小波分析理论简介
（一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换
1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean
Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数
)(t f ，都可以用三角级数表示：
)(t f = ∑∞
-∞=k ikt
k e C = 20
a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞
=1
sin k k kt b (1)
k C =
π
21
?
-π
20
)(dt e t f ikt
= *
ikt e f , (2)
k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3)
对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1,
T
为测量时间：
)(t f =2
0a +
)sin cos (12
1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2
2cos 21
ω=∑-=1
0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-==
1
2cos
2
N m m k N
km
x N
a π ，=k 0，1，2，…,2N (5)
∑-==
1
2sin
2N m m k N
km
x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6)
∑-=-=
1
)/2(1N m N km i m
k e x
N
C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7)
t
N k
k ?=π
ω2 ，N T t =? (8)
当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）：
?
∞
∞
--=
dt e t f f t i ωω)()(
=t i e f ω, （9）
ωωπ
ωd e f t f t i )(21
)(?
∞
∞
-=
(10)
傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807 年开始，直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的，直到1966年才证明了2L可积的周期函数才能表示为傅立叶级数)，整整用了一个半世纪多，才发展成熟。她在各个领域产生了深刻的影响，得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是，傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。所以说，傅立叶理论是万古流芳的。
数学上的插值方法。
除傅立叶级数外，还有拉格朗日插值，有限元插值，勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法。
遗憾的是，这种理论具有一定的局限性：
（1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间 t 变化，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差，甚至与实际情况大相径庭。（举例：无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等）。
在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿，不仅高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立叶系数也有很大误差，包括求出的频率当然也有误差。
（2）求傅立叶系数是全时间域上的加权平均，这从上面的（5）、（6）、（7）公式可以清楚看到。局部突变信息被平均掉了，局部突变信息的作用很难反映出来（好比吃大锅饭，平均主义）。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。
为了克服以上两点局限性，这就要求：
（1）将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。
（2） 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只 能使用有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。
2 Garbor 变换—窗口 Fourier 变换
在时间—频率分析中， Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了，在 1946 年的论文中，为了提取信号的Fourier 变换的局部信息，引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数” g(t-b),其中参数 b 用于平移动窗以便覆盖整个时间域。因为一个 Gaussian 函数的Fourier 变换还是Gaussian 函数，所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。
窗口 Fourier 变换简介。
对于时间局部化的“最优”窗，用任一Gaussian 函数 a
t a e
a
t g 42
21)(-
=π （11）
“Garbor 变换”的定义为
?
∞
∞
---=
dt b t g t f e f G a t i a b
)())(())((ωω （12） 由于
?
∞
∞
- =-db b t g a )(
?
∞
∞
-=dx x g a )( 1 （13）
所以
?
∞
∞
-{
?
∞
∞
-dt b t g t f e
a t
i )())((--ω} db = )(ωf
（14）
令 )(,t G a
b ω =)(b t g e a t i -ω （15） 利用 Parseval 恒等式，
?∞
∞
---=dt b t g t f e
f G a t
i a b
)())(())((ωω
=a b G f ω
,,
=a
b G f ωπ
,,21 =
))((241
b f G a
e a
ib --
ωπ
=ηωηηπ
πη
ωd g f e
e a a
ib ib )()((21
41-???
? ???∞
∞
--
（16）
这个等式说明，除去乘数项 ???
?
??-ωπib e a 之外，在b t = 具有窗函数a g 的f 的“窗口 Fourier 变换”，
与在 ωη=具有窗函数a
g 41的f
的“窗口 Fourier 逆变换”一致，根据窗函数 a g 的宽度是 2a 的
结论，这两个窗的宽度分别是
2a 和
a
1
这两个窗的笛卡儿积是
[a b a b +-,]??
?
??
?+
-
?a a
21,21ωω
加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗（减小a ），高频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。总上所述，加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。
3 窗口 Fourier 变换的测不准原理 对于一个非平凡函数w )(2
IR L ∈，若满足
tw )(2
IR L ∈ （A ）
条件，则w 可作为短时窗口 Fourier 变换的窗函数，若其Fourier 变换也满足上述条件，那么
2
1
≥??w
w （B ） 而且，等号成立，如且仅如
)()(b t g ce t w a iat -= （C ）
其中 IR b a a c ∈>≠,0,0和 。
小结：
（1） 傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况； （2） 求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息
的特征；
（3） 加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不
能同时满足。
由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。
（二） 小波分析
将时程函数)(t f 表示为下面的小波级数：
∑∑∞-∞=∞
-∞
=><=j k k
j k j t f t f )(~,)(,,ψψ =
∑∑∞-∞=∞
-∞
=j k k j k
j t d
)(,,ψ （17）
)2(,k t j k j -=ψ
ψ （18）
其中， )(t ψ 是小波函数，k j d , 是小波系数，且
k j d , => j f ,~,ψ ( 19） 由公式（17）到（19） 可以看到，小波级数是两重求和，小波系数的指标不仅有频率的指标j ，而且还有时间的指标 k 。也就是说，小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标 j ，在不同时刻 k ，小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。 由于小波函数具有紧支撑的性质，即某一区间外为零。这样在求各频 率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息，从而克服了上面所述的第二个不足。 与有限元比较。 在这一点，小波插值要比有限元高明。有限元虽然是局部的“单元插值”，但单元之间的公共节点上，只能保证0 C 阶连续，而导数不连续。小波插值可保证二阶导数连续，只要选三次样条小波就能做到。 第三个不足，小波分析是如何克服的呢？ 通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿积是 [ψψ?++?-+* * a at b a at b ,]?? ? ????+?-???ψωψω a a a a 1,1 （20） 其中j a -=2，时间窗的宽度为 ψ?a 2，随着频率的增大（即j 的增大）而变窄，随着频率的减小（即j 的减小）而变宽，之所以有这样的结果，关键在于公式 （18）中，时间变量 t 前面乘了个“膨胀系数”j 2 。 小波变换的“时间—频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽，这正是时间—频率分析所希望的。 根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。如，选择从高频到低频的检测次序，首先选择最窄的时间窗，检测到最高频率信息，并将其分离。然后，适当放宽时间窗，再检测剩余信息中的次高频信息。再分离，再放宽时间窗，再检测次次高频信息，依次类推。 为了检测到不同频率水平信息，即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数，首先要选好小波函数。 选择小波函数的“四项原则”。 在求小波系数公式（19）中，如果 )(k t -ψ 是)(2IR L 空间的正交基，则的 k j ,~ψ为k j ,ψ的复共轭。小波分析的最重要的应用是滤波，为了保证滤波不失真，小波函数必须具有线性相位，至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号，这就要使用函数的导数，小波函数至少是1C 连续。由前面分析可知，小波函数必须具有紧支撑的性质。所以，正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。 如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，那真是人类的福气。 遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑的小波函数只有 Harr 函数，而Harr 函数是间断函数，对于工程应用来说，是不理想的。 目前，一种倾向是坚持正交性。另一种倾向是放弃正交性，另辟途径，进行艰辛的长征，前仆后继，花费了将近半个世纪的探索，才使小波分析理论成熟起来，得以在工程中应用。作为后人，我们要忠心地感谢他们。 为了进行小波分解与重构，“四合一”的小波函数不存在，数学家们“一分为四”，选择了四个函数，巧妙地解决了这些问题。这四个函数是：尺度函数 φ， 小波函数 ψ，对偶尺度函数 φ~ ，对偶小波函数 ψ ~。 为什么要选择四个函数呢？ 由前面小波变换的“时间—频率窗”分析可知，小波变换的“时间—频率窗”的宽度，当检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。为了检测到所有频率信号，“时间—频率窗”的宽度必须按一定的次序变化，不失一般性，从窄到宽，检测频率信号从高频到低频的次序进行——实际上也正是这样的次序。 在最高频率水平 N V （即根据实测数据的时间测量间隔 t ?，最高能检测到的频率为 Nyquist 频率 t f ?= 21 ），选择最窄的“时—频窗”宽度，检测到原始信号中的最高频率信号，并将这些信号从原始信号中剥离，存放在1-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间1-N V 。然后，增大“时—频窗”的宽度，再检测1-N V 空间中的高频信息，将这些信号从1-N V 空间中剥离，存放在2-N W 空间，而将剥离后的剩余低频信号的总合，存放在另一空间2-N V 。依次类推。这就要求有两个互相有联系的空间： 11--+ =J J J W V V = 122---++ J J J W W V = …101W W W +++ - …2-+J W 1-+J W , ZZ J ∈ 子空间性质简介： （1） ……?1-V ?0V ?1V ?2V ? …… （2） clos 2L (J ZZ J V ∈ ) =)(2 IR L （3） {}0=∈J ZZ J V , 即{}0lim =-∞ →J j V （21） （4） 11--+ =J J J W V V （5） 1)2()(+∈?∈J J V x f V x f （6） {}l J W W l J ≠=,0 这样，对于参考子空间0V ，需要单个函数)(2IR L ∈φ在意义 0V =>∈ φ （22） 上生成，其中， )2(22,k x j j k j -=φφ (23） 对于参考子空间0W ，需要单个函数)(2IR L ∈ψ在意义 0W = clos )(2IR L ZZ K K ∈:,0ψ （24） 上生成，其中， )2(22,k x j j k j -=ψψ （25） 首先，这就要求有两个函数： φ 和 ψ，前者称为尺度函数，后者称为小波函数。并且，它们肯定是有关系的。 由（21）中的（1）式可知，φ10V V ?∈，由（4）式可知，ψ10V W ?∈，而 {k ,1φ：ZZ k ∈}是 1V 的一个基，所以存在唯一的2l 序列{k p }、{k q } ∑-=k k k x p x )2()(φφ （26） ∑-=k k k x q x )2()(φψ （27） 并引入记号 )(z P = ∑k k k z p 21 （28） )(z Q = ∑k k k z q 21 （29） （26）称为尺度函数的“两尺度关系”，（27）称为小波函数的“两尺度关系”，)(z P 称为尺度函数φ的“两尺度符号”，)(z Q 称为小波函数ψ的“两尺度符号”。 为了由高频到低频逐次检测到不同频率水平的信息，仅有上述两个函数是不够的。由前面分析可知，公式（17）中的小波函数与求小波系数使用的与f 作内积的函数不是同一个函数，除非使用正交的小波函数。这就要求寻找尺度函 数φ与小波函数ψ的对偶函数：对偶尺度函数 φ~ 、对偶小波函数 ψ ~，以便分解 原始信号时能求出小波系数来。 对偶关系简介 与（26）——（29）相对应，有 ∑-=?k k k x g x )2(~ )(~φφ （30） ∑-=?k k k x h x )2(~)(~φψ （31） )(z G ? = ∑?k k k z g 21 （32） )(z H ? = ∑?k k k z h 21 （33） 为了满足对偶关系，必须满足以下对偶条件： )(,z M Q P )(,z M H G T =??? ? ??1001 (34) )(,z M H G T )(,z M Q P =?? ? ? ??1001 (35) 与（34）、（35）等价的条件是 ? ? ?=-+-=+0)()()()(1 )()()()(z H z Q z G z P z H z Q z G z P ， 1=Z （36） ???? ?? ?=--+=--+=--+=--+1 )()()()(0)()()()(0)()()()(1)()()()(z H z Q z H z Q z Q z G z Q z G z H z P z H z P z G z P z G z P ， 1=Z （37） )(,z Q P ? = det )(,z M Q P 0≠ ， 1=Z (38) )(,z H G ? = det )(,z M H G 0≠ ， 1=Z (39) 其中 ，G(z)为)(z G ? 的共轭，)(z H 为)(z H ? 的共轭， )(,z M Q P = ?? ????--)()()()(z Q z P z Q z P (40) )(,z M H G = ?? ?? ??--)()()() (z H z G z H z G (41) 由（36）和 （38）便可以得到 1V 的基 到 0V 和 0W 中的基分解关系： {}∑∞ -∞ =---+-=-k l k l k k x h k x g l x )()(21)2(22ψφφ （42） 由（42）式便可得到 1-j 频率水平子空间1-j V 和1-j W 中向量坐标的分解算法 ∑--=l j l k l j k c a c 21 （43） ∑--=l j l k l j k c b d 21 （44） 其中 n a = n g -2 1 （45） n n h b -=2 1 （46） 根据两尺度关系，便可得到 j 频率水平子空间 j V 中向量坐标的重构算法： []∑----+=l j l l k j l l k j k d q C p C 1212 （47） 有了上述的系数，就可以使用多分辨分析的金字塔算法，快速求出 小波系数k j d ,。以三次样条函数尺度函数4 N ≡Φ 为例，说明其步骤。 1 将)(x f 投影到{}n V 上 )(x f ≈∑-=-Φ1 20)2(n k n n k k x c =n f （48） 2 小波分解算法 使用多分辨分析的金字塔算法 1-n d 2-n d m n d - / / / n c → 1-n c → 2-n c → → m n c - ∑--=l j l k l j k c a c 21 （49） ∑--=l j l k l j k c b d 21 （50） n f = m n m n n n n f g g g g -----+++++.......321 （51） ∑-Φ=k j j k j k x c f )2( （52） ∑-ψ=k j j k j k x d g )2(4 （53） 而n g 、n h 是符号多项式)(z G 、)(z H 的系数： )(z G = ∑---+=n m m m n n z E z E z z z g )()()21(21212121 （54） )(z H =∑-----=n m m n n z E m z z z h ) ()!12() 21(212121 (55） 12-m E =)!12(-m ∑-=+220 2)1(n k k n z k N （56） 3 小波重构算法 1-n d 2-n d m n d - / / / n c ←1-n c ←2-n c ← ← m n c - []∑----+=l j l l k j l l k j k d q C p C 1212 在我们研制的小波分析软件 “XIAOBO ”中，使用的是三次样条 函数尺度函数44 N ≡Φ及三次样条小波（B-小波）)(4x ψ。 三次样条小波 )(4x ψ )(4x ψ = ∑-n n n x N q )2(4 （57） 其中 n q = )1(42 )1(84 03 l n N l l n -+?? ? ???-∑=， （10,,2,1,0 =n ）（58） m 阶样条函数)(x N m 的定义是 ?-=*≡--1 111)()()(dt t x N N N x N m m m ， 2≥m （59） 1N 是区间[0，1]的特征函数。 （60） 三次样条小波具有连续、紧支撑、广义线性相位和半正交的性质。 三次样条小波是2C 阶连续，用它模拟一个信号，二阶导数都是连续的,精度极高。 三次样条小波支撑区间为[0，7]，三次样条尺度函数支撑区间为[0，4]。 三次样条小波是对称函数，因而具有广义线性相位，滤波不会失真。 唯一不足的是三次样条小波不是正交的，只是半正交的，在小波分解中， 求小波系数必须使用其对偶小波 4~ψ ，对偶小波 4 ~ψ的傅立叶变换为 2 4 4 4) 2(?)(?)(~ ∑∞ -∞ =+= k πωφωφωφ （61） 2 4 44 ) 2(?)(?)(?~∑∞ -∞ =+=k k πωψ ωψ ωψ （62） 小波分类简介 1 正交小波 正交小波的两个族 {}k j ,φ与{}k j ,ψ满足： （1） （4） =)(2IR L …… ⊕ 1-W ⊕0W ⊕1W ⊕…… 用振动的语言形象的比喻： {}k j ,φ是1+j V 子空间的低阶振型， {}k j ,ψ是1+j V 子空间的高阶振型， j j V W ⊥ ，)(,k j W W k j ≠⊥。 2 半正交小波 半正交小波的四个族 {}k j ,φ、{}k j ,ψ、{}k j ,~φ与{ }k j ,~ψ满足： (1) k l j ,,δδ (2) ,φφ> = m k ,δ (3) l k j ,,~,~ψψ> = 0，l j ≠；j,l,k,m ZZ ∈ 。 (4) {}k j ,φ是 1+j V 子空间的低阶振型的线性组合，即低阶剩余模态。 (5) {}k j ,ψ是 1+j V 子空间的高阶振型的线性组合，即高阶剩余模态。 (6) j j W W ~=， j j V V ~ =，j j V W ⊥ (7) =)(2 IR L …… ⊕ 1-W ⊕0W ⊕1W ⊕…… 3 -R 小波 -R 小波的{}k j ,ψ与{} k j ,~ψ满足： (1) k l j ,,δδ (2) =)(2 IR L ……? +1-W ? +0W ?+1W ? +…… 正交性都是相对于对偶来说的，本身都不是正交族，只是线性无关族。 神奇的小波分析 为了检验小波分析的能力，在实测数据中叠加上一个低频、幅值为原始最大幅值的十分之一的正弦拍波，经过小波分解，在7 2和6 2两个分辨率水平下都检测到了这个波，尤其是6 2 检测到的正弦拍波曲线，如荷花“出污泥而不染”！ （三） 正交小波包与双正交小波包分析 从上面介绍的多分辨分析的金字塔算法进行小波分解可以看到，每次分解，都是对V 进行的 ： 对 j V 进行小波分解，将 j V 分解为 1-j V 和 1-j W ； 再 对 1-j V 进行小波分解，将 1-j V 分解为2-j V 和 2-j W ，依次类推。 而各子空间 j W 不再分解，也就是说，每次都是对低频进行再分解，而高频不再分解！ 究其原因，便是 1V 的基向量)2(l x -φ到 0V 和 0W 基)(k x -φ、)(k x -ψ有 分解关系（42），而1W 的基向量 )2(l x -ψ 没有相应的分解关系。事实上， )2(l x -ψ与)(k x -φ、)(k x -ψ是线性无关的 ！ 显然，高频的时间—频率局部化不是最优的。为了克复这个缺点，必须使 用小波包的分解方法。 无论正交小波包还是双正交小波包，与小波的最基本的区别在于它们具有 1)1(+--=n n n p q （63） 的关系。 根据这个特殊的正交的两尺度关系，可以定义关于尺度函数φμ=0的 “小波包”： ?? ?? ?-=-=∑∑+k l k l k l k l k x q x k x p x ) 2(:)() 2(:)(122μμμμ （64） 并且，小波包族{}n μ 具有下属正交性： < )(),(k x l x n n --μμ > = k l ,δ (65) < )(),(122k x l x n n --+μμ > = 0 (66) 因此有分解关系： j j V U =0 ， j j W U =1 （67） 小波分解中的关系 j j j W V V ⊕=+1 （68） 现在可以改写作 1 001j j j U U U ⊕=+ （69） 并且，（69）式可以由 0=n 推广到任意一 ZZ n ∈ ： 1 221++⊕=n j n j n j U U U （70） )2(1m x j n -+μ = 2 1 {)2()2(12222k x q k x p j n k m k j n k m -+-+--∑μμ （71） 这样，对于正交小波的小波分解得到的 =)(2 IR L ...... ⊕ 1-W ⊕0W ⊕1W ⊕ (72) 对于每个=j 1，2，3，…,可以用小波包再分解： ??? ????⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕==-+------+1201202072 6252423 12111 ......j j j U U U W U U U U W U U U W j j j j j j j j j j （73） 双正交小波包与正交小波包类似，略去。 （四） 向量分解小波包简介 上面介绍了正交小波包与双正交小波包分解，与小波分解的最基本的区别 在于它们具有（63）式 1)1(+--=n n n p q 因而导出了正交小波包和双正交小波包的分解。 正如前面提到的，小波分解与小波包分解的共同点，都是高频空间的基向量能向低频空间的基向量分解，若不能分解，便进行不下去。如小波分解中，j W 的基向量 )2(l x j -ψ 没有相应的分解关系，所以j W 不能再分解。小波包克服了这种弊病，得到了各子空间都能适用的基向量分解关系式（71），才解决了这个问题。 我们能不能跳出基向量能分解才能分解的框框呢？即，基向量不能分解时也能分解？答案是肯定的。这就是向量分解小波包的理论。 现在，让我们从小波重构关系式（47） []∑----+=l j l l k j l l k j k d q C p C 1212，k=1,2,3,……,M 出发，导出向量分解小波包的理论。 首先，将（47）改写为矩阵的形式 ： {}j M c 1 ? = []{}11 22 -???j M M M c P + []{}11 22 -???j M M M d Q （74） 其中，矩阵[]P 、[]Q 由两尺度序列{}p 、{}q 中的数组成。我们把矩阵[]P 、[]Q 的 每一列，看成向量空间的一个向量，把{}j M c 1?也看成向量空间的一个向量，那么，{}j M c 1?就是这些矩阵[]P 、[]Q 的列向量的一个线性组合： {}j M c 1? = {}∑=-2 1 1M k k j k p c + { }∑=-2 1 1 M k k j k q d （75） 问题是，这些矩阵[]P 、[]Q 的列向量是否线性无关？由分解等式（43）和（44） 可知，当{}j M c 1?为零向量时，01 =-j k c ，01=-j k d ，k=1,2,3,……,2 M ，这就得出了矩阵[]P 、[]Q 的列向量是线性无关的结论。 因此，可以把矩阵中的 M 个列向量看成 M 维向量空间的一组基。 找到了M 维向量空间的一组基，就可以对任一M 维向量进行分解，找出在这组基下的坐标。 只要认准被分解的对象是M 维向量空间的一个向量，而不是再看做 V 或 W 中向量的坐标。 这样，在小波分解中，不仅得到各频率水平的坐标 {}c 可按原来的步骤和方法进行分解，而且得到的各频率水平的坐标 {}d 也可按向量分解的理论进行再分解，并且分解的步骤和方法可以和对坐标 {}c 进行再分解的完全一样。 可能有人会产生疑问：前面讲到，V W = {}0 ，现在 W 中的向量怎么又变成 V 中的向量呢 ？ 其实，这里使用了“移花接木”的技巧。我们现在是对 W 中的向量g 分解，这是千真万确的。但，是通过对其坐标 {}d 的分解来实现的。也就是说，要求的是{}d 等于什么 ？ 而不是W 中的向量 g 等于什么 ？ W中的向量g等于 g = []ψ?{}d（76）既然要求的是{}d等于什么，而不是g等于什么，不妨“移花接木”一下，把[]φ拿来，虚构V中一向量x， x= []φ?{}d（77）不就可以对x进行分解了吗？反正在分解过程中，使用的是{}d、{}a、{}b，求的是新的{}c和{}d，而x根本就不出现，管它是什么样子呢！只要保证分解后低频与高频分离即可。既然{}c分解，低频与高频能分离，那么，{}d分解，同样低频与高频可以分离的。其实从（74）式中两个矩阵[]P、[]Q的组成，都是两尺度序列{}p、{}q中的数，仔细分析一下，不难看出，[]P中的列相当于低阶振型，[]Q中的列相当于高阶振型。以后的工作和小波包的分解类似，只不过这里是直和分解，不是正交分解罢了。 前面曾提到，小波分解的第一步，将) f投影到{}n V上（见公式（48））。 (x 由于投影到{} V上求小波系数要解方程，很费时间，所以，好多书上都说，可 n 以近似地把原始数据作为小波系数，误差不大。用向量分解小波包的理论来看，这并非是近似的，而是精确的！ 事实上，使用上面“移花接木”的技巧，虚构 V中一向量x n x =[]φ?{}f（78）{}f是原始数据组成的向量。那末，{}f不就是 V中的向量x的坐标{}c吗？只要 n 对它进行分解与重构就得了，而且，重构后，也用不着通过（78）式求x，重构得到的{}c，就是原始数据组成的向量{}f，两头省！ 当然，我并非反对投影，而且在捕捉突变奇异信号时，最灵敏的方法是利用导数确定，投影到{} V上先求出作为的n V中的向量{}n f的坐标{}c，能得到快速 n 的求导方法。但这是另外的问题了。 有了向量分解小波包新理论，可以在分解过程中，把各种小波组合到一起，例如，求 f时，可以用三次样条小波，这样确保滤波重构不失真、求导精 N 度高的长处，在分解的时候，可使用正交分解的分解序列系数，以提高分解效率。这样，上帝虽然没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类，但还是间接地恩赐给人类了。 我们研制的小波包信号处理软件，具有三种小波包分解、分解后各频率水平的分析、64 种滤波重构功能及重构后的傅立叶变换和奇异信号大小分析功能。三种小波包分别是“向量分解小波包”、“双正交小波包”和“Daubechies 正交小波包”。通过实例对比，向量分解小波包分析效果远比后者好，而且分解速度相当快，4096个点，分解所花 CPU 为0.027 秒。具体实例见后。 图一原始实测数据（4096=122个点） 图二原始实测数据中叠加上一个低频低幅正弦拍波 图三72检测到的正弦拍波曲线 图四62检测到的正弦拍波曲线（三次样条小波）与（使用向量分解小波包） 图五62检测到的正弦拍波曲线 （使用双正交小波包） 图六62检测到的正弦拍波曲线（使用Daubechies正交小波包） （五）结论 1 根据傅立叶变换的理论，在一定的条件下，一个周期函数可以表示为傅立叶级数。傅立叶理论不仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息在许多情况下，具有实际的物理意义，所以傅立叶变换得到了广泛的应用。 但是，这种理论具有一定的局限性： （1）傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数是不随时间变化的常数，因而只能处理频谱成分不变的平稳信号。在处理非平稳信号时会带来很大误差、得到的数学频谱与实际的物理频谱可能会有很大的差别。 （2）由于正弦函数、余弦函数是整个时间轴上的函数，导致傅立叶系数是全时间域上的加权平均，处理、捕捉突变信号，灵敏度很差。 （3）加窗傅立叶变换虽然作了改进，但是，由于时间窗是固定不变的，高频与低频的时间局部化不能同时满足。 2小波分析从理论上克服了上述傅立叶变换的三个缺点。由于小波系数随时间变化，所以，不论是平稳信号还是非平稳信号得到的小波频谱与实际的物理频谱，都十分接近。由于小波具有紧支撑的性质，局部突变信息的作用能很好地反映出来，处理、捕捉突变信号，灵敏度很高。 小波函数的选择，对分析结果影响很大。根据不同的用途，应慎重选择合适的小波函数。 目前国内外大多数小波分析软件，没有解决第一步的小波系数求解问题，因此，没有解决离散数据的快速求导、捕捉突变信号、极值与积分问题。 3 我们研制的向量分解小波包软件 XIAOBB，使用的是三次样条小波函数，它具有2C阶连续、线性相位、紧支撑的性质，滤波不失真，频谱分析精度高。 由于我们使用了巧妙的投影技术，可以快速地求出小波分解第一步所需要的小波系数，从而解决了离散数据的快速求导、捕捉突变信号、极值与积分问题。 小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。 10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达 2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H 为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况 “小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构（去噪）的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上，通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中，我们在空间上表示信号，也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的，我们也能从两个系数和通过重构得到系数。 如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现（也就是小波变换算法）。当小波和尺度在空间内是正交的，我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式： 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程，通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现，特别是对于离散小波变换，程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程，重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理 第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。 科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新 小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反 一、小波分析基本原理： 信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。相关原理详见附件资料和系统设计书。 注：小波分析相关数学原理较多，也较复杂，很多中文的著作都在讨论抽象让非数学相关专业人难理解的数学。本人找到了相对好理解些的两个外文的资料： Tutorial on Continuous Wavelet Analysis of Experimental Data.doc Ten.Lectures.of.Wavelets.pdf 二、搜索到的小波分析源码简介 （仅谈大体印象，还待继续研读）： １、83421119WaveletVCppRes.rar 源码类型：VC++程序 功能是：对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换，从而得到小波分解系数；再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。 说明：在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用，以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ２、WA.FOR（南京气象学院常用气象程序中的小波分析程序） 源码类型：fortran程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 ３、中科院大气物理学所.zip（原作者是美国Climate Diagnostics Center的C. Torrence 等）源码类型：fortran和matlab程序各一份 功能是：气象应用。用小波分析方法对太平洋温度的南方涛动指数进行分析。 说明：用的是Morlet和墨西哥帽小波。程序编写规范，思路清晰，但这是为专业应用写的算法，通用性差。 ４、Morlet小波变换源程序.rar 源码类型：matlab程序 功能是：对简单的一维时间序列进行小波分析。 说明：用的是墨西哥帽小波。程序短小，但代码写得较乱，思路不清，还弄不明白具体应用。 小波变换的原理及m a t l a b仿真程序 基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参 数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。 现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅 小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与 第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ 时间序列的小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中， 0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。 2. 小波变换 若)t (b ,a ψ是由（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号)R (L )t (f 2 ∈，其连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简写为CWT ）为： dt )a b t ( f(t)a )b ,a (W R 2 /1-f ?-= （3） 式中，)b ,a (W f 为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a 为伸缩尺度；b 平移参数；) a b x (-ψ为)a b x (-ψ的复共轭函数。 地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数)t k (f ?，（k=1,2,…,N; t ? 小波分析理论简介 （一） 傅立叶变换伟大的历史贡献及其局限性 1 Fourier 变换 1807年，由当年随拿破仑远征埃及的法国数学、物理学家傅立叶（Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为T (=π2)的函数 )(t f ，都可以用三角级数表示： )(t f = ∑∞ -∞=k ikt k e C = 20 a + ∑∞=1cos k k kt a + ∑∞ =1 sin k k kt b (1) k C = π 21 ? -π 20 )(dt e t f ikt = * ikt e f , (2) k k k C C a -+= )(k k k C C i b --= (3) 对于离散的时程 )(t f ，即 N 个离散的测点值 m f ，=m 0,1，2，……,N-1, T 为测量时间： )(t f =2 0a + )sin cos (12 1∑-=+N k k k k k t b t a ωω+t a N N 2 2cos 21 ω=∑-=1 0N k t i k k e C ω （4） 其中 ∑-== 1 02cos 2 N m m k N km x N a π ，=k 0，1，2，…,2N (5) ∑-== 1 2sin 2N m m k N km x N b π , =k 1,2,…, 2N -1 (6) ∑-=-= 1 )/2(1N m N km i m k e x N C π ，=k 0，1，2，…,N-1 (7) t N k k ?=π ω2 ，N T t =? (8) 当T ∞→ 时，化为傅立叶积分（即 Fourier 变换）： ? ∞ ∞ --= dt e t f f t i ωω)()( =t i e f ω, （9） ωωπ ωd e f t f t i )(21 )(? ∞ ∞ -= (10) 《水文小波分析原理及其应用》考试试题 课程编号：7.637 学分：3.0 任课教师：刘东考试形式：开卷 一、写出下列专业术语的英文表达（每小题1分，共10分） （1）小波分析: wavelet analysis； （2）小波变换：wavelet transformation； （3）小波函数：wavelet function； （4）小波消噪：Wavelet denoising； （5）小波方差：Wavelet variance ； （6）连续小波变换：Continuous wavelet transform； （7）离散小波变换：Discrete wavelet transform ； （8）小波人工神经网络模型：Wavelet artificial neural network model； （9）小波随机耦合模型：Wavelet stochastic coupling model； （10）快速小波变换算法：Fast wavelet transform algorithm。 二、论述学习“水文小波分析原理及其应用”课程的目的与意义。（10分）答：水文学是研究地球上水分分布、循环、运动等变化规律及水－环境相互作用的一门科学，属于地球科学的一个分支。水文时间序列在各种因素影响下具有确定性成分、随机成分）。水文学的一个重要研究途径就是利用现有分析技术对水文时间序列进行描述，探讨水文系统的演变规律。 小波变换克服了Fourier变换的不足，能够反映出水文时间序列在时频域上的总体特征以及时频局部化信息，被誉为“数学显微镜”。利用小波分析的多分辨率功能，可以充分挖掘水文时间序列所包含的信息，展现水文时间序列的精细结构，从而使我们更好地掌握水文时间序列的多时间尺度变化特征及突变特征。 现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞ 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3） 时间序列-小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分） （一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247 高级数字信号处理 题目：小波分析的最新进展 姓名： 学号： 年级： 专业：电子与通信工程 小波分析的最新进展 摘要 小波分析打破了傅立叶变换的局限性，在继承和发展傅立叶分析基础上产生的各种改进，具有广泛的应用。经过几十年的发展，小波变换的理论越来越成熟，为了更好的完善这一强有力的分析工具，许多人依然在不断的研究。本文主要介绍了小波变换的基本理论，讨论了小波变换在各种信息和图像处理方面的最新研究现状及应用，最后展望了小波分析理论进一步发展进行了概述。 关键词：小波变换图像处理信号处理 Wavelet analysis of the latest developments Abstract The wavelet analysis to break the limitations of the Fourier transform, a variety of the inheritance and development on the basis of Fourier analysis to generate improvements, with a wide range of applications. After decades of development, the theory of wavelet transform more mature, in order to better improve this powerful analytical tool that many people are still in continuous research. This paper introduces the basic theory of wavelet transform, wavelet transform discuss the latest research in a variety of status and application of information and image processing, and finally prospect of further development of the theory of wavelet analysis are outlined. Keywords: wavelet transform image processing Signal Processing 实验目的：通过编程实现离散快速小波变换Mallat 算法，从而加深理解二维 小波变换的分解与合成，同时，提高编程能力和matlab 的应用，为以后的学习打下基础。 实验原理： 1、Mallat 快速算法 本实验使用离散快速小波变换快速算法Mallat 算法，算法原理如下 1(2)j j k n n c h n k c -=-∑ （1） 1(2)j j k n n d g n k c -=-∑ （2） 重构算法： 1 (2)(2)j j j n k k n n c h n k c g n k d -=-+-∑∑ （3） 对于（1）、（2）等效于1 j n c -经过冲击响应为[]h n -和[]g n -的数字滤波器，然后再分别进行“二抽取”，Mallat 分解算法的滤波器表示形式如下图 C j-1 d j (k) C j (k) 用滤波器表示如下图 d j C j C j-1(k) 2、 255*255 10lg PSNR MSE = '2 11 ()*M N ij ij i j f f MSE M N ==-= ∑∑ {}ij f '{}ij f 分别表示原始图像和重建后的图像，1,1i M j N ≤≤≤≤。 3、边界延拓方法有零延拓、周期延拓、对称周期延拓、常数连续延拓等，本实验采用以上四种方法进行原图像的1/8延拓，并进行重构，各种延拓方法所对应的函数为yan0(x)、yancir （x ）、yan(x)、yanc(x),在主程序中，需要某种延拓，便调用某种函数。 实验编程思路： 为使程序易于理解，在不考虑算法复杂度的情况下，分解程序采用简洁的循环计算出下一级的分解系数，程序采用的编程思想如下 [][][]11100[0][1][2][3][4][5] 001[1]00[0][1][2][3]00[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j j c c h h h h h h c c h h h h n c n h h h h h h c ---?? ??????????????? ???=??? ???????????--????????????? ? 以上矩阵等式左面是进行二抽样的结果，[0][1]2 j j n c c -是j 分解的低频部分。同理，对 于j 分解的高频部分有如下矩阵形式： [][][]11 100[0][1][2][3][4][5]0 01[1]00[0][1][2][3]0 0[1][2][3][4][5]00[0][1]12j j j j j d d g g g g g g d d g g g g n d n g g g g g g d ---???? ????????????????=? ?? ???? ???????--????? ????????? 分解程序： lenx=size(x,2);%x 为一维向量 lenh=size(h,2); h=[h,zeros(1,(lenx-lenh))]; g=[g,zeros(1,(lenx-lenh))]; r1(1)=sum(h.*x); r2(1)=sum(g.*x); for k=1:1:(lenx/2-1) %循环求出下一级低频和高频分量 h=[h(end-1:end),h(1:(end-2))]; r1(k+1)=sum(h.*x); g=[g(end-1:end),g(1:1:(end-2))];小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波变换的基本原理
研究生《小波理论及应用》复习题
小波分解与重构原理
小波变换的几个典型应用
【免费下载】小波分析及其应用
小波分析算法资料整理总结
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
《小波分析及其应用》word版
小波变换基本原理
时间序列的小波分析
小波分析理论简介
《水文小波分析原理及其应用》带答案
小波变换及其应用_李世雄
小波变换及应用
小波分析-经典解读
小波变换理论及应用
小波分析综述
小波变换mallat
相关主题
文本预览