9－20 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？
题 9-20 图
分析 通常可采用两种方法.
方法(1) 由于电荷均匀分布在球面上，电场分布也具有球对称性，因此，可根据电势与电场强度的积分关系求电势.取同心球面为高斯面，借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布，再由?
∞
?=
p
p V l E d 可求得电势分布.(2) 利用电势叠加原理求电势.一个均匀带电的
球面，在球面外产生的电势为
r
εQ
V 0π4=
在球面内电场强度为零，电势处处相等，等于球面的电势
R
εQ
V 0π4=
其中R 是球面的半径.根据上述分析，利用电势叠加原理，将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布.
解1 (1) 由高斯定理可求得电场分布
()()()22
02
1321201
211 π4 π4
0R r r
εQ Q R r R r
εQ R r r r
>+=
<<=<=e E e E E 由电势?
∞
?=
r
V l E d 可求得各区域的电势分布.
当r ≤R 1 时，有
202101202
121
13211π4π4π411π40d d d 2
2
1
1R εQ R εQ R εQ Q R R εQ V R R R R r
+
=++??????-+
=?+?+?=???∞
l
E l E l E
当R 1 ≤r ≤R 2 时，有
20201202120
1322π4π4π411π4d d 2
2
R εQ r εQ R εQ Q R r εQ V R R r
+
=++?????
?-=?+?=??∞
l
E l E
当r ≥R 2 时，有
r
εQ Q V r
02
133π4d +=
?=?∞
l E
(2) 两个球面间的电势差
???
?
??-=?=?
210121211π4d 2
1
R R εQ U R R l E 解2 (1) 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内，即r ≤R 1 ，则
2
02
1011π4π4R εQ R εQ V +
=
若该点位于两个球面之间，即R 1≤r ≤R 2 ，则
2
02
012π4π4R εQ r εQ V +
=
若该点位于两个球面之外，即r ≥R 2 ，则
r
εQ Q V 02
13π4+=
(2) 两个球面间的电势差
()2
01
1012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -
=
-== 12－13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速1
2.0m s -=?v 平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40 A ．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？
题 12-13 图
分析 本题可用两种方法求解． 方法1：用公式()l B d ??=?l
E v 求解，建立图（a ）所示的坐标系，所取导体元x l d d =，
该处的磁感强度x
I
μB π20=
． 方法2：用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB 在一个静止的导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t ，杆AB 距导轨下端CD 的距离为y ，先用公式?
?=S
ΦS B d 求得穿过该回路的磁通量，再代入公式t
Φ
E d d -
=，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势．
解1 根据分析，杆中的感应电动势为
()V 1084.311ln 2π
d 2πd d 50m
1.1m 1.00-?-=-=-==??=??
v
v v I μx x μxl E AB
AB l B 式中负号表示电动势方向由B 指向A ，故点A 电势较高．
解2 设顺时针方向为回路AB CD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx 、长为y 的面元ｄS ，则穿过面元的磁通量为
x y x
I
μΦd 2πd d 0=
?=S B 穿过回路的磁通量为
11ln 2π
d 2πd 0m
1.1m 1.00??
-===S
Iy
μx y x I μΦΦ
回路的电动势为
V 1084.32π
d d 11ln 2πd d 500-?-=-=-=-
=Iy
μt y x I μt ΦE 由于静止的导轨上电动势为零，所以
V 1084.35-?-==E E AB
式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A ，故点
A 电势较高
数学例题教学活动的思考 数学例题教学对学生掌握数学知识形成数学技能、方法、提高解题能力，培养学生的实践探索精神，都起着重要作用。教师必须以全体学生为出发点给学生机会和空间，使每个学生都参与到教学活动中。学生也应该是教学活动的合作者、评价者。因此，数学解题教学活动应师生合作交流、教学相长。 反思传统的例题教学实践，不难发现，大多数情况是，教师把现成的例题，直接传授给学生，没有与学生交流，只是简单地分析、提问，再把题型及解法归纳出来，交给学生。学生只能处于被动地接受，对于培养学生的探索精神，形成数学能力是不利的。新课程标准要求不仅要体现教师的主导作用，也要体现学生的学习主体地位，更重要的是体现师生之间的合作交流。 为此，对数学例题教学活动作以下探索尝试： 当教师把一个数学例题展示给学生时，对这个数学问题实际上有三种认识：一是课程标准的认识，二是教师的认识，三是学生的认识。其中，课程标准的要求认识包括对题目的提示，分析解答过程：教师的认识包括审题、分析理解题意、探求思路、理解教材解答过程、研究教法和学法等：学生的认识除教法外，与教师的认识过程的一样的认识只是认识的深浅程度的区别。学生在教师的引导、启发的过程中，有时比教师的认识更深刻更巧妙。教学实践证明，学生中蕴藏着无限的创造力。 数学例题教学活动的合作交流的过程，是由教师、学生、教学内容、教学手段等构成的动态组合。从审美角度看，这个教学过程是完整的。亚里士多德曾说过，美不美，分别就在于原来零散的因素组合为统一体。在教学过程中，师生之间的信息交流往往从实质上决定着教学过程和谐与否。在具体的数学例题教学中，教师必须以全体学生为出发点，使每个学生都参与到教学活动中。如果教学活动中没有或部分学生与教师进行积极的交流，而其他学生受到冷落，处于一种沉默或消极被动的状态，则这样的例题教学过程是不成功的，不利于学生主体性的发挥。因此，学生、教师、教材之间的交流在整个教学过程中显得特别重要。 教师是数学例题教学的组织者，又是例题解答的引导者，还是教学法方式的设计者，教师只有把教学设计、组织、引导适当，数学例题教学的交流活动，才能充分进行。例如：对较容易解决的数学例题，教师可放手让学生自己去探索解题思路，或通过分组讨论来寻求思路。之后，教师组织学生交流，把各自思路都可以讲出来。最后教师把自己的思路讲出来，再与教材的解答思路及学生的思路相对照讲评。讲评首先要肯定学生的积极性，保护学生的自尊心，只要学生的思维有一点合理因素，都要给予肯定。然后，抽出有代表性的思路进行解答实施，在实施中比较优劣，发现问题，有针对性地讲解。特别是教师不应害怕暴露自己的思维弱点。教学实践证明，学生的数学思维，有时比教师要高明得多。对于一些难度大且没有现成答案的数学例题，只要教师合理组织设计教学过程，也可以进行有效的交流。比如，解题思路的探索，是一个复杂的数学思维过程。教师可
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 浮力与升力补充习题 1.体积相同的实心铜球与铅球都浸没在水中，则（） A.铜球受的浮力大 B. 两球受的浮力一样大 C.铅球受的浮力大 D. 无法比较 2.两只乒乓球分别用细线吊在同一 高度并相距8cm左右，如图9-14所示, 如果向两乒乓球中间吹气（气流方向与纸面垂直），则两乒乓球将（） A.不动 B. 向两边分开 C.向中间靠近 D. 向纸内运动 3.一艘轮船从东海驶入长江后，它所受的浮力（） A.变小 B. 不变 C. 变大 D. 不能确定 4?潜水艇在水中可以自由的上浮和下沉，它的浮沉是靠改变下列哪个物理量来实现的 （） A.所受的浮力 B ?水的密度 C ?自身的重力 D ?水的压强 5.把一个重为10N体积为0.8dm3的物体浸没在水中，放手后该物体将（） A.上浮 B .下沉 C .悬浮 D .无法确定 6.下列说法正确的是（） A.用盐水选种时，瘪谷子会浮起来，饱满的谷子会沉下去，因为盐水对饱满谷子无浮力作用 B.铁块放在水中要沉下去，放在水银中会浮起来，因为只有水银对铁块有浮力作用 C.一块石头从屋顶上自由落下，可见空气对石头没有浮力作用 D.所有的液体和气体对浸在它们里面的物体都有浮力作用 7.一个均匀圆柱体悬浮在液体中，如果把圆柱体截成大小不等的两部分，再放入该液体中，则（） A.两部分都上浮 B.两部分都悬浮 C.体积大的上浮，体积小的下沉 D.体积小的上浮，体积大的下沉 8.关于物体受到的浮力，下列说法中正确的是（） A.漂在水面的物体比沉在水底的物体受到的浮力大 B.物体排开水的体积越大受到的浮力越大 C.物体没入水中越深受到的浮力越大 9.大军将一支密度计分别放入两种不同的液体中，如图9-15所示。若两种液体的密度分别 P甲、p乙，静止时密度计所受浮力分别为F甲、F乙，则( ) A.p甲〉p乙F 甲=F乙 B.p甲＜p乙F甲＞F乙 C.p乙〉p甲F甲＜F乙 D.p乙〉p甲F 甲=F乙 10.用图像来描述物理过程或物理规律是很直观的。如图9-16 (a) —立方体木块，下 面用一段细线与之相连，细线另一端固定在在容器底(容器高比细线与木块边长之和大得 ( ) 11.饺子是大家喜爱的食品，在水中煮一会儿会漂起来，是因 为饺子受热膨胀，浮力___________ (填“变大” “变小”或“不 图 9-15 D.物体的密度越大受到的浮力越大 9-16 多)。现向容器中慢慢加水，如图9-16 (b)所示。若细线中的拉力用F表示，容器中水的深度用h表示。那么, 在图9-17中可以正确描述拉力F随随深度h的变化关系的图像是甲无 图 9-17 图 9-18 概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求Eξ与Dξ. 解：这3张卡片上的数字和ξ这一随机变量的可能取值为6，9，12，且“ξ=6”表示取 出的3张卡上都标有2，则P （ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3张卡片上两张为2， 一张为5，则P (ξ=9)= .?? “ξ=12”表示取出的3张卡片上两张为5，一张为 2，则P (ξ=12)=.??? 则期望Eξ=6×+9×+12×=,???? 方差Dξ= 2 + 2 + 2 =. 2.（2010江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、 浅谈数学例题的教学 例题是基础知识和基础技能得以联系的桥梁。在课堂教学环节中例题教学属于一个非常重要的环节，学生要对数学概念、法则、性质、定理以及方法和思想进行正确的理解、掌握和使用必须要经历例题教学的过程，使学生把数学知识和技能转化成学习能力的途径和方法。学生不仅能通过有效的例题教学熟悉数学的基础知识在解决问题过程中的使用方式，还会增强学生理解基础知识的技能，使学生能够有效掌握解题技巧，提升数学素养。要进行例题教学不仅需要对相关概念、法则以及定理公式等基础知识进行理解和掌控，最重要的是对学生分析问题和解决问题的能力进行培养和锻炼。所以开展立体设计和教学已经是一个值得广大教师思考的问题。 标签：数学；例题教学；老师 一、突显本质——概念型 让学生在教学期间对基础教学概念进行理解是锻炼学生独立思考问题的技能并开展推理证明技能的基础依据。在教学期间大部分学生都是利用举例例题然后通过科学合理的分析对较为抽象的概念进行总结，通过典型的例子掌握具体内容，对数学概念进行正确理解。 在数学教学过程中两元一次方程属于一个非常难理解的概念，老师讲课过程中举出以下两个例子： 例1：y=x2可以用来表示正方形面积y和边长x之间的关系，x≥0为x的基础取值范围； 例2：根据我国税法规定，个人月收入超出3500但低于5000的部分需要按照15%的个人所得税进行缴纳。假设某位工作人员的月工资应纳税为X元（35000时，在y轴的正半轴上。当k0且b≠0时，y的值会随x值的增大而增大，函数会经过一、二、三象限或者一、三，四象限，在该情况下函数是一个增函数。k 叫做函数的斜率，k=tan∮，∮表示的是函数图像与x正半轴的夹角，0°<∮<180°（∮≠90°）。 在典型例题教学过程中老师需要对比较、分析和归纳总结的方法提起高度重视，善于发现解题规律，将解决问题的方式教授给学生，进而使学生找到解题规律，自己去对新问题进行解答。 结束语 总体来讲，例题教学指老师可以通过例题教学将知识传授给学生、培养其技能、发展能力和提升思维方式的重要步骤和方式。老师在实施例题教学期间，应该对遵循或者是模仿方式、问题分析和思考的能力以及锻炼学生敏捷的解题思路 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为 如何进行有效的中学数学例题教学 摘要：数学例题教学在整个教学过程中至关重要，处理的好坏直接影响教学效果，本文具体研究在教学例题中常见的一些误区和寻找一些注意点，希望对以后的教学能起到一定的作用。 关键词：数学例题教学数学教学误区教学注意点中学数学教学中,例题教学占有相当重要的地位,在教学过程中有画龙点睛的作用。课本例题既是运用知识解题的精典,也是思维训练的典范。虽然一节课中有时只有一个例题，但是正是它的典范作用,才使学生初步学会了怎样进行数学思维,怎样运用数学知识进行思考、解题,如何表述自己的解题过程。虽然如此不过现行教学过程，不少老师教法过于陈旧，传统教法占主导地位，对例题讲不清，讲不透，造成这种原因主要原因是例题教学中存在误区，影响到学生数学素质的培养和提高，对教学效果有影响。下面就对教学中存在的几种误区进行剖析。 一、教师讲的多，学生参与少 教师从审题到解题一人承包，一讲到底，自己兴致勃勃，神采飞扬的讲完一题，学生却听的目瞪口呆，云里雾里没懂。这儿教师忽视了学生的主体地位，忽视了大多数学生的参与作用，教学变成了个人表演，学生成了旁观者，其主导作用也未充分发挥。 二、教师教法单一，学生沉闷。 教师讲授例题不践行新课程理念，教法陈旧单一，凭经验，以讲授为主，学生课堂上缺乏激情、思维未跟上，从而导致课堂气氛差、学生沉闷。人们常说，教学有法而无定法，贵在得法。教师应因例题而异，合理选择教法，综合运用多种教学模式。主要原因:新课程观念淡漠，课改意识不强，备课不充分或教材挖掘不够。草率应付，照 本宣科。不备课或者备课不够充分，例题教学只好照本宣科，书上怎样解就怎样讲，学生不明白为什么。 三、选题不精，忽视基础，贪多贪偏 教师选题时，往往贪多求全，造成大容量，或是例题迭加，或是机械重复。一节课下来，教师声嘶力竭、挥汗如雨，学生却满头雾水、不知所云，教学效果不佳。这主要是教师对讲授例题的目的不明确，例题的作用不明了造成的。数学课堂教学中，概念教学是重要的一环，为了使学生搞清数学概念，并能运用所学概念解决问题，教材中都安排了一定数量的例题，这些例题一般都具有典型性、针对性，是理解和巩固基本概念的好素材。然而有些教师却舍弃这些通俗易懂的例题，而盲目追求一些晦涩的偏怪题。殊不知这些偏怪题题意混沌、过程复杂、结论抽象，以它们为例帮助学生掌握所学的知识，无异是隔靴搔痒。 四、不能给学生充分的思考时间，忽视思维过程教学 教师出示题目之后，若不等学生思考，或当学生的思路刚刚起步时，便急于提示，或重音明确的读题，或抽出题中的关键语句，或直接端出思路和方法，使题目很快得以解决，表面上看来，既节约了时间，又避免了误差，但实质上使以教师的经验取代了学生的思考，以教师的教取代学生的思考，以教师的教取代学生的主动探求，学生坐以待哺，只能成为知识的接收器。很多造成这种原因的是教师在备课时对例题解法有了预设，从而形成思维定势。在课堂上表现出解题的思维缺乏灵活性，分析例题只是把学生往自己准备好的解法上引，思维展不开，有的甚至三言两语就分析完了，学生还没弄清为什么。显然，这忽视了学生的声音和想法，也限制了学生的数学思维，这对学生的数学解题和数学思维的训练极为不利。 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 第11章 《光的干涉》补充习题解答 1．某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化? 解: υ不变，为波源的振动频率；n n 空 λλ= 变小；υλn u =变小． 2．什么是光程? 在不同的均匀介质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同？在光程差与相位差的关系式2π ?δλ ?=中，光波的波长要用真空中波 长，为什么？ 解:nr δ=．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为t C δ ?= ． 因为δ中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。 3．在杨氏双缝实验中，作如下调节时，屏幕上的干涉条纹将如何变化？试说明理由。 (1)使两缝之间的距离变小； (2)保持双缝间距不变，使双缝与屏幕间的距离变小； (3)整个装置的结构不变，全部浸入水中； (4)光源作平行于1S 、2S 连线方向的上下微小移动； (5)用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝。 解: 由λd D x = ?知，(1)条纹变疏；(2)条纹变密；(3)条纹变密；(4)零级明纹在屏幕上作相反方向的上下移动；(5)零级明纹向下移动． 4．在空气劈尖中，充入折射率为n 的某种液体，干涉条纹将如何变化？ 解：干涉条纹将向劈尖棱边方向移动，并且条纹间距变小。 5．当将牛顿环装置中的平凸透镜向上移动时，干涉图样有何变化？ 解：透镜向上移动时，因相应条纹的膜厚k e 位置向中心移动，故条纹向中心收缩。 6．杨氏双缝干涉实验中，双缝中心距离为0.60mm ，紧靠双缝的凸透镜焦距为2.5m ，焦平面处有一观察屏。 （1）用单色光垂直照射双缝，测得屏上条纹间距为2.3mm ，求入射光波长。 （2）当用波长为480nm 和600nm 的两种光时，它们的第三级明纹相距多远？ 解：（1）由条纹间距公式λd D x = ?，得 332.3100.6105522.5 x d nm D λ--?????=== （2）由明纹公式D x k d λ=，得 9 2132.5()3(600480)10 1.50.610 D x k mm d λλ--?=-=??-?=? 7．在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m 。 某公务员今年35岁，计划通过年金为自己的退休生活提供保障。经过测算，他认为到60岁退休时年金账户余额至少应达到60万元.如果预计未来的年平均收益率为8%,那么他每月末需投入( D ) （A ）711元（B ）679元（C ）665元（D ）631元 60000012%8112%8112%8112992=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++ A 300600000 6318%1211128%=????+-??? ??????? 某三年期证券未来每年支付的利息分别为200元、400元、200元，到期无本金支付，如果投资者要求的收益率为8%，那么该证券的发行价格应为（ B ） （A ）800元（B ）686.89元（C ）635.07元（D ）685.87元 23200400200686.8872686.8918%(18%)(18%) P =++=≈+++ 软件设计师张先生最近购买了一套总价为50万元人民币的住房。由于他工作刚3年，积蓄不足，所以他按最高限向银行申请了贷款，20年期，贷款利率5.5%。如果采用等额本息还款方式，张先生每月需还款（ A ） （A ）3439.44元（B ）2751.55元（C ）2539.44元（D ）2851.55元 50000012%5.5112%5.5112%5.51123921=??? ???????? ??+++??? ??++??? ??++--- A 2405.5%500000123439.445.5%1112-?=????-+?? ??????? 某后付年金每年付款2000元，连续15年，年收益率4%，则年金现值为（ A ） （A ）22236.78元（B ）23126.25元（C ）28381.51元（D ）30000元 04.11104.11 104.11200004.1104.1104.1104.112000151532--??=??? ??++++ 15112000122236.774922236.780.04 1.04???-=≈ ??? 如果某股票的β值为0.8，当市场组合的期望收益率为11%，无风险利率为5%时，该股票的期望收益率为（ B ） （A ）13.8%（B ）9.8%（C ）15.8%（D ）8.8% 5%0.8(11%5%)5% 4.8%9.8%+?-=+= 一高级证券分析师预测某股票今天上涨的概率是20%，同昨日持平的概率是10%，则这只股票今天不会下跌的概率是（ B ） （A ）10% （B ）30% （C ）20% （D ）70% 假定上证综指以0.55的概率上升，以0.45的概率下跌。还假定在同一时间间隔内深证综指以0.35的概率上升，以0.65的概率下跌。再假定两个指数可能以0.3的概率同时上升。那么同一时间上证综指或深证综指上升的概率是（ B ） （A ）0.3 （B ）0.6 （C ）0.9 （D ）0.1925 数学例题教学应遵循的原则 摘要 数学例题是用来帮助学生理解抽象数学内容，强化解题过程，实现从未知向已知、从知识向能力的转化；同时也是使学生获取数学知识，掌握解题技巧、理解数学思想方法，提高思维能力的主要途径.如何更好的应用数学例题在教学中的应用是本文的主要研究内容.本文从例题在数学教学过程中的作用和数学例题教学的原则，以及如何更好地进行数学例题的教学这三方面种阐述了数学例题在教学过程中的重要作用. 关键词：数学例题教学原则 数学例题教学应遵循的原则 引言 例题教学是数学教学的核心组成部分，是教师讲课时用以阐明数学概念、数学命题及初步应用的主要途径，也是学生获取知识的重要步骤，它是数学知识转化为数学基本技能的附体，是学生理解和巩同数学基础知识，形成数学基本技能的重要手段，也是发展和培养学生思维的灵活性和创造性的一种重要方法. 一例题在数学教学过程中的作用 1.1 数学例题的教学价值 例题在数学教材中占了很大的数量，其教学价值主要在于，它在数学概念、命题、习题教学中起着承上启下的作用.教师只有启发引导学生看懂、理解、会做例题，才能有效地理解、巩固、运用所学的数学概念、命题.尤其是例题教学在思路、方法、格式等方面为学生做习题提供了解题的示范模式，这对于学生掌握数学知识，发展数学能力具有重要的作用． 1.2 数学例题对学生的作用 1.2.1 例题有助于培养学生的启发性 正确的思维来源于对定理、公式的透彻理解，所以在讲定理、公式时要注意它的形成过程，充分暴露思维过程，引导学生深刻领悟定理和公式的本质特征. 例如，《切线长定理》的教学，首先从学生原有的认知结构提出问题．如图一l是⊙O的切线．这条切线可以度量吗？然后问过⊙O外一点P．可作⊙O的几条切线.给出切线长定义后，引导学生继续观察图二，直观判断图中PA是否等于PB，启发学生思考引导学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA、OB，要证明PA=PB.学生容易想到连结OP，利用两个直角三角形全等便可证得两切线长相等．同时还能得出∠OPA=∠OPB.最后引导学生用文字语言叙述切线长定理的具体内容. 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 线性方程组 1. 用消元法解方程组?????? ?=- +-+=-- + - =-+-+ =- -+-5 2522220 21 22325 4 321 53 2 154321 5 4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 : ????? ???????---------→????????????---------→????????????---------420200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321? ??? ????? ???--------→60000 0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解. 2. 讨论λ为何值时,方程组??? ??=++ = + +=++2 3 2 1 3 2 1 321 1 λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。 解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。 ()() ()()B A =??? ? ???? ? ?+------→→???? ????? ?→?? ??? ?????=22 2 2211210 1101 111 1 11111 1 1 1 111λλλλλλλ λλλ λλλλλλλ λλ λΛ于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此 时方程组有唯一解;2 )1(,21,213 321++-=+=++- =λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解； 当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。 浅谈数学例题的作用及教学 发表时间：2011-9-26来源：《新校园》理论版2011年第8期供稿作者：王志林 王志林（江都市第二中学，江苏扬州225200） 新课程苏科版数学教材中的例题是数学知识链中一个不可或缺的环节，缺少这一环节，学生只能获得一大堆零碎、杂乱、干瘪的数学知识，难以建构知识体系，进行综合运用。笔者现就如何强化例题的教学谈几点肤浅的看法。 一、概念性例题 新课程苏科版数学教材的每章或每节开始，常以典型事例分三种情况给出情境例题。 一是从各侧面给出反映概念本质属性的直观材料，如负数的引入到有理数概念的形成，就是采用这种方法。对这类例题的教学，注意是引导学生去观察、讨论所给感性材料的特征，做好感性概括，再通过“去粗取精，去伪存真”等一系列思维过程使学生完成由感性向理性的飞跃。 二是给出生活中的实例，学生通过动手拼图形或其他形式的操作，观察操作过程中图形或事物的变换。经过科学的抽象给概念下定义，如轴对称和轴对称图形、中心对称和中心对称图形等概念的教学就是如此。对这类例题的数学，首先要备好直观教具或多媒体课件，注意实际操作，善于提出问题，组织学生讨论，再将演示过程进行描述而得出概念。 三是给出题组，通过计算、观察与比较而抽象出概念，讲授与代数的有关概念经常采用这类方法。对这类例题的教学，要使学生在练习的基础上将例题分组并进行比较，发现其异同点从而形成概念。 期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆 二、规律性例题 一些数学规律的揭示（包括数学公式的推导、运算定律和法则的归纳等），均通过这一类例题的计算及对计算结果的观察比较、综合概括而得出。 对这类例题的教学，教师要掌握所给例题的特点，然后分析计算这些问题需要运用哪些已学知识，这些知识学生是否掌握。如果未能掌握，为便于知识的正向迁移，课前要组织学生复习，扫清接受新知识的障碍，再指导学生作尝试性练习或师生共同合作。根据条件与计算结果教师要启发学生讨论，让学生自主归纳出法则，揭示其规律，培养学习的独立自主性。 三、巩固“双基”性例题 “双基”知识一旦学习完毕，就要加深理解，使学生牢固掌握这些知识，并将知识转化为能力。要应用“双基”知识于解题实践，巩固“双基”性例题是必要的条件。对这类例题的教学，主要是分析题目特点，明确其要求，再紧扣概念或法则，使数学理论与解题实践相结合。 四、熟练技能性例题 如果说巩固“双基”性例题是数学概念、法则、公式的一次运用，题型还比较单一，那么培养熟练技能性例题则是“形异质同”的基本题的延伸和拓展，是运用所学知识熟练解答某些数学问题，培养学生熟练技能。教学这类例题时，要对各例题进行具体分析掌握异同点，明确例题的作用与训练目的。具体教学时要将例题与基本题作比较，由教师对不同点略作提示，再要求学生作尝试练习，根据学生掌握情况和学生解题能力指名学生板演，教师要根据“法则”作好评讲、小结等工作。 五、综合应用性例题 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 数学课堂例题教学的有效设计 《新课程标准解读》指出：有效数学例题教学，是学生掌握数学基础知识、基本技能、基本数学思想方法、基本活动经验、发展思维能力的重要途径，能够促进学生学习态度、学习方式的改变。学生数学思维品质的提高，主要是通过例题在解决数学问题的思维实践中实现的。 例题教学是课堂的一个主要组成部分，是培养学生能力的重要手段，能促使学生更加牢固地掌握数学知识，将知识转化为技能。对例题进行精心设计、创设情境，采用新颖的形式，可以激发学生学习的主动性和创造性，让学生从不同的角度探索解决问题的途径，巩固所学的知识，培养其良好的学习习惯和思维品质。 著名数学教育家波利亚曾说过：“问题是数学的心脏”。从某种意义上说，数学教学就是问题的设计。数学教学设计的中心任务就是要设计出一个（或一组）问题，从而把教学过程组织成为提出问题和解决问题的过程，让学生在解决问题的过程中做数学、学数学、增长知识、发展能力。笔者在观摩海宁市学科带头人的展示课中发现：精心设计的例题正是课堂教学中问题设计的起点，解决问题的载体，归纳应用的升华。因此，在课堂教学中，笔者认为教师应该根据教学内容的特点，精心设计好例题这个“点”，以它为载体，带动整堂课，为课堂提优增效。因此，在设计出有效的例教师应依据教材内容和学生实际，课堂教学中， 题，激发学生的思维，提高课堂教学的有效性。 一、数学课堂例题设计的原则 1. 例题设计要有明确的目标指向 例题教学是希望通过训练帮助学生理解，沟通知识之间的内在联系，形成知识网络，提高总结归纳能力。例题设计除了要考虑变式的全面性、新颖性，最重要的是要明确例题教学的目的。一般来说，新授课中的例题教学应以基础为重，设计时可着重于某一点的变式，而复习课中的例题教学则要求一题多变、“以少胜多”，这样的例题教学才能真实、简洁、高效，摆脱“题海”战术。 2. 例题设计要符合学生的认知规律 由于学生思维并非“一步到位”，而是“螺旋式上升”的渐进过程，明确学生的认知起点，理解学生的思维障碍，设计的问题要有一定的梯度，层层递进，环环紧扣。根据例题的特点，选择重点，如一些综合性的例题，设计时应该注重前期的过度铺垫，对一些基础性的例题，可以进行适当的延伸和拓展，开阔学生的思维，这样的设计，才能让学生处于顺理成章的状态。 3. 例题设计要有利于激发学生的探索欲望 有效的例题设计要善于抓住学生的“眼球”，唤醒学生的知识经验。把一些看似平淡的例题配上引“生”入胜的情景，把封闭题改为探索、开放题，把静态的问题动态化，为学生提供一些提高学生的参调动学生的积极性和创造性，富有挑战性的素材， 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：第11章浮力与升力补充习题
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