2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）12月月考数学
试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1．已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）
A．（0，1）B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1]
2．下列说法中正确的是（）
A．若命题P：?x∈R有x2＞0，则￢P：?x∈R有x2≤0
B．直线a、b为异面直线的充要条件是直线a、b不相交
C．若p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的充分不必要条件
D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±
3．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A． B．C．D．
4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．48cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3
5．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）
A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1
6．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面有三个命题：则真命题的个数为（）
①α∥β?l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β．
A．3 B．2 C．1 D．0
7．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．f（x）=x+sinx B．f（x）=
C．f（x）=xcosx D．f（x）=x（x﹣）（x﹣）
8．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2015）
2 C．5 D．4
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，b2﹣a2=ac，则cosB=（）
A．B．C．D．
10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为．12．由直线，曲线及x轴所围图形的面积为．
13．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则?=．
14．已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则的最小值为．
15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）=﹣f（1+x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），则以下结论中正确的是
①f（x）图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
②y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；
③当x∈（﹣1，0）时f（x）=﹣log2（1﹣x）；
④y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）内单调递增．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x++a．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，]时，f（x）的最小值是﹣2，求f（x）的最大值．
17．用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．
18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}中，令b n=，T n=，求证：T n＜2．
20．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
21．已知二次函数r（x）=ax2﹣（2a﹣1）x+b（a，b为常数，a∈R，a≠0，b∈R）的一个零点是2﹣．函数g（x）=lnx，设函数f（x）=r（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求b的值，当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[，1]上的最小值；
（Ⅲ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N 处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．
2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）12月月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1．已知集合M={x|x≥x2}，N={y|y=2x，x∈R}，则M∩N=（）
A．（0，1）B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1]
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中y的范围确定出N，求出两集合的交集即可．
【解答】解：由M中的不等式变形得：x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即M=[0，1]；
由N中的y=2x＞0，得到N=（0，+∞），
则M∩N=（0，1]．
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．下列说法中正确的是（）
A．若命题P：?x∈R有x2＞0，则￢P：?x∈R有x2≤0
B．直线a、b为异面直线的充要条件是直线a、b不相交
C．若p是q的充分不必要条件，则￢q是￢p的充分不必要条件
D．方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．
【分析】对四个选项，分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：A，若命题P：?x∈R有x2＞0，则￢P：?x∈R有x2≤0，故不正确；
B，直线a、b为异面直线的充要条件是直线a、b不相交且不平行，故不正确；
C，若p是q的充分不必要条件，根据互为逆否命题的等价性，可得￢q是￢p的充分不必要条件，正确；
D，方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±或0，不正确．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）
A． B．C．D．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题．
【分析】由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与
a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．
【解答】解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，
a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，
所以q3=，
则a7+a8+a9=a4q3+a5q3+a6q3=．
故选B．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题
4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．48cm3B．98cm3C．88cm3D．78cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；空间位置关系与距离．
【分析】几何体是长方体削去一个三棱锥，画出其直观图，判断长方体的长、宽、高的数值，再判断削去的三棱锥的相关几何量的值，代入体积公式计算．
【解答】解：由三视图知：几何体是长方体削去一个三棱锥，如图：
长方体的长、宽、高分别为6、3、6，∴长方体的体积为6×6×3=108；
削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为3，5，高为4，∴体积为××3×5×4=10；∴几何体的体积V=108﹣10=98（cm3）．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及相关几何量的数值．
5．若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为（）
A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1
【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0 即（x﹣1）2+y2 =1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，
再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面有三个命题：则真命题的个数为（）
①α∥β?l⊥m；
②α⊥β?l∥m；
③l∥m?α⊥β．
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】规律型．
【分析】利用面面平行的性质，可判定直线l⊥平面β，再利用线面垂直的性质可判定直线l与m的位置关系，从而判断①是否正确；
通过画图，可判断②是否正确；
根据线面垂直的判定，可判断直线m⊥α，再根据面面垂直的判定可判断③是否正确．【解答】解：∵α∥β，l⊥α，∴l⊥β，又m?β，∴l⊥m．∴①正确；
对②，如图α⊥β，m?α此时l与m位置关系不确定，∴②错误；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，m?β，∴α⊥β，故③正确．
故选B
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查空间中直线与平面的位置关系．
7．函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）
A．f（x）=x+sinx B．f（x）=
C．f（x）=xcosx D．f（x）=x（x﹣）（x﹣）
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用排除法，根据函数的奇偶性可以排除D，根据特殊点可以排除B，根据单调性可以排除A，问题得以解决．
【解答】解：由图象关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数，可排除D，
又图象过原点，可排除B，
又当f（x）=x+sinx时，f′（x）=1+cosx≥0，此时函数f（x）在R上为增函数，可排除A，故选：C
【点评】本题考查了函数图象的识别，经常要利用函数的奇偶性，单调性，特殊点，属于基础题．
8．设f（x）定义如下面数表，{x n}满足x0=5，且对任意自然数n均有x n+1=f（x n），则x2015）
2 C．5 D．4
【考点】函数的值．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由已知结合图表依次求出前几项，得到周期，由周期性得答案．
【解答】解：由x0=5，且x n+1=f（x n），可得：
x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，
x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，
x5=f（x4）=f（5）=2，…
由上可知，x n以4为周期出现，则x2015=x4×503+3=x3=4．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求法，考查学生读取图表的能力，关键是对题意的理解，是基础的计算题．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，b2﹣a2=ac，则cosB=（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】根据正弦定理及得c=2a，结合余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB算出b2=5a2﹣4a2cosB，再由题中边a、b的等式化简得到b2=4a2，两式联解即可得到cosB的值．
【解答】解：∵，∴由正弦定理，得=2，得c=2a
∵由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB，
∴b2=5a2﹣4a2cosB
∵b2﹣a2=ac，∴b2=a2+ac=4a2
因此，4a2=5a2﹣4a2cosB，解之得cosB=
故选：C
【点评】本题给出三角形ABC中的边角关系，求cosB的值，着重考查了运用正余弦定理解三角形和二元方程组的解法等知识，属于基础题．
10．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有
恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）
A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【考点】函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后
利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易
得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0?f（x）＞0的解集即可求得．
【解答】解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，
所以在（0，+∞）内单调递减．
因为f（2）=0，
所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选D．
【点评】本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．若|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（﹣∞，4）．【考点】函数恒成立问题．
【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，等价于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，利用不等式的性质即可求得最小值．
【解答】解：|x+1|+|x﹣3|＞k对任意的x∈R恒成立，等价于（|x+1|+|x﹣3|）min＞k，
∵|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，
∴k＜4，即实数k的取值范围是（﹣∞，4），
故答案为：（﹣∞，4）．
【点评】该题考查函数恒成立问题、绝对值不等式的性质，考查转化思想，属基础题．12．由直线，曲线及x轴所围图形的面积为2ln2．
【考点】定积分的简单应用．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，即可求得结论．
【解答】解：由题意，直线，曲线及x轴所围图形的面积为
=lnx=ln2﹣ln=2ln2
故答案为：2ln2．
【点评】本题考查定积分知识的运用，考查导数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则?=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据结合图形得出==，=0，=2××COS30°，
转化得出?=（）?=+求解即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，
∴根据勾股定理得出BC=，sin∠ABC═=，即∠ABC=30°
∵若=，
∴==，=0，=2××COS30°=3
∴?=（）?=+=×3=
故答案为：
【点评】本题考查了平面向量的几何运算，数量积，结合结合图形分解向量，属于中档题，关键是转化为容易计算的向量．
14．已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值
为7，则的最小值为7．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据
基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．
∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，
∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，
∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．
故答案为：7
【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
15．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）=﹣f（1+x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），则以下结论中正确的是①②③
①f（x）图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
②y=|f（x）|是以2为周期的周期函数；
③当x∈（﹣1，0）时f（x）=﹣log2（1﹣x）；
④y=f（|x|）在（k，k+1）（k∈Z）内单调递增．
【考点】函数的周期性；对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据已知中定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）=﹣f（1+x），当x∈（2，3）时，f（x）=log2（x﹣1），分析函数的对称性，周期性，单调性，进而逐一分析四个结论的正误，可得答案．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
又∵f（x）满足f（1﹣x）=﹣f（1+x），
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣f（1+（﹣x﹣1））=f（1﹣（﹣x﹣1））=f（x+2）．
故函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由（0，0），（1，0）均为函数图象的对称中心，
故①f（x）图象关于点（k，0）（k∈Z）对称，正确；
②y=|f（x）|是以2为周期的周期函数，正确；
③当x∈（﹣1，0）时，2﹣x∈（2，3），
∴f（2﹣x）=log2（2﹣x﹣1）=log2（1﹣x），
即f（﹣x）=log2（1﹣x），
即f（x）=﹣log2（1﹣x），
故正确；
④y=f（x）在（k，k+1）（k∈Z）内单调递增．
故y=f（|x|），当x＞0时，在（k，k+1）（k∈Z）内单调递增．
当x＜0时，在（k，k+1）（k∈Z）内单调递减．
故正确的是：①②③，
故答案为：①②③
【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，对称性，单调性，对数函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x++a．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设x∈[0，]时，f（x）的最小值是﹣2，求f（x）的最大值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用三角恒等变换，将y=f（x）整理可得f（x）=2sin（2x﹣）+a，令2kπ+≤2x
﹣≤2kπ+，即可求得函数f（x）的单调递减区间；
（2）0≤x≤?﹣≤2x﹣≤?﹣≤sin（2x﹣）≤1，依题意，即可求得a的值，
继而可得f（x）的最大值．
【解答】解析：（1）f（x）=sin2x﹣（1+cos2x）++a
=sin2x﹣cos2x+a
=2sin（2x﹣）+a，
令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间[kπ+，kπ+]（k∈Z）…（6分）
（2）∵0≤x≤，﹣≤2x﹣≤，﹣≤sin（2x﹣）≤1，
∴f（x）min=﹣+a；f（x）max=2+a，令﹣+a=﹣2得a=﹣2，
所以f（x）max=2+﹣2．…（12分）
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
17．用数学归纳法证明：l3+23+33+…+n3=（n∈N﹡）．
【考点】数学归纳法．
【专题】证明题．
【分析】应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．
【解答】证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，∴n=1时，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即
13+23+33++k3+（k+1）3
=
∴n=k+1时，等式成立．
综合①、②原等式获证．
【点评】考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属基础题．
18．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用．
【分析】（Ⅰ）连接CO，AC，由题设条件推导出四边形A1B1CO为平行四边形，由此能够证明A1O∥平面AB1C．
（Ⅱ）以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴，y轴，Z轴建立如图所示的坐标系，利用向量法能求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
【解答】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图，连接CO，AC，
则四边形ABCO为正方形，
∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1
∴四边形A1B1CO为平行四边形，
∴A1O∥B1C，
又∵A1O?平面AB1C，B1C?平面AB1C，
∴A1O∥平面AB1C．…（6分）
（Ⅱ）∵D1A=D1D，O为AD的中点，
∴D1O⊥AD，又侧面ADD1A1⊥底面ABCD，
∴D1O⊥底面ABCD，…（7分）
以O为原点，OC，OD，OD1所在直线分别为x轴，y轴，Z轴，
建立如图所示的坐标系，
由题意得：C（1，0，0），D（0，1，0），
D1（0，0，1），A（0，﹣1，0），…（8分）
∴，=（0，﹣1，1），
=（0，﹣1，﹣1），=（1，﹣1，0），
设为平面CDD1C1的一个法向量，
则，∴，
令Z=1，则y=1，x=1，∴，…（10分）
设为平面AC1D1的一个法向量，
则，∴，令Z1=1，
则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，
∴，
∴所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．
19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}中，令b n=，T n=，求证：T n＜2．【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】（1）由，能求出数列{a n}的通项公式．
（2）由b n=n，，利用放缩法和裂项求和法能证明T n＜2．
【解答】解：（1）∵，∴a1=S1=1﹣4+4=1，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣5，
n=1时，2n﹣5=﹣3≠a1，
∴a n=．
（2）∵b n=，a n=．∴b n=n，
∵，k=2，3，4，…，n
∴T n=
=
＜
=2﹣，
∴T n＜2．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和小于2的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
20．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（1）设∠BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；
（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【考点】弧度制的应用．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【解答】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，
∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，
∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；
（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，
∴S′（θ）=﹣200sinθ+100，
令S′（θ）=0，可得θ=．
函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，
∴θ=时，绿化带总长度最大．
【点评】利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．
21．已知二次函数r（x）=ax2﹣（2a﹣1）x+b（a，b为常数，a∈R，a≠0，b∈R）的一个零点是2﹣．函数g（x）=lnx，设函数f（x）=r（x）﹣g（x）．
（Ⅰ）求b的值，当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，求函数f（x）在区间[，1]上的最小值；
（Ⅲ）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．判断曲线C在点N 处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；二次函数的性质．
【专题】计算题；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）由2﹣是函数r（x）=ax2﹣（2a﹣1）x+b的零点可求得b=0，f′（x）=2ax+
（1﹣2a）﹣=，从而确定函数的单调增区间；
（Ⅱ）当a＜0时，由f′（x）=0得x=﹣或x=1，讨论函数f（x）在区间[，1]上的单调性，从而求最值；
（Ⅲ）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，从而求出直线AB的斜率
k1==[a（﹣）]+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]=a（x1+x2）+（1﹣2a）+，切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣=a（x1+x2）+（1﹣2a）
﹣，假设相等，即=﹣，从而得到ln=，令=t
＞1得lnt=，令g（t）=lnt﹣（t＞1），从而讨论函数的性质及可．【解答】解：（Ⅰ）由2﹣是函数r（x）=ax2﹣（2a﹣1）x+b的零点可求得b=0．
f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣=，
因为a＞0，x＞0，所以2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，
所以f（x）的单调增区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）当a＜0时，由f′（x）=0得x=﹣或x=1，
①当﹣＞1，即﹣＜a＜0时，f（x）在（0，1）上是减函数，
所以f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1﹣a．
②当≤﹣≤1，即﹣1≤a≤﹣时，
f（x）在[，﹣]上是减函数，在[﹣，1]上是增函数，
所以f（x）的最小值为f（﹣）=1﹣+ln（﹣2a）．
③当﹣，即a＜﹣1时，f（x）在[，1]上是增函数，
所以f（x）的最小值为f（）=﹣+ln2．
综上，函数f（x）在[，1]上的最小值f min（x）=，（Ⅲ）设M（x0，y0），则点N的横坐标为x0=，
直线AB的斜率k1==[a（﹣）]+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1] =a（x1+x2）+（1﹣2a）+，
曲线C在点N处的切线斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣
=a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣，
假设曲线C在点N处的切线平行于直线AB，则k1=k2，
即=﹣，
所以ln==，
不妨设x1＜x2，=t＞1，
则lnt=，
令g（t）=lnt﹣（t＞1），
g′（t）=﹣=＞0，
所以g（t）在（1，+∞）上是增函数，
又g（1）=0，所以g（t）＞0，即lnt=不成立，
所以曲线C在点N处的切线不平行于直线AB．
【点评】本题考查了导数的综合应用及二次函数的性质应用，属于难题．
广西名校高三年级2015年8月月考试题 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.本试卷共8页，第1—4页为试题，第5—8页为答题卡，请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卡的相应位置上，不写、写错位置不得分．．．．．．．．．． . 第I 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1个选项是符合题目要求的.） 1.设集合}2 1 21|{<<-=x x M ，}|{2x x x N ≤=，则=N M ( ) A.)21,1[- B.]1,21(- C.)21,0[ D.]0,2 1(- 2.复数z 满足i z i 2)1(=+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 3 1 21++ -=x y x 的定义域为 ( ) A.]0,3(- B.]1,3(- C.]0,3()3,(---∞ D.]1,3()3,(---∞ 4.正项等比数列}{n a 中，2446 =-a a ，6453=a a ，则}{n a 的前8项和为 ( ) A.63 B.127 C.128 D.255 5.已知直线? ??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）上两点B A ,对应的参数值是21,t t ，则=||AB ( ) A.||21 t t + B.||21t t - C.||2122t t b a -+ D. 2 2 21||b a t t +- 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ⊥β且βα⊥，则n m ⊥ B.若m ?α,n ?β 且m ∥n ，则α∥β C.若βα⊥，m ∥n 且β⊥n ，则m ∥αD.若m ⊥α,n ⊥β且n m ⊥，则βα ⊥ 7.将函数 )62sin(3π-=x y 的图像向右平移4 π 个单位长度，所得图像对应的函数( ) A.在区间]127,12[ππ上单调递减 B.在区间]12 7,12[π π上单调递增
高一上学期数学12月月考试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2019高一上·兴义期中) 已知全集，则）等于（） A . {2，4，6} B . {1，3，5} C . {2，4，5} D . {2，5} 2. （2分）若sin（π+θ）= ，sin（）= ，则θ角的终边在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3. （2分）(2019高二下·永清月考) 在同一直角坐标系中，函数， 的图象可能是（） A .
B . C . D . 4. （2分）把化为的形式是（） A . B . C . D . 5. （2分）
已知θ∈，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a、b、c ，则它们的大小关系是（） A . a>b>c B . c>a>b C . c>b>a D . b>c>a 6. （2分）已知（x∈N），那么f（3）等于（） A . 2 B . 3 C . 4 D . 5 7. （2分）若函数f(x)=25-|x+1|-4.5-|x+1|有实数零点，则实数m的取值范围是（） A . B . C . [-4,0) D . [-3,0) 8. （2分）（cos15°﹣cos75°）（sin75°+sin15°）=（） A . B . C . D . 1
9. （2分） (2018高一上·白城月考) 已知扇形OAB的圆心角为，其面积是2cm2则该扇形的周长是（）cm。 A . 8 B . 6 C . 4 D . 2 10. （2分） (2019高一上·珠海期中) 已知函数，对于任意，且 ，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（） A . B . C . D . 11. （2分） (2019高一下·上海月考) 终边落在直线上的角的集合为（） A . B . C . D . 12. （2分）(2020·随县模拟) 已知角，角的终边经过点，则（）
一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1．集合,，则（） A． B． C． D． 2.已知，那么等于（） A. B. C. D. 3．函数的单调递减区间是（） A．B． C．D． 4．以下有关命题的说法错误的是（） A．命题“若,则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为假命题，则均为假命题 D．对于命题使得，则，均有 5．已知函数，则下列四个命题中错误的是（） A．该函数图象关于点（1，1）对称； B．该函数的图象关于直线y=2-x对称； C．该函数在定义域内单调递减；
D ．将该函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度后与函数 的图象重合 6．函数的图象的大致形状是（ ） 7．若函数分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A ． B ． C ． D ． 8．已知，不等式的解集是，则满足的关系是( ) A ． B ． C ． D ．的关系不能确定 9．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若则 A ． B ． C ． D ．与的大小不能确定 10．若命题“，使“为真命题。则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ． B ． A C ． D ．
二.填空题(本题共5小题，每题4分，共20分) 11．当且时，函数的图象必过定点 . 12．幂函数3 222 )14(--+-=m m x m m y 的图像过原点，则实数的值等于 13、若函数，则= . 14、若函数的定义域为，则的取值范围为_______. 15．设函数的定义域为D ，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D 上的“型增函数”．已知是定义在R 上的奇函数，且当时，，若为R 上的“xx 型增函数”，则实数的取值范围是 ． 三.解答题（本题共5小题，每题10分，共50分） 16．已知，若且)10()(log 2≠>=a a k a f 且。 ⑴确定k 的值； ⑵求的最小值及对应的值。 17．已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。 ⑴求的值； ⑵求函数的单调递增区间。 18、已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数． (1)求的值; (2)若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围．
2018年上海市普通高等学校春季招生统一文化考试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．不等式||1x >的解集为__________． 2．计算：31 lim 2 n n n →∞-=+__________． 3．设集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =__________． 4．若复数1z i =+（i 是虚数单位），则2 z z + =__________． 5．已知{}n a 是等差数列，若2810a a +=，则357a a a ++=__________． 6．已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为 __________． 7．如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，3AB =，4BC =，15AA =， O 是11AC 的 中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________． 第7题图 第12题图 8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、 四辩．若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为__________． 9．设a R ∈，若9 22x x ? ?+ ?? ?与9 2a x x ??+ ???的二项展开式中的常数项相等，则a =__________． 10．设m R ∈，若z 是关于x 的方程22 10x mx m -+=+的一个虚根，则||z 的取值范围 是__________． 11．设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与() y f x =
洪泽二中2015-2016学年第一学期月考试卷 高一年级数学试卷 (本试卷满分160分，考试时间为120分钟) 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。 1. 已知集合 A -「a,b,c, d?，集合 B -「b,c,d,e ，则 A"B = ______________ 2. 计算：sin210。的值为 _ ______ 3. 函数 f (x) =1 —2x,x^[1,2]的值域为 ___________________________ 4?函数y 的定义域是 x —2 已知扇形的半径长为 2，面积为4,则该扇形圆心角所对的弧长为 已知函数 f(x)二 mx 3 nx 1(mn = 0),且 f -1 =5，贝U f(1) = 已知幕函数y = ax b 的图像过点(2,4),则a +b = 10.函数f(x)=1 log 2x 与g(x^2" 1在同一直角坐标系下的图象大致是 (填序号) ② -2(m-1)x ? m -1 =0的 两个根为 :::2，则实数m 的取值范围是 12.已知 f (n) =cos ，则 f ⑴ f (2) ? f(3) ||l f(2015)= 3 9.已知角二的终边落在直线 y = -X 上，贝U y = CO ST + ------ cos ， tan ： + ------ tan 日 的值为 5. 6. 4 已知 tan …f 二)，则曲= 7. 8. ① 11.设关于x 的方程 : ,且 0 1 .2 I O
1 13.已知偶函数f x 在区间［0 , +m )上单调递增，则满足 的X 的取值范 3 围是 「(a —2)x —1,x 兰1 14.函数f(x) 1 若f(x)在(-汽 +8)上单调递增，则实数 a 的取值 |a X J L ,x >1 范围为 _________ 二、解答题：(本大题共6小题，共90分) (TL sin(兀 +G ) +2sin . — 一口 (2)已知tan : - -2 , 求 2 ------- 的值. sin (Yt )+cos (n -a ) 16?已知函数f x 是实数集R 上的奇函数，当x 0时，f x = log 2x ，x-3 (1) 求f (-1)的值； (2) 求函数f x 的表达式； 17.已知函数 f(x) =lg(2 x) lg(2 -x) (1)求函数f (x)的定义域； 15.计算 1 1 2 (1) (§) _ log 2 8 (0.5 27 -2)中
2019-2020年高三10月月考数学理试卷缺答案 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。） 1、（） 2、已知集合，则是的（） 充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件 3、在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边上有一点，则（ ）4、函数的定义域为（） 5、在中，,,2AB a AC b BD DC ，用表示的结果为（） 6、在下列函数中，函数的一部分图像如图所示的是（ ） A ． B ． C ． D ．7、求函数图像上一点到直线的最小距离( ) 8、函数的单调递增区间为（） Z k k k ,323 2 ,3231 Z k k k ,32,3231Z k k k ,3132,3231 9、偶函数（为自然对数的底数）在上（） 有最大值有最小值单调递增不单调
10、设向量满足，，的夹角为，则（） 大小不确定恒等于最小值为最大值为 2 11、在中，若B A b a B A b a sin sin 2222，则为（） 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形 12、函数x x x x x x f cos 24sin 2222的最大值与最小值的和为（） 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知，. 14、已知，则= . 15、函数21 log sin 42f x x x 的零点个数为个. 16、若对于任意恒有成立，则实数的取值范围是. 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、(10分)已知为正实数，求证： 18、（10分）已知曲线的参数方程为：，曲线的极坐标方程为： （1）把化成普通方程；化成直角坐标方程； （2）、相交两点，求、两点的直角坐标. 19、（12分）向量cos ,2cos ,2cos ,sin a x x b x x ，若 （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程； （3）若，求的最大值和最小值. 20、（12分）已知函数 （1）讨论的单调性；
机密★启用前 山东省2019年普通高校招生(春季)考试 数学试题 1. 本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分,满分120分，考试时间120分钟。考生请在答题卡上答题，考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。 卷一(选择题共60分) 一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上) 1.已知集合M={0, 1}，N={1, 2}，则MUN等于 A. {1} B. {0, 2} C. {0，1, 2} D. 2.若实数a, b满足ab>0, a+b>0,则下列选项正确的是 A. a>0, b>0 B. a>0, b<0 C. a<0, b>0 D. a<0, b<0 3.已知指数函数y=a x, 对数函数 y=log b x的图像 如图所示，则下列关系式成立的是 A. 0 3 1 3 8 98 9 7 9 7 9 C.6 D. 4-2 7.对于任意角α, β,“α=β”是“sinα=sinβ”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.如图所示，直线ｌ⊥OP,则直线ｌ的方程是 A.3x-2y=0 B. 3x+2y-12=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x+3y-13=0 9. 在(1+x)n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64,则第3项是 A. 15x3 B. 20x3 C. 15x2 D. 20x2 10.在Rt△ABC中,∠ABC=90°，AB=3, BC=4, M是线段AC上的动点.设点M到BC的距离为x,△MBC的面积为y,则y关于x的函数是 A. y=4x，x∈(0, 4] B. y=2x, x∈(0, 3] C. y=4x，x∈(0，+∞) D. y=2x, x∈(0， +∞) 11.现把甲、乙等6位同学排成一列, 若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面(相邻或不相邻均可),则不同排法的种数是 A..360 B.336 C.312 D.240 12. 设集合M={-2, 0, 2, 4},则下列命题为真命题的是 A. Vα∈M,α是正数 B. Vb∈M, b是自然数 C.?c∈M,c是奇数 D. ?d∈M, d是有理数 13.已知sinα = ,则cos 2α的值是 A. B.- C. D.- 14. 已知y=f(x) 在R上是减函数，若f(|a|+1)高三数学月考试卷(附答案)