第3讲 函数的单调性与最值
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知识梳理
1．增函数、减函数
一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ?I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1
若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．
3．
[做一做] 1．(2014·高考北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．y ＝e －x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝ln x
D ．y ＝|x |
2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2，4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________．
要点整合
1．辨明两个易误点 （1）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结．
（2）注意函数的定义域为不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义
域上”单调，如函数f (x )＝1
x
在(－∞，0)、(0，＋∞)上递减，而不能说在定义域上递减．
2．判断函数单调性的四种方法
（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；
（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；
（3）图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 3．函数最值的有关结论
（
1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到． （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)． [做一做]
3．函数y ＝1－1
x －1
( )
A ．在(－1，＋∞)上单调递增
B ．在(－1，＋∞)上单调递减
C ．在(1，＋∞)上单调递增
D ．在
(1，＋∞)上单调递减
4．已知函数y ＝f (x )在R 上是减函数，点A (0，－2)，B (－3，2)在其图象上，则不等式－2 5．函数f (x )＝1 x 2＋ 1 在区间[2，3]上的最大值是________，最小值是________． 典例剖析 考点一__函数单调性的判断与证明____________ 讨论函数f (x )＝ax x 2－1 (a >0)在x ∈(－1，1)上的单调性. [规律方法] 确定函数单调性的常用方法： （1）定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论． （2）图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性． （3）转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性． （4）导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性．. 1．已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x (x >0)，证明：函数f (x )在(0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上 是增函数． 考点二__求函数的单调区间____________________ （1）函数y ＝1 2 x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) （2）(2015·山西太原模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0 A ．????0，12 B ．[]a ，1 C ．(－∞，0)∪????12，＋∞ D ．[]a ，a ＋1 （3）(2015·广东中山质检)y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为________． 若将本例(2)中的“01”，则函数g (x )的单调递减区间如何？ [规律方法] 1.求单调区间的常用方法： (1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 2．求复合函数y ＝f (g (x ))的单调区间的步骤： （1）确定定义域； （2）将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )； （3）分别确定这两个函数的单调区间； （4）若这两个函数同增或同减，则y ＝f (g (x ))为增函数；若一增一减，则y ＝f (g (x ))为减函数，即“同增异减”． 2.写出下列函数的单调区间： （1）y ＝log 3(x 2－4x ＋3)；（2）y ＝|－x 2＋2x ＋3|. 考点三__函数单调性的应用(高频考点)__________ 函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点，常以选择、填空题的形式出现，高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： （1）求函数的值域或最值； （2）比较两个函数值或两个自变量的大小； （3）解函数不等式； （4）求参数的取值范围或值． （1）(2015·贵州贵阳质检)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2) 上是增函数，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3) D ．f (0)＝f (3) （2）函数f (x )＝?????1x ，x ≥1 －x 2＋2，x <1 的最大值为________． （3）(2015·金华十校联考)已知函数f (x )＝? ????x 2 ＋4x ，x ≥0 4x －x 2 ，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________． （4）已知函数f (x )＝x 2＋a x (a >0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围为________． [规律方法] 应用函数单调性解题常用策略 （1）比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． （2）解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． （3）利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． （4）利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值． 3．（1）已知函数f (x )为R 上的减函数，若m ?????1x （2）已知函数f (x )＝1a －1 x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在????12，2上的值域为????12，2，则a ＝________． 名师讲坛 方法思想——数形结合思想求函数最值 已知函数f 1(x )＝|x －1|，f 2(x )＝1 3x ＋1，g (x )＝f 1（x ）＋f 2（x ）2＋|f 1（x ）－f 2（x ）|2 ，若a ，b ∈[－1，5]，且当x 1，x 2∈[a ，b ]时，g （x 1）－g （x 2） x 1－x 2 >0恒成立，则b －a 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 [名师点评] 本题利用了数形结合的思想，解答本题首先利用分类讨论思想写出函数g (x )的表达式，然后再作出g (x )的图象，利用图象求出b －a 的最大值． 1．(2015·四川泸州高中模拟)已知函数f (x )＝|x 2－a |在[－1，1]上的最大值为M (a )，则M (a )的 最小值为( ) A.14 B ．1 C.1 2 D ．2 2．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________． 知能训练 一、选择题 1．(2014·北京卷)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x | 2．(2015·宁夏月考)下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝2x －1y ＝ B ．x y 2 1log = C ．y ＝x 2－1 2 D ．y ＝－x 3 3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．? ????－∞，32 B ．??????32，＋∞ C ．? ????－1，32 D ．???? ?? 32，4 4．函数的递增区间是）上是增函数，则，在区间（)3(74)(-=-x f y x f （ ） A ．)3,2(- B ．)7,1(- C ． )10,1(- D ．)10,4(- 5．已知函数 f (x )＝???（a －2）x ，x ≥2 ? ?? ??12x －1，x <2，满足对任意的实数 x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2） x 1－x 2 <0 成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．? ????－∞，138 C ．(－∞，2] D ．???? ??138，2 6．(2014·安徽卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 7．(2014·高考陕西卷)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝2 1 x B ．f (x )＝x 3 C ．f (x )＝? ?? ??12x D ．f (x )＝3x 8．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (1) B ．f (3) C ．f (－2) D ．f (3) A ．(－∞，1) B ．? ????23，1 C ．? ?? ?? 23，＋∞ D ． (1，＋∞) 10．（2015·青岛模拟）若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ． (－1,0) B ． (－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1] 11．（2015·成都模拟）已知函数f (x )＝??? x 2 ＋4x ，x ≥0， 4x －x 2 ，x <0， 若f (2－a 2) >f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ． (－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ． (－2,1) D ． (－∞，－2)∪(1，＋∞) 12．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ? ?? ?? －12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．a ＜b ＜c 13．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则下列选项正确的是( ) A ．f (a )＋f (b )≤－[f (a )＋f (b )] B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－[f (a )＋f (b )] D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ) 二、填空题 1．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)＜f (1－2m )，则m 的取值范围是______． 2．已知下列四个命题：①若f (x )为减函数，则－f (x )为增函数；②若f (x )为增函数，则函数g (x )＝ 1 f (x ) 在其定义域内为减函数；③若f (x )与g (x )均为(a ，b )上的增函数，则f (x )·g (x )也是区间(a ，b )上的增函数；④若f (x )与g (x )在(a ，b )上分别是递增与递减函数，且g (x )≠0，则f (x ) g (x ) 在(a ，b )上是递增函数．其中正确命题的序号是__________． 3．已知函数f (x )＝??? －x 2 ＋4x －10 (x ≤2) log 3(x －1)－6 (x ＞2)若f (6－a 2)＞f (5a )，则实数a 的取值范围是___ 4．(2015·福建厦门质检)函数f (x )＝? ?? ??13x －log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________ 5．已知函数ax x x f +-=)2ln()(在开区间)1,0(内是增函数，则实数a 的取值范围为 三、解答题 1．(2015·江西师大附中测试)已知函数y ＝1＋x 1－x ＋lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ， （1）求M ； （2）当x ∈M 时，求f (x )＝a ·2x ＋2＋3×4x (a ＞－3)的最小值． 2．已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. （1）若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性； （2）若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时x 的取值范围． 3．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. （1）求证：f (x )在R 上是减函数； （2）求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 4．已知f (x )＝ x x －a (x ≠a )． （1）若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； （2）若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 5．已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ? ???? 12＝1，如果对于0 都有f (x )>f (y )． （1）求f (1)的值； （2）解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2. 6．定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈、， 有)()()(b f a f b a f =+， （1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ； （3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-x x f x f ，求x 的取值范围 7．已知 函数)(x f =))(6(3)4(23R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中n m ,为实常数。 （1）求n m ,的值； （2）试用单调性的定义证明：)(x f 在区间[-2, 2] 上是单调函数； （3）[理科做] 当-2≤x ≤2 时，不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立，求实数a 的取值范围。 8．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有0) ()(>++b a b f a f 成 立． （1）判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； （2）解不等式f ????x ＋1 2 ?1x －1； （3）若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围 [做一做] B 2．[1，4] 8 3． C 4．{x |－3 10 考点一_ [解] 设－1 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 2 1＋ax 2（x 21－1）（x 22－1）＝a （x 2－x 1）（x 1x 2＋1） （x 2 1－1）（x 22－1） ∵－1 ∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 2 1－1)(x 22－1)>0. 又a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，函数f (x )在(－1，1)上为减函数． 1.证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0 则f (x 1)－f (x 2)＝? ???x 1＋a x 1－????x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0 又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1 又x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1) 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 [答案] (1)B (2)B (3)(－∞，－1]，[0，1] 解：由题意得log a x ≤0或log a x ≥1 2 ，∵a >1，∴0 ∴函数g (x )的单调递减区间为(0，1]或[a ，＋∞)． 2. (1)∴y ＝log 3(x 2－4x ＋3)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为( －∞，1)． (2)单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－1]和[1，3]． 考点三 [答案] (1)A (2)2 (3)(－2， 1) (4)(0，4] 答案：(1)> (－1，0)∪(0，1) (2)2 5 名师讲坛 [答案] D 1.选C 2． 6 知能训练 BADCB DDABD CBC 二、填空题 1．? ???? －12，23 2．① 3．－6＜a ＜1 4．3 三、解答题 1．解析：(1)依题意，有??? 1＋x 1－x ≥0，且x ≠1， 3－4x ＋x 2＞0， 解得M ＝[－1,1)． (2)∵f (x )＝a ·2x ＋2＋3×4x ＝3? ? ? ??2x ＋2a 32－43a 2，又12≤2x ＜2，a ＞－3，∴－2a 3＜2. 若－2a 3≤12，即a ≥－34时，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋34， 若12＜－2a 3＜2，即－3＜a ＜－34时，则2x ＝－23a ，即x ＝log 2? ???? －2a 3时，f (x )min ＝－43a 2. 2．解析：(1)当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，令x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)， ∵2x 1＜2x 2，a ＞0?a (2x 1－2x 2)＜0， 3x 1＜3x 2，b ＞0?b (3x 1－3x 2)＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0， 当a ＜0，b ＞0时，? ????32x ＞－a 2b ，则x ＞log 1.5? ???? －a 2b ； 当a ＞0，b ＜0时，? ????32x ＜－a 2b ，则x ＜log 1.5? ?? ?? －a 2b . 3． 解析：(1)证明：方法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 方法二：设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)由(1)得f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 4．解：(1)证明：任设x 1 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2 x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2） . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1) (2)任设1 x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ） . ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 5．解析：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0. (2)由题意知f (x )为(0，＋∞)上的减函数，且??? －x >0， 3－x >0，∴x <0， ∵f (xy )＝f (x )＋f (y )，x 、y ∈(0，＋∞)且f ? ?? ?? 12＝1. ∴f (－x )＋f (3－x )≥－2可化为f (－x )＋f (3－x )≥－2f ? ?? ?? 12， 即f (－x )＋f ? ????12＋f (3－x )＋f ? ????12≥0＝f (1)?f ? ????－x 2＋f ? ???? 3－x 2≥f (1)?f ? ????－x 2·3－x 2≥f (1)， 则???? ? x <0， －x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0. 《函数的单调性》说课稿 各位评委老师，上午好，我是号考生叶新颖。今天我的说课题目是函数的单调性。首先我们来进行教材分析。 一、教材分析 本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。 函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。 二、教学目标： 根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标： 1、知识目标： （1）使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。 （2）通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；2、能力目标： （1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。 （2）通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。 3、情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与 一、函数的单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，，当时，都有f() （2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的，有以下几个特征：一是任意性，，即“任意取，”，“任意”两字不能丢；二是有大小，通常规定；三是属于同一单调区间（3）单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正逆互推，即由f(x)是增函数且f（）< （4）有的函数不具有单调性，如函数y=，它的定义域为R，但不具有单调性，函数y=x+1,x∈Z它的定义域不是区间，也不能说它在其定义域上具有单调性 （5）如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B 上都是增（减）函数，一般不能认为f（x）在A∪B上是增（减）函数，例如f(x)=在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是减函数，但是不能说其在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数，在这里，正确的写法应为：“（-∞，0），（0，+∞）”或“（-∞，0）和（0，+∞）” （6）图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x)，从左向右看，其图像时上升的，单调递减的函数f(x)，从左向右看，其图像时下降的 （7）函数在某一点处的单调性无意义 高中数学必修一函数——单调性 考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。 能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。 知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用 一、单调性的定义 （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间 （2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值； 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。 二、函数单调性的证明 重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性 函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可； O O O O （1） （2） （3） （4） 时间 时间 时间 时间 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 离开家的距离 人教版高一数学函数及其性质知识点归纳与习题 第一部分 函数及其表示 知识点一：函数的基本概念 1、函数的概念： 一般地，设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作： A x x f y ∈=，)(。 x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，y 叫函数值，y 的取值范围叫函数的值域。 说明：①函数首先是两个非空数集之间建立的对应关系 ②对于x 的每一个值，按照某种确定的对应关系f ，都有唯一的y 值与它对应，这种对应应为数与数之间的“一对一”或“多对一”。 ③认真理解)(x f y =的含义：)(x f y =是一个整体，)(x f 并不表示f 与x 的乘积，它是一种符号，可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格； 2、函数的三要素：定义域，值域和对应法则 3、区间的概念：三种区间：闭区间、开区间、半开半闭区间 4、两个函数相等：同时满足（1）定义域相同；（2）对应法则相同的两个函数才相等 5、分段函数： 说明：①在求分段函数的函数值时，首先要确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值。 ②分段函数是一种重要的函数，它不是几个函数，而是同一个函数在不同范围内的表示方法不同。 6、函数图像 练习 1.下列图象中表示函数图象的是 （ ） （A ） (B) (C ) (D) 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．x x y y ==,1 B ．1,112 -=+?-=x y x x y C ．3 3 ,x y x y = = D ． 2 )(|,|x y x y == 3.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为 （ ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。 A 、（1）（2）（4） B 、（4）（2）（3） C 、（4）（1）（3） D 、（4）（1）（2） 4.下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：2 2x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5.在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重()040x x <≤克的函数，其表达式为()f x ＝____ ____ 6.设函数? ??<+≥-=10110 2)(2x x x x x f ，则)9(f = ，)15(f = 7.设函数?? ?<-≥-=5 35 2)(2 x x x x x f ，若)(x f =13，则x= 。 8.函数()1,3,x f x x +?=?-+? 1, 1,x x ≤>则()()4f f = ． 9.下列各组函数是同一函数的有 ①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与2()g x x =； ③0 ()f x x =与0 1()g x x = ；④2()21f x x x =--与2 ()21g t t t =--。 10.作出函数(]6,3,762 ∈+-=x x x y 的图象 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 1 ” 课题：§ 1.3.1函数的单调性 教学目的：(i )通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意 义； (2 )学会运用函数图象理解和研究函数的性质； (3 )能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性. 教学重点：函数的单调性及其几何意义. 教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 教学过程： 一、 引入课题 1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ① 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ② 能否看出函数的最大、最小值？ ③ 函数图象是否具有某种对称性？ 2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1 . f(x) = x ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 2. f(x) = -2x+1 ② 从左至右图象上升还是下降 __________ ? ②在区间 _______________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ___________ . 3. f(x) = x 2 ②在区间 _______________ 上，f(x)的值随 -* ----- 1 ----- ? -1 1 x y 」 lb 1 ■ -1 1 x -1 ■ y 」 1 1 --- ■ -1 1 x -1 y 小 -厂 着x 的增大而_________ ． ③在区间________________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而_________ ． 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量X1 , X2,当X1VX2时，都有f(x 1) 一、选择题 1．若),(b a 是)(x f 的单调增区间，()b a x x ,,21∈，且21x x <，则有（ ） A ． ()()21x f x f < B ． ()()21x f x f = C ． ()()21x f x f > D ． ()()021>x f x f 2．函数()2 2-=x y 的单调递减区间为（ ） A ．[)+∞,0 B ．(]0,∞+ C ．),2[+∞ D ．]2,(-∞ 3．下列函数中，在区间)2,0(上递增的是（ ） A ．x y 1= B ．x y -= C ．1-=x y D ．122++=x x y 4. 若函数1 2)(-= x a x f 在()0,∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,∞- B ．()+∞,0 C ．()0,1- D ．()+∞,1 5. 设函数x a y )12(-=在R 上是减函数，则有（ ） A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 6. 如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]2,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3≤a B ．3≥a C ．3-≥a D ．3-≤a 二、填空题 7．函数1-=x y 的单调递增区间是____________. 8．已知函数)(x f 在()+∞,0是增函数，则)2(f a =,)2(π f b =,)2 3 (f c =的大小关系是__________________________. 9．函数32)(2 +--= x x x f 的单调递增区间是_______. 10．若二次函数45)(2 ++=mx x x f 在区间]1,(--∞是减函数，在区间),1(+∞- 上是增函数，则=)1(f ________. 三、解答题 11. 证明函数x x f 11)(-=在 )0,(-∞ 上是增函数. 12．判断函数x x y 1+ =在区间),1[+∞上的单调性，并给出证明． 高考数学函数的单调性复习教案 考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数()f x ，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。 （2）定性刻画：对于给定区间上的函数()f x ，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。 （3）定量刻画，即定义。 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径 判断增函数、减函数的方法： ①定义法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕，那么就说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 与之相等价的定义：⑴()()02121>--x x x f x f ，〔或都有()()02 121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于（或小于）0。 ⑵()()()[]02121>--x f x f x x ，〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数（或减函数）。 ②导数法：一般地，对于给定区间上的函数()f x ，如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果()0` 基础梳理 1．如果函数f(x)对区间D内的任意x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D内是增函数；当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D内是减函数． 例如：若f(x)＝2x－1，能证明出函数f(x)在R上为增函数吗？____. 2．函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[或f(x1)＞f(x2)]． 例如：f(x)是R上的单调函数，若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调____函数；若f(3)＞f(2)，则y＝f(x)是R上的单调增函数吗？____. 3．若函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 4．若函数y＝f(x)是R上的增函数，当a＞b时，则f(a)____f(b); 若函数y＝f(x)是R上的减函数，当a＞b时，则f(a)____f(b)．5．函数f(x)＝x2＋2x＋11的单调增区间是________, 基础梳理 1．能 2.递增不是 4.＞＜ 5.[－1，＋∞) 思考应用 1．如果f(x)在区间D上是单调函数，则函数f(x)是增函数(减函数)的说法正确吗？ 1．解析：不正确．函数的单调性是函数的局部性质，所以必须说明函数在哪个区间上是增(减)函数． 2. 函数f(x)在区间D上是增(减)函数，对于任意x1，x2∈D，则有“若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]”，反之是否也成立呢？ 2．解析：成立．即函数f(x)在D上是增(减)函数，对于?x1，x2∈D，若f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，则x1＜x2，这个性质从函数单调性的图形定义中能形象地体现出来． 自测自评 1．下列结论正确的是() 函数的单调性习题 一． 选择题： 1．函数1 1 --=x y 的单调区间是 （ ） ),.(+∞-∞A )0,.(-∞B ),1(),1,.(+∞-∞C ()+∞-∞,1)1,.(Y D 2．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，那么对于任意的)(],,[,2121x x b a x x ≠∈，下列结论中不正确的是 （ ） 0) ()(. 2 121>--x x x f x f A 0)]()()[.(2121>--x f x f x x B )()()()(.21b f x f x f a f C <<< 0) ()(. 121 2>--x f x f x x D 3.函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ） ),3.[+∞-A ]3,.(--∞B ]5,.(-∞C ),3[+∞ 4．函数2 1 )(++= x ax x f 在区间),2(+∞-上单调递增，则a 的取值范围是（ ） )21,0.(A ),1()1,.(+∞--∞Y B ),2 1 .(+∞C ),2.(+∞-D 5．函数)2(,2 3 -≠+=x x y 在区间]5,0[上的最大值、最小值分别是（ ） 0,73.A 0,23.B 73,23.C .D 最大值7 3 ，无最小值。 6．函数23)(2++=x x x f 在区间)5,5(+-上的最大值、最小值分别是（ ） 12,42.A 41,42.-B 41,12.-C D 最小值4 1 -，无最大值。 7．下列命题正确的是 （ ） A 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 B 定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对),(21b a x x ∈，使得21x x <时有 )()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上为增函数。 C 若)(x f 在区间1I 上为增函数，在区间2I 上也为增函数，那么)(x f 在21I I Y 上也一定为增函数， D 若在)(x f 区间I 上为增函数且),(),()(2121I x x x f x f ∈<，那么21x x <。 8.设),(),,(d c b a 都是)(x f 的单调增区间，且),(),,(21d c x b a x ∈∈21x x <，则)(1x f 与)(2x f 的大小关系为 （ ） )()(.21x f x f A < )()(.21x f x f B > )()(.21x f x f C = D 不能确定 9．考察函数：①x y =；②x x y =；③x x y 2 -=；④x x x y +=。其中在)0,(-∞上 为增函数的有（ ） .A ①② B 。②③ C 。③④ .D ①④ 10.已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ） ),1.[+∞A ]2,0.[B ]2,.(--∞C ]2,1.[D 二． 填空题： 1． 函数x y -=在),[+∞a 上是减函数，则a 的取值范围是 2． 函数x x y 1 2- =的单调递增区间是 3． 函数562+-=x x y 的单调增区间是 4． 已知函数)(x f 在区间),0(+∞上是减函数，那么)1(2+-a a f 与)4 3 (f 的大小关 系为 5． 函数245x x y --=的单调递增区间是 课题：§1.3.1函数的单调性 教学目的： （1）通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数的性质； （2）理解函数的单调性的定义及单调函数的图象特征； （3）能够熟练应用定义判断函数在某一区间上的的单调性； （4）通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力，用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质；同时让学生体验数学的艺术美，养成用辨证唯物主义的观点看待问题. 教学重点：函数单调性的定义及单调函数的图象特征． 教学难点：利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性． 教法与学法：启发式教学，充分发挥学生的主体作用． 教学用具：黑板、计算机多媒体、投影仪 教学过程： 一．情景引入： 1．在第23届奥运会上中国首次参加就获得15枚金牌，第24届奥运会中国获得5枚金牌，第25届和第26届奥运会中国都获得了16枚金牌，第27届奥运会中国获得了28枚金牌，第28届奥运会中国获得了32枚金牌，第29届北京奥运会中国获得51枚金牌的好成绩. 画出散点图，由图象很清晰的可以看到，从1996年第26届奥运会开始，中国所获得的金牌数不断增加，这充分说明了我们祖国的繁荣富强也大大的促进了体育事业的飞速发展. 2．德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据： 将表中数据绘制在坐标系中连出草图，这就是著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线. 观察这条曲线，你能得出什么规律呢？（学生回答） 这是一条衰减曲线，随着时间的推移，记忆的保持量逐渐减小. 第一天遗忘的速度最快，一天之后遗忘的速度趋于缓慢. 这一规律就提醒我们：在学习新知识的时候，一定要及时进行复习和巩固，以便加深理解和记忆. 象这样，在生活中，我们关心很多数据的变化，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的. 观察数据的方法往往是看：随着自变量的变化，函数值是如何变化的. 这就是我们今天要研究的函数的单调性. 函数的单调性（教学设计） 一、本节内容在教材中的地位与作用： 《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析： 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。依据现有认知结构，学生只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，而不能用符号语言进行严密的代数证明，只能依据形的直观性进行感性判断而不能进行“思辩”的理性认识。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。 三、教学目标与教学重、难点的制定： 依据课程标准的具体要求以及基于教材内容的具体分析，制定本节课的教学目标为： 高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？ 方法一：定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x （1）当12x x <时，都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数； （2）若当12x x <时，都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如：根据函数单调性的定义，证明：函数 在 上是减函数。 要证明函数f （x ）在定义域内是减函数，设任意1212,x x R x x ∈<且，则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++，12x x <因为 210x x ->所以，且在1x 与2x 中至少有一个不为 0，不妨设20x ≠，那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>，12()()f x f x >所以，故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二：性质法 除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性，则在区间B 上有： 1. f(x)与c?f(x)当c ＞0具有相同的单调性，当c ＜0具有相反的单调性； 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)都是增(减)函数； 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数； 例如，已知f （x ）在R 上是减函数，那么-5f （x ）为____函数。 这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。 方法三：同增异减法（处理复合函数的单调性问题） 对于复合函数y ＝f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)， 可令 t ＝g(x)，则三个函数 y ＝f(t)、t ＝g(x)、y ＝f [g(x)]中， 若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数； 安徽省合肥市第三十二中学2014年高中数学 1.3.1 函数的单 调性教案新人教版必修1 【教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 课前布置任务： (1) 艾宾浩斯记忆遗忘曲线、连一连 (2)下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数x y x y x y x y 1,,2,22= =+-=+=的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 预案：(1)函数2+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大；函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． (2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大，在)0,(-∞上y 随x 的增大而 函数单调性练习题 1、函数()x x f 1-=的增区间是_____ ___ 2、函数()x x f 2=的减区间是_____ ___ 3、函数()222+-=x x x f 的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 4、函数()228x x x f -+=的增区间是_____ ；减区间是_____ ___ 5、若函数b mx y +=在()+∞∞-,上是增函数，则 A ．0>b B ．0m D ．0 11、函数()()2122+-+=x m x x f 在(]4,∞-上为减函数，则m 的取值范围是_ 12、函数()542+-=mx x x f 在[)+∞-,2上为增函数，则()1f 的取值范围是 A ．()251≥f B ．()251=f C ．()251≤f D ．()251 高一数学中函数的单调性非常重要，分析函数的单调性方法有：定义法，图像法，性质法,复合法.下边结合例题加以说明： 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在（0，a]上是减函数，在[a,+)上是增函数，求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+）减区间为（0，根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下，用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围，要变换不等式，求出x1和x2的范围，就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为（-，1）并（1，+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在（-，1）和（1，+0）上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质：增+增=增减+减=减 y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性，当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数，当x>=0时，y=x^3是递增的，当x<0时，y=x^3是递增的，所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知，函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为：y=f(p(x））它们的单调性为：同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为（-，-1] 函数的单调性 教学过程设计 一、引入新课 师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？ （用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组： 第二组： 二、对概念的分析 引入定义 师：图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有，因此在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数的单调增区间；而图中对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有， 因此在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数的单调减区间．（师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应…… 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语． 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ 生：不能．因为此时函数值是一个数． 说明单调性是局部性质 三、概念的应用 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？ 例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并 设（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看 ，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但 美中不足的是他没能说明为什么＜0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以 ，从而＜0，即．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）． 这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以 小． 调函数吗？并用定义证明你的结论． 函数的单调性教学设计 一．教学内容解析： 1．教材内容及地位 本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用．它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础．如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用．因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地． 2．教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性．3．教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证．二．教学目标设置 1．理解函数单调性的相关概念．掌握证明简单函数单调性的方法．2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法． 3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量． 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力． 三．学生学情分析 1．教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势．蒲城县尧山中学重点班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力． 2．教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度．而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强．另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱．这些都容易产生思维障碍． 四、教学策略分析 在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证．对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度．为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料： 1．指导思想．充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示．在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成． 2．在“创设情境”阶段．观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结高中数学《函数的单调性》教案
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