣m，
∵分式方程有唯一解，
6﹣m﹣3≠0，
m≠3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的解，注意分式方程有解的条件是分母不能为零．
三．解答题（共6小题）
23．已知方程组的解x、y满足x+y＜1，且m为正数，求m的取值范围．【分析】根据消元法，得出x、y的值，再根据x+y＜1，且m为正数，可得答
案．
【解答】解：①×2﹣②，得3x=1+7m
x=，
把x=代入①得+y=1+3m，
y=，
∵x+y＜1，
m．
∵m＞0，
∴0．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先求出二元一次方程组的解，再求出m的取值范围．
24．一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，求这件夹克衫的成本是多少元？
【分析】设这件夹克的成本是x元，则标价就为1.5x元，售价就为1.5x×0.8元，由利润=售价﹣进价建立方程求出其解即可．
【解答】解：设这件夹克的成本是x元，由题意，得
x（1+50%）×80%﹣x=28，
解得：x=140．
答：这件夹克的成本是140元．
【点评】本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．