第五章 线性微分方程组
§5.1 存在唯一性定理
习题5.1
1．给定方程组
x x ??
?
?
??-='0110， ???? ??=21x x x ． （*） )a 试验证???? ??-=t t t u sin c o s )(，????
??=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件
???? ??=01)0(u ，???
?
??=10)0(v 的解； )b 试验证)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件???
? ??=21)(c c t w 的解，其
中21,c c 是任意常数．
证明 )a ????
??=01)0(u ，???
? ??=10)0(v 显然．
)(0110sin cos 0110cos sin )(t u t t t t t u ???? ??-=???? ??-???? ??-=???? ??--='，
)(0110cos sin 0110sin cos )(t v t t t t t v ???
? ??-=???? ?????? ??-=???? ??-='，
所以????
??-=t t t u sin cos )(，???? ??=t t t v cos sin )(分别是方程组（*）的满足初始条件???
?
??=01)0(u ，???
?
??=10)0(v 的解．
)b ????
??=???? ??+???? ??=+=2121211001)0()0()0(c c c c v c u c w ，又
)(0110)(0110)()()(2121t v c t u c t v c t u c t w ???
?
??-+???? ??-='+'='
)(0110))()((011021t w t v c t u c ???
?
??-=+???? ??-=，
所以)()()(21t v c t u c t w +=是方程组（*）的满足初始条件????
??=21)(c c t w 的解，其中2
1,c c 是任意常数．
2．将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：
)a t e tx x x -=+'+''72，7)1(=x ，2)1(-='x ；
)b t te x x =+)4(，1)0(=x ，1)0(-='x ，2)0(=''x ，0)0(='''x ；
)c ??
?=-'+-''=+-'+''t
x y y y e y x y x t cos 15132,
675，1)0(=x ，0)0(='x ，0)0(=y ，1)0(='y ． （提示：令y w y w x w x w '=='==4321,,,）
解 )a 设x x x x '==21,，则21
x x x ='='，t e tx x x x -+--=''='12272，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为
???
??-==+--='='-．
2)1(,7)1(,27,21
212
21x x e x tx x x x t )b 设x x x x x x x x '''=''='==4321,,,，
则21
x x x ='='，32x x x =''='，43x x x ='''='，t
te x x +-='14，则得等价的一阶方程组的初值问题为
???????+-='='='='t
te x x x x x x x x 14
433
221,,
,，??
????? ??-=??????? ??=0211)0()0()0()0()0(4321x x x x x ． )c 令y w y w x w x w '=='==4321,,,，有
???????+-+='='+--='='t w w w w w w e w w w w w w t
cos 13215,,567,4314
434312
21 ，??
?????
??=??????? ??=1001)0()0()0()0()0(4321w w w w w ， 为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题．
3．试用逐步逼近法求方程组
x x ?
??
?
??-='0110， ???? ??=21x x x
满足初始条件???
?
??=10)0(x 的第三次近似解．
解
???
? ??=10)(0t ?，
???
?
??=???? ?????? ??-+???? ??=?110011010)(01t ds t t ?， ???
? ??-=????
??????
??-+????
??=?2210211011010)(t t ds s t t
?， 第三次近似解为 ???
? ??--=???? ??-???? ??-+???? ??=?213
610221*********)(t t t ds s s t t ?．
§5.2 线性微分方程组的一般理论
习题5.2
1．试验证
??
????=Φ12)(2t t t t
是方程组
x t t x ???
?????-='2210
2，??
?
???=
21x x x 在任何不包含原点的区间b t a ≤≤上的基解矩阵．
证明 设???? ??=t t t 2)(21?，???
?
??=1)(2t t ?，则由于 )(22102221022)(1222
1
t t t t t t t t t ?????? ??-=???? ?????? ??-=???? ??='， )(22101221001)(2222
t t t t t t t ?????
? ??-=???? ?????? ??-=???? ??='， 所以)(,)(21t t ??都是方程组的解，因而[])()
()(21t t t ??=Φ是所给方程组的解矩阵．又
由于在任何不包含原点的区间],[b a 上，0)(det 2
≠-=Φt t （],[b a t ∈），故)(t Φ是所给方程组的基解矩阵．
2．考虑方程组
x t A x )(='， （5.15）
其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ?矩阵，它的元素为)(t a ij ，n j i ,,2,1, =．
)a 如果)(,,)(,)(21t x t x t x n 是（5.15）的任意n 个解，那么它们的Wronsky 行列式
)](,,)(,)([21t x t x t x W n 满足下面的一阶线性微分方程
W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' ．
（提示：利用行列式的微分公式，求出W '的表达式）；
)b 解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：
?=+++t
t nn ds
s a s a s a e
t W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t ∈．
证明 )a
)()()()
()()()
()()()()()
()()()
()()()()(212222111211212222111211
t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn n n
n n nn n n n n '''++'''=
'
+=
∑∑∑===)
()
()
()()()()
()()()()()(21222211
11
211
11t x t x t x t x t x t x t x t a
t x t a
t x t a
nn n n n n
k kn k
n
k k k
n
k k k
∑∑∑===+
n
k kn nk
n
k k nk
n
k k nk
n n t x t a
t x t a
t x t a
t x t x t x t x t x t x 1
1
21
12222111211)
()()()()
()()()()()()()(
)
()()
()
()()
()()()
()()
()()
()()()
()()()
()
(2122221
1121121222211121111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t x t x t x t x t a nn n n n n nn nn n n n n ++=
)()]()([11t W t a t a nn ++= ，
所以)(t W 是一阶线性微分方程W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' 的解．
)b 由)a 知，W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' ，分离变量后两边积分求解得
?=+++t
t nn ds
s a s a s a ce
t W 02211)]()()([)( ，
0t t =时就得到)(0t W c =，所以?=+++t
t nn ds
s a s a s a e
t W t W 02211)]()()([0)()( ，],[,0b a t t ∈．
3．设)(t A 为区间],[b a 上的连续n n ?实矩阵，)(t Φ为方程x t A x )(='的基解矩阵，而)(t x ?=为其一解．试证：
)a 对于方程y t A y T )(-='的任一解)(t ψ必有=)()(t t T ?ψ常数；
)b )(t ψ为方程y t A y T )(-='的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使
C t t T =Φψ)()(．
证明 )a 由于)(t ?是方程x t A x )(='的解，故有)()()(t t A t ??='，)(t ψ为方程
y t A y T )(-='的解，故)()()(t t A t T ψψ-='．所以
[][]
)()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t T T T T T
?ψ?ψ?ψ?ψ?ψ
'+'='+'
='
)()()()()]()([t t A t t t t A T T T ?ψ?ψ+-= 0)()()()()()(=+-=t t A t t t A t T T ?ψ?ψ， 所以=)()(t t T
?ψ常数．
)b “?” )(t Φ是方程x t A x )(='的基解矩阵，因此)()()(t t A t Φ=Φ'，)(t ψ是方
程y t A y T )(-='的基解矩阵，故)()()(t t A t T
ψ-=ψ'，且0)(d e t ≠Φt 和0)(det ≠t ψ．所
以
[][]
)()()()]([)()()()()()(t t t t t t t t t t T T T T T
Φ'ψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'
ψ='Φψ
)()()()()]()([t t A t t t t A T
T T Φψ+Φψ-= 0)()()()()()(=Φψ+Φψ-=t t A t t t A t T
T
， 故)()(t t T
Φψ是常数矩阵，设C t t T
=Φψ)()(，则
0)(det )(det )(det )(det )]()(det[det ≠Φ?ψ=Φ?ψ=Φψ=t t t t t t C T T ，
因此存在非奇异常数矩阵C ，使C t t T
=Φψ)()(．
“?”若存在非奇异常数矩阵C ，使C t t T
=Φψ)()(，则有
)(det )(det )(det )(det )]()(det[det 0t t t t t t C T T Φ?ψ=Φ?ψ=Φψ=≠，
所以0)(det ≠ψt ，即)(t ψ是非奇异矩阵或说)(t ψ的各列是线性无关的．又
[]
)()()()()]([)()()(])([)()(0t t A t t t t t t t t t T T T t T Φψ+Φψ'=Φ'ψ+Φ'ψ='
Φψ=，
并注意到0)(det ≠Φt ，有)()()]([t A t t T T ψ-=ψ'，即)()()(t t A t T ψ-=ψ'．
从而)(t ψ是方程y t A y T )(-='的基解矩阵．
4．设)(t Φ为方程Ax x ='（A 为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即E =Φ)0(），证明)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．
证明 由于A 为n n ?常数矩阵，故A 在),(∞+-∞有定义、连续，从而它的解也在
),(∞+-∞连续可导．
由)(t Φ为方程Ax x ='的基解矩阵，故),(∞+-∞∈?t ，有0)(det ≠Φt ，并且有
)()(t A t Φ=Φ'，从而对某个0t ，有0)(det 0≠-Φt t ，且
)()()()(])([00000t t A t t t t t t t t -Φ=-Φ'='-?-Φ'='-Φ，
即)(0t t -Φ亦为方程Ax x ='的基解矩阵．由推论2*，存在一个非奇异常数矩阵G ，使得在区间),(∞+-∞上，G t t t )()(0Φ=-Φ．又因为G t t t E )()()0(000Φ=-Φ=Φ=，所以)(01t G -Φ=．
因此)()()(001t t t t -Φ=ΦΦ-，其中0t 为某一值．
5．设)(,)(t f t A 分别为在区间],[b a 上连续的n n ?矩阵和n 维列向量．证明方程组
)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解．
证明 设方程组x t A x )(='的基解矩阵为)](,,)(,)([)(21t t t t n ??? =Φ，而)(~t ?是方程组)()(t f x t A x +='的一个特解，则其通解为)(~)(t c t x ?
+Φ=，其中c 是任意的常数列向量．若)(t f 不恒为0，则)(~t ?必与)(,,)(,)(21t t t n
??? 线性无关，从而)(~t ?，)(~)(1t t ??+，)(~)(2t t ??+，)(~)(,2
t t ??+ 线性无关，即方程组)()(t f x t A x +='存在
1+n 个线性无关解．
又假若)(t x 是方程组)()(t f x t A x +='的任意一个解，则一定有确定的常数列向量c ，
使得)(~)()(t c t t x ?+Φ=，将其加入)(~t ?，)(~)(1t t ??+，)(~)(2t t ??+，)(~)(,2
t t ??+ 这一组向量就线性相关，故方程组)()(t f x t A x +='的任何2+n 个解必线性相关．从而方程组)()(t f x t A x +='存在且最多存在1+n 个线性无关解．
6．试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设)(,)(21t x t x 分别是方程组
)()(1t f x t A x +='，)()(2t f x t A x +='
的解，则)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解．
证明 因为)(,)(21t x t x 分别是方程组
)()(1t f x t A x +='，)()(2t f x t A x +='
的解，故)()()()(111
t f t x t A t x +='，)()()()(222t f t x t A t x +='，所以有 )]()()([)]()()([)()(])()([221121
21t f t x t A t f t x t A t x t x t x t x +++='+'='+ )()()]()()[(2121t f t f t x t x t A +++=，
所以)()(21t x t x +是方程组)()()(21t f t f x t A x ++='的解．
7．考虑方程组)(t f Ax x +='，其中
???? ??=2012A ，???? ??=21x x x ，???
?
??=t t t f cos sin )(． )a 试验证???
?
?
?=Φt t t
e te e t 2220
)(是Ax x ='的基解矩阵； )b 试求)(t f Ax x +='的满足初始条件???
?
??-=11)0(?的解)(t ?．
证明 )a 00
)(d e t 4222≠==
Φt
t t t
e e
te e t ，),(∞+-∞∈?t 成立．而 )(0
201220
)12(2)(222222t A e te e e e t e t t t t
t t t
Φ=???
?
?????? ??=???? ?
?+=Φ'，
所以)(t Φ是Ax x ='的基解矩阵．
)b ???
? ??-=???? ??-=Φ--10101
)(222241
s e e se e e
s s s s s s
，这样，由定理8，方程组满足初始条件???
?
??=00)0(ψ的解就是
?????
?
?????? ??-???? ?
?=ΦΦ=--t s t t t
t
ds s s s e e te e ds s f s t t 022220
1cos sin 1010)()()()(ψ ????
?
??-???? ?
?=-t s t t t
ds s s s s e e te e 0
2222cos cos sin 0
?
????
? ??+-++++--???? ??=--52)c o s 2(s i n 51252)cos 2sin 14sin 5cos 10(251022222t t e t t t t t t e e te e t t
t t
t
?????
? ??-+--+=)c o s 2s i n 2(51)c o s s i n
75(25
2222t t e t t e te t t
t ， 对应的齐线性方程组满足初始条件???
?
??-=11)0(h ?的解就是 ???
?
??--=???? ??-???? ?
?=ΦΦ=--t t t t t
h h e t e E e te e t t 2212221)1(110
)0()0()()(??， 所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件???
?
??-=11)0(?的解为 ????
?
?
??-+-+--=+=)cos 2(sin 5153)cos sin 7(252)1527(25
1)()()(22t t e t t t e t t t t t h ψ??． 8．试求)(t f Ax x +='，其中
???? ??=2012A ，???? ??=21x x x ，???
? ??=t t t f cos sin )( 满足初始条件???
?
??-=11)0(?的解)(t ?．
解 由上题知????
??--=t t h e t e t 22)1()(?，且这里
?????
?
?????? ??-???? ?
?=ΦΦ=--t s s t t t
t
ds e s e e te e ds s f s t t 0222220
1
01010)()()()(ψ ?
???
? ??=???? ??-???? ?
?=????
??-???? ??=?t t t t t t t t t
te e t t t e te e ds s e te e 222222202222121010
， 所以，所求方程组)(t f Ax x +='的满足初始条件???
?
??-=11)0(?的解为 ?
??
?
? ??
-+-=+=t t h e t e t t t t t 222)1()211()()()(ψ??． 9．试求下列方程的通解：
)a t x x sec =+''，2
2
π
π
<
<-t ；
)b t e x x 28=-'''；
)c t e x x x =+'-''96．
解 )a 易知对应的齐线性方程0=+''x x 的基本解组为t t x cos )(1=，t t x sin )(2=，
用公式（5.31）来求方程的一个解．这时1cos sin sin cos )](,)([21=-=t
t t
t t x t x W ，取00=t ，
有
??
-=-=t t
t sds s t s t ds s f s x s x W s x t x s x t x t 0212112sec )sin cos cos (sin )()]
(,)([)
()()()()(0
?
t t t t s d s t ds t t
t
cos ln cos sin tan cos sin 00
+=-=?
?
所以方程的通解为 t t t t t c t c x cos ln cos sin sin cos 21+++=．
)b 由于特征方程083=-λ的根是21=λ，i 313,2±-=λ，故对应的齐线性方程的
基本解组为t
e t x 21)(=，t e t x t 3cos )(2-=，t e t x t 3sin )(3-=．
原方程的一个特解由公式（5.29）有（取00=t ），
∑?
==3
1
3
213210)()](,)(,)([)]
(,)(,)([)()(k t
t k k ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t ?，
其中
)](,)(,)([)(321t x t x t x W t W =
)
3sin 3cos 3(2)3sin 33(cos 24)3sin 3cos 3()3sin 33(cos 23sin 3cos 222t t e t t e e t t e t t e e t
e t e e t t t
t t t
t t t
+----+-=------
312=，
)](,)(,)([)(3211t x t x t x W t W =
)
3s i n 3c o s 3(2)3s i n 33(c o s 21)3s i n 3c o s 3()3s i n 33(c o s 0
3s i n 3c o s 0
t t e t t e t t e t t e t
e t e t t t t t t +----+-=------ t e 23-=
，
)](,)(,)([)(3212t x t x t x W t W =
)3c o s 33s i n 3()
3s i n 3c o s 3(214)3s i n 3c o s 3(023s i n 0
222t t e t t e e t t e e
t
e e t t t
t t
t t
-=+--=---， )](,)(,)([)(3213t x t x t x W t W =
)3s i n 33c o s 3(1
)3s i n 33(c o s 240)3s i n 33(c o s 20
3c o s 222t t e t t e e t t e e
t
e e t t t
t t
t t
+-=--+-=---． 所以
?
?-+?=--t
s s t
t
s s
t
ds e s s e t e ds e e
e
t 0
20222312)
3cos 33sin 3(3cos 3
12
3)(?
?
+-+-t
s s t
ds e s s e t
e 0
23
12)
3sin 33cos 3(3sin
)3c o s 33(s i n 3
24124112122t t e e te t t t ++-=
-， 故通解t
t t
te t c t c e e
c t x 2322112
1)3sin 3cos ()(+
++=-．
)c 特征方程0962=+-λλ，得到特征根32,1=λ，故对应的齐线性方程的基本解组
为t
e t x 31)(=，t te t x 32)(=，t
t
t
t t
e e
t e te e t W 63333)31(3)(=+=
．取00=t ，由（5.31），得特解
??
?-=-=t s
s s t s t t
t ds e e se e e te ds s f s W s x t x s x t x t 06333321120
)()()()()()()(?
t
t t t
s t
e te e ds e s t e
330
23412141)(++=
-=?-， 所以得到通解t t
e e t c c t x 4
1)()(321++=．
10．给定方程)(78t f x x x =+'+''，其中)(t f 在+∞<≤t 0上连续，试利用常数变易公式，证明：
)a 若)(t f 在+∞<≤t 0上有界，则上面方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界； )b 若当∞→t 时，0)(→t f ，则上面方程的每一个解)(t ?，满足0)(→t ?（当∞
→t 时）．
证明 对应的特征方程0782
=++λλ有特征根7,1--，故对应的齐线性方程的基本解组t
e t x -=)(1，t e
t x 72)(-=，t
t
t t t
e e
e e e t W 87767)(------=--=
．由公式（5.31）得原方程的一个特解（00=t ）为
??
-------=-=t s s
t s
t t
t ds s f e
e e e e ds s
f s W s x t x s x t x t 08772112)(6)()()()()()()(~0
?
??---=
t s t t s t ds s f e e ds s f e e 0770)(6
1
)(61，
所以方程的任一解可写为??-----++=t s t t s t t
t ds s f e e ds s f e e e c e c t 0770721)(6
1)(61)(?．
)a 由于)(t f 在+∞<≤t 0上有界，故0>?M ，),0[∞+∈?t ，有M t f ≤)(．又由
于10≤<-t
e
，107≤<-t e ，从而当),0[∞+∈t 时，
???+?++≤--t s t t s
t ds e M e ds e M e c c t 0770216
161)(?
=)1(42
)1(67721-+-++--t
t t t e e M e e M c c
)1(42)1(6721t t e M e M c c ---+-+
+=M c c 21
421++<， 即方程的每一个解在+∞<≤t 0上有界．
)b 当∞→t 时，0)(→t f ，故由
??-----++=t s
t t s t t
t ds s f e e ds s f e e e
c e c t 0770721)(6
1)(61)(?
知，若?t s
ds s f e 0)(有界，则)(0)(6
10∞→→?-t ds s f e e t s t ，若?t s
ds s f e 0)(无界，由于)
(s f 在),0[∞+连续，故
?
t
s ds s f e 0
)(为无穷大量，因此
0)(lim 61
6)(lim 6)(lim )(61lim 0
0====∞
→∞→∞→-∞→??t f e t f e e ds
s f e ds s f e e t t t t t
t
s t t
s t t ， 即总有)(0)(610∞→→?-t ds s f e e t s t ．同理)(0)(6
1077∞→→?-t ds s f e e t s
t ．从而对方程的每一个解)(t ?，有)(0)(∞→→t t ?．
11．给定方程组x t A x )(='，这里)(t A 是区间],[b a 上的连续n n ?矩阵．设)(t Φ是它的一个基解矩阵，n 维向量函数),(x t F 在∞<≤≤x b t a ,上连续，],[0b a t ∈．试证明初值问题：
??
?=+='η
?)(,
),()(0t x t F x t A x （*） 的唯一解)(t ?是积分方程组
?--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds s x s F s t t t t x 0
))(,()()()()()(101η （**）
的连续解．反之，（**）的连续解也是初值问题（*）的解．
证明 )(t ?是初值问题（*）的解，故))(,()()()(t t F t t A t ???+='，这说明),(x t F 是t 的向量函数，于是由公式（5.27）得
?--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds s s F s t t t t 0
))(,()()()()()(101?η?，
即)(t ?是积分方程组（**）的连续解．
反之，设)(t ?是积分方程组（**）的连续解，则有
?--ΦΦ+ΦΦ=t
t ds s s F s t t t t 0
))(,()()()()()(101
?η?，
两端对t 求导，就有
))(,()()())(,()()()()()(11010
t t F t t ds s s F s t t t t t
t ??η?---ΦΦ+ΦΦ'+ΦΦ'='?
))(,(]))(,()()()[(0
101t t F ds s s F s t t t
t ??η+Φ+
ΦΦ'=?
--
))(,(]))(,()()()[()(0
101t t F ds s s F s t t t A t
t ??η+Φ+
ΦΦ=?
--
))(,(]))(,()()()()()[(0
1
01
t t F ds s s F s t t t t A t
t ??η+Φ
Φ+ΦΦ=?--
))(,()()(t t F t t A ??+=， 即)(t ?也是初值问题（*）的解．
§5.3 常系数线性微分方程组
习题5.3
1．假设A 是n n ?矩阵，试证：
)a 对任意的常数21,c c 都有A c A c A c A c 2121exp exp )exp(?=+； )b 对任意整数k ，都有kA A k exp )(exp =．
（当k 是负整数时，规定k k A A --=])[(exp )(exp 1．
证明 )a 因为 ))(())((122
2121A c A c A c c A c A c ==，所以矩阵A c 1与A c 2可交换，故
A c A c A c A c 2121exp exp )exp(?=+．
)b ①先证明N k ∈?，有kA A k exp )(exp =，这只须对k 施以数学归纳法．
当1=k 时，)1exp(exp )(exp 1
A A A ?==成立，设当k 时，kA A k exp )(exp =，则
当1+k 时，有
A k A kA A A A k k )1exp(exp exp exp )(exp )(exp 1+===+，
故对一切自然数k ，kA A k
exp )(exp =．
②)0exp(0exp )(exp 0
A E A ===． ③若k 是负整数，则N k ∈-，注意到)exp()(exp 1
A A -=-，并由以上证明应用于矩
阵A -，就有
kA A k A A A k k k exp )](exp[)][exp(])[(exp )(exp 1=--=-==---，
由①②③，对一切整数k ，均有kA A k exp )(exp =．
2．试证：如果)(t ?是Ax x ='满足初始条件η?=)(0t 的解，那么
η?)]([exp )(0t t A t -=．
证明 由于
ηη???-='-='A t t A t t A t )]([exp ])([exp )(00，
)(})]({[exp 0t A t t A A ?η=-=，
又ηηη?==?=E A t )]0[exp()(0，故η?)]([exp )(0t t A t -=是方程组Ax x ='满足初始条件η?=)(0t 的解．由解的唯一性，命题得证．
3．试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量．
)a ????
??3421； )b ????? ??---244354332； )c ????? ??-102111121； )d ?
???
? ??---6116100
010
． 解 )a 特征方程0543
42
1
)det(2=--=----=
-λλλλλA E ，特征值11-=λ，52=λ，对应于特征值11-=λ的特征向量???
?
??=21
u u u 必须满足方程组0)(1=+-u E A λ，
得到0≠?α，???
?
??-=11αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．
类似地可求得对应于特征值52=λ的特征向量为???
?
??=21βv ，其中0≠β的任意常数．
)b 特征方程
0)2)(1)(2(2
4
4
35
4
3
32
)det(=++-=---+---=-λλλλλλλA E ， 特征值21-=λ，12-=λ，23=λ．对应于特征值21-=λ的特征向量u 必须满足方
程组0)(1=+-u E A λ，得到0≠?α，????
? ??=110αu 是对应于特征值21-=λ的特征向量．
类似地，可以求出对应于特征值12-=λ以及23=λ的特征向量分别为
????? ??=011βv （0≠β的任意常数）和???
?? ??=111γw （0≠γ的任意常数）．
)c 特征方程
0)1)(3(1
2
11
1
1
21
)det(2=+-=---+----=-λλλλλλA E ， 特征值12,1-=λ，33=λ．对应于特征值12
,1-=λ的特征向量???
?
? ??=321u u u u 必须满足方
程组0)(1=+-u E A λ，得0≠?α，???
?
? ??--=212αu 是对应于特征值12,1-=λ的特征向量．
类似地，可以求出对应于特征值33=λ的特征向量为???
?? ??=212βv （0≠β的任意常数）．
)d 特征方程
0)3)(2)(1(6
116
100
1
)det(=+++=+--=-λλλλλ
λλA E ， 特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ．
由0)(1=+-u E A λ，推出0≠?α，????
? ??-=111αu 是对应于特征值11-=λ的特征向量．同样可求得对应于特征值22-=λ和33-=λ的特征
向量分别为????? ??-=421βv （0≠β的任意常数）和???
?
? ??-=931γw （0≠γ的任意常数）．
4．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并计算At exp ，其中A 为：
)a ???? ??--2112； )b ?
???
??3421； )c ????? ??---244354332； )d ?
???
?
??--115118301．
解 )a 特征方程032
11
2
)det (2=-=--+=
-λλλλA E ，得32,1±=λ是特征值．对应的特征向量分别为????
??
-=3211αu ，?
???
??+=3212βu ，0,0≠≠βα为任意常数．所以方程组Ax x ='的一个基解矩阵为???
?
?
?+-=Φ-
-t t
t
t e e e
e
t 3333)32()32()(． 1
33331
323211)32()32()0()(exp --
--???
?
??+-???? ??+-=ΦΦ=t t
t
t e e e
e t At ???
?
?
?--+----+=---
-
t t
t
t
t
t t
t e e
e
e e e
e e 33333333)32()32()32()32(63． )b 由第3题)a 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为
???
?
?
?-=Φ--t t
t t
e e e e t 552)(． 1
551
21112)0()(exp ----???
?
??-???? ?
?-=ΦΦ=t t
t t e e e e t At ???
? ??+--+=----t t t t t t t
t e e e e e e e e 55552)(2231． )c 由第3题)b 立即得到方程组Ax x ='的一个基解矩阵为
????
? ?
?=Φ----t t t
t t
t t e e e e e
e e t 222220
0)(． 1
222221
1011111100
)0()(exp ------????
? ??????? ?
?=ΦΦ=t t t
t t
t t e e e e e
e e t At
?????
?
?----+---=--------t t
t t t t
t t
t t t
t
t t t t t e e e e e e e e e e e
e e e e e e 2222222222222． )d 特征方程0)34)(3(1
1
5
11
8
3
1
)det(2=--+=+------=-λλλλλλλA E ，特征值
为31-=λ，723
,2±=λ．对应的特征向量分别为?
???
? ??-=4731αu ，???
??
??++-=7174532βu ，
???
?
?
??+-+-=7174533γu ，γβα,,均为不等于零的任意常数．故方程组Ax x ='的一个基解矩阵
为
?
?
???
?
?
?-++---=Φ-+--+--+-t t
t t
t t
t
t
t
e e e e
e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(． 由)0()(exp 1
-ΦΦ=t At 立即可得[])()()(exp 321t t t At ψψψ=，其中列向量函数
??????
??-+++--+++--+++=-+--+--+-t t t t
t t t t t e e e e
e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7514(2)7514(256)71349()49713(98)737(3)737(342841)(ψ， ??????
??++-+-++-+-+-+-+=-+--+--+-t t t t
t t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)714(2)714(256)753175()753175(98)757(3)757(3422521)(ψ， ?????
?
??-++++--+++-+-=-+--+--+-t t t t
t t t t t e e e e e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(31)7137()7137(112)98761()98761(196)714(3)714(3841261)(ψ． （该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）
5．试求方程组Ax x ='的一个基解矩阵，并求满足初始条件η?=)0(的解)(t ?：
)a ???? ??=3421A ，???
? ??=33η； )b ????? ??--=115118301A ，????? ??--=720η；
)c ?
???
? ??-=102111121A ，????? ??=001η．
解 )a 由上题)b 知???
?
??-???? ??-=--1112231exp 55t t
t t
e e e e At ，所以所求解为
???
?
??+-+==--t t t t e e e e At t 5542)(exp )(η?．
)b 由上题)d 知)0()(exp 1-ΦΦ=t At ，其中
?
?
???
?
?
?-++---=Φ-+--+--+-t t
t t
t t
t
t
t
e e e e
e e e e e t )72()72(3)72()72(3)72()72(3)17()17(4)574()574(7333)(． 所以所求解为
?
???
?
??--????? ??++---+--?Φ==720)714(2775)773(3)714(2775)773(33214422521
)()(exp )(t At t η?
?????
?
?
?-++--+--+-++-+=-+--+--+-t t t t
t t t t t e e e e e e e
e e )72()72(3)72()72(3)72()72(3)7317(3)78977(728)7160289(3)7374511(1274)7435(9)9172(35461261． )c 由第3题)c 知，矩阵A 的特征值为12,1-=λ，33=λ．对应于特征值33=λ的特
征向量????? ??=212αv （0≠α的任意常数）．又由0648324648)(3212
1=????? ??????? ??=-u u u u A E λ，得到
????? ??+-=)24(3331γβγβu （γβ,是任意常数），由????
? ??+-+????? ??=????? ??=)24(3331212001γβγβαη解出
4
1,21,41
-===γβα．依公式（5.52），得满足初始条件η?=)0(的解为
?????
??--?????
??+++????? ??=+++=--21212021
2124121241)]([)(33t t
t t t
t
t e e u E A t E e Ev e t t t t
t ?
?????
?
?--+=---)(2)(241333t t t
t t t e e e e e e
6．试求方程组)(t f Ax x +='的解)(t ?：
)a ???? ??-=11)0(?，????
??=3421A ，???
? ??=1)(t e t f ；
)b ????? ??=000)0(?，????? ??---=6116100
010A ，???
??
??=-t e t f 00)(； )c ???? ??=21)0(ηη?，???? ??--=1234A ，???
? ??-=t t t f cos 2sin )(． 解 )a 由第4题)b 知，???
?
??-???? ??-=--1112231exp 55t t
t t
e e e e At ，由公式（5.61）得 ?-+=t
ds s f A s t At t 0
)(])exp[()(exp )(η?
????
?
?????? ??-???? ??-+???? ??-???? ??-???? ??-=--------t s s t s t s t s t t t
t t
ds e e e e e e e e e 0)(5)()(5)
(5511112231111112231 ?
???
?? ??+++-++-=--531092
35420934
355t t t t t
t e e e e e e ． )b 由第3题)d 知A 的特征值11-=λ，22-=λ，33-=λ，对应的特征向量分别为
????? ??-=111αu ，????? ??-=421βv ，???
?
?
??-=931γw ，其中γβα,,均是不为零的任意常数．Ax
x ='的一个基解矩阵为????
?
?
?---==Φ---------t t
t t
t t
t t t
t
t t
e e e e e e
e e e w e v e u
e t 3232329432][)(321λλλ． ????
?
??---=??
?
?
? ??---=Φ--132286156
21941321111
)0(1
1，而)0()(exp 1-ΦΦ=t At ． 由公式（5.61）得
?-+=t
ds s f A s t At t 0
)(])exp[()(exp )(η?
?????
??????? ??---????? ??---=---------000132286156943221323232t t
t t
t t t t t
e e e
e e e e e e
????
??
??????? ??---????
? ??---+-------------------t s s t s t s t s t s t s t s t s t s t ds e e e e
e e e
e e e 0)(3)
(2)
()(3)(2)
()(3)(2)
(00132286156943221
?????
??-+-+---+-=????? ??+--+-+-=------------------?t t t t
t t t t t t t s t s t t s t s t t s t s t e e e t e e e t e e e t ds e e e e e e e e e 3232320322322322916)72(38)25(4)32(419834221．
)c A 的特征方程0)2)(1(123
4
)det(=--=+--=
-λλλλλA E ，求解得特征值11=λ，22=λ，对应的特征向量分别是???
? ??=11αu ，???
?
??=23βv ，其中βα,是不为零的任意常数．所以方程组Ax x ='的一个基解矩阵为???
?
??==Φt t
t t
t
t
e e e e v e
u
e t 2223][)(21λλ，从而，???
?
??--Φ=ΦΦ=-1132)()0()(exp 1
t t At ．由公式（5.61）得
?-+=t
ds s f A s t At t 0
)(])exp[()(exp )(η?
?????
??-???? ?
?--???? ??+???? ?????? ??-???? ??=-----t s t s t s t s t t t t t
ds s s e e e e e e e e 0)(2)()(2)
(2122cos 2sin 113223113223ηη ????
??+-+-+-+-+???? ??-+--+-=t t e e t t e e e e e e t t t t t t t t cos 2sin 224cos sin 234)(2)23()(3)23(222211222112ηηηηηηηη
???
?
??+--+--+--+--=t t e e t t e e t t t t cos 2sin 2)(2)423(cos sin 2)(3)423(2211222112ηηηηηηηη．
7．假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组mt
ce Ax x +='有一解形如
mt e t ρ?=)(，其中ρ,c 是常数向量．
证明 设方程组有形如mt
e t ρ?=)(的解，代入方程得m t m t m t
ce e A e
m +=ρρ，由此得
c A m +=ρρ，即c A mE =-ρ)(．因为m 不是矩阵A 的特征值，故0)det(≠-A mE ，
即矩阵A mE -可逆，得到c A mE 1
)(--=ρ唯一确定．
所以方程组有一解m t m t
e ce
A mE t ρ?=-=-1)()(
8．给定方程组 ???=+'+-'=-'++'-''．02,0232211
22111
x x x x x x x x x
)a 试证上面方程组等价于方程组Au u ='，其中
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
《常微分方程》第四、五章作业答案 第四章 1．证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解 则：()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 111 1111=+++--Λ （3） ()()() ()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 221 2112=+++--Λ （4） 那么由（3）+（4）得： ()()()()()()() ()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211 211121Λ()t f 1+()t f 2 即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt x d t a dt x d n n n n n Λ111()t f 1+()t f 2的解。 2．（1）特征方程为：42540λλ-+= 特征根为12341,1,2,2λλλλ==-==- 原方程通解为：221234()t t t t x t c e c e c e c e --=+++ （2）特征方程为：5340λλ-= 特征根为1230,2,2λλλ===-，其中10λ=是三重根 原方程通解为：22212345()t t x t c c t c t c e c e -=++++ （3）特征方程为： 22100λλ++= 特征根为：1,213i λ=-± 通解为：12()(cos3sin 3)t x t c t c t e -=+ （4）原方程对应的齐线性方程的通解为： 123456*()()cos ()sin t t x t c e c e c c t t c c t t -=+++++ 下求原方程的特解. 设原方程的特解为：2()x t At Bt C =++ 代入方程有： 2243A At Bt C t -+++=- 故1,0A C B ===
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
常微分课后答案第一 章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1）y x dx dy -=24； （2）012222=+?? ? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 3522=+-； （5）02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程0222=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数．
（1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)． 解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以0222=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 211cos ,sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以0222=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 222sin ,cos ωωωωω-=-=''='，所以0222=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5） y x C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故 0222=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．
第五章 复习题 1、试用简明的语言说明热边界层的概念。 答：在壁面附近的一个薄层内，流体温度在壁面的法线方向上发生剧烈变化，而在此薄层之外，流体的温度梯度几乎为零，固体表面附近流体温度发生剧烈变化的这一薄层称为温度边界层或热边界层。 2、与完全的能量方程相比，边界层能量方程最重要的特点是什么 答：与完全的能量方程相比，它忽略了主流方向温度的次变化率，因此仅适用于边界层内，不适用整个流体。 3、式（5—4）与导热问题的第三类边界条件式（2—17）有什么区别 答：（5—4）（2—11） 式（5—4）中的h是未知量，而式（2—17）中的h是作为已知的边界条件给出，此外（2—17）中的为固体导热系数而此式为流体导热系数，式（5—4）将用来导出一个包括h的无量纲数，只是局部表面传热系数，而整个换热表面的表面系数应该把牛顿冷却公式应用到整个表面而得出。 4、式（5—4）表面，在边界上垂直壁面的热量传递完全依靠导热，那么在对流换热中，流体的流动起什么作用 答：固体表面所形成的边界层的厚度除了与流体的粘性有关外还与主流区的速度有关，流动速度越大，边界层越薄，因此导热的热阻也就越小，因此起到影响传热大小 5、对流换热问题完整的数字描述应包括什么内容既然对大多数实际对流传热问题尚无法求得其精确解，那么建立对流换热问题的数字描述有什么意义 答：对流换热问题完整的数字描述应包括：对流换热微分方程组及定解条件，定解条件包括，（1）初始条件（2）边界条件（速度、压力及温度）建立对流换热问题的数字描述目的在于找出影响对流换热中各物理量之间的相互制约关系，每一种关系都必须满足动量，能量和质量守恒关系，避免在研究遗漏某种物理因素。 基本概念与定性分析 5-1 、对于流体外标平板的流动，试用数量级分析的方法，从动量方程引出边界层厚度的如下变化关系式： 解：对于流体外标平板的流动，其动量方程为： 根据数量级的关系，主流方的数量级为1，y方线的数量级为 则有 从上式可以看出等式左侧的数量级为1级，那么，等式右侧也是数量级为1级，为使等式是数量级为1，则必须是量级。
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
第一章 绪论 § 微分方程：某些物理过程的数学模型 § 基本概念 习题 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程
1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知
常微分方程分项习题 一、选择题（每题3分） 第一章： 1．微分方程''20y xy y +-=的直线积分曲线为（ ） （A ）1y =和1y x =- （B ）0y =和1y x =- （C ）0y =和1y x =+ （D ）1y =和1y x =+ 第二章： 2．下列是一阶线性方程的是（ ） （A ）2 dy x y dx =- （B ）232()0d y dy xy dx dx -+= （C ）22( )0dy dy x xy dx dx +-= （D ）cos dy y dx = 3．下列是二阶线性方程的是（ ） （A ）222d y dy x x y dx dx +=- （B ）32()()0dy dy xy dx dx -+= （C ）2 (1)0dy x xy dx +-= （D ）22cos cos d y y x dx = 4．下列方程是3阶方程的为（ ） （A ）'23y x y =+ （B ）3 ( )0dy xy dx += （C ）3223()0dy d y x y dx dx +-= （D ）3cos dy y dx = 5．微分方程43( )()0dy dy dy x dx dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 6．方程2342()20dy d y x y dx dx +-=的阶数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．针对方程 dy x y dx x y -=+，下列说法错误的是（ ）． （A ）方程为齐次方程
（B ）通过变量变换y u x = 可化为变量分离方程 （C ）方程有特解0y = （D ）可以找到方程形如y kx =的特解(1y x =-± 8．针对方程2sin (1)y x y '=-+，下列说法错误的是（ ）． （A ）为一阶线性方程 （B ）通过变量变换1u x y =-+化为变量分离方程 （C ）方程有特解12 y x π =++ （D ）方程的通解为tan(1)x y x C -+=+ 9．伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(+=，它有积分因子为（ ） （A ）(1)()n P x dx e -? （B ）()nP x dx e ? （C ）(1)()n P x dx xe -? （D ）()nP x dx xe ? 10．针对方程 2(cos sin )dy y y x x dx +=-，下列说法错误的是（ ） ． （A ）方程为伯努利方程 （B ）通过变量变换2z y =可化为线性方程 （C ）方程有特解0y = （D ）方程的通解为1 sin x y Ce x =- 11．方程 2()dy y xf dx x =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 12．方程2()dy x f xy dx =经过变量变换（ ）可化为变量分离方程。 （A ）u xy = （B ）y u x = （C ）2y u x = （D ）2u x y = 13．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程 14．针对方程2''2(1)(2)y y y -=-下面说法错误的是（ ） （A ）不显含x 的形如'(,)0F y y =的隐式方程 （B ）设'2y yt -=，原方程消去'y 后可求解
§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
1.给定方程组 x = x x= （*） a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组（*）的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)＝c u(t)+c v(t)是方程组（*）的满足初始条件w(0)= 的解，其中是任意常数.解：a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题： a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解：a）令x ＝x, x = x , 得 即 又x ＝x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： x ＝x(1)＝ 其中x＝. b) 令＝x ＝＝＝则得： 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题： = x(0)= , 其中x= . c) 令w ＝x，w ＝，w ＝y，w ＝y ，则原初值问题可化为： 且 即w w(0)= 其中w＝ 3. 试用逐步逼近法求方程组 ＝x x＝ 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.
常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
第五章思考题 5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲? 5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？ 5.4既然 a q T ??是广义动量，那么根据动量定理，??? ? ????αq T dt d 是否应等于广义力a θ？为什么在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a q T ??项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？ 5.5为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式()13.3.5得出式 ()14.3.5？ 5.6平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么22s 个常数只有2s 个是独立的？ 5.7什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标将作怎样的运动？ 5.8多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不同？能否列出它们的微分方程？ 5.9 dL 和L d 有何区别？ a q L ??和a q L ??有何区别？ 5.10哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而不为常数的情况？ 5.12何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？ 5.13哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ可置于积分号内也可移到积分号外？又全变分符号?能否这样？ 5.14正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ 5.15哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤. 5.16正则方程()15.5.5与()10.10.5及()11.10.5之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者得出后者？ 5.17在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.