五爱高级中学2013届第一学期期中考试
高 三 数 学
满分：150分，完成时间：120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每题答对得4分 1.设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若
A B ，则a 的取值范围是
_________________.
2.方程45240x
x
-+=?的解是_______________.
3.已知角α
是第一象限角，且(P a
是其终边上一点，若cos 4
a α=，则a 的值为 ___________.
4.二项式7
)21(x +展开式中，含2
x 的系数为___________.
5.若两球21,O O 的体积之比为127: ，则球21,O O 的半径之比为___________.
6.函数)82(log 2
3
1--=x x y 的单调递减区间为_____________.
7.函数),0(,12)(+∞∈+=-x x f x
的反函数_________)(1
=-x f
.
8.设3
1
)4
sin(=
+
π
θ，则θ2sin = . 9.统计某学校1000名学生的数学会考成绩，得到样本 频率分布直方图如右图所示，规定不低于60分为及格， 不低于80分为优秀，则优秀率为_______.
10.（理）由10件产品，其中3件是次品，从中任取两件， 若ξ表示取到次品的个数，则_______=ξE .
（文）已知??
???≤--≤+-≥022011y x y x x ，则2
2y x +的最小值是___________.
11. 若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1
)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()|lg |g x f x x =-的零点个数为 个．
装
订
线
装
订
线
装
订
线
12. 设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为
2
3π
的函数，若??
?
??
<≤<≤-=)0(sin )02
(cos )(ππx x x x x f ，则)314(π-f 的值为_______________. 13.已知1F 为椭圆C ：22
12
x y +=的左焦点，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于,A B 两点，
那么11||||F A F B +的值为_______________. 14.
记
,min{,},a a b a b b a b ≤ ? =?
> ?当时
当时
，已知函数
222()min{21,43}f x x tx t x x =++- -+是偶函数（t 为实常数），则函数)(x f y =的
零点为 .（写出所有零点）
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题答对得5分
15. 若1
{1,3,,2}3
α∈--，则使函数y x α
=的定义域为R ，且在(,0)-∞上单调递增的α的值是（ ） A ．
13和2 B ．1
3
C ．1-
D ．1-和3- 16. 在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,
，若222
()tan a b c B -+，则
角B 的值为（ ） A ．
6π B ．3π C ．3π或65π D ．3
π或32π
17. “1
8
a =
”是“对任意的正数x ，21a x x +≥”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
18．已知椭圆19
162
2=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=； ③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（ ）．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5小题，答题时必须写出必要的步骤
19. (12分)已知全集U R =，集合{|49
280}x x
A x =-?+<，5
{|
1}2
B x x =≥+，{||2|4}
C x x =-<，求A B ，U A C e.
20. (12分)在正三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形
ABC 的边长为2，D 为BC 中点，
三棱柱的体积V =， (1) 求该三棱柱的侧面积；
(2) 求异面直线AB 与1C D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
21.(14分)已知椭圆1C 的方程为2
214
x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是椭圆1C 的左、右顶点，而双曲线2C 的左、右顶点分别是椭圆1C 的左、右焦点.
(1) 求双曲线2C 的方程； (2) 若直线l
：y kx =+
2C 恒有两个不同交点A 和B ，且2O
A O
B >?（其中O 为坐标原点），求k 的取值范围.
22. (18分)
已知函数1()sin 2212f x x x =
-+，
(1) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2) 将函数()f x 的图像按向量(,1)6
a π
=-
-平移，与函数()g x 的图像重合，请判定
函数()g x 的奇偶性，并说明理由； (3) 若2()log f x t ≥对[,]122
x ππ
∈恒成立，求t 的取值范围.
23. (18分)对于函数)(),(),(21x h x f x f ，如果存在实数b a ,使得)()()(21x bf x af x h +=，那么称)(x h 为),(),(21x f x f 的生成函数.
(1)下面给出两组函数，)(x h 是否分别为)(),(21x f x f 的生成函数？并说明理由； 第一组：1()sin f x x =，2()cos f x x =，()sin()3
h x x π
=+
，
第二组：21()f x x x =-，22()1f x x x =++，2
()1h x x x =-+，
(2)设1,2,log )(,log )(2
1221====b a x x f x x f ，生成函数)(x h .若不等式
0)(2)(32<++t x h x h 在]4,2[∈x 上有解，求实数t 的取值范围；
(3)设)101(1
)(,)(21≤≤==x x
x f x x f ，
取0,1>=b a ，生成函数)(x h 使b x h ≥)(恒成立，求b 的取值范围.
五爱高级中学2013届第一学期期中考试 高 三 数 学 答 题 纸
满分：150分，完成时间：120分钟。
一、 填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每题答对得4分 1._______________ 2.________________ 3._________________ 4._______________ 5.________________ 6._________________ 7._______________ 8.________________ 9._________________
10.______________ 11._______________ 12._________________ 13.______________ 14._______________
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题答对得5分 15.__________ 16.__________ 17.__________ 18.__________ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5小题，答题时必须写出必要的步骤 19. (12分)已知全集U R =，集合{|49280}x
x
A x =-?+<，5
{|
1}2
B x x =≥+，{||2|4}
C x x =-<，求A B ，U A C e.
20.(12分)在正三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 的边长为2，D 为BC 中点，
三棱柱的体积V = (1) 求该三棱柱的侧面积；
(2) 求异面直线AB 与1C D
装 订
线
装
订 线 装
订
线
21.(14分)已知椭圆1C 的方程为2
214
x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是椭圆1C 的左、右顶点，而双曲线2C 的左、右顶点分别是椭圆1C 的左、右焦点， (1) 求双曲线2C 的方程；
(3) 若直线l ：y kx =+
2C 恒有两个不同交点A 和B ，且2O
A O
B >?（其中O 为坐标原点），求k 的取值范围.
22. (18分)已知函数1()sin 22122
f x x x =
-+， (1) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2) 将函数()f x 的图像按向量(,1)6
a π
=-
-平移，与函数()g x 的图像重合，请判定
函数()g x 的奇偶性，并说明理由； (3) 若2()log f x t ≥对[,]122
x ππ
∈恒成立，求t 的取值范围.
23. (18分)对于函数)(),(),(21x h x f x f ，如果存在实数b a ,使得)()()(21x bf x af x h +=，那么称)(x h 为),(),(21x f x f 的生成函数.
(1)下面给出两组函数，)(x h 是否分别为)(),(21x f x f 的生成函数？并说明理由； 第一组：1()sin f x x =，2()cos f x x =，()sin()3
h x x π
=+
，
第二组：21()f x x x =-，22()1f x x x =++，2
()1h x x x =-+，
(2)设1,2,log )(,log )(2
1221====b a x x f x x f ，生成函数)(x h .若不等式
0)(2)(32<++t x h x h 在]4,2[∈x 上有解，求实数t 的取值范围；
(3)设)101(1
)(,)(21≤≤=
=x x
x f x x f ，取0,1>=b a ，生成函数)(x h 使b x h ≥)(恒成立，求b 的取值范围.
五爱高级中学2013届第一学期期中考试 高 三 数 学 答 案
满分：150分，完成时间：120分钟。
二、 填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每题答对得4分 1. 2≥a 2. 2 或 0 3. 3 4. 84 5. 1:3 6. ),4(∞+
7. 1
2()log (1),(1,2)f x x x -=--∈ 8. 9
7
-
9. 2.0 10.（理）
5
3
（文）5 11. 10 12. 23 13. 328 14.1,3±±
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题答对得5分 15.B 16.D 17.A 18.C
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5小题，答题时必须写出必要的步骤 19. (12分)已知全集U R =，集合{|49280}x
x
A x =-?+<，5
{|
1}2
B x x =≥+，{||2|4}
C x x =-<，求A B ，U A C e.
解：)3,0(=A ，]3,2(-=B ，)6,2(-=C
]3,2(-=B A ，)6,3[]0,2(C -=C A U
20.(12分)在正三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 的边长为2，D 为BC 中点，
三棱柱的体积V = (1) 求该三棱柱的侧面积；
(2) 求异面直线AB 与1C D
解：（1）3=?ABC S ，sh V =，所以3=h
S 侧=18332=??=ch
（2）过D 作DE ∥AB ，所以DE C 1∠易得：11C D C E ==1ED =， 由余弦定理1cos C DE ∠=
=， 装
订
线
装
订
线
装
订
线
1C DE ∠=
，即异面直线所成角为 21.(14分)已知椭圆1C 的方程为2
214
x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是椭圆1C 的左、右顶点，而双曲线2C 的左、右顶点分别是椭圆1C 的左、右焦点， (1) 求双曲线2C 的方程； (4) 若直线l
：y kx =+
2C 恒有两个不同交点A 和B ，且2O
A O
B >?（其中O 为坐标原点），求k 的取值范围.
解：（1）设双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，则23a =，2
4c =，得21b =，
所以2C 的方程为2
213
x y -= （2
）将y kx =2
213
x y -=
得：22(13)90k x ---= 由直线l 与双曲线2C 交于不同两点，
得22
13036(1)0
k k ?-≠??=->??213k ≠且21k < ① 设1122(,),(,)A x y B x y
，则12213x x k +=
-，12
2
9
13x x k -=-，
所以
1212121222
12122
(37(1)()231
x x y y x x kx kx k k x x x x k +=++++=+++=-
又2OA OB >?，所以12122x x y y +>，即22
37231k k +>-，得21
33
k <<，
所以3
(1,(,1)k ∈-
22. (18分)已知函数1()sin 2212f x x x =
-+， (1) 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； (2) 将函数()f x 的图像按向量(,1)6
a π
=-
-平移，与函数()g x 的图像重合，请判定
函数()g x 的奇偶性，并说明理由； (3) 若2()log f x t ≥对[,]122
x ππ
∈恒成立，求t 的取值范围. 解：（1）()sin(2)13
f x x π
=-
+，所以T π=
又sin y t =的增区间为[2,2]()22k k k Z ππ
ππ-
+∈ 所以()f x 的单调递增区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈
（2）()()1sin[2()]11sin 2663
g x f x x x π
ππ
=+
-=+-+-=
()sin 2g x x -=-，所以()g x 为奇函数；
（3）()sin(2)13f x x π
=-
+在[,]122x ππ∈上的最值为1
[,2]2
若2()log f x t ≥对[,]122x ππ
∈恒成立，
则min
2()log f x t ≥? 21
log 2
t ≥?0t <≤
23. (18分)对于函数)(),(),(21x h x f x f ，如果存在实数b a ,使得)()()(21x bf x af x h +=，那么称)(x h 为),(),(21x f x f 的生成函数.
(1)下面给出两组函数，)(x h 是否分别为)(),(21x f x f 的生成函数？并说明理由；
第一组：1()sin f x x =，2()cos f x x =，()sin()3
h x x π
=+
，
第二组：21()f x x x =-，22()1f x x x =++，2
()1h x x x =-+，
(2)设1,2,log )(,log )(2
1221====b a x x f x x f ，生成函数)(x h .若不等式
0)(2)(32<++t x h x h 在]4,2[∈x 上有解，求实数t 的取值范围；
(3)设)101(1
)(,)(21≤≤=
=x x
x f x x f ，取0,1>=b a ，生成函数)(x h 使b x h ≥)(恒成立，求b 的取值范围. 解：（1
）①1211()sin()sin ()()32222
h x x x x f x f x π
=+
=+=+ 所以)(x h 是),(),(21x f x f 的生成函数.
②2
2
2
2
()1()(1)()()h x x x a x x b x x a b x b a x b =-+=-+++=++-+
所以1
11a b b a b +=??
-=-??=?
无解，所以)(x h 不是),(),(21x f x f 的生成函数.
（2）令2122
()2log log log h x x x x =+=，
? 2223log 2log 0x x t ++<在[2,4]x ∈上有解，
所以2
2
2221
1
3log 2log 3(log )3
3
t x x x <--=-++
（*） 因为24x ≤≤?21log 2x ≤≤，所以1x =时，（*）式最大值为5-，得5t <-. （3）()b h x x b x
=+
≥当110x ≤≤上恒成立，
所以2
(1)b x x -≤在110x ≤≤上恒成立； 当1x =时，上式成立；
当1x ≠时，21
(1)211
x b x x x ≤
=-++--，当2x =时，右边最小值为4， 所以04b <≤