§9.2 圆的方程
考纲解读
考点
考纲内容
要求
浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016
2017 圆的方程
掌握圆的标准方程与一般方程.
掌握
21(1),6分
13(文),4分 5(文),5分 14,4分
14(文),4分
19(文),约5
分
10(文)
,
6分
11,4分
分析解读 1.重点考查圆的标准方程和一般方程,若以选择题、填空题的形式出现,难度不大;若与其他曲线综合,以解答题的形式出现,难度较大.
2.预计2019年高考试题中,对于圆的考查会有所涉及.
五年高考
考点 圆的方程
1.(2016浙江文,10,6分)已知a∈R,方程a 2x 2+(a+2)y 2
+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 . 答案 (-2,-4);5
2.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .
答案
+y 2
=
3.(2015湖北,16,5分)如图,已知圆C 与x 轴相切于点T(1,0),与y 轴正半轴交于两点A,B(B 在A 的上方),且
|AB|=2.
(1)圆C 的标准．．
方程为 ; (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .
答案 (1)(x-1)2+(y-)2
=2 (2)--1
4.(2014陕西,12,5分)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x 对称,则圆C 的标准方程为 .
答案 x 2+(y-1)2
=1
5.(2017课标全国Ⅲ理,20,12分)已知抛物线C:y 2
=2x,过点(2,0)的直线l 交C 于A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;
(2)设圆M 过点P(4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 解析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),l:x=my+2.
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为
+=.
6.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.
解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.
(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).
因为圆N与x轴相切,与圆M外切,
所以0 于是圆N的半径为y0, 从而7-y0=5+y0,解得y0=1. 因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. (2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2. 设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0, 则圆心M到直线l的距离 d==. 因为BC=OA==2, 而MC2=d2+, 所以25=+5,解得m=5或m=-15. 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设P(x1,y1),Q(x2,y2). 因为A(2,4),T(t,0),+=, 所以① 因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.② 将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25. 于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤≤5+5, 解得2-2≤t≤2+2. 因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2]. 三年模拟 A组2016—2018年模拟·基础题组 考点圆的方程 1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,4)圆心在直线y=x上,半径为2,且过点(3,1)的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y+1)2=4或(x+3)2+(y+3)2=4 B.(x+1)2+(y+1)2=4或(x-3)2+(y-3)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4或(x+3)2+(y+3)2=4 D.(x-1)2+(y-1)2=4或(x-3)2+(y-3)2=4 答案 D 2.(2016浙江镇海中学模拟,3)点M,N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径为( ) A.3 B.2 C. D.1 答案 A 3.(2018浙江9+1高中联盟期中,16)已知圆C:x2+(y-r)2=r2(r>0),点A(1,0),若在圆C上存在点Q,使得 ∠CAQ=60°,则r的取值范围是. 答案[,+∞) 4.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)已知直线l的方程为x+2y-3=0,则圆x2+y2+6x+4y+8=0上的点到直线l 的距离的最大值是. 答案3 5.(2017浙江测试卷,16)已知直线l:y=kx(k>0),圆C1:(x-1)2+y2=1与C2:(x-3)2+y2=1.若直线l被圆C1,C2所截得的两弦的长度之比是3∶1,则实数k= . 答案 6.(2017浙江镇海中学模拟卷(三),11)已知圆C的方程为x2+y2-2x+y=0,则圆心C的坐标是;半径 r= . 答案; 7.(2017浙江台州质量评估,12)以坐标原点O为圆心,且与直线x+y+2=0相切的圆的方程是,圆O 与圆x2+y2-2y-3=0的位置关系是. 答案x2+y2=2;相交 B组2016—2018年模拟·提升题组 一、选择题 1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,7)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点M(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B 2.(2016浙江镇海中学测试卷四,5)若圆(x-a)2+(y-b)2=b2+1始终平分圆(x+1)2+(y+1)2=4的周长,则b的最大值是( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案 B 二、填空题 3.(2018浙江镇海中学阶段性测试,15)圆C经过两点A(3,2),B(4,1),且圆心在直线2x+y-4=0上,则圆C的方程是. 答案(x-2)2+y2=5 4.(2018浙江镇海中学期中,16)圆x2+y2=1上任意一点P,过点P作两直线分别交圆于A,B两点,且∠APB=60°,则|PA|2+|PB|2的取值范围为. 答案(3,6] 5.(2017浙江镇海中学模拟卷(二),14)已知点P(x,y)为圆x2+y2=r2上一点,若点M(x,x2)和N(y,y2)的最大距离是,则半径r的值是. 答案 6.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),11)已知直线l:x+y+k=0,圆C:x2+y2=1,若l与C相切,则k= ;若圆C 关于l对称,则k= . 答案±;0 7.(2016浙江名校交流卷,14)已知直线l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0(m∈R),若存在一个定圆C,对任意m∈R,定圆C 与直线l相切,则定圆C的方程是. 答案(x-2)2+(y-2)2=4 C组2016—2018年模拟·方法题组 方法1 求圆的方程的解题策略 1.(2016浙江高考冲刺卷(二),13)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的标准方程为. 答案(x-1)2+(y+1)2=2 2.圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程 为. 答案(x-2)2+(y-1)2=4 方法2 与圆有关的最值问题的解题策略 3.(2016浙江镇海中学测试卷二,6)已知直线l:x-y+2=0和圆M:(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0),若存在三个点A,B,C满足:点A在直线l上,点B,C在圆M上,且AB⊥AC,则r的最小值是( ) A.1 B. C.2 D.3 答案 A
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