第一讲相似三角形的判定及有关性质
1．平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段______，那么在其他直线上截得的线段也______．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必____________．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线____________．
2．平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的__________成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的__________成比例．3．相似三角形的判定及性质
(1)相似三角形的判定
定义：____________，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的________对应相等，那么这两个三角形相似．简述：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应________，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述：两边对应________且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应________，那么这两个三角形相似．简述：三边对应________，两三角形相似．
(2)两个直角三角形相似的判定
定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应______，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应________，那么它们相似．
③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应________，那么这两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质
性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于________； ②相似三角形周长的比等于________； ③相似三角形面积的比等于______________；
④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于______________． 4．直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的____________；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的__________．
1．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，图形中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 的值为________．
2．(课本习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且AD
DB
＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．
2题图 3题图
3．如图，F 为?ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于点G ，E ，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．
4．(课本习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC .AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________．
4题图 5题图
5．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2，点E ，F 分别
为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.
题型一 平行线分线段成比例定理的应用
例1 如图，△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 与H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF ＝________.
思维升华 利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意： (1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；
(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；
(3)要注意“中间量”的运用与转化．
如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中
点，AE 交BC 于点F ，则BF
FC 的值为________．
题型二 相似三角形的判定及性质
例2 如图，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝1
2BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，
AH 交BF 于M ，则BM ＝______，CG ＝______. 思维升华 判定三角形相似的常用方法： (1)利用三角形判定定理； (2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．
(2013·陕西)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线
相交于点P .已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.
题型三 直角三角形的射影定理
例3 如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F . 求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC .
思维升华 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应关系，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是
∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE
EC .
分类不当、考虑不全致误
典例：(5分)已知AD 是△ABC 中BC 边上的高，若AD 2＝BD ·CD ，则△ABC 的形状是________． 易错分析 我们知道：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项．反之，因为三角形一边上的高可能在三角形外，因此，原定理的逆命题是不成立的，即题中的△ABC 不一定是直角三角形． 解析 若点D 在线段BC 上，如图1所示，
由AD 2＝BD ·CD ，可证△ABD ∽△CAD ，从而可得△ABC 是直角三角形．
若点D 在线段BC 的延长线上，如图2所示，则仍可证△ABD ∽△CAD ，但△ABC 是钝角三角形．
综上所述，△ABC 是直角三角形或钝角三角形． 答案 直角三角形或钝角三角形
温馨提醒 射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．要注意对于直角三角形射影定理一定成立，但满足该结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用.
方法与技巧
1．当证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找等角的两边对应成比例．
2．从平行线等分线段定理的推导到平行线分线段成比例定理的推导，注意定理推导过程从特殊到一般的思考方法．类似地，相似直角三角形是从任意两个三角形相似判定定理获得的． 3．几何证明的难度应严格控制，在解决同一问题的过程中，相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过两次，添置的辅助线不超过三条．
4．相似三角形性质的应用可用来考察与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等． 失误与防范
证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起来比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图能力，添加必要的辅助线．对计算问题要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理.
A 组 专项基础训练
1．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的所有序号为________．
①∠ADE ＝∠C ；②∠AED ＝∠B ；③AD AC ＝AE AB ；④DE BC ＝AE
AB
；⑤DE ∥BC .
1题图 2题图
2．如图所示，在△ABC 中，MN ∥DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝7∶3，则DB ∶AB 的值为________． 3．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 4．如图所示，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 的中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．
4题图 5题图
5．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M .若DB ＝9，则BM ＝________.
6．(2013·广东)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，BE⊥AC，垂
足为E，则ED＝________.
7．△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把
它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形的边长为________cm.
8．如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8，则AC＝________，CD2
BC2＝________.
8题图9题图
9．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE ＝________.
10．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，
则BE＝________.
B组专项能力提升
1．如图，四边形ABCD中，DF⊥AB，垂足为F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延长FB到E，使BE＝FB，连接BD，EC.若BD∥EC，则四边形ABCD的面积为________．
1题图2题图
2．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，若AB∶AC＝2∶1，则AD∶BC ＝________.
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，若S△ODC∶S△BDC＝1∶3，则S△ODC∶S△ABC＝________.
3题图4题图
4．如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的点，AE⊥DE，BE＝4，EC＝1，则AB的长为________．
5．如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上选取一点P ，使△P AD 和△PBC 相似，则这样的点P 有________个．
6．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若
AE
AD ＝14，则AF
AC
的值为______．
6题图 7题图
7．如图所示，在△ABC 中，ED ∥AB ，FG ∥AC ，PH ∥BC ，相应的交点分别为A 1，B 1，C 1，则图中与△ABC 相似的三角形的个数为________个．
答案
基础知识自主学习 要点梳理
1．相等 相等 平分第三边 平分另一腰 2．对应线段 对应线段
3．(1)对应角相等 两个角 成比例 成比例 成比例 成比例 (2)①相等 ②成比例 ③成比例 (3)①相似比 ②相似比 ③相似比的平方 ④相似比的平方 4．比例中项 比例中项 夯基释疑
1．2 2.45 3.8 4.24 cm 5.a 2
题型分类深度剖析 例1 2
解析 ∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF
AB
.
∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝1
4.∵HE ＝8，∴HF ＝2.
∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD
DC .
∵D 是AC 的中点，∴HD
DE ＝1.
∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4， ∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 跟踪训练1 1
2
解析 过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ， 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴
BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12
. 例2 4 15
解析 ∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，∴AB AD ＝14，BM DH ＝AB
AD .
∴BM 16＝1
4
，∴BM ＝4.
取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于Q ，如图，
则PQ 是梯形ADHE 的中位线， ∴PQ ＝1
2(AE ＋DH )
＝1
2
(12＋16)＝14. 同理：CG ＝12(PQ ＋DH )＝1
2(14＋16)＝15.
跟踪训练2
6
解析 ∵BC ∥PE ，∴∠PED ＝∠C ＝∠A ， ∴△PDE ∽△PEA ，∴PE P A ＝PD
PE ，则PE 2＝P A ·PD ，
又∵PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3. ∴PE ＝P A ·PD ＝ 6.
例3 证明 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .①
∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝AC
CD .
又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝AC
CD .②
由①、②得
EF DF ＝BC
AC
，即EF ∶DF ＝BC ∶AC . 跟踪训练3 证明 由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD 中，DF AF ＝BD
AB ，①
在△ABC 中，AE EC ＝AB
BC
，②
在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝AB BC
.③ 由①③得：DF AF ＝AB
BC ，④
由②④得：DF AF ＝AE
EC .
练出高分 A 组 1．①②③⑤
解析 由图中可知∠A 为公共角，由判定定理可知，①②正确；由∠A 为夹角可知，③正确；由平行线法知⑤正确；④不符合两边及其夹角法．
2．3∶10
解析 ∵MN ∥DE ∥BC ，∴
AD DB ＝AE EC ＝73
， ∴AD ＋DB DB ＝7＋33，∴AB DB ＝103，∴DB AB ＝310.
3.13
解析 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x .
Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.
4．1∶ 3
解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝1
2AB ，
在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝
3
2
AB ， 又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝1
3.
故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 5．3
解析 ∵E 是AB 的中点，∴AB ＝2EB . ∵AB ＝2CD ，∴CD ＝EB .
又AB ∥CD ，∴四边形CBED 是平行四边形．
∴CB ∥DE ，∴?
???
?
∠DEM ＝∠BFM ，∠EDM ＝∠FBM ，
∴△EDM ∽△FBM .∴DM BM ＝DE
BF .
∵F 是BC 的中点，∴DE ＝2BF . ∴DM ＝2BM ，∴BM ＝1
3DB ＝3.
6.212
解析 如图，作DF ⊥AC 于点F ， 由AB ＝3，BC ＝3知∠BAC ＝60°. 从而AE ＝
3
2
，
同理CF ＝
32，DF ＝32
， 所以EF ＝AC －AE －CF ＝23－
32－3
2
＝ 3. 所以在△DEF 中：DE 2＝DF 2＋EF 2＝94＋3＝21
4，
所以DE ＝21
2
. 7．4.8
解析 设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.
∵PN ∥BC ，∴△APN ∽△ABC . ∴
AE AD ＝PN
BC ，∴8－x 8＝x 12
. 解得x ＝4.8.
即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 8．12
916
解析 由EF ∥CD 可知，△AEF ∽△ADC . 于是有AE AD ＝AF
AC ，
由已知条件代入得，
66＋3＝8
AC
，所以AC ＝12. 又由∠AFE ＝∠B ，得△AFE ∽△ABC ， 从而△ACD ∽△ABC .
所以CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34，所以CD 2BC 2＝916.
9．6
解析 设DE ＝x ，
∵DE ∥AC ，EF ∥BC ，∴BE 15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4.
∴
BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x
4
. 又∵AD 平分∠BAC ，∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x
4，
解得x ＝6. 10．4 2
解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128，∴CD ＝8 2. 又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴
AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×82
12
＝4 2. B 组 1．6
解析 过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt △DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10， 由Rt △DFB ∽Rt △ENB ， 知
EN DF ＝BE BD
， 所以EN ＝310
10，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD
＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 2．2∶5
解析 设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝
5
5
k ， 又BD ＝BC －CD ＝45
5k ，
∴AD 2＝CD ·BD ＝
55k ·455k ＝45
k 2
， ∴AD ＝25
5k ，∴AD ∶BC ＝2∶5.
3．1∶6
解析 ∵S △ODC ∶S △BDC ＝1∶3， 且△ODC 和△BDC 有公共边CD ，
设△ODC 和△BDC 在CD 上的高分别为h 和H ， 则h ∶H ＝1∶3，∴DO ∶DB ＝1∶3， ∴DO ∶OB ＝1∶2.
又∵AB ∥CD ，∴△ODC ∽△OBA . ∴S △ODC ∶S △OBA ＝1∶4.
设S △ODC ＝a ，则S △OBC ＝2a ，S △OAB ＝4a ， ∵S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ，∴S △ABC ＝6a .
∴S △ODC ∶S △ABC ＝1∶6. 4．2
解析 方法一 ∵∠B ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝90°. ∵AE ⊥DE .∴∠AEB ＋∠CED ＝90°.
∴∠BAE ＝∠CED ，∴Rt △ABE ∽Rt △ECD ， ∴AB BE ＝EC CD ，即AB 4＝1
AB ，∴AB ＝2. 方法二 过E 作EF ⊥AD 于F .
由题知AF ＝BE ＝4，DF ＝CE ＝1. 则EF 2＝AF ·DF ＝4，∴AB ＝EF ＝2. 5．2
解析 设AP ＝x ，
(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x 33，
所以x 2－6x ＋9＝0，解得x ＝3.
(2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x
6－x ，
解得x ＝3
2.∴符合条件的点P 有两个．
6.17
解析 如图，
过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G . ∵
AE AD ＝14，∴AE ED ＝13
. 又∵△AGE ∽△DBE ， ∴AG BD ＝AE ED ＝13
. ∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ， ∴AG BC ＝16
.
∵△AGF∽△CBF，∴AF
FC＝AG
BC＝
1
6，∴
AF
AC＝
1
7.
7．7
解析由于PH∥BC，那么∠APH＝∠B，
而∠A是公共角，则△APH∽△ABC，
同理可以判断△BGF∽△BCA，△CED∽△CAB，进一步，FG∥AC，那么∠PFC1＝∠A.
又∠FPC1＝∠B，△FPC1∽△ABC，
同理可以判断△DGA1∽△BCA，△HEB1∽△CAB，而ED∥AB，那么∠FPC1＝∠A1B1C1，
而∠FPC1＝∠B，则∠A1B1C1＝∠B，
同理可得∠A1C1B1＝∠C，则△A1B1C1∽△ABC，所以图中与△ABC相似的三角形的个数共有7个．
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2) 理 科 数 学 注意事项： 1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ） （A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝ （2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) （A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 （4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量=?+-=-=则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和， 的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 6 1 D. 51 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的 圆心到原点的距离为
A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执 行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 2 1 D. 81 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记 的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
（5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈
相似三角形的判定和性质 知识讲解 1. 比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即a c b d =（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项． 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项． 比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ad=bc ②a ：b=b ：c （2）更比性质（交换比例的内项或外项） （交换内项） （交换外项） （同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= AB 0．618AB c b b a =?a c b =?2 d b c a =?= d c b a a c b d =a b c d =c d a b d c b a =?=d d c b b a d c b a ±=±?=2 1 5- ≈
如图，若AB PB PA ?=2 ，则点P 为线段AB 的黄金分割点． 2. 平行线分线段成比例定理： ① 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3． AB BC =DE EF ;AB AC =DE DF ; BC AC =EF DF . ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 3. 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． 4. 相似三角形的概念：对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形． 5. 相似三角形的性质 （1）对应角相等，对应边的比相等； （2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方． 6. 相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似． 7. 相似三角形的判定定理： (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
2015年高考文科数学试卷全国卷2（解析版） 1．已知集合{}|12A x x =-<<, {} |03B x x =<<,则A B =（ ） A ． ()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 【解析】 因为 {}|12A x x =-<<, {} |03B x x =<<,所以 {}|13. A B x x =-<<故选A. 考点：本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算. 2．若为a 实数,且2i 3i 1i a +=++,则a =（ ） A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】由题意可得 ()()2i 1i 3i 24i 4 a a +=++=+?= ,故选D. 考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念. 3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ） A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D 【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D. 考点：本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 4．已知 ()1,1=-a , () 1,2=-b ,则(2)+?=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意可得2 112=+=a ,123,?=--=-a b 所 以
2015年高考理科数学试卷全国1卷 1．设复数z 满足 11z z +-=i ，则|z|=（ ） （A ）1 （B （C （D ）2 2．o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 3．设命题p ：2 ,2n n N n ?∈>，则p ?为（ ） （A ）2 ,2n n N n ?∈> （B ）2,2n n N n ?∈≤ （C ）2,2n n N n ?∈≤ （D ）2,=2n n N n ?∈ 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 5．已知M （00,x y ）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） （A ）（ （B ）（ （C ）（3- ，3） （D ）（3-，3 ） 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部 的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =- + （B ）1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC = + （D ）4133 AD AB AC =-
相似三角形专讲 【知识要点】 1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2．相似三角形的判定： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 ②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 ③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 3．相似三角形具有下述性质： ①相似三角形对应角相等、对应边成比例； ②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。 5.射影定理 AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA CD 2=AD ·BD 6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比. 【典型例题】 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36o，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。 A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。 A ．∠ACP ＝∠ B B ．∠AP C ＝∠ACB C ． AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP BC
一、基础训练 １、如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足条件 时，△ADC ∽△ACB 。 E D C B A 第１题 第３题 第４题 第５题 10，则后一个三角形的面积2），如果点C 在X 轴上（C 与A 不重合）， B ，O ， C 组成的三角形与△ABC 相似。 ,CP:DP=3:4,则三角形APB 的面积:平行四边 ： ： ：S △BDC =1：3，那么S △ODC ：S △ABC 的值 是 二、例题精讲 1、如图，AB ∥EF ∥CD ，若AB=6cm ，CD=9cm ，求EF 的长。 ２、如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ， （1）△ABE 与△ECD 相似吗？为什么？ （2）设△ABE 的边BE 上的高为h 1，△ECD 的边CD 上的高为h 2，△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，求2 1 h h 的值及△BCE 的面积。 E F D C B A P D C B A O D C B A E D C B A
3、如图，已知直角三角形的铁片ABC 的两条直角边BC 、AC 的长分别为3、4，按图示所采用两种方法，各剪一块正方形的铁片，试比较哪一种方法剪出的正方形的面积较大； 4、如图，在△PAB 中，点C 、D 在边AB 上，PC=PD=CD ，∠APB=120°。 （1）△APC 与△PBD 相似吗？为什么？ （2）CD 是AC 与BD 的比例中项吗？ 5、如图，在ABC △中，1AB AC ==，点D ，E 在直线BC 上运动，设BD x =，CE y =． （1）如果30BAC ∠= ，105DAE ∠= ，试确定y 与x 之间的函数关系式； （2）如果BAC ∠的度数为α，DAE ∠的度数为β，当αβ，满足怎样的关系式时，（1）中y 与x 之间的函数关系式还成立，试说明理由． Ｂ Ｃ Ｅ Ａ Ｄ P D C B A
注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）设复数z满足1+z 1z - =i，则|z|= （A）1 （B）2（C）3（D）2 【答案】A 考点：1.复数的运算；2.复数的模. （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A）3 （B 3 （C） 1 2 -（D） 1 2 【答案】D 【解析】 试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. 考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式 （3）设命题P：?n∈N，2n>2n，则?P为 （A）?n∈N, 2n>2n（B）?n∈N, 2n≤2n （C）?n∈N, 2n≤2n（D）?n∈N, 2n=2n
【答案】C 【解析】 试题分析：p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C. 考点：特称命题的否定 （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】 试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为 22330.60.40.6C ?+=0.648，故选A. 考点：独立重复试验；互斥事件和概率公式 （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦 点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值范围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223- ，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程
相似三角形的性质与判 定讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
相似三角形的性质与判定讲义 【知识点拨】 一、相似三角形性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． (5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC ?有ABC ?∽ABC ?． (2)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?． (3)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽ C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 三、三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。 【例题精讲】： E D C B A
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科 （新课标卷二Ⅱ） 第Ⅰ卷 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A=｛-2，-1,0,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B= （A ）｛－1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2.若a 为实数且（2+ai ）（a -2i ）=－4i ，则a = （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是 （A ）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ）2007年我国治理二氧化硫排放显现 （C ）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4.等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 5.设函数f (x )=???≥++-1,2,1),2(log 112x x x x ＜ ，则f (－2)+ f (log 212) = （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的与剩余部分体积的比值为 （A ）81 （B ）71 （C ）6 1 （D ）51 7.过三点A （1,3），B （4,2），C （1,7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 相似三角形 了解相似三角形 掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型 会运用相似三角形相关的知识解决有关问题 一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． 知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线， 则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== '''''''' （k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平 分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B ' C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
比例线段 知识要点： 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例 的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫 做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质 (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 三、黄金分割 黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）. 如果 AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的 比叫做黄金比，其中 618.0≈AB AC . 四、平行线分三角形两边成比例 平行线分三角形两边成比例的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得对应线段成比例。
1.由平行线产生比例式 基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或 基本图形(2): 若DE//BC，则或或或 基本图形(3): 若AC//BD，则或或或 2．由比例式产生平行线段 基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。 基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。 例1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c的值。 例2、若, 求的值。 例3、如图,在□ABCD中,E为AB中点,,EF,AC相交于G,求。
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题 一、选择题 1、已知集合A={–2,–1,0,1,2}，B={x|(x –1)(x+2)<0}，则A∩B=( ) A ．{–1,0} B ．{0,1} C ．{–1,0,1} D ．{0,1,2} 2、若a 为实数，且(2+ai)(a –2i)= – 4i ，则a=( ) A ．–1 B ．0 C ．1 D ．2 3、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关 4、已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5、设函数f(x)=? ??1+log 2(2–x)(x<1) 2x –1(x≥1)，则f(–2)+f(log 212)=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下左1图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ． B ． C ． D ． 7、过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,–7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 8、如上左2程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a=( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 9、已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球上的动点，若三棱锥O –ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π 10、如上左3图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数，则y=f(x)的图像大致为( )
2015年高考文科数学试卷全国卷1（解析版） 1．已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个 数为( ) （A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2．已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 3．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）120 5．已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和， 若844S S =，则10a =（ ） （A ） 172 （B ）192 （C ）10 （D ）12 8．函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
相似三角形的判定与性质以及应用 考点一：相似三角形的判定与性质 1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上． （1）求证：△BDE∽△CEF； （2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC． 2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC． （1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值． 3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO． （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长． 5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E． （1）求证：△ABD∽△CBE； （2）若BD=3，BE=2，求AC的值．
6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E． （1）求证：BE2=EG?EA； （2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC． 动点问题： 1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
2015年高考理科数学试题及答案解析 卷）年普通高等学校招生全国统一考试（xx2015数学（理科） 分）第Ⅰ卷（共50一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年xx，理1】已知集合，，则（） （A）（B）（C）（D） （2）【2015年xx，理2】若复数满足，其中是虚数单位，则（）（A）（B）（C）（D） （3）【2015年xx，理3】要得到函数的图象，只需将函数的图像（）（A）向左平移个单位（B）向右平移个单位（C）向左平移个单位（D）向右平移个单位 （4）【2015年xx，理4】已知菱形ABCD的边长为，，则=（）（A）（B）（C）（D） （5）【2015年xx，理5】不等式的解集是（） （A）（B）（C）（D） （6）【2015年xx，理6】已知满足约束条件若的最大值为4，则（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3 （7）【2015年xx，理7】在梯形中，，，．将梯形 绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）（A）（B）（C）（D） 1
2015年高考理科数学试题及答案解析 （8）【2015年xx，理8】已知某批零件的xx误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其xx误差落在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，） （A）（B）（C）（D） （9）【2015年xx，理9】一条光线从点射出，经轴反射与圆相切，则反射光线 所在的直线的斜率为（） （A）或（B）或（C）或（D）或 （10）【2015年xx，理10】设函数则满足的取值范围是（）（A）（B）（C）（D） 分）100II卷（共第二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年xx，理11】观察下列各式： 照此规律，当时，． （12）【2015年xx，理12】若“”是真命题，则实数的最小值为．（13）【2015年xx，理13】执行右边的程序框图，输出的的值为．
专题1 相似三角形判定与性质（10.23） 专题知识回顾 1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 专题典型训练题
一、选择题 1.（2019年广西玉林市）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（） A．3对B．5对C．6对D．8对 2.（2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB ＝6，AC＝4，则AE的长是（） A．1B．2C．3D．4 3.（2019·广西贺州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE△BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（） A．5B．6C．7D．8 4.（2019?广西贵港）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD ＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 5.（2019?黑龙江哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，
★启封并使用完毕前 试题类型：A 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的、号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 【答案】A （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）3 （B 3 （C ）12- （D ）12 【答案】D 【解析】原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=1 2 ，故选D. （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n 【答案】C 【解析】p ?:2,2n n N n ?∈≤，故选C.
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【答案】A 【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ?+=0.648，故 选A. （5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ： 2 212 x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF u u u u r ?2MF u u u u r ＜0，则y 0的取值围是 （A ）（- 33，3 3 ） （B ）（- 36，3 6 ） （C ）（223-，223） （D ）（233-，23 3 ） 【答案】A （6）《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委 米依垣角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】
2015年广东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）（2015?广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则 ，则 y=y=x+ y= y=x+ +
4．（5分）（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个 B 个球的取法有 22 x+y+ =0 =，所以 6．（5分）（2015?广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）
对应的平面区域如图： ﹣x+x+ ﹣，经过点x+的截距最小， ，解得） ×=， 7．（5分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0）， ﹣=1 B ﹣=1 ﹣=1 ﹣=1
：﹣e= ，=3 所求双曲线方程为：﹣ 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题） 9．（5分）（2015?广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6． ﹣? ﹣=
=1 二项式（的系数为=6 10．（5分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10． 11．（5分）（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1． ，可得或B=，结合a=C=及正弦定理可求 sinB= 或B= B=，A= 由正弦定理可得， B=，与三角形的内角和为