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(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题): 动态问题

动态问题

一、选择题

1. (2011安徽,10,4分)如图所示,P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点,过P 垂直于

AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点,设AC =2,BD =1,AP =x ,△AMN 的面积为y ,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )

A .

B .

C .

D . 【答案】C

2. (2011山东威海,12,3分)如图,

在正方形ABCD 中,AB =3cm ,动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动,同时动点

N 自A 点出发沿折线AD —DC —CB 以每秒3cm 的速度运动,到达B 点时运动同时停止,设

△AMN 的面积为y (cm 2

),运动时间为x (秒),则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是(

【答案】B

3. (2011甘肃兰州,14,4分)如图,正方形ABCD 的边长为1,E 、F 、G 、H 分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH ,设小正方形EFGH 的面积为S ,AE 为x ,则S 关于x

的函数图象大致

A .

B .

C .

D .

【答案】B 4.

二、填空题 1. 2. 3. 4. 5.

三、解答题

1. (2011浙江省舟山,24,12分)已知直线3+=kx y (k <0)分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点,线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动,速度为每秒1个单位长度,过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ,设运动时间为t 秒.

(1)当1-=k 时,线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动,它与点P 以相同速度同

时出发,当点P 到达点A 时两点同时停止运动(如图1). ① 直接写出t =1秒时C 、Q 两点的坐标;

② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似,求t 的值. (2)当4

3

-

=k 时,设以C 为顶点的抛物线n m x y ++=2)(与直线AB 的另一交点为D (如图2), ① 求CD 的长;

② 设△COD 的OC 边上的高为h ,当t 为何值时,h 的值最大?

A B

C D

E

F

G

H

x

y -1

O

1

x y

1 O

1 x y

O

1 x

y

1

O

1

1 B

A

O

P

C

x

y

11

D

(第24题图2)

(第24题图1) B

A

O

P C

Q

x

y

11

【答案】(1)①C (1,2),Q (2,0).

②由题意得:P (t ,0),C (t ,-t+3),Q (3-t ,0), 分两种情形讨论:

情形一:当△AQC∽△AOB 时,∠AQC=∠AOB =90°,∴CQ ⊥OA , ∵CP ⊥OA ,∴点P 与点Q 重合,OQ =OP ,即3-t =t ,∴t=1.5.

情形二:当△ACQ∽△AOB 时,∠ACQ=∠AOB =90°,∵O A=O B=3,∴△AOB 是等腰直角三角形,∴△ACQ 是等腰直角三角形,∵CQ ⊥OA ,∴AQ=2CP ,即t =2(-t +3),∴t=2.∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒.

(2) ①由题意得:C (t ,-

3

4

t +3),∴以C 为顶点的抛物线解析式是23

()34

y x t t =--+,

由2

33()3344x t t x --

+=-+,解得x 1=t ,x 2=t 3

4

-;过点D 作DE ⊥CP 于点E ,则∠DEC=∠AOB =90°,DE∥OA ,∴∠EDC=∠OAB ,∴△DEC∽△AOB ,∴

DE CD

AO BA

=, ∵AO =4,AB =5,DE =t -(t-34)=34.∴CD =3515

4416

DE BA AO ??==.

②∵CD =1516,CD 边上的高=

341255?=.∴S △COD =115129

21658

??=.∴S △COD 为定值; 要使OC 边上的高h 的值最大,只要OC 最短. 因为当OC⊥AB 时OC 最短,此时OC 的长为

12

5

,∠BCO =90°,∵∠AOB =90°,∴∠COP =90°-∠BOC =∠OBA ,又∵CP⊥OA ,∴Rt △PCO∽Rt △OAB ,

∴OP OC BO BA =,OP =12336

5525

OC BO BA ??==,即t =3625,∴当t 为3625秒时,h 的值最大. 2. (2011广东东莞,22,9分)如图,抛物线25

17

14

4

y x x =-++与y 轴交于点A ,过点A 的直线与抛物线交于另一点B ,过点B 作BC ⊥x 轴,垂足为点C (3,0). (1)求直线AB 的函数关系式; (2)动点P 在线段OC 上,从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动,过点P 作⊥x 轴,交直线AB 于点M ,抛物线于点N ,设点P 移动的时间为t 秒,MN 的长为s 个单位,求s 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围;

(3)设(2)的条件下(不考虑点P 与点O ,点G 重合的情况),连接CM ,BN ,当t 为何值时,四边形BCMN 为平等四边形?问对于所求的t 的值,平行四边形BCMN 是否为菱形?说明

理由.

【解】(1)把x=0代入2517

144

y x x =-

++,得1y = 把x=3代入2517144y x x =-+

+,得5

2

y =, ∴A 、B 两点的坐标分别(0,1)、(3,5

2

设直线AB 的解析式为y kx b =+,代入A 、B 的坐标,得

1532b k b =???+=??,解得112

b k =??

?=??

所以,1

12

y x =

+ (2)把x=t 分别代入到112y x =

+和2517

144y x x =-++ 分别得到点M 、N 的纵坐标为112t +和2517

144

t t -+

+ ∴MN=2517144t t -+

+-(112t +)=2515

44t t -+ 即2515

44

s t t =-+

∵点P 在线段OC 上移动,

∴0≤t ≤3.

(3)在四边形BCMN 中,∵BC ∥MN

∴当BC=MN 时,四边形BCMN 即为平行四边形 由25155

442

t t -

+=,得121,2t t ==

即当12t =或时,四边形BCMN 为平行四边形 当1t =时,PC=2,PM=

32,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=52

, 此时BC=CM=MN=BN ,平行四边形BCMN 为菱形; 当2t =时,PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=5,

此时BC ≠CM ,平行四边形BCMN 不是菱形;

所以,当1t =时,平行四边形BCMN 为菱形.

3. (2011江苏扬州,28,12分)如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90o,AB0) (1)△PBM 与△QNM 相似吗?以图1为例说明理由; (2)若∠ABC=60o,AB=43厘米。

① 求动点Q 的运动速度;

② 设Rt △APQ 的面积为S (平方厘米),求S 与t 的函数关系式;

(3)探求BP 2、PQ 2、CQ 2

三者之间的数量关系,以图1为例说明理由。

【答案】解:(1)△PBM 与△QNM 相似;

∵MN⊥BC MQ⊥MP ∴ ∠NMB=∠PMQ=∠BAC =90o ∴∠PMB=∠QMN, ∠QNM=∠B =90o-∠C ∴ △PBM∽△QNM

(2)①∵∠ABC=60o,∠BAC =90o,AB=43,BP=3t

∴AB=BM=CM=43,MN=4 ∵ △PBM∽△QNM ∴

MN BM NQ BP = 即:34

3

4==NQ BP ∵P 点的运动速度是每秒3厘米, ∴ Q 点运动速度是每秒1厘米。 ② ∵ AC=12,CN=8

∴ AQ=12-8+t=4+t, AP=43-3t

∴ S=

)334()4(21t t -?+?=)16(2

32--t (3) BP 2

+ CQ 2

=PQ

2

证明如下: ∵BP=3t, ∴BP 2

=3t 2

∵CQ=8-t ∴CQ 2

=(8-t)2

=64-16t+t 2

∵PQ 2=(4+t)2+3(4-t)2=4t 2

-16t+64

∴BP 2+ CQ 2 =PQ 2

4. (2011山东德州23,12分)在直角坐标系xoy 中,已知点P 是反比例函数)>0(3

2x x

y =图象上一个动点,以P 为圆心的圆始终与y 轴相切,设切点为A .

(1)如图1,⊙P 运动到与x 轴相切,设切点为K ,试判断四边形OKPA 的形状,并说明理由.

(2)如图2,⊙P 运动到与x 轴相交,设交点为B ,C .当四边形ABCP 是菱形时: ①求出点A ,B ,C 的坐标.

②在过A ,B ,C 三点的抛物线上是否存在点M ,使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的2

1

.若存在,试求出所有满足条件的M 点的坐标,若不存在,试说明理由.

A

P

23

y x

=

x

y

K O

图1

【答案】解:(1)∵⊙P 分别与两坐标轴相切, ∴ PA ⊥OA ,PK ⊥OK . ∴∠PAO =∠OKP =90°. 又∵∠AOK =90°,

∴ ∠PAO =∠OKP =∠AOK =90°. ∴四边形OKPA 是矩形. 又∵OA =OK ,

∴四边形OKPA 是正方形.……………………2分 (2)①连接PB ,设点P 的横坐标为x ,则其纵坐标为x

3

2. 过点P 作PG ⊥BC 于G . ∵四边形ABCP 为菱形, ∴BC =PA =PB =PC .

∴△PBC 为等边三角形.

在Rt △PBG 中,∠PBG =60°,PB =PA =x ,

PG =

x

3

2. sin ∠PBG =PB PG

,即

2332x x

=. 解之得:x =±2(负值舍去).

∴ PG =3,PA =B C=2.……………………4分 易知四边形OGPA 是矩形,PA =OG =2,BG =CG =1,

∴OB =OG -BG =1,OC =OG +GC =3.

∴ A (0,3),B (1,0) C (3,0).……………………6分 设二次函数解析式为:y =ax 2

+bx +c .

O A

P 23

y x

=

x

y

B C

图2

G

M

据题意得:09303

a b c a b c c ?++=?

++=??

=?

解之得:a =

33, b =433

-, c =3. ∴二次函数关系式为:2343

333

y x x =

-+.……………………9分 ②解法一:设直线BP 的解析式为:y =ux +v ,据题意得:

23

u v u v +=???+=??[来源:]

解之得:u =3, v =33-.

∴直线BP 的解析式为:333y x =-.

过点A 作直线AM ∥PB ,则可得直线AM 的解析式为:33y x =+.

解方程组:233343

333y x y x x ?=+?

?=-+?? 得:1103x y =???=?? ; 227

83

x y =???=??.

过点C 作直线CM ∥PB ,则可设直线CM 的解析式为:3y x t =+. ∴0=33t +. ∴33t =-.

∴直线CM 的解析式为:333y x =-.

解方程组:2333

343

333y x y x x ?=-?

?=-+?? 得:1130x y =??=? ; 22

4

3x y =???=??.

综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,

分别为:(0,3),(3,0),(4,3),(7,83).…………………12分

解法二:∵1

2

PAB PBC PABC S S S ??==

, ∴A (0,3),C (3,0)显然满足条件.

延长AP 交抛物线于点M ,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM =PA . 又∵AM ∥BC , ∴1

2

PBM PBA PABC S S S ??==

. ∴点M 的纵坐标为3.

又点M 的横坐标为AM =PA +PM =2+2=4. ∴点M (4,3)符合要求. 点(7,83)的求法同解法一. 综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,

分别为:(0,3),(3,0),(4,3),(7,83).…………………12分 解法三:延长AP 交抛物线于点M ,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM =PA . 又∵AM ∥BC , ∴1

2

PBM PBA PABC S S S ??==

. ∴点M 的纵坐标为3.

23433333

x x -+=.[来源:] 解得:10x =(舍),24x =. ∴点M 的坐标为(4,3). 点(7,83)的求法同解法一. 综上可知,满足条件的M 的坐标有四个,

分别为:(0,3),(3,0),(4,3),(7,83).…………………12分 5. (2011山东菏泽,21,9分)如图,抛物线y =

12

x 2

+bx -2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且A (-1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论;

(3)点M (m ,0)是x 轴上的一个动点,当MC +MD 的值最小时,求m 的值.

解:(1)把点A (-1,0)的坐标代入抛物线的解析式y =12

x 2

+bx -2, 整理后解得3

2

b =-,

所以抛物线的解析式为 213

222

y x x =

--. 顶点D 325,2

8??

- ???.

(2)∵AB =5,AC 2=OA 2+OC 2=5,BC 2=OC 2+OB 2

=20,

∴AC 2+BC 2=AB 2

.∴△ABC 是直角三角形.

(3)作出点C 关于x 轴的对称点C′,则C′ (0,2),OC′=2.

连接C′D 交x 轴于点M ,

根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC +MD 的值最小. 设抛物线的对称轴交x 轴于点E . △C′OM ∽△DEM .

∴OM OC EM ED '

=

.∴232528

m m =-.∴m =2441. 6. (2011山东济宁,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1-)的抛物

线交y 轴于A 点,交x 轴于B ,C 两点(点B 在点C 的左侧). 已知A 点坐标为(0,

3).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D , 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相

切,请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系,并给出证明;

(3)已知点P 是抛物线上的一个动点,且位于A ,C 两点之间,问:当点P 运动到

什么位置时,PAC ?的面积最大?并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

A

B

C

D

x

y

O

1

1

1-

【答案】(1)解:设抛物线为2(4)1y a x =--.

∵抛物线经过点A (0,3),∴23(04)1a =--.∴14

a =. ∴抛物线为2211

(4)12344

y x x x =

--=-+. ……………………………3分 (2) 答:l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分

证明:当

21

(4)104

x --=时,12x =,26x =. ∴B 为(2,0),C 为(6,0).∴2

2

3213AB =+=.

设⊙C 与BD 相切于点E ,连接CE ,则90BEC AOB ∠=?=∠. ∵90ABD ∠=?,∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠,∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴

CE BC

OB AB =.∴62213CE -=.∴8213

CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =,∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分 (3) 解:如图,过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . 可求出AC 的解析式为1

32

y x =-

+.…………………………………………8分

设P 点的坐标为(m ,2

1234

m m -+),则Q 点的坐标为(m ,1

32

m -

+). ∴221113

3(23)2442

PQ m m m m m =-

+--+=-+. ∵22

113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+,

∴当3m =时,PAC ?的面积最大为27

4

.

A

x

y

B O

C

D

(第23题)

此时,P 点的坐标为(3,3

4

-

). …………………………………………10分

7. (2011山东威海,25,12分)如图,抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -,点(1,0)B

,

交y 轴于点(0,3)E -.点C 是点A 关于点B 的对称点,点F 是线段BC 的中点,直线l 过点F

且与y 轴平行.直线y x m =-+过点C ,交y 轴于点D . (1)求抛物线的函数表达式;

(2)点K 为线段AB 上一动点,过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ,与抛物线交于点

G ,求线段HG 长度的最大值;

(3)在直线l 上取点M ,在抛物线上取点N ,使以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形,求点N 的坐标.

图① 备用图

【答案】 解:(1)设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -,将该点坐标代入上式,得1a =. ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+,即2

23y x x =+-. (2)∵点C 是点A 关于点B 的对称点,点(3,0)A -,点(1,0)B , ∴点C 的坐标是(5,0)C .

将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+,得5m =.

A

x

y

B

O

C

D

(第23题)

E

P

Q

∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+.

设K 点的坐标为(,0)t ,则H 点的坐标为(,5)t t -+,G 点的坐标为2(,23)t t t +-. ∵点K 为线段AB 上一动点, ∴31t -≤≤.

∴2

2

2

341(5)(23)38()2

4

HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++

. ∵3

312-≤-

≤, ∴当32t =-时,线段HG 长度有最大值41

4

(3)∵点F 是线段BC 的中点,点(1,0)B ,点 (5,0)C , ∴点F 的坐标为(3,0)F . ∵直线l 过点F 且与y 轴平行, ∴直线l 的函数表达式为3x =. ∵点M 在直线l 上,点N 在抛物线上 ,

∴设点M 的坐标为(3,)M m ,点N 的坐标为2(,23)N n n n +-. ∵点(3,0)A -,点 (5,0)C ,∴8AC =. 分情况讨论:

① 若线段AC 是以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形的边,则须MN ∥AC ,且MN =

AC =8.

当点N 在点M 的左侧时,3MN n =-. ∴38n -=,解得5n =-. ∴N 点的坐标为(5,12)N -.

当点N 在点M 的右侧时,3MN n =-. ∴38n -=,解得11n =. ∴N 点的坐标为(11,40)N .

②若线段AC 是以点A ,C ,M ,N 为顶点的平行四边形的对角线,由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知:点M 与点N 关于点B 中心对称.取点F 关于点B 对称点P ,则点P 的坐标为

(1,0)P -.过点P 作NP ⊥x 轴,交抛物线于点N .

将1x =-代入223y x x =+-,得4y =-. 过点N ,B 作直线NB 交直线l 于点M . 在△BPN 和△BFM 中,

∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠??

=??∠=∠=??

∴△BPN ≌△BFM . ∴NB =MB .

∴四边形点ANCM 为平行四边形. ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件.

∴当点N 的坐标为(5,12)-,(11,40),(1,4)--时,以点A ,C ,M ,N 为顶点的四边是平行四边形.

8. (2011山东烟台,26,14分)如图,在直角坐标系中,梯形ABCD 的底边AB 在x 轴

上,底边CD 的端点D 在y 轴上.直线CB 的表达式为y =-43x +16

3,点A 、D 的坐标分别为(-

4,0),(0,4).动点P 自A 点出发,在AB 上匀速运行.动点Q 自点B 出发,在折线BCD

上匀速运行,速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动.设点P 运动t (秒)时,△OPQ 的面积为s (不能构成△OPQ 的动点除外).

(1)求出点B 、C 的坐标; (2)求s 随t 变化的函数关系式;

(3)当t 为何值时s 有最大值?并求出最大值.

O x

y

A

B

C

D (备用图1)

O

x

y

A

B

C

D

P

Q

【答案】解:(1)把y =4代入y =-43x +16

3

,得x =1. ∴C 点的坐标为(1,4).

当y =0时,-43x +16

3

=0,

∴x =4.∴点B 坐标为(4,0).

(2)作CM ⊥AB 于M ,则CM =4,BM =3. ∴BC =22CM BM +=2234+=5. ∴sin ∠ABC =CM BC =4

5

.

[来源:] [来源:]

①当0<t <4时,作QN ⊥OB 于N ,

则QN =BQ 2sin ∠ABC =4

5t.

∴S =

12OP 2QN =12(4-t )345t =-25t 2+8

5

t (0<t <4). ②当4<t ≤5时,(如备用图1), 连接QO ,QP ,作QN ⊥OB 于N .

同理可得QN =4

5t .

∴S =

12OP 2QN =123(t -4)345t . =25t 2-8

5

t (4<t ≤5). (备用图2) O x

y

A

B

C

D

③当5<t ≤6时,(如备用图2), 连接QO ,QP . S =123OP 3OD =1

2(t -4)34=2t -8(5<t ≤6).

(3)①在0<t <4时, 当t =

85

22()

5

?-=2时,

S 最大=2

8()524()5

-?-=85. ②在4<t ≤5时,对于抛物线S =25t 2-8

5t ,当t =-8

5225

-

?=2时,

S 最小=25322-8532=-8

5

.

∴抛物线S =25t 2-85t 的顶点为(2,-8

5).

∴在4<t ≤5时,S 随t 的增大而增大

.

∴当t =5时,S 最大=

25352

-85

35=2. ③在5<t ≤6时,

在S =2t -8中,∵2>0,∴S 随t 的增大而增大. ∴当t =6时,S 最大=236-8=4.

∴综合三种情况,当t =6时,S 取得最大值,最大值是4.

(说明:(3)中的②也可以省略,但需要说明:在(2)中的②与③的△OPQ ,③中的底边OP 和高CD 都大于②中的底边OP 和高.所以③中的△OPQ 面积一定大于②中的△OPQ 的面积.) 9. (2011四川南充市,22,8分)抛物线y =ax 2

+bx+c 与x 轴的交点为A (m -4,0)和B(m ,0),与直线y =-x +p 相交于点A 和点C(2m -4,m -6).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P 在抛物线上,且以点P 和A,C 以及另一点Q 为顶点的平行四边形ACQP 面积为12,求点P,Q 的坐标;

(3)在(2)条件下,若点M 是x 轴下方抛物线上的动点,当⊿PQM 的面积最大时,请求出⊿PQM 的最大面积及点M 的坐标。

【答案】解:(1)∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y =-x +p 上 ∴0(4)6(24)m p m m p =--+??

-=--+?解得:3

1m p =??=-?

∴A(-1,0) B(3,0), C(2,-3)

设抛物线y =ax 2

+bx+c =a(x-3)(x+1), ∵C(2,-3) ∴a=1

∴抛物线解析式为:y =x 2

-2x-3

(2)AC=32,AC 所在直线的解析式为:y =-x -1,∠BAC=450

∵平行四边形ACQP 的面积为12. ∴平行四边形ACQP 中AC 边上的高为

2

312=22

过点D 作DK ⊥AC 与PQ 所在直线相交于点K,DK= 22,∴DN=4 ∵ACPQ,PQ 所在直线在直线ACD 的两侧,可能各有一条,

∴PQ 的解析式或为y =-x +3或y =-x -5

∴2233y x x y x ?=--?=-+?

解得:1130x y =??=?或2225x y =-??=?

223

5y x x y x ?=--?

=--?

,此方程组无解.

即P 1(3,0), P 2(-2,5)

∵ACPQ 是平行四边形 ,A(-1,0) C(2,-3) ∴当P(3,0)时,Q(6,-3) 当P(-2,5)时,Q(1,2)

∴满足条件的P,Q 点是P 1(3,0), Q 1(6,-3)或 P 2(-2,5),Q 2(1,2)

(1) 设M(t ,t 2

-2t-3),(-1<t <3),过点M 作y 轴的平行线,交PQ 所在直线雨点T,则

T(t,-t+3)

MT=(-t+3)-( t 2

-2t-3)=- t 2

+t+6 过点M 作MS ⊥PQ 所在直线于点S , MS=

22MT=22 (- t 2

+t+6)=- 22(t-21)2+8

225

∴当t=

21时,M (21,-415),⊿PQM 中PQ 边上高的最大值为8

2

25

10.(2011 浙江杭州,24, 12)图形既关于点O 中心对称,又关于直线AC ,BD 对称,AC

=10,BD =6,已知点E ,M 是线段AB 上的动点(不与端点重合),点O 到EF ,MN 的距离

分别为1h ,2h .△OEF 与△OGH 组成的图形称为蝶形. (1)求蝶形面积S 的最大值;

(2)当以EH 为直径的圆与以MQ 为直径的圆重合时,求1h 与2h 满足的关系式,并求1h 的取值范围.

O D

C

B

A

y

x

【答案】(1) 如图,设EF 与AC 交于点K ,由△OEF ∽△ABD ,得

AK EF AO BD

=,1556h EF -=

, 16(5)5EF h =-,1111622(5)225S OK EF h h =??=??-,整理得216515

()522S h =--+,当

152h =时,蝶形面积S 的最大,最大值为152

(2) 如图,设MN 与AC 交于点L ,由(1)得16(5)5EF h =-,则13(5)5E K h =-,23

(5)5

ML h =-

由OK 2

+EK 2

=OE 2

,OL 2

+ML 2

=OM 2

,得OK 2

+EK 2

=OL 2

+ML 2

,2

2

221

12233(5)(5)55h h h h ????

+-=+-????????

整理得[]1212()17()450h h h h -+-=,当点E ,M 不重合时,120h h -≠,1245

17

h h +=.当OE ⊥AB 时,14534h =

,所以145017

h << 2)当点,E M 重合时,则12h h =,此时1h 的取值范围为105h <<.

解法二:(1)由题意,得四边形ABCD 是菱形.

由//EF BD ,得ABD AEF ?? ,1565h EF -∴

=,即()16

55

EF h =- ()2

111166515

255522

OEF

S S EF h h h h ???∴==?=-?=--+ ???

所以当152h =

时,max 15

2

S =. (2)根据题意,得OE OM =.

如图,作OR AB ⊥于R , OB 关于OR 对称线段为OS ,

L

K S

E

R

O

A

B

M

1)当点,E M 不重合时,则,OE OM 在OR 的两侧,易知RE RM =.

225334AB =+= ,15

34

OR ∴= 2

2

15933434BR ??

∴=-= ?

??

由////ML EK OB ,得

,OK BE OL BM OA AB OA AB

== 2OK OL BE BM BR OA OA AB AB AB ∴

+=+=,即129

5517

h h += 124517h h ∴+=

,此时1h 的取值范围为145017h <<且145

34

h ≠ 2)当点,E M 重合时,则12h h =,此时1h 的取值范围为105h <<.

11. (2011 浙江湖州,24,14)如图1.已知正方形OABC 的边长为2,顶点A 、C 分别在x 、

y 轴的正半轴上,M 是BC 的中点.P (0,m)是线段OC 上一动点(C 点除外),直线PM 交AB 的延长线于点D .

(1) 求点D 的坐标(用含m 的代数式表示); (2) 当△APD 是等腰三角形时,求m 的值;

(3) 设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ,过点O 作直线ME 的垂线,垂足为

H (如图2).当点P 从点O 向点C 运动时,点H 也随之运动.请直接写出点H 所经过 的路径长.(不必写解答过程)

【答案】解:(1)由题意得CM=BM ,∵∠PMC =∠DMB ,∴Rt △PMC ≌Rt △DMB ,∴DB =PC ,

∴DB =2-m ,AD =4-m ,∴点D 的坐标为(2,4-m ). (2)分三种情况:①若AP =AD ,则224(4)m m +=-,解得32

m =

. ② 若PD =PA ,过P 作PF ⊥AB 于点F (如图),则AF =FD,11

(4)22

AF FD AD m ==

=-,又OP =AF ,∴1

(4)2

m m =-,解得4

3m =

, ③ 若DP =DA ,∵△PMC ≌△DMB ,∴11

(4)22

PM PD m ==-,∵222PC CM PM +=,∴

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