2010年中考数学一轮复习 四边形
知识梳理
知识点1.四边形与特殊四边形的关系 重点:掌握四边形与特殊四边形的关系 难点:理解关系,熟练掌握图形知识 (在箭头上填写适当条件).
知识点2.平行四边形的性质、判定 重点:掌握平行四边形的性质、判定 难点:运用平行四边形的性质、判定 1.平行四边形的性质
2.平行四边形的判定:
例1. 如图,在□ABCD 中,已知对角线AC 和BD 相交于点O ,△AOB ?的周长为15,AB=6,
那么对角线AC+BD=_______.
解题思路:运用平行四边形的对角线互相平分,AC+BD=2(AO+BO)=18 例2如图,在□ABCD 中, E 、F ?是对角线AC 上的两点,请你
再添加一个条件,使四
边形DEBF 是平行四边形,你添加的
条件是 ,说明你的理由。
解题思路:运用平行四边形的判定(对角线互相平分)AE=CF 或AF=CE 练习
1.下面命题中,正确的是( )
A. 一组对角相等的四边形是平行四边形
B. 一组对角互补的四边形是平行四边形
C. 两组边分别相等的四边形是平行四边
D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
2.平行四边形的一边的长为10,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是( ) A.
B.
C.
D.
3.已知:如图,E 、F 是平行四边行ABCD 的对角线AC 上的两点,AE=CF 。求证: (1)△ADF ≌△CBE ; (2)EB ∥DF 。
答案:1.D 2.D 3. 证明:(1)∵AE=CF
∴AE+EF=CF+FE 即AF=CE 又ABCD 是平行四边形,∴AD=CB ,AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中
AF=CE AD=CB DAF= BCE ??
?
?∠∠?
∴△ADF ≌△CBE (SAS ) (2)∵△ADF ≌△CBE ∴∠DF A=∠BEC ∴DF ∥EB
知识点3.特殊四边形的性质、判定 重点:掌握特殊四边形的性质、判定 难点:运用特殊四边形的性质、判定 1.特殊四边形的性质
2.特殊四边形的判定:
例1.如图,已知以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作 等边△ABD 、△BCE 、△ACF ,请回答下列问题: (1)四边形ADEF 是什么四边形?写出理由。
(2)当△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?
(3)当△ABC 满足什么条件时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在?
解题思路:解探索性问题,一般借助直观、直觉或经验先猜测结论,再结合条件加以说明,要注意抓住图形的特殊性,要得到特殊条件,就要构造特殊图形.
解:(1)四边形ADEF 是平行四边形;∵△ABD 、△BCE 为等边三角形, ∴AB = BD = AD ,BC = CE = EB ,∠ABD = ∠CBE = 60°. ∴∠DBE = ∠CBA .∴△EBD ≌△CBA . ∴DE = AC .又∵△ADC 为等边三角形, ∴CF = AF = AC . ∴DE = AF.. 同理可得AD = EF .
∴四边形ADEF 是平行四边形
(
2)若四边形ADEF 为菱形,AD =AF ,所以AB =AC .所以当△ABC 满足AB =AC 时,四边形ADEF 是菱形; (3)由(1)得∠BAC =∠BDE =60°+∠ADE ,当∠ADE =0°时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存时,此时,∠BAC =60°.所以当∠BAC =60°时,以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在.
例2.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为BC 的中点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点F . (1)求证:CF AB ;
(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时,
E
D
C
B
A
四边形ABFC 是矩形,并说明理由.
解题思路:特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形)的判定一定要熟练不能混淆,根据题目的条件选择合适的判定方法。
解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB CD AB =,//
∴FCE ABE CFE BAE ∠=∠∠=∠, ∵E 为BC 的中点 ∴EC EB = ∴FCE ABE ??? ∴CF AB =.
(2)解:当AF BC =时,四边形ABFC 是矩形.理由如下: ∵CF AB CF AB =,// ∴四边形ABFC 是平行四边形 ∵AF BC =
∴四边形ABFC 是矩形.
例3 . 如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AB AC ⊥,
45B ∠=
,AD =
BC =DC 的长.
解题思路:解决梯形问题的常用方法(如下图所示):
①“作高”:使两腰在两个直角三角形中. ②“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中. ③“延腰”:构造具有公共角的两个三角形.
④“等积变形”:连接梯形上底一端点和另一腰中点,并延长交下底的延长线于一 解析一:如图1,分别过点A D ,作AE BC ⊥于点E ,
DF BC ⊥于点F
∴AE DF ∥.
又AD BC ∥,
∴四边形AEFD 是矩形.
EF AD ∴==
AB AC ⊥ ,45B ∠=
,BC = AB AC ∴=.
1
2
AE EC BC ∴==
= A
B
C
D
A B
C
D
F
E 图1
DF AE
∴==
CF EC EF
=-=Rt DFC
△中,90
DFC
∠= ,
DC
∴===
解析2:如图2,过点D作DF AB
∥,分别交AC BC
,于点E F
,.··············· 1分
AB AC
⊥
,
90
AED BAC
∴∠=∠= .
AD BC
∥,
18045
DAE B BAC
∴∠=-∠-∠=
.
在Rt ABC
△中,90
BAC
∠= ,45
B
∠=
,BC=
sin454
AC BC
∴===
在Rt ADE
△中,90
AED
∠= ,45
DAE
∠=
,AD=
1
DE AE
∴==.
3
CE AC AE
∴=-=.
在Rt DEC
△中,90
CED
∠= ,
DC
∴=.
练习
1.如图,四边形ABCD中,AB CD
∥,AC平分BAD
∠,
CE AD
∥交AB于E.
求证:四边形AECD是菱形;
2.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5,AB=7,
BC=12,求∠B的度数.
3.在梯形ABCD中,AB∥CD,0
90
A
∠=,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD中点,试判断EC与EB的位置关系,并写出推理过程。
A
B
C
D
F
E
图2
答案1. 解AB CD ∥,即AE CD ∥,又CE AD ∥,
∴四边形AECD 是平行四边形. AC 平分BAD ∠,CAE CAD ∴∠=∠,又AD CE ∥,ACE CAD ∴∠=∠,
ACE CAE ∴∠=∠,AE CE ∴=,
∴四边形AECD 是菱形.
2. 解:过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ,∵AD ∥BC ,∴四边形AECD 为平行四边形. ∴AD =EC ,AE =CD .∵AB =CD =7,AD =5,BC =12, ∴BE =BC -CE =12-5=7,AE =CD =AB =7. ∴?ABE 为等边三角形.故∠B =60°.
3. 解:EC EB ⊥
略证:过点C 作CF AB ⊥于F ,则四边形AFCD 是矩形,在Rt BCF
中,可算得CF =则
AD=CF =
DE=AE=1
2
AD =在Rt ABE 和Rt DCE 中,
222222222063
990EB AE AB EC DE CD EB EC BC CEB EB EC
=+==+=+==∴∠=∴⊥ 最新考题
本讲内容是中考重点之一,如特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形)的性质和判定,以及运用这些知识解决实际问题.中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现,近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等,这都成了热点题型,应引起同学们高度关注
考查目标一、图形的性质与判定
例1(09年 南京)如图,将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开,拼成一个新的图形,这个新的图形可以是下列图形中的 A.三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正方形
解题思路:运用梯形的中位线性质,熟悉平行四边形的特性.
例2(09年 南京)如图,在□ABCD 中,E 、F 为BC 上的两点,且BE=CF ,AF=DE.
求证:(1)△ABF ≌△DCE; (2)四边形ABCD 是矩形. 解题思路:运用全等、矩形的判定 解:(1)∵BE=CF,
BF=BE+EF,CE=CF+EF,
∴BF=CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=DC.
在△ABF 和△DCE 中,
F
E
D
C
B
A
Q
P
O
E
D
C
B
A
∵AB=DC,BF=CE,AF=DE, ∴△ABF ≌△DCE.
(2)解法一:∵△ABF ≌△DCE , ∴∠B=∠C,
∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥C D. ∴∠B+∠C=180° ∴∠B=∠C=90°
所以四边形ABCD 是矩形. 解法二:连接AC,DB. ∵△ABF ≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC, ∴∠AFC=∠DEB. 在△AFC 和△DEB 中,
∵AF=DE, ∠AFC=∠DEB,CF=BE. ∴△AFC ≌△DEB,
∴AC=DB. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴四边形ABCD 是矩形.
例3(09年 广东)在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,AB=5,AC=6.过D点作DE ∥AC 交BC的延长线于点E.
(1)求△BDE 的周长; (2)点P为线段BC 上的点,
连接PO 并延长交AD 于点Q.求证:BP=DQ.
解题思路:(1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD=AD=5,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC=3
∴4OB =
=,BD=2OB=8
∵AD∥CE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形 ∴CE=AD=BC=5,DE=AC=6
∴△BDE的周长是:BD+BC+CE+DE=8+10+6=24. (2)证明:∵AD ∥BC ,∴∠OBP=∠ODQ ,∠OPD=∠OQD ∵OB=OD ,∴△BOP ≌△DOQ ,∴BP=DQ 。
考查目标二、开放性问题
例1.(09年 广东) 如图所示,在矩形ABCD 中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1,对角线相交于点1A ;再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111,对角线相交于点1O ;
C 2
C 1A 2
B 2
B 1
O 1
O
A 1
D
C
B A
A 再以1111C O
B O 、为
邻边作第3个平行四边形1211C B B O ……依此类推. (1)求矩形ABCD 的面积;
(2)求第1个平行四边形1
OBB C 、第2个平行四边
形111A B C C 和第6个平行四边形的面积。 解题思路
解(1)∵四边形ABCD 是矩形,AC=20,AB =12 ∴∠ABC =90o,16BC ==
∴ABCD AB BC 1216192S =?=?=矩形
。
(2)∵OB ∥1B C ,OC ∥1BB ,∴四边形OB1B C 是平行四边形。 ∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OB1B C 是菱形。
∴111111
OB BC A B BC 8OA OB 622
⊥=
===,, ∴11OB 2OA 12==,∴1OBB C 1S =1612962BC OB ?=??=1菱形1
2
同理:四边形A B C C 111是矩形,∴848B C ??=111
1111矩形ABCC
S=A B =6 ‥‥‥ 第n个平行四边形的面积是:2
S nn192= ∴2
S =
66192
=12
. 例2(08 江苏扬州)如图,正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG , 边EF 与CD 交于点O .
(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外),要求所 连结的两条线段相交且互相垂直,并说明这两条线段互相垂直的理由; (2)若正方形的边长为2cm ,重叠部分(四边形AEOD )的面积为3
2cm ,求旋转的角度n .
解题思路:
(1理由如下:
AO DE ⊥
证明: 在Rt ADO △与Rt AEO △中,AD AE AO AO ==,,
Rt Rt ADO AEO ∴△≌△,
B
A
D
C
P
E DAO OAE ∴∠=∠(即AO 平分DAE ∠) AO DE ∴⊥(等腰三角形的三线合一)
注:其它的结论也成立如GD BE ⊥. (2)30
四边形AEOD
,
∴三角形ADO
的面积2AD DO ?=,
2AD DO ==
,,
,3030DAO EAB ∴∠=∴∠=
,
考查目标三、与函数综合
例 如图:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC=90°,AD=9,BC=12,AB=6,在线段BC 上任取一点P ,连接DP ,作射线PE ⊥DP ,PE 与直线AB 交于点E.(1)试确定当CP=3时,点E 的位置;(2)若设CP=x ,BE=y ,试写出y 关于自变量x 的函数关系式.
解题思路
(1)连接DP ∵CP=3 ∴BP=BC —CP=12 —3=9 ∵AD=9 ∴AD=DP ∵AD ∥DP ∴四边形ABPD 是矩形 ∴ DP ⊥BP ∵PE ⊥DP ∴点E 与点B 重合
(2)过点D 作DF ⊥BC ,垂足为F ,∴AD=BF=9 AB=DF=6 当点P 在BF 上:
∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180° PE ⊥DP ∴∠BPE +∠DPF=90° ∵DF ⊥BC ∴∠PDF+∠DPF=90° ∴∠PDF =∠EPB
∴∴△PEB ∽△DPF ∴
DF
BP
PF BE =∵CP=x BE=y ∴BP=12—x PF=PC —CF=x —3 ∴
6123x x y -=-(6分) ∴)3615(6
12
+--=x x y 当点P 在CF 上,同理可求得:)3615(6
12
+-=x x y
过关测试
一、选择题
1.如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺,那么至少需要(? )
A .三个正三角形,两个正方形 B
.两个正三角形,三个正方形 C .两个正三角形,两个正方形 D .三个正三角形,三个正方形 2.使用同一种规格的下列地砖,不能密铺的是( )
A .正六边形地砖
B .正五边形地砖
C .正方形地砖
D .正三角形地砖
3.下面的选项中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A .正六边形
B .平行四边形
C .正五边形
D .等边三角形
4.已知梯形的上底与下底的比为2:5,且它的中位线长为14cm ,则这个梯形的上,下底的长分别为( ) A .4cm ,10cm B .8cm ,20cm C .2cm ,5cm D .14cm ,28cm
5.如图4,如果平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,那么图中的全等三角形共有( ) A .1对 B .2对 C .3对 D .4对
(4) (5) 6.顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是( )
A .等腰梯形
B .正方形
C .菱形
D .矩形
7.如图5,E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 各边的中点,?要使中间阴影部分的小正方形的面积为5,则大正方形的边长应该是( )
A .
B .
C .5
D 8.一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍,则它的边数是( )
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8
9.四个内角都相等的四边形是( )
A 、矩形
B 、菱形
C 、正方形
D 、平行四边形
10.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是( ) A 、四边都相等 B 、两组邻边分别相等
C 、对角线互相垂直平分
D 、两条对角线分别平分一组对角
11.已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =CD ,BD ⊥CD ,则∠C =( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、75°
12.延长正方形ABCD 的一边BC 至E ,使CE =AC ,连结AE 交CD 于F ,则∠AFC 的度数是( ) A 、112.5° B 、120° C 、122.5° D 、135° 二、填空题
1.顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个_______四边形.
D F
E
C B
2.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得四边形是_________.
3.平行四边形的周长为28,两邻边的比为4:3,?则较短的一条边的长为_______.
4.如图1,已知:在ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD?于点E,交CD的延长线于点F,则DF=______cm.
(1)(2)(3)
5.如图2,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形,小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去,使AB与AD 边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,他判定方法是_______.
6.如图3,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)且PE∥BC 交AB于E,?PF?∥CD?交AD?于F,?则阴影部分的面积是______.
三、解答题
1.如图△ABC与△CDE都是等边三角形,点E、F分别在AC、BC上,且EF∥AB
(1)求证:四边形EFCD是菱形;
(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.
2.如图,已知在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,?且CE=CF.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)过点C作CG∥EA交AF于H,交AD于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHG的度数.
3.已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,对角线AC=5,BD=3,?试求此梯形的面积.
4.将一张矩形纸片沿直线折叠一次,折痕恰好把矩形分为面积相等的两部分.
(1)这样的折痕有多少条?(2)这样的折痕具有什么特点?
5.如图,斜折一页书的一角,使点A落在同一页书内的A′处,DE为折痕,作DF平分∠A′DB,试猜想∠FDE等于多少度,并说明理由.
6.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想
保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
答案: 一、选择题:
1.A 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.A 二、填空题:
1.平行 2.菱形 3.6 4.3 5.对角线平分内角的矩形是正方形等 6.2.5 三、解答题
1.解:(1)证明:ABC △与CDE △都是等边三角形
ED CD ∴=
60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠= AB CD DE CF ∴∥,∥
又 EF AB ∥
∴EF CD ∥
∴四边形EFCD 是菱形
(2)解:连结DF ,与CE 相交于点G 由4CD =,可知2CG =
∴DG ==DF ∴=
2.(1)略 (2)100°
3.解:作AE ∥DB ,交CB 延长线于E ,作AF ⊥BC 于F ,易知ADBE 为平行四边形
∴AE=DB=3 EB=AD=2
∴CE=6 设EF=x 有AE 2-EF 2=AC 2-CF 2 即32-x 2=52-(6-x )2 x=
5
3
∴23 S 梯=1
2
AF (AD+BC )
4.(1)无数条 (2)过矩形对称中心. 5.猜想∠FDE=90°,理由略.
6. 如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些平行线两两相交于E 、F 、G 、H,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.