如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限
则称PT为曲线在P点的切线.
为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定
其斜率.由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率
的极限, 极限过程是由Q→P产生的.而
Q→P即x→x0.
设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为α, PT的斜率为k=tanα.
现在割线PQ的斜率为:
.
而切线PT的斜率为:
(PQ的斜率)
=,
由此得切线PT的方程是:y-f(x0)=k( x-x0).
基本积分公式
§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) ( 5.6 ) (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 )
(11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
常用积分公式
常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵ 1 1d (1)1 x x x c μμμμ+≠-= ++? 特别, 211d x c x x =-+? , 3 22 3 x x c =+, x c =+ ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷ d ln x x a a x c a =+? , 特别,e d e x x x c =+? ⑸ sin d cos x x x c =-+? ⑹ cos d sin x x x c =+? ⑺ 22 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+? ? ⑻ 22 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+? ? ⑼ arcsin (0)x x c a a =+>,特别, arcsin x x c =+ ⑽ 2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+?,特别, 2 1 d arctan 1x x c x =++? ⑾ 2211d ln (0)2a x x c a a x a a x +=+>--? 或 2211d ln (0)2x a x c a x a a x a -=+>-+? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+?
⒀ cot d ln sin x x x c =+? ⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+?= =?+?? ?? ⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =??? ++ ?? ??? ? ? ⒃ (0) ===ln a x x c >+ ⒄ 2(0) ===arcsin 2a a x x c a >+ ⒅ 2(ln 2 a a x x c >±+ ⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -?=+??+?+?=+?+? ?? ⒇ 12222212 123 d ()2(1)()2(1)n n n n x n x c a x n a a x n a ---==+++-+-? I I (递推公式) 跟我做练习 (一般情形下,都是先做恒等变换或用某一个积分法,最后套用某一个积分公式) 例24 ⑴ 2)x x = -[套用公式⒅] 1 ln (2)2 x = - ⑵ [ 1 (24)42 x x x = -+??
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表 1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1)()()x f dt t f x a ='??????? (2)()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? (3)若F (x )是f (x )的一个原函数,则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1;设:t b ax =+
()()222x a x f -=;设:t a x sin = ()22a x x f -=;设:t a x s e c = ()22x a x f +=;设:t a x t a n = ()3分部积分法:??-=vdu uv udv 附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数 的积分,应分为与 . 当 时, , 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当 时,有 . 当 时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故 ( , )式右边的 是在分 母,不在分子,应记清. 当 时,有 . 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式 1、 ?+=c kx kdx 2、 ?++=+c a x dx x a a 1 1 3、 ?+=c x dx x ln 1 4、 ?+=+c x dx x arctan 112 5、 ?+=-c x dx x arcsin 112 6、 ?+=c x xdx sin cos 7、 ?+-=c x xdx cos sin 8、 ??+==c x xdx dx x tan sec cos 122 9、 ??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、 ?+=c x xdx x sec tan sec 11、 ?+-=c x xdx x csc cot csc 12、 ?+=c e dx e x x 13、 ?+=c a a dx a x x ln 14、 ?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数
15、 ?+=c s h x c h x d x 其中2x x e e chx -+=为双曲余弦函数 扩充 16、 ?+-=c x xdx cos ln tan 17、 ?+=c x xdx sin ln cot 18、 ?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、 c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、 ?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、 ?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、 ?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、 ? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、 ? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? = 1ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=1 1() (1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?= 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2 d x x ax b +? = 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d () x x ax b +? =1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +? =2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7.2 d () x x ax b +? =2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8.2 2 d () x x ax b +? = 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9.2 d () x x ax b +? = 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10.x ? = C 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?= 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13.x ? = 2 2(23ax b C a -+
14 .2 x ? = 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 .? (0) (0) C b C b ?+>? ? 16 .? =2a bx b - - ? 17.d x x ? =b ? 18.2 d x x ? =2 a x -+ ?(三)含有22x a ±的积分 19.2 2 d x x a +?= 1arctan x C a a + 20.22d () n x x a +? = 2 2 2 1 2 2 21 23d 2(1)() 2(1)() n n x n x n a x a n a x a ---+ -+-+? 21.2 2 d x x a -? = 1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2 (0)ax b a +>的积分 22.2 d x ax b +? =(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23.2 d x x ax b +? = 2 1 ln 2ax b C a ++
定积分的基本公式
第三讲 定积分的基本公式 【教学内容】 1.变上限积分函数 2.牛顿-莱布尼兹公式 【教学目标】 1.掌握变上限积分函数 2.掌握牛顿-莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿-莱布尼兹公式 【教学过程】 一、引例 一物体作变速直线运动时,其速度)(t v v =,则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S : dt t v S b a ? = )( 另一方面,如果物体运动时的路程函数)(t S S =,则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量(路程)的两种不同数学表达式应该是相等的, ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1.定义:如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说,)(x f 在区间],[x a 上仍连续,所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说,对于每一个确定的x 值,这个积分将有一个确定的值与之对应,因此它是积分上限x 的函数,此函数定义在区间],[b a 上,把它叫做变上限积分函数,记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2.定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续,则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数,即
(完整)高等数学常用积分公式查询表
导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
积分常用公式
积分常用公式 一.基本不定积分公式: 1.C x dx +=? 2.111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3.C x dx x +=?ln 1 4.C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5.C e dx e x x +=? 6.C x xdx +-=? cos sin 7.C x xdx +=? sin cos 8.C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9.C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10.C x xdx x +=??sec tan sec 11.C x xdx x +-=?? csc cot csc 12. C x dx x +=-? arcsin 112 (或12 arccos 11C x dx x +-=-? ) 13. C x dx x +=+?arctan 112 (或12cot 11 C x arc dx x +-=+?) 14.C x xdx +=?cosh sinh 15.C x xdx +=? sinh cosh 二.常用不定积分公式和积分方法: 1.C x xdx +-=?cos ln tan 2.C x xdx +=? sin ln cot 3. C a x a x a dx +=+?arctan 122 4.C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5.C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6.C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7. C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8.C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9. C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10. C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11.第一类换元积分法(凑微分法):
定积分基本公式
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念,在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念,讨论定积分性质和计算方法,举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ,于是积分()d x a f x x ?是一个定数, 这种写法有一个不方便之处,就是 x 既表示积分上限,又表示积分变量.为避免 t ,于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数,记作 ()Φx =()d x a f t t ? ( a ≤x ≤ b )通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分,其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导,且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?( a ≤x ≤ b ). 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==; πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数: (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ; 解 这里()Φx 是x 的复合函数,其中中间变量e x u =,所以按复合函数求导 法则,有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又 ()F x 是()f x 的任一个原函数,则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知,变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数,于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
定积分常用公式
定积分常用公式 二、基本积分表(188页1—15,205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,,, ,,1x,(2) xdxC,,,(1)u,,,,,1 1(3) dxxC,,ln||,x dx(4) ,,arlxCtan2,1,x dx(5) ,,arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,, , (7)sincosxdxxC,,, , 1(8) dxxC,,tan2,cosx 1(9) dxxC,,,cot2,sinx sectansecxxdxxC,,(10) , csccotcscxxdxxC,,,(11) , xxedxeC,,(12) , xax(13), (0,1)aa,,且adxC,,,lna shxdxchxC,,(14) , chxdxshxC,,(15) , 11x(16) dxarcC,,tan22,axaa, 1 11xa,(17) dxC,,ln||22,xaaxa,,2 1x(18) dxarcC,,sin,22aax, 122(19) dxxaxC,,,,ln(),22ax, dx22(20) ,,,,ln||xxaC,22xa,
(21)tanln|cos|xdxxC,,, , (22)cotln|sin|xdxxC,, , )secln|sectan|xdxxxC,,, (23, cscln|csccot|xdxxxC,,,(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立,是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2,x22222, sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx,,,,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由,此步为凑微分过程,所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式 积分类型换元公式11.f(ax,b)dx,f(ax,b)d(ax,b)(a,0)u,ax,b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,
定积分公式
二、基本积分表(188页1—15,205页16—24) (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- (3)1ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+? (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+? (8)2 1 tan cos dx x C x =+? (9)2 1 cot sin dx x C x =-+? (10)sec tan sec x xdx x C =+? (11)csc cot csc x xdx x C =-+? (12)x x e dx e C =+? (13)ln x x a a dx C a = +?,(0,1)a a >≠且 (14)shxdx chx C =+? (15)chxdx shx C =+? (16)2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?
(17)2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? (18) sin x arc C a =+? (19) ln(x C =++? (20) ln |x C =++? (21)tan ln |cos |xdx x C =-+? (22)cot ln |sin |xdx x C =+? (23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++? (24)csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立,u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += , 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注:由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ,此步为凑微分过程,所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
(整理)积分基本公式.
2.基本积分公式表 (1)∫0d x=C (2)=ln|x|+C (3)(m≠-1,x>0) (4)(a>0,a≠1) (5) (6)∫cos x d x=sin x+C (7)∫sin x d x=-cos x+C (8)∫sec2x d x=tan x+C (9)∫csc2x d x=-cot x+C (10)∫sec x tan x d x=sec x+C (11)∫csc x cot x d x=-csc x+C (12)=arcsin x+C (13)=arctan x+C 注.(1)不是在m=-1的特例. (2)=ln|x|+C,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)' =1/x. 事实上,对x>0,(ln|x|)' =1/x;若x<0,则 (ln|x|)' =(ln(-x))' =. (3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分. 下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.
6. 复合函数的导数与微分 大量初等函数含有复合函数的成分,它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义. 定理.(链锁法则)设z=f(y),y=?(x)分别在点y0=?(x0)与x0可导,则复合函数z=f[?(x)]在x0可导,且 或(f o?)' (x0)=f '(y0)??'(x0). 证.对应于自变量x0处的改变量?x,有中间变量y在y0=?(x0)处的改变量?y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量?z,(注意?y可能为0).现 ?z=f'(y0)??y+v,?y='?(x0)?x+u, 且令,则v=?αy,(注意,当?y=0时,v=?αy仍成立).y在x 0可导又蕴含y在x0连续,即?y=0.于是 =f '(y0)?? '(x0)+0??'(x0)=f'(y0)??'(x0) 为理解与记忆链锁法则,我们作几点说明: (1) 略去法则中的x=x0与y=y0,法则成为公式 , 其右端似乎约去d y后即得左端,事实上,由前面定理的证明可知,这里并不是一个简单的约分过程. (2) 计算复合函数的过程:x→?y →?z 复合函数求导的过程:z→?y →?x :各导数相乘 例2.3.15求y=sin5x的导数.
(完整word版)基本积分公式
基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- (3)1 ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+? (6)cos sin xdx x C =+? (7)sin cos xdx x C =-+? (8)21 tan cos dx x C x =+? (9)21 cot sin dx x C x =-+? (10)sec tan sec x xdx x C =+? (11)csc cot csc x xdx x C =-+? (12)x x e dx e C =+? (13)ln x x a a dx C a =+?,(0,1)a a >≠且 (14)shxdx chx C =+? (15)chxdx shx C =+? (16)22 11tan x dx arc C a x a a =++?
(17)2211ln ||2x a dx C x a a x a -=+-+? (18) sin x arc C a =+? (19) ln(x C =+ (20) ln |x C =+? (21)tan ln |cos |xdx x C =-+? (22)cot ln |sin |xdx x C =+? (23)sec ln |sec tan |xdx x x C =++? (24)csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式,(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立,u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式: 2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2 x x += , 21cos 2sin 2 x x -= 。 注:由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ????=??,此步为凑微分过程,所以第一类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法,要运用自如,务必熟记基本积分表,并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
常用的求导和定积分公式
一.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = ', (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则 (1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 是常数) (3) v u v u uv '+'=')( (4) 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则
若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?,则它的反函数) (x f y =在对应区间 x I 内也可导,且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = 复合函数求导法则 设)(u f y =,而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导,则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 二、基本积分表 (1)kdx kx C =+? (k 是常数) (2)1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- (3)1 ln ||dx x C x =+? (4)2 tan 1dx arl x C x =++? (5) arcsin x C =+?
常 用 积 分 公 式
常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +?=1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ +?=1 1()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +?=21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +?=22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5.d ()x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2d ()x x ax b +?=2 1ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +?=2 1(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22d ()x x ax b +?=231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2d ()x x ax b +?=2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++
的积分 10 .x ? C 11 .x ? =2 2 (3215ax b C a -+ 12 .x x ? =2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13 . x =2 2(23ax b C a - 14 . 2x =22232(34815a x abx b C a -++ 15 . =(0) (0) C b C b ? +>< 16 . ? 2a b - 17 . x =b 18 . x = 2a + (三)含有22 x a ±的积分
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表1、基本积分公式: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理: (1) (2) (3)若F(x)就是f(x)得一个原函数,则3、积分方法 ;设: ;设: ;设: ;设: 分部积分法:
附:理解与记忆 对这些公式应正确熟记、可根据它们得特点分类来记、 公式(1)为常量函数0得积分,等于积分常数、 公式(2)、(3)为幂函数得积分,应分为与、 当时,, 积分后得函数仍就是幂函数,而且幂次升高一次、 特别当时,有、 当时, 公式(4)、(5)为指数函数得积分,积分后仍就是指数函数,因为,故 ( , )式右边得就是在分母,不在分子,应记清、 当时,有、 就是一个较特殊得函数,其导数与积分均不变、 应注意区分幂函数与指数函数得形式,幂函数就是底为变量,幂为常数;指数函数就是底为常数,幂为变量、要加以区别,不要混淆、它们得不定积分所采用得公式不同、 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数得积分,通过后面得学习还会增加其她三角函数公式、 公式(10)就是一个关于无理函数得积分 公式(11)就是一个关于有理函数得积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分、 例1 求不定积分、 分析:该不定积分应利用幂函数得积分公式、
解: (为任意常数) 例2 求不定积分、 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分得形式、 解:由于,所以 (为任意常数 ) 例3 求不定积分、 分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式、 解: (为任意常数) 例4 求不定积分、 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次、 解: (为任意常数 ) 例5 求不定积分、 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:
(完整word版)基本积分表
基本积分表 1、? +=c kx kdx 2、?++=+c a x dx x a a 11 3、?+=c x dx x ln 1 4、?+=+c x dx x arctan 112 5、?+=-c x dx x arcsin 112 6、? +=c x xdx sin cos 7、?+-=c x xdx cos sin 8、??+==c x xdx dx x tan sec cos 12 2 9、??+-==c x xdx dx x cot csc sin 122 10、?+=c x xdx x sec tan sec 11、? +-=c x xdx x csc cot csc 12、?+=c e dx e x x 13、?+=c a a dx a x x ln 14、?+=c chx shxdx 其中2 x x e e shx --=为双曲正弦函数 15、?+=c shx chxdx 其中2 x x e e chx -+=为双曲余弦函数
基本积分表的扩充 16、? +-=c x xdx cos ln tan 17、?+=c x xdx sin ln cot 18、?++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=?2 tan ln cot csc ln csc 20、?+=+c a x a dx x a arctan 1122 21、?++-=-c a x a x a dx a x ln 21122 22、?+-+=-c x a x a a dx x a ln 21122 23、? +=-c a x dx x a arcsin 122 24、? +++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、 ?+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1 sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2] sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
常用微积分公式大全
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为, 故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分.
分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分. 分析:基本积分公式表中只有 但我们知道有三角恒等式: 解:
不定积分的基本公式和运算法则直接积分法
?复习1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ?引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来讨论不定积分的计算 问题,不定积分的计算方法主要有三种:直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ?讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算,所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下:
以函 数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1?求下列不定积分.(1) AdX ( 2) XdX _ 1 丄+ 彳 解:(1 ) . 2 dx = x'dx C=-1C X -2 1 X 3 2 5 (2 ).XXdX = χ2 dx = 2 X 2 C J 5 此例表明,对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为 数的积分公式求积分。 不定积分的基本运算法则 X 〉的形式,然后应用幕函
法则1 两个函数代数和的积分,等于各函数积分的代数和,即 [f (X) — g (x)]dx = f (x)dx — g (x)dx 法则1对于有限多个函数的和也成立的. 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外,即 kf (x)dx = k f (x)dx ( k = O ) 3 X 例 2 求(2x 1 -e )dx 解 (2x 3 1-e" )d )=2 x 3dx + dx - e x dx 1 4 X =X X —e C 。 2 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数, 但是这里并不需要在每一项后面加上 一个积分常数,因为任意常数之和还是任意常数,所以这里只把它的和 C 写在末尾,以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确,只把结果求导,看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于(-X 4 ^e X C) = 2X 3 ^e X ,所以结果是正确的。 2 三直接积分法 在求积分的问题中,可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果(如上例)但有时,被 积函数常需要经过适当的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结 果,这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分 解: (1)首先把被积函数^x - I 1 化为和式,然后再逐项积分得 VX 1 √X (1)J (V Σ+1)( X -^^=)dx (2)J x 2 dx )dx
基本积分公式
基本积分公式Newly compiled on November 23, 2020
§基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到,因此,导数运算的基础好坏直接影响积分的能力,应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) () (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (5) ( ) (6) ( ) (7) ( ) (8) ( ) (9) ( ) (10) ( ) (11) ( ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
公式(1)为常量函数0的积分,等于积分常数. 公式(2)、(3)为幂函数的积分,应分为与. 当时,, 积分后的函数仍是幂函数,而且幂次升高一次. 特别当时,有. 当时, 公式(4)、(5)为指数函数的积分,积分后仍是指数函数,因为 ,故(,)式右边的是在分母,不在分子,应记清. 当时,有. 是一个较特殊的函数,其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式,幂函数是底为变量,幂为常数;指数函数是底为常数,幂为变量.要加以区别,不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分,通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式(10)是一个关于无理函数的积分 公式(11)是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质,举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解: (为任意常数) 例2 求不定积分. 分析:先利用恒等变换“加一减一”,将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解:由于,所以 (为任意常数) 例3 求不定积分. 分析:将按三次方公式展开,再利用幂函数求积公式. 解: (为任意常数 ) 例4 求不定积分. 分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解: (为任意常数) 例5 求不定积分.