图形变换之平移
目的与方向：等腰、直角三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系 什么时候用平移？ （1）平行四边形与平移
由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与之平行且相等的线段。因此，对于已
知条件中有平行四边形的几何题，我们可以考虑用平移变换。
1、 (2012. 5)22．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD
=90?．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．
图1 图2
小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形
ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长
度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
图
2、设P 是矩形ABCD 内一点，请你作出一个四边 形，使它的
两对角线互相垂直，长度分别为AB 、BC ，且四条边长分别等于PA 、PB 、PC 、PD
（2）共线相等线段与平移
因为在平移变换下，与平移方向平行的线段变为与之共线且相等的线段。所以，对于已
知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。 3、设B 、C 是△PAD 的边AD 上的两点，且AB=CD ，求证：PA+PD>PB+PC
（3）不共线线段与平移
两条线段既不平行也不共线，但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段，使两条线
段有一个公共端点，并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形，再利用特殊三角形的性质再加上其他相关条件使问题解决。
4、设线段AB 与CD 相等，且夹角为60°，求证AC+BD>AB 解法提示：平移后形成等边三角形
5、 5、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1080
，D 为AC 的延长线上一点，M 为BD 的中点，AD=BC 求 求证：AM ⊥MC
注：AD=BC 与AM ⊥MC 两个条件可以互换
解法提示：平移BC ，得到平行四边形BCDE 和等腰△
ADE ，由∠ADE=∠ACB=360
，得到∠EAD=720
，∠EAB=360
∠EBA=∠EBC+∠CBA=720
，∠AEB=720
，
所以AE=AB ，M 为CE 中点，所以AM 与MC 垂直
A D
O B E
B O
C
D A I
H
G
F
A
B
C
D
E
6、（2006北京）25．25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为
等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
7、（2011.5西）25．在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的
交点为P .
（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2
）若AC =
，CD =，求∠APE 的度数.
8.（2010.6西）24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．
（1）如图1，求证：AP ＜
2
1
（AB +AC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．
①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥2
1
DE ．
9. ?ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM=AC,点N 在AC 上，且AN=MC, AM 与BN 相交于点P ，求证：∠BPM ＝45°
C
M N
轴对称
目的：一般是构造：特殊三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系应用信息：直角---（平角的）角平分线---轴对称
共顶点互补角---角平分线---轴对称
二倍角---角平分线---轴对称
1、在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB+CE>AC+BE
2、已知△ABC中，AC=3，BC=7，∠C=2∠B，求AB的长. 2、
3、四边形ABCD，∠C=90°，∠ADC=30°，AD=3，，BD=2AB，∠ABC与∠DBC互补，求BC的长。
3、
4、
5、
4、（2010北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探
究∠DBC与∠ABC度数的比值.
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.
观察图形，AB与AC的数量关系为________________；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.
5、B、D、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，CD=2km，BD=3km，在
D村的正北方向有一个A村，测得∠B AC＝45°，今将△ABC区域进行规划，
除其中面积为4km2的水塘外，准备把剩余的作为绿地，试求绿化用地面积．
A
B
6、（2011.5东22.）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.
（1）请你帮小萍求出x的值.
(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）
7、（2012.5朝）23. 阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题
得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，
若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．
图①图②8、（2011.5海25．）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=
1
2
. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF kEF
=，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．
9、（2013.5西）24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点P在△ABC的内部．
(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=_______，
△PMN周长的最小值为_______；
(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积；
(3) 若PA=m，PB=n，PC=k，且cos sin
k m n
αα
==，直接写出∠APB的度数．
A A
B
C
A
D
E
F
B
D
E
A
F
C B
A
C
1
图2
图备图
旋转
目的：依据旋转的性质构造特殊三角形、全等三角形、相似三角形即完善图形的关系
共端点等线段，两个中心转呀嘛转
基本图形1：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等
在△ABC和△ADE中，
AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，
则△ABD≌△ACE
基本图形2：等边△ABC，P是△ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将△ABP 逆时针旋转60度，可以得到△APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形△PCD，已知PA、PB、PC的长可以求出∠APB、∠APC、∠BPC
变换背景：等腰直角三角形，旋转△ADB
变换背景：正方形ABCD，旋转△AEB 1、（2011.5房）已知：等边三角形ABC，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．
试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；
2、(2011.5丰)已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.
探究下列问题:
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，
且∠ACB=60°，则CD=______；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，
且∠ACB=90°，则CD= ______；
（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，
求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
3、（2010.5西24．）如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2
tan=
B.
（1）求证：AD=AE；
（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.
求证：AF
EF
DF2
=
-；
（3）请你在图3中画图探究：当P为射线E C上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP 于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.
D
C
B
A A B
C
D
A B
C
D
C
B
图1
图1
E
B C
A D
图3
E
B C
A D
图2
E C
B
A D
F
P
4、（2012海淀期末）24. 已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC 交线段AE于F.
（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60?, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;
（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；
（3）如图3, 若AE :AD =a :b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.
5、（2011北京24） (7分)在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．
(1)在图1中，证明：CE＝CF；
(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；
(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．
几何图形问题的解决，主要依据基本图形的性质和借助基本图形之间的关系。近些年中考几何综合题的显著特征，要求学生要从“变换”的视角分析图形之间的关系，从原有图形的性质和图形之间的关系中“透视”出隐含的“变换”特征，来识别和构造图形关系。而这种透视图形的眼力的养成与训练，在于教学图形问题时，要不断强化：带上“求解工具”（勾股、相似、面积）思考，带上“变换工具”分析。
综合练习
例1.正方形ABCD中，E是BC上一点，AE⊥EG交∠DCH的平分线于G，求证：AE=EG
例2.△ABC中，AD⊥BC，∠B=2∠C=45°，BC=6，求△DAB的周长。
例3.△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD=3，CE=4，AD=3DE，求△ABD的面积。
B B
A D A D
C
C
E
F
E
G
F
A
B
C
D
E
G F
图1 图2 图3
A
B E C
D
F