第1章信号与系统的基本概念
1.信号、信息与消息的差别？
信号：随时间变化的物理量；
消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等
信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2.什么是奇异信号？
函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如：单边指数信号（在t=0点时，不连续），单边正弦信号（在t =0时的一阶导函数不连续）。较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号d(t)和单位阶跃信号u(t)。
5.线性时不变系统：同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统
线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应）、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。第2章
连续时间系统的时域分析
1.如何获得系统的数学模型？
数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。
不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。对于线性时不变系统，其数学模型通常由两种形式：建立输入-输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的若干个方程组成的方程组（状态方程）。
对于本课程研究较多的电类系统而言，建立系统数学模型主要依据两个约束特性：元件特性约束和网络拓扑约束。一般地，对于线性时不变连续时间系统，其输入-输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程则是一阶常系数微分方程组。在本章里，主要讨论系统的输入-输出方程。
2.系统的起始状态和初始状态的关系？
起始状态：通常又称状态，它是指系统在激励信号加入之前的状态
初始状态：通常又称状态，它是指系统在激励信号加入之后的状态。
起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。
3.零输入响应和零状态响应的含义？
零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。如果系统无外加输入信号（即输入信号为零）时，由起始状态所产生的响应（也可以看作为由起始状态等效的电压源或电流源----等效输入信号所产生的响应），称为零输入响应，一般用表示；如果系统起始无储能，系统的响应只由外加信号所产生，称为零状态响应，一般用表示。
根据等效原理，系统的起始储能也可以等效为输入信号，根据系统的线性性质，系统的响应就是零输入响应与零状态响应之和。
4.冲激响应与阶跃响应的关系和意义？
冲激响应与阶跃响应都属于零状态响应。
冲激响应：是系统在单位冲激信号激励下的零状态响应。对线性时不变系统，一般用表示，而且利用可以确定系统的因果性和稳定性。
5.卷积积分的意义？
卷积积分定义为：
其意义在于：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，求解线性时不变系统对任意激励信号的零状态响应。
第3章傅里叶变换分析
1.什么是频谱？如何得到信号的频谱？
目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式，比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率-幅度、频率-相位来表示周期信号的描述方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。
2.周期信号和非周期信号的频谱有何不同？
周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示，它是连续的、非周期的和收敛的。
3.吉伯斯现象是如何产生的？
当周期信号存在不连续点时，如果用傅里叶级数逼近，则不论用多少项傅里叶级数，只要不
是所有项，则在不连续点必然有起伏，且其起伏的最大值将趋近于一个常数，大约等于不连续点跳变值的8.95%，我们称这种现象为吉伯斯现象。
4.傅里叶变换的对称性如何应用？
5.傅里叶变换的对偶性有何意义？
傅里叶变换的对偶性建立了信号的时域表示波形和频域表示波形之间的对偶特点，即信号的表示形式不论是哪一种，在对信号的信息表示方面是等价的。利用傅里叶变换的对偶性可以很方便地求解某些信号的傅里叶逆变换。
7.什么是信号的周期取样，取样对信号产生什么样的影响？取样会不会改变信号的性质，如果改变，如何改变的？
随着数字技术的发展，数字信号处理的优点得到了信号处理和电子应用领域工作者的广泛认可，因而数字系统的应用领域也越来越广。而数字系统要求处理的信号是数字信号，这样就要求产生数字信号，在工程中，一般是通过A/D 转换器实现的，而从物理概念上来说，首先对连续时间信号进行取样，然后通过对取样得到的离散信号量化而获得数字信号。一般地，取样是通过周期地启动取样开关，即取样是等间隔进行的，因而称为周期取样。信号经取样后，由连续时间信号而成为离散时间信号。若取样间隔太大，将会造成信号中信息的丢失；而若取样间隔太小，虽然可以很好地保留信号中的信息，但需存储的数据量太大，造成系统的负担太重。如何很好地确定取样间隔，可由奈奎斯特取样定理进行选择。
8.什么是调制？调制对信号产生什么样的影响？调制的优点是什么？如何从幅度调制中解调出原基带信号？
调制就是通过携带信息的基带信号（调制信号）去控制载波信号的某一个或某几个参数，使这些参数按照的规律变化，从而形成具有高频频谱的窄带信号。其目的是为了实现信号的高效传输。信号被调制后，将易于发射和接收，且易于区分同一频带的不同基带信号。
幅度调制有多种方式，对于常规幅度调制方式，只要利用简单的包络检波就可以实现解调；而对于抑制载波调制或脉冲幅度调制，可以利用同步解调方式实现。
9.系统频域分析的特点是什么？
系统频域分析方法实际上也是对线性时不变系统的具体运用。它是将输入信号分解为不同频率的正弦信号的线性组合，而这些正弦信号经系统后，其稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅度和相位受到系统的控制而改变，在输出端，对这些幅度和相位发生改变的正弦信号相加，即得到系统的输出信号。而将输入信号推广到任意的频谱存在的信号，则为系统的频域分析方法。
10.不失真传输的条件是什么？在实际工作中能否获得不失真传输系统？
不失真传输的意义是输出信号和输入信号相比，只有幅度大小和出现先后的差别，而波形相
同。根据线性时不变系统的特点，这就必然有系统的冲激响应为
或系统的频率响应为
由此可见，该系统是一个理想系统，因而在实际工作中是不能实现的。
11.理想低通滤波器的频率响应具有什么特点？
理想低通滤波器定义为具有如下频率响应的系统：
因而若输入信号的频谱全部包含在滤波器的通带范围之内，则此低通滤波器对于此输入信号而言就为不失真传输系统。但理想低通滤波器实际上也是不能实现的，工程中，常用实际的滤波器来逼近理想滤波器。
第4章拉普拉斯变换分析
1.拉普拉斯收敛域的意义是什么？
拉普拉斯变换定义为：
是广义积分，其中变量是复变量，因而积分是否存在将取决于变量s，那么使得广义积分存在的s的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。这说明，拉氏变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。收敛域不同，说明信号不同。对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为。
2.极点和零点的意义是什么？它们有什么作用？
如果
，则称是的极点；
如果
，则称是的零点。
极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率）；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。
3.拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？
拉普拉斯变换的初值定理为：
若
，且连续可导
则
其应用的条件为必须是有理真分式；如果不是，则必须利用长除法，将表示为：
其中，B(s)是s的多项式，是有理真分式。则有
拉普拉斯变换的终值定理为：
若
，且连续可导
则
由于我们只讨论单边拉氏变换，因而其应用的条件为的极点必须全部在s平面的左半平面，否则，其终值不存在。
第5章连续时间系统的s域分析
1.系统函数是如何定义的？它的意义何在？
系统函数定义为：
其中，分别是系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换；也就是说系统函数定义为系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换的比值。换一种写法：。
根据拉氏变换的时域卷积性质，则有。
从而系统函数和系统的冲激响应是一对拉氏变换的关系。因而其地位和作用与系统的冲激响应完全等同。但是由于在拉氏变换域内，零状态响应是系统函数和输入信号的乘积运算，因而应用系统函数分析系统将比应用冲激响应的方法分析系统更为简便和直观。
2.在给定相应的系统条件时，如何利用系统函数求解系统的零状态响应和零输入响应？
3.系统函数在分析系统稳定性时有何作用？
根据线性时不变系统稳定性的条件：，则，即冲激响应的拉氏变换的收敛域包含虚轴，而考虑到我们研究的都是因果系统，其收敛域为，说明当系统函数的极点都在s平面的左
半平面时，系统是稳定的，这也说明了系统函数的极点位置决定着系统的稳定性。
4.系统函数在分析系统的频率响应时有何作用？
系统的频率响应定义为：在正弦信号激励下，系统的稳态响应随信号频率变化而变化的特性。根据对系统的稳态响应的研究，系统的频率响应与系统函数（必须是稳定系统）之间具有如下的关系：
用系统函数的零极点表示为：
根据复数运算规则，系统的频率响应可以表示为零点矢量与极点矢量之间的矢量乘法运算。
5.如何利用系统函数求解正弦激励信号下的系统稳态响应？
假设系统函数为，输入信号为
根据系统频域分析方法，系统输出的稳态响应为：
6.全通系统有何特点？
全通系统是指任意频率的信号均能通过系统进行传输，且经过系统后，各频率信号均有相同的幅度增益，但各频率信号的相位改变不具有明显的联系。一个全通系统的零点与极点一定是关于s平面的纵轴对称。
7.什么叫模拟滤波器？巴特沃兹滤波器有何特点？
利用模拟器件实现对连续时间信号的滤波作用的系统，称为模拟滤波器。其作用一般具有选频、滤噪等作用。巴特沃兹滤波器是一种可以实现的简单的滤波器，其特点是：幅频响应具有单调性的特点，且滤波性能随着滤波器阶数的增高而增强，但复杂性也随之增加。另外，N阶巴特沃兹滤波器的系统函数的极点在s平面上均匀分布在以截止频率为半径，以为间隔的圆周上（考虑稳定性原因，且一定在s平面的左半平面）。
8.系统框图和信号流图有何区别？它们的作用是什么？
系统框图和信号流图是进行系统模拟的有效方法。信号流图只有点和线组成，可以看作为系统框图的一种简化形式。它们都是用加法器、积分器和数乘器来模拟实际系统中出现的微分、放大和求和等信号处理和变换功能，从而降低实验成本，提高系统研制效率的目的。
第9章离散时间系统的时域分析
1.离散时间信号、连续时间信号、数字信号和模拟信号相互之间的联系和区别是什么？
离散时间信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）连续变化的信号；
连续时间信号是指自变量（时间）连续的信号；
数字信号是指自变量（时间）离散、而函数值（幅度）也离散的信号；
模拟信号是指自变量（时间）连续、而函数值（幅度）也连续变化的信号；
对模拟信号或连续时间信号进行取样可以得到离散时间信号，而对离散时间信号进行量化则得到数字信号；对离散时间信号进行插值可以恢复连续时间信号。
2.周期离散时间信号的周期如何确定？
若离散时间信号是周期的，即，其中是任意整数，是正整数。而对于连续时间信号而言，若其是周期的，则有，其中是任意整数，是正实数。
3.单位样值序列、单位阶跃序列之间的关系是什么，将单位阶跃序列推广到一般的序列后，它们之间的关系又怎样？
单位样值序列定义为：
单位阶跃序列定义为：
4.序列的移位运算有何特点？序列的差分运算是如何得到的？
序列的移位有左移和右移，
左移为：，其中是正整数；
右移为：，其中是正整数；
5.离散时间系统的数学模型怎么描述？怎么实现离散时间系统？
离散时间系统的数学模型是用差分方程来表示的，对于线性时不变离散时间系统，其输入-输出的数学模型是一个高阶常系数线性差分方程。
离散时间系统是由数字器件实现的，即利用延时器、加法器和数乘器，实现描述系统差分方程中的各个运算。
6.常系数线性差分方程的解如何得到？在求解过程中应注意什么问题？
常系数差分方程的求解方法有多种，如迭代法，经典解法，系统解法，变换解法等等。
迭代法求解简单，但不易得到方程的闭式解；
7.线性时不变离散时间系统的单位样值响应有和意义，它在分析离散时间系统时起着怎样的作用？
单位样值响应定义为离散时间系统在输入信号为单位样值信号时的零状态响应。
第7章离散时间系统的z域分析
1.z变换是如何提出的？它的作用是什么？
z变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。它可以看作为拉氏变换的推广。
z变换定义为：
---- 双边z变换（1）
---- 单边z变换
（2）
其中z是复变量，。
连续时间系统的拉氏变换的变量s和分析离散时间系统的z变换的变量z之间的映射关系：
4.z逆变换的求解方法有几种？
z逆变换的求解方法主要有三种：围线积分法（复变函数理论），幂级数展开法和部分分式展开法。其中幂级数展开法只适用于单纯的左边序列或右边序列，而且不易得到序列的解析式，因而实际中使用不多；而围线积分法（复变函数理论）和部分分式展开法因其方法的逻辑性较强，适用于各种序列，而且便于得到序列的解析式，所以，最为我们所采纳。
在求解z逆变换时，特别要注意极点相对于收敛域的位置，因为这关系到序列的性质，是序列的左边部分还是右边部分。
7.离散时间信号的频谱如何定义？它具有什么特点？
离散时间信号的频谱定义为离散时间信号的傅里叶变换：
其意义在于建立了离散时间信号和傅里叶变换之间的关系，从而建立了信号的时间域和频率域之间的映射关系，统一了离散时间信号与系统和连续时间信号与系统的分析方法。
离散时间信号的频谱具有周期性和连续性的特点，这是与连续时间信号频谱的主要区别。
9.数字滤波器具有什么特点？它有什么优点？在实现时，有几种结构？各有什么特点？
在数字滤波器中，输入和输出都是离散时间序列。数字滤波器的作用是对离散时间信号进行处理和变换，这里我们是指选频滤波器，即滤除信号中的多余频率成分的滤波器。
其优点主要有：精度高，稳定性好，灵活性大，体积小，易于集成等。
实现时，主要有三种结构：
（1）直接型：稳定性受系数影响较大，零点和极点受系数的影响很大；
（2）级联型：实现的结构简单，零点和极点受系数的影响较小；
（3）并联型：实现的结构也较简单，极点受系数影响较小，但零点受系数影响较大。
第8章系统的状态变量分析法
1.状态变量以及与之有关的各个术语的意义？
状态：表示系统的一组最少的物理量；
状态变量：能够表示系统状态的那些变量；
状态矢量：能够完全描述系统行为的一组状态变量；
状态空间：状态矢量所在的空间；
状态轨迹：在状态空间中，状态矢量端点随时间变化而描出的路径。
2.状态变量分析法的优点是什么？
便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化；简化系统的分析，因为状态变量分析法与系统的复杂程度无关；适用于非线性系统或时变系统；定性研究系统的稳定性和系统可控制性和可观测性；便于采用计算机数值解法。
3. 如何建立连续时间系统和离散时间系统的状态方程？
（1）确定系统的状态-----系统的阶数；
（2）选择状态变量----对于连续时间系统的直观编写法，一般选择电容上的电压和流过电感的电流；对于连续时间系统的间接编写法，一般首先是获得系统的信号流图，选择积分器的输出作为状态变量；对于离散时间系统，一般首先是获得系统的信号流图，选择延时器的输出作为状态变量
（3）根据系统的给定形式，列写系统的状态方程；
（4）化简状态方程，并写成矩阵形式。
4.如何求解连续时间系统和离散时间系统的状态方程？
时间域解法要利用矩阵指数的运算进行求解；而变换域解法是利用拉氏变换或z变换，将微分方程组或差分方程组转换为代数方程组，利用线性代数的方法进行求解，从而可以简化方程的求解。
5.系统状态方程和输出方程中对应的四个矩阵的意义是什么？
矩阵称为系统矩阵，因为根据状态方程和输出方程，利用变换域求解方法，得到连续时间系统和离散时间系统的系统函数矩阵分别为：
和
由此可以看出系统函数的极点完全由矩阵确定，而系统函数的极点位置可以充分描述系统是否稳定，以及系统在时域中的特性，因此说矩阵可以充分表述系统的自身特性，因而我们称矩阵为系统矩阵。
矩阵称为控制矩阵，根据控制理论，在已知系统矩阵的条件下，矩阵确定了输入信号对系统内部状态的控制能力，可以决定系统能否在有限时间内实现所有预定的要求，如果能够完全实现，则称系统是完全可控的，反之，则是不完全可控的。
矩阵称为观测矩阵，根据控制理论，在给定输入信号后，系统在有限时间内，能否根据输出信号惟一地确定系统的所有起始状态，如果能够确定所有起始状态，则称系统完全可观的，反之，则是不完全可观的。而矩阵和的性质则完全描述了系统的这一特性。
3.6：线性规划 目录： （1）线性规划的基本概念 （2）线性规划在实际问题中的应用 【知识点1：线性规划的基本概念】 (1)如果对于变量x 、y 的约束条件，都是关于x 、y 的一次不等式，则称这些约束条件为__线性约束条件__(),z f x y =是欲求函数的最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫做__目标函数_，当(),f x y 是x 、y 的一次解析式时，(),z f x y =叫做_线性目标函数__. (2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为__线性规划问题__ ；满足线性约束条件的解(),x y 叫做__可行解_；由所有可行解组成的集合叫做__可行域_；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做_最优解__ 例题：若变量x 、y 满足约束条件2 10x y x y +≤?? ≥??≥? ，则z x y =+的最大值和最小值分别为 ( B ) A. 4和3 B. 4和2 C. 3和2 D. 2和0 分析：本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法. 解：画出可行域如图 作020l x y +=： 所以当直线2z x y =+过()20A ， 时z 最大，过()1,0B 时z 最小max min 4, 2.z z == 变式1：已知2z x y =+，式子中变量x 、y 满足条件11y x x y y ≤?? +≤??≥-? ，则z 的最大值是__3___ 解：不等式组表示的平面区域如图所示.
作直线0:20l x y +=，平移直线0l ，当直线0l 经过 平面区域的点()21A -，时，z 取最大值2213?-=. 变式2：设2z x y =+，式中变量x 、y 满足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ，求z 的最大值和最小值 分析：由于所给约束条件及目标函数均为关于x 、y 的一次式，所以此问题是简单线性 规划问题，使用图解法求解 解：作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示． 把2z x y =+变形为2y x z =-+，得到斜率为-2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小． 解方程组430 35250x y x y -+=??+-=?，得A 点坐标为()5,2， 解方程组1 430x x y =??-+=? ，得B 点坐标为()1,1 所以max min 25212,211 3.z z =?+==?+= 变式3：若变量x 、y 满足约束条件6 321x y x y x +≤?? -≤-??≥? ，则23z x y =+的最小值为( C ) A. 17 B. 14 C. 5 D. 3
北京化工大学 攻读博士学位研究生入学考试 《线性系统理论》考试大纲 一、适用的招生专业 控制理论与控制工程； 二、考试的基本要求 要求考试比较系统地理解线性系统状态空间设计方法的基本概念和基本理论，掌握线 性系统的状态空间分析和设计方法，要求考试具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力 和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。 三、考试的主要内容与要求 （▲表示应掌握；■表示应理解；?表示应了解） 1．▲线性系统的状态空间描述 传递函数表达与状态空间描述之间的相互转换；代数等价；组合系统的状态空间描述。2．线性系统的运动分析 ▲状态转移矩阵的定义、性质；▲定常和时变系统的状态转移矩阵求解；▲定常和时变系统的状态运动分析；■连续系统的离散化；■离散系统的运动分析。 3．线性系统能控性和能观性分析 ▲能控性及能观性定义；▲时变和定常系统的能控性及能观测性判别；■对偶原理；▲能控、能观规范型；?结构分解。 4．线性系统稳定性分析 ▲Lyapunov意义下的运动稳定性定义；■Lyapunov稳定性理论；■线性系统的Lyapunov稳定性分析；?离散系统的状态运动稳定性及判据。 5．线性系统的综合设计理论 ▲状态反馈和输出反馈的比较；极点配置问题的定义，▲极点配置条件；单变量系统的极点配置算法；■状态反馈的镇定问题；?输入——输出静态、动态解耦的定义、条件和算法；?跟踪控制；?线性二次型最优问题；▲观测器的提法、分类、与存在条件；▲全维状态观测器的设计；?降维状态观测器的设计；■观测器状态反馈控制系统及分离原理。 四、考试参考书 郑大钟，线性系统理论。北京：化学工业出版社。
《数字信号处理》辅导 一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号 （1）基本概念 信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。 连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。 离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页） 1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=?=?≠? 2）单位阶跃序列 1,0 ()0,0n u n n ≥?=?≤? 3）矩形序列 1,01 ()0,0,N n N R n n n N ≤≤-?=?<≥? 4）实指数序列 ()n a u n 5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列 1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页） 2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓 设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即 ()()i x n x n iL ∞ =-∞ = -∑ 当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠ （4）序列的分解 序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即
第1章 信号与系统的基本概念 1.1 引言 系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。 我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。 很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。 隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。 信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。 系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的重要差别。本课程的内容限于线性时不变系统。 我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。为了充分地和规范地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。 信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。图1-2是从时域和频域观察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。系统的频域分析是观察系统对不同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和系统的响应速度给出定量的描述。例如，当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率范围时，可以保证测量的准确。（2）
四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)
解线性方程组基思想
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四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠 密矩阵——直接法；一类是解大型稀疏矩阵——迭代法。 1.1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组的解。 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。 >>X= A\b %求解X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。 则：A*X=b 变成L*U*X=b 所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令[L，U]=lu (A) 在matlab中可以编如下通用m 文件： 在Matlab中建立M文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：其中R为上三角阵。 方程A*X=b 变成所以 在Matlab中建立M文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形 式，即：A=QR 方程A*X=b 变形成QRX=b 所以X=R\(Q\b)
第3章 线性系统的时域分析 学习要点 1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义； 2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用； 3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算； 4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法； 5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。 思考与习题祥解 题 思考与总结下述问题。 （1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。 【 （2）总结ξ和n ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。 （4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响 （5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。 （6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关 答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。 图 二阶系统特征根在复平面上的分布 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是 以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。 @ 当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。 当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。 ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。 当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。 当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差； ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。因此，二阶系统的时域性能指标超 调量由ξ值唯一确定，即001_ 100%2 ?=-π ξξ σe 。在工程设计中，对于恒值控制系 统，一般取 ξ＝～；对于随动控制系统ξ＝～。 n ω是系统无阻尼自然振荡频率，反映系统的快速性。当ξ一定，二阶系统的 时域性能指标调节时间与n ω值成反比，即34 s n t ξω≈。 （3）二阶系统增加一个零点后，增加了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量增大，上升时间和峰值时间减小。 所增加的零点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若零点距离虚轴越远，则其影响越小。 （4）二阶系统增加一个极点后，减弱了系统的振荡性，将使系统阶跃响应的超调量减小，上升时间和峰值时间减小； 所增加的极点越靠近虚轴，则上述影响就越大；反之，若极点距离虚轴越远，则其影响越小。 & （5）系统误差与系统的误差度（开环传递函数所含纯积分环节的个数或系统型别）、开环放大系数，以及作用于系统的外部输入信号有关。如果是扰动误差还与扰动作用点有关。 因此，减小或消除系统稳态误差的措施与方法有：增大开环放大系数，增加系统开环传递函数中的积分环节，引入按给定或按扰动补偿的复合控制结构。 无论采用何种措施与方法减小或消除系统稳态误差，都要注意系统须满足稳定的条件。 （6）采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施来减小或消除系统扰动误差时，所增加的积分环节须加在扰动作用点之前。若所增加的积分环节加在扰动作用点之后，则该积分环节无改善抗扰效果作用。这一点可以通过误差表达式分析得到。 题系统特征方程如下，试判断其稳定性。 （a ）0203.002.023=+++s s s ； （b ）014844122345=+++++s s s s s ； （c ）025266.225.11.0234=++++s s s s ！ 解：（a ）稳定； （b ）稳定； （c ）不稳定。
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 知识点二 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ，当z 变化时，方程表 示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？
第一部分 1.什么是线性系统，线性系统怎么分类？ 2.状态空间描述和输入输出描述的基本概念及其关系？ 3.系统状态空间描述建模，主要是指电路，力学模型，机电装置的状态空间描 述数学建模。 4.状态方程的约当标准形及其性质。 5.传递函数矩阵概念，传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系（已知状态空 间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现）。 6.线性坐标变换。 7.组合系统的状态空间描述，输入输出描述建模。 8.矩阵指数函数及其性质。 9.线性系统的运动求解：系统矩阵特征值，特征向量都运动的影响。 10.脉冲响应阵与传递函数的关系，卷积定理。 11.状态转移矩阵及其性质。 12.线性系统离散化及其性质，求解。 13.线性系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。 14.能控性指数，能观性指数，对偶定理。 15.能控能观标准型及其结构分解，结构分解后各部分的输入输出描述，状态空 间描述之间的关系，会对约当标准型。 16.线性系统内部稳定，BIBO稳定概念及其性质。 17.连续的离散系统李雅普诺夫稳定概念及其各种判据定理。会用李雅普诺夫方 法判定连续系统、离散系统的稳定性。 18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。 19.极点配置及其算法。 20.镇定条件，镇定与极点配置的关系（算法不考，但对于一个线性系统能进行 是否能镇定条件判断）。 21.解耦控制形式，分类，各种解耦方法特点，系统能否解耦判断，会进行积分 性解耦算法。 22.跟踪问题及其结构框图，内膜原理（会建立跟踪问题的内膜），可跟踪条件。 23.各种线性二次型最优控制问题指标含义，掌握最优控制及其性能指标求法。 24.无限时间最优控制的稳定裕度，反馈增益可动范围及其物理意义。 25.状态观测器设计，分类及其特点，掌握全维和降维观测器设计方法。 26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。
第一讲 基本概念 一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: ???????=+++=+++=+++, ,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 个数1C ,2C , …, n C 构成,它满足:当每个方程中的 未知数1x 都用1C 替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个: (1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. ???=+=+f ey dx c by ax 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷 多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总 是齐次线性方程组的解,称为零解.
因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷 多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为 (i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21222 2111211 =和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 212 12222111211)(=β 为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐 次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息. 2009年的一个题中,一个方程组的系数矩阵为
《数字信号处理》课程教学大纲 课程编号: 11322617，11222617，11522617 课程名称：数字信号处理 英文名称：Digital Signal Processing 课程类型: 专业核心课程 总学时：56 讲课学时：48 实验学时：8 学分：3 适用对象: 通信工程专业、电子信息科学与技术专业 先修课程：信号与系统、Matlab语言及应用、复变函数与积分变换 执笔人：王树华审定人：孙长勇 一、课程性质、目的和任务 《数字信号处理》是通信工程、电子信息科学与技术专业以及电子信息工程专业的必修课之一，它是在学生学完了信号与系统的课程后，进一步学习其它专业选修课的专业平台课程。本课程将通过讲课、练习、实验使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。为以后进一步学习和研究奠定良好的基础。 二、课程教学和教改基本要求 数字信号处理是用数字或符号的序列来表示信号，通过数字计算机去处理这些序列，提取其中的有用信息。例如，对信号的滤波，增强信号的有用分量，削弱无用分量；或是估计信号的某些特征参数等。总之，凡是用数字方式对信号进行滤波、变换、增强、压缩、估计和识别等都是数字信号处理的研究对象。 本课程介绍了数字信号处理的基本概念、基本分析方法和处理技术。主要讨论离散时间信号和系统的基础理论、离散傅立叶变换DFT理论及其快速算法FFT、IIR和FIR数字滤波器的设计以及有限字长效应。通过本课程的学习使学生掌握利用DFT理论进行信号谱分析，以及数字滤波器的设计原理和实现方法，为学生进一步学习有关信息、通信等方面的课程打下良好的理论基础。 本课程将通过讲课、练习、实验使学生掌握数字信号处理的基本理论和方法。为以后进一步学习和研究奠定良好的基础，应当达到以下目标： 1、使学生建立数字信号处理系统的基本概念，了解数字信号处理的基本手段以及数字信号处理所能够解决的问题。 2、掌握数字信号处理的基本原理，基本概念，具有初步的算法分析和运用MATLAB编程的能力。 3、掌握数字信号处理的基本分析方法和研究方法，使学生在科学实验能力、计算能力和抽象思维能力得到严格训练，培养学生独立分析问题与解决问题的能力，提高科学素质，为后续课程及从事信息处理等方面有关的研究工作打下基础。 4、本课程的基本要求是使学生能利用抽样定理，傅立叶变换原理进行频谱分析和设计简单的数字滤波器。 三、课程各章重点与难点、教学要求与教学内容
线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4
（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解
学习笔记（信号与系统） 第一章信号和系统 信号的概念、描述和分类 信号的基本运算 典型信号 系统的概念和分类 1、常常把来自外界的各种报道统称为消息； 信息是消息中有意义的内容； 信号是反映信息的各种物理量，是系统直接进行加工、变换以实现通信的对象。 信号是信息的表现形式，信息是信号的具体内容；信号是信息的载体，通过信号传递信息。 2、系统(system)：是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 3、信号的描述——数学描述，波形描述。 信号的分类： 1）确定信号（规则信号）和随机信号 确定信号或规则信号——可以用确定时间函数表示的信号；随机信号——若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。 2）连续信号和离散信号 连续时间信号——在连续的时间范围内(-∞
第一课什么是卷积卷积有什么用什么是傅利叶变换什么是拉普拉斯变换 引子 很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。 先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！) 讲一个故事: 张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。 然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。 "很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸:"这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！" 这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?" 于是上帝出现了:"张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。 上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！" 张三照办了，"然后呢?" 上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。" 张三领悟了:"哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?" 上帝说:"叫卷积！" 从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！ ---------------------------------------- 张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。 经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说:"看，这个小设
《信号与系统》教学大纲 第一部分：课程性质、课程目标与教学要求课程性质：《信号与系统》是电子信息工程专业本科生的专业基础主干课程，是该专业的必修课程。在专业培养方案中安排在第二学年第二学期实施。该课程与本科生的许多专业课（例如通信原理、数字信号处理、通信电路、图象处理、微波技术等）有很强的联系，是研究各类电子系统共性的一门技术基础课程。它具有科学方法论的鲜明特点，研究的问题带有普遍性，对工程实践具有重要的指导意义。它的任务是研究信号和线性非时变系统的基本理论和基本分析方法，要求掌握最基本的信号变换理论，并掌握线性非时变系统的分析方法，为学习后续课程，以及从事相关领域的工程技术和科学研究工作奠定坚实的理论基础。 课程目标：设置本课程的目的在于使学生通过本课程的学习，初步建立起有关“信号与系统”的基本概念，掌握“信号与系统”的基本理论和基本分析方法，为进一步学习后续课程及从事通信、信息处理等方面有关研究工作打下基础。通过本课程的学习，学生应该掌握信号与系统的基本概念、基本理论和基本分析方法，通过一定数量的习题练习加深对各种分析方法的理解与掌握。 教学要求：信号与系统是一门理论结合实践的课程，本课程旨在使学生掌握信号与线性系统的基本理论，基本分析法，为后续课的学习及从事实际的科研工作奠定必要的基础。因此，要求学生在学习中，关注基本知识与方法的应用，积极参与信号与系统实践课程，课后要做一些相关练习和讨论。 第二部分：关于教材与学习参考书的建议本课程使用的教材是由高等教育出版社出版2006年吴大正等编著的《信号与线性系统分析》（第4版）。该教材入选“十五”国家级重点教材，发行数万册，是高等教育出版社比较全面系统的高校信号与系统教材。很多高校以该教材建设精品课程。 为了更好地理解和学习课程内容，建议同学可以进一步阅读以下几本重要的参考书： 1、郑君里：《信号与系统》，高等教育出版社2006年1月 2、管致中：《信号与线性系统》，高等教育出版社，2004年1月 3、刘泉主编：《信号与系统题解》，华中科技大学出版社，2003年12月 4、梁虹主编：《信号与系统分析及MATLAB实现》，电子工业出版社，2002 5、张小虹编著：《信号与系统》，西安电子科技大学出版社，2004 第三部分：课程教学内容纲要 第一章信号与系统 1.基本内容： 连续时间信号与离散时间信号的概念；连续时间系统和离散时间系统的概念；信号的基本运算；卷积的计算。 2.基本要求：
线性方程组和矩阵知识总结 吴荣魁 2013201363 线性方程组的基本概念 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量它满足:当每个方中的未知数xi 都用ki 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解 b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. 线性方程组的解法 ???????=+++=+++=+++m mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 322112222212111212111 （1）、写出线性方程组的增广矩阵。 （2）、用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵。 （3）、看阶梯形矩阵的最后一个非零行的首非零元是否在最后一列。如果是，则方程组无解；反之方程组有解。 （4）、在有解的情况下，找出阶梯形矩阵中非零行的个数r 。如果r=n ，则方程组有唯一解；如果r 《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩 信号与系统基本概念 一.常用信号 ε(t) δ(t) cos(ωt+Ф) e st ε(k) δ(k) cos(ωk+Ф) a k e sk 二.信号常用运算 x(t)=x1(t)+x2(t) x(k)=x1(k)+x2(k) x(t)=x1(t)-x2(t) x(k)=x1(k)-x2(k) x(t)=x1(-t) x(k)=x1(-k) x(t)=x1(t-t0) x(k)=x1(k-k0) x(t)=x1(at) x(k)=x1(ak) x(t)=x1(at-t0) x(k)=x1(ak-k0) x(t)=dx1(t)/dt x(k)=x1(k)-x1(k-1) ex1: y(t)=(t+2)*(ε(t+2)-ε(t)) +2ε(t)-2ε(t-2) y(1-2t)=? 三.周期信号与非周期信号 f(t+T)=f(t) f(n+N)=f(n) ex2: f(k)=cos(2k) g(k)=cos(π/3k)+cos(π/4k) 周期信号? f(k): N=2π/2=π g(k): N=m1*N1=m2*N2 N1=2π/(π/3)=6 N2=8; N=m1*6=8*m2 N=m1*3=4*m2 m1=4 m2=3 N=4*6=24; 四.奇偶函数 x(-t)=x(t) x(-t)=-x(t) 五.系统分类 LTI----线性时不变系统 1.线性与非线性系统 线性: 零状态下: a1*x1(t)+a2*x2(t) a1*y1(t)+a2*y2(t) a1*x1(k)+a2*x2(k) a1*y1(k)+a2*y2(k) 2.时不变与时变系统 时不变 x(t-t0) y(t-t0) x(k-k0) y(k-k0) ex3: y(t)=x(t)*cos (ωC t) 线性? 时不变? If x(t)= a1*x1(t)+a2*x2(t) Then y(t)=(a1*x1(t)+a2*x2(t)) *cos (ωC t) = a1*x1(t) *cos (ωC t)+ a2*x2(t)* cos (ωC t) =a1*y1(t)+a2*y2(t) 线性线性代数的基本概念
信号与系统基本概念
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