考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x???
当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0
f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内
模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9） ()() 2 2 1 21---?dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 （ 6、计算下列不定积分 （1） ()1sin sin 1cos ++?x dx x x （2）3sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）211cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）22221 sin cos +?dx a x b x （7） () ()2 1 0sin cos ≠+?dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 . （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +?
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
记单词只有一种方法——按照艾宾浩斯周期的不断重复！艾宾浩斯周期的标准速度是一天花3个小时背下3个新的List，每一个list大致有150个单词，因此有些词汇书如果不是这样划分list，我们可以自己来重新划分。以这样的标准第一遍背一页单词（10个左右）需要5分钟。这时第一个记忆周期已到，请同学们在背下一页前，立即返回第一个单词，把这10个单词迅速复习一遍。因为此时对单词的记忆程度在90％以上，所以只需要几十秒钟，但是对于记忆这些单词所起的作用是极大的。第二页也是如法炮制。用这种方法背过6页以后，第二个记忆周期（30分钟）已到，立即从第一页开始复习。由于这些单词刚刚背过两遍，所以这一遍复习也只需要三分钟。然后用同样的方法背7～12页。整个List大约一个小时。小宝老师对艾宾浩斯周期做了一个小的修订，非常适合我们白天还要上课的大学生或者中学生。也就是每天早上看完3个list之后，在花30分钟左右把三个单元快速的过一遍，不要强求自己记住，不可能，只是为了晚上的复习进行一次预复习状态，因为我经过测试发现，艾宾浩斯周期最理想的操作环境是纯脱产状态，而大学生白天还有大量的课程，实验等等，因此早上的3个单元的全部先快速过一遍非产有利于强化和抗遗忘。 用以上的方法背过的单词一定会记得很牢固。因为这种方法不但利用及时的复习改造了遗忘曲线，延缓了遗忘速度，而且基本上克服了前摄抑制和后摄抑制的影响。 建议大家选择上午特别是早晨的时间来背新单词，因为此时人的
生物节律处于最高峰背单词的记忆力最好，而且也不存在对日常琐事 的前摄干扰。到了晚上，也就是背过单词的12个小时之后，到了第三 个记忆周期，一定要复习今天新背过的单词。复习只需要第一遍背单 词的不到三分之一的时间，即每个List小于或等于20分钟，3个List 在50～60分钟之间。 整个背单词的过程需要背词者有一个严格的时间表。下面的时间 表就是参照新东方著名教学专家杨鹏老师的《17天搞定GRE单词》的艾宾浩斯周期表计划，因为俞敏洪先生的经典著作《GRE词汇精选》（红宝书）是51个单元，但是艾宾浩斯周期是所有记忆的周期， 因此适用于所有阶段的单词记忆，只不过单元数多还是少的问题，因 此对于考研词汇，托福词汇，四六级词汇均适用，大家只是自行增减 单元个数，来制定一个相应的艾宾浩斯单词记忆和复习周期： 晚上6点——9点，3小时内背 早上课前7点半到8点，半个小时复习 单词背诵周期表 1 2 3 4 5 6 7 L1-3 L4-6 L7-9 L10-12 L13-15 L16-18 L19-21 ·L1-3 ·L1-3 ·L4-6 ·L1-3 ·L4-6 ·L7-9 ·L10-12 ·L4-6 ·L7-9 ·L7-9 ·L10-12 ·L13-15 ·L16-18 ·L10-12 ·L13-15 ·L16-18 ·L19-21 8 9 10 11 12 13 14 L22-24 L25-27 L28-30 L31-33 L34-36 L37-39 L40-42
高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -
【红宝书】考研英语词汇 基础词 Unit 4 bath 洗澡，淋浴；浴室 bathe 弄湿；游泳，洗澡 batch 一批，一组，一群 acquaint 使认识，使了解 acquaintance 熟悉，了解；熟人 across 横越，穿过；在……对面 satisfaction 满意，满足；乐事，愉快 satisfactory 令人满意的，可喜的，恰当的 satisfy 满意，使满意；使确信 satire 讽刺，讽刺作品 saturate 使饱和，浸透，使充满 sauce 酱汁，调味汁；无礼，莽撞 saucer 茶托，碟子 sausage 香肠，腊肠 saw 锯子；锯，锯开 scan 细看，审视；浏览，扫描 scandal 民愤；引起公愤的举动；丑闻；诽谤 scar 疤，疤痕；精神上的创伤 scarce 缺乏的，不足的；稀少的，罕见的 scarcely 几乎不，简直没有，勉强；决不 scare 惊吓，恐惧 scarf 围巾，头巾 scatter 撒播；消散，驱散 scenario 可能发生的事，可能出现的情况 scent 气味，香味；香水 scholar 学者 scholarship 奖学金；学问，学识 school 学校；学院；学派，流派 tablet 药片；碑，匾 taboo 禁忌，戒律；避讳 tackle 用具，装备；对付，处理，解决 tactics 策略，战术 tag 标签，货签 tailor 裁缝；缝制；使适应 tale 故事，传说 tame 平淡的；驯服的；温顺的；驯服；控制，抑制 tan 棕黄色，黄褐色；棕黄色的，棕褐色的 tangle 绞在一起，乱作一团；混乱状态 tank 坦克 tanker 油船，油轮，油罐车；坦克手 tap （水、煤气等管道或容器的）龙头，阀门，塞子；轻扣；窃听
生物数学—-数理统计习题(前半部分) 一、抽样与抽样分布 1.设X 1,X 2,···,X n 为样本， ˉX n =1n n i =1X i ,S 2n =1n n i =1 (X i ?ˉX )2,X n +1为第n +1次的观测样本，试证： ˉX n +1=ˉX n +1n +1 (X n +1?ˉX n )2.设x 1,x 2,···,x n 及u 1,u 2,···,u n 为两个样本观测值，它们有如下关系： u i =x i ?a b ,b =0,a 都为常数，求样本平均值ˉu 与ˉx ，样本方差S 2u 与S 2x 之间的关系。 3.证明如下等式： (1) n i =1(X i ?ˉX )=0;(2) n i =1(X i ?C )2=n i =1(X i ?ˉX )2+n (ˉX ?C )2;(3) n i =1(X i ?ˉX )2=n i =1X 2i ?n ˉX,进而有S 2n =ˉX 2?ˉX 2，其中ˉX 2=1n n i =1X 2i 。 4.若从总体中抽取容量为13的一个样本： ?2.1,3.2,0,?0.1,1.2,?4,2.22,2.01,1.2,?0.1,3.21,?2.1,0 试写出这个样本的次序统计量，中位数和极差。5.设X ～N (μ,σ2),求样本均值ˉX 与总体期望μ的偏差不超过1.96 σ2n 的概率。6.在总体N (52,633)中随机抽一容量为36的样本，求样本均值ˉX 落在50.8和53.8之间的概率。 7.求总体N (20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 8.设X 1,X 2,···,X 10为N (0,0.09)的一个样本，求P (10 i =1X 2i >1.44)。 9.设总体X ～N (μ,4),X 1,X 2,···,X n 为一个样本，ˉX 为样本均值，试问：样本容量n 应取多大，才能使P (|ˉX ?μ|≤0.1)≥0.95。10.设X 1,X 2,···,X n 是来自χ2(n )的样本，求E ˉX ,D ˉX 。
英语红宝书计划
经过笔者自己的实践和对同学们背单词的实际情况来测算，以这样的标准第一遍背一页红宝书单词（10个）需要5分钟。这时第一个记忆周期已到，请读者在背下一页前，立即返回第一个单词，把这10个单词迅速复习一遍。因为此时对单词的记忆程度在90％以上，所以只需要几十秒钟，但是对于记忆这些单词所起的作用是极大的。第二页也是如法炮制。用这种方法背过6页以后，第二个记忆周期（30分钟）已到，立即从第一页开始复习。由于这些单词刚刚背过两遍，所以这一遍复习也只需要三分钟。然后用同样的方法背1～12页。整个List大约一个小时。 用以上的方法背过的单词一定会记得很牢固。因为这种方法不但利用及时的复习改造了遗忘曲线，延缓了遗忘速度，而且基本上克服了前摄抑制和后摄抑制的影响。相当于每一个List被分成12个小的单元，每个小的单元自成一个复习系统；每6个小单元组成一个大单元，2个大单元各自成为一个复习系统，很大程度上避免了先后输入的信息之间的互相干扰。同时，这种在一个短时间内反复复习的方法，也起到了对所记忆的单词进行过渡学习的效果，有助于把这些单词的记忆形成功的延续到下一个复习周期。 本背词法的标准速度是一天花3个小时背下3个新的List。笔者建议本书的读者选择上午特别是早晨的时间来背新单词，因为此时人的生物节律处于最高峰背单词的记忆力最好，而且也不存在对日常琐事的前摄干扰。到了晚上，也就是背过单词的12个小时之后，到了第三个记忆周期，一定要复习今天新背过的单词。晚上复习的有点在于，由于背过单词后就要睡觉，所以不存在后摄干扰，有助于保持记忆。笔者经过仔细测算，发现对于绝大多数的同学来讲，这一遍复习只需要第一遍背单词的不到三分之一的时间，即每个List小于或等于20分钟，3个List在50～60分钟之间，注意请读者把这一遍复习的顺序与早晨初背的顺序作一个调换，如早晨的顺序是List1，List2，List3，则这一遍请调整为List2，List3，List1，其目的在于根本克服前摄抑制和后摄抑制的问题。在以后的复习当中，读者可以根据自己的情况灵活地调整复习地顺序，把以前记得最不清楚地部分放到自己记得最牢固地位置。 其后的复习模式请按照前面所讲的方法继续下去，分别在1天后，再过2天，4天，7天，15天后作复习。这里的天数是指时间间隔的天数，而不是指第几天。也就是说，如果10月1日早晨背的单词，晚上要复习，2号，4号，8号，15号，30号各自要作一次复习。等到这个大循环结束后，背词者对单词的记忆可以说是非常熟练了，因为他对每一个单词都背过至少9遍。在此之后，背词者只需要每天花上45分钟左右复习3个List，就可以对所有的红宝书单词一直保持牢不可破的记忆。
考研数学高等数学强化习题-不定积分 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
模块五 不定积分 Ⅰ经典习题 一．原函数与不定积分 1、设,0(),0x e x f x x x ?≥=?
（7）() 7 7 11x dx x x -+? （8）226114(1)-+-?x x dx x x （9）()() 2 2 1 21---? dx x x x （10）()() 322 2 412+++++? x x x dx x x x （11）241x dx x -? （12）() 23 1 1x dx x x +-? （13）33156x dx x x ++-? （14）421 dx x x ++? 三．可化为有理函数的积分 1．三角有理式 6、计算下列不定积分 （1）()1sin sin 1cos ++? x dx x x （2）3 sin cos ?dx x x （3）3sin 2cos +? x dx x （4）21 1cos +?dx x （5）sin 1sin +?x dx x （6）2222 1 sin cos +?dx a x b x （7）() ()2 1 0sin cos ≠+? dx ab a x b x （8）()1 2cos sin dx x x +? （9）64tan cos sin ?x x dx x （10）41 sin ?dx x 2．指数有理式的积分 7、计算下列不定积分 （1）311++?x x e dx e （2）21 1+?x dx e （3）1 x x dx e e --? （4）() 211x dx e +? 四．根式的处理
一、 三大抽样分布的分布函数 综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任 何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。 )b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布， 集中表现为3大抽样分布规律。 )c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积） 1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握） 量纲模型： 性 质： ()1{ }i X ()2 可加性 ()3 证 明()3：由于()()() ~0,10; 1i i i X N E X D X ?== ()()()() ()22 2442 1 1,2,,3 i i i i x i E X E X E X D X i n E X x e dx +∞ - -∞ =-===????= = ()()()()()()()()()2 242 2 22112 2211 312 2i i i n n i i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X n χχ====??=-=-=????=== ?????=== ???∑∑∑∑
样本函数中的必需记住的数字特征 ()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数 2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握） {}i X 独立同分布 2~(0,1), ~(); i X N Y n X Y χ和独立 性 质： ()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞? ()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数 ()3 ()0, 22 n EX DX n n == >- ()4 性质 T 分布具有对称性， 1()(); 45t n t n n αα -=->时，()t n Z αα≈ 3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握） X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型： 例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2 12 2 124X X P X X ??+
2011考研的进~擅长忘记也能考360~ 复试结束了，下决心写点什么，说说现在我对去年此时自己迷惑的问题的答案~ 自我介绍先，女，来自山东某医学院，今年考上北医六院临床，初试成绩政英76、59，西综225，总分360，虽然不高，但对于我这个忘性极好记性极差的文学女青年来说，已经比较满意了~自认水星漂亮（注:智商高）的同学仅供参考~ 先说说处在这个阶段的同学最容易存在的疑问~ 1、如何安排复习，着重课本还是辅导书，书要看到多细，报不报辅导班，三门课如何安排等？答：去年此时我也在各种思潮冲击下不知如何是好（实际从寒假介绍大概三月就开始了），当时丁香园硕博版（推荐）有个帖子，是让过来人说说自己的经验，很长，看完以后就觉得心里有了底~现在来说说我现在的答案~一般的复习（指不是课也不上习也不实的全日制复习的复习，即每天晚上即课余时间复习）现在就应该开始了。晚上不用太晚，我们当时大概10点到10点半吧~我们学校大四毕业才结束内外科教学，所以现在平时跟着上课，认真听讲（利用好上课时间可事半功倍，注意上课要动脑），下课把学的内容理解记忆就好了。但有的学校现在内外科课已经结了，就可以全面复习了。 复习不要太早用全力，因为人的肉身是有极限的，是会累的。复习也不要太晚，因为我们是先报后考，复习太慢11月报考时不易对自己有个客观评估，不是报高了被调被刷，就是报低了心中后悔~ 课本还是辅导书？这是一个问题！这也是现在西综复习的两个主流派别（我自己总结的）。如何选择呢？西综内容之多绝不是单凭激情就能攻下的，无知者无畏，现在大部分同学都会制定目标是满分的复习计划，却没有正确充分的评估困难和自己的执行能力，这时就体现出方法的重要性~很多人会说，我们考西综就是拼谁坐的住对智力要求不高，但是为什么同样复习的很多人，一起实习一起吃饭一起复习，成绩确有差异，而且不是平时成绩好的考的高？实际上我要说，我们医学考研不是考智商（但记忆力强的人大占优势），也不是考谁坐得住（我的现实经验：坐一样长时间的考不一样的分，坐的长的可能考的少；考一样分的不一定花一样的力气，同样是369，其中一个大概花了另一个两倍的功夫），是考综合的能力，也就是素质！认识自己，评估自己，设定目标，选择方法，执行计划，困难时坚持，顺利时谨慎，每一时都根据情况微调，每一刻都又激情又实际，这才是成功之道啊~~ 我的建议：根据自己的基础和目标~ ①如果你记性好基础佳目标宏大，那当然是选课本了~现在出题人越来越不按牌理出牌，边边角角都可能考。看的时候注意不要太慢。很容易出现的情况是开始时追求完美，对刚开始复习的章节又要理解又要记忆又做真题又做习题，那个认真啊，结果复习着复习着，忽然发现，不好！时间不够了！于是后面的内容匆匆而过，落得个虎头蛇尾。给自己定下时间限制，限时完成~有不懂的地方先自己想，但不要想太长不要恋战，想不懂就问，甚至跳过去，考研要以大局为重！制定短期计划，中期计划，长期计划，全都要有时间！时时提醒自己几月了，该复习到哪了！千万不要到该报志愿了，还一遍没完，那时就很被动了~ 关于速度我曾经听过一个贺银成的讲座，他说第一遍在六月到十一之前完成都是正常，我是十一完成的第一遍，大家可以参考一下~ ②如果你像我一样记性差，隆重推荐事半功倍省时省力的“兔子速效西综复习法”~~具体执行如下：首先比较快速的记一到两遍贺银成辅导讲义，大概建立一个框架。这个讲义是一个重点框架和曾考考点的集合，性价比还是极高的。看讲义你就不能挑着重点看了，从头看到尾，一个关键就是一定要尽量快一点!快了既可以用别人看一遍的时间看两遍，还不容易走神，更重要的是符合记忆规律！然后看一遍课本，可以从头看到尾，或者自己喜欢什么顺序都行，
第 1 页 钻石卡辅导：2012考研数学强化阶段重要题型攻略之高等数学（十六） 万学海文 在历届考研试题中，含有变限积分与原函数的综合题是比较多的，它的基础知识是需要掌握的，万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此给出相关做题方法，便于2012年考研的考生复习。下面，我们接着来看一下“求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域”。求幂级数的收敛域，一般先求出收敛半径及收敛区间，再考虑区间端点处的敛散性，此时转化为数项级数敛散性的判别．对于求幂级数的收敛半径及收敛区间，通常有以下两种情形． 【方法一】如果幂级数为标准形n n n x a ∑∞=0，则可直接利用公式，由||lim 1n n n a a +∞→=ρ，得收敛半径为ρ1 =R ，收敛区间为),(R R -． 【方法二】如果幂级数为缺项幂级数，如12120220,++∞ =∞=∑∑n n n n n n x a x a ，则不能直接利用公式．这时可将幂级数看做一般的函数项级数)(1x u n n ∑∞=，由比值判别法，先求|) ()(| lim )(1x u x u x n n n +∞→=ρ，再令1)( 第 2 页 求得收敛区间),(b a 后，再考察数项级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性，即可得到收敛域，需注意的是： （1）一般不能用比值法或根值法判定级数)(1a u n n ∑∞=与)(1b u n n ∑∞ =的敛散性． （2）幂级数经过有限次的逐项求导或逐项积分，不改变其收敛半径与收敛区间，但在收敛区间端点的敛散性可能会改变． 【例1】下面有四个命题： ①若n n n x a ∑∞=0的收敛域为],[R R -，则幂级数10 -∞=∑n n n x na 的收敛域为],[R R -． ②设幂级数n n n x a ∑∞ =0在2-=x 处条件收敛，则它的收敛半径2=R ． ③设幂级数n n n n n n x b x a ∑∑∞=∞=00,的收敛半径分别为21,R R ，则n n n n x b a )(0+∑∞ =的收敛半径为},min{21R R R =． １. 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式: d ()d y f x x '= 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下： 第六章 数理统计的基本概念精华习题 一、填空题 1. 设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2. 3456则 71 2((C D 3．设1234, , , X X X X 是取自总体()~0, 4X N 的简单随机样本，()2 122X a X X =-+()2 3434b X X - ()2 ~n c ，则 ()()()()2 4 C 1 2 24A n B n n D n ====或或 【解】选()C 。因为()2 ~X n c ，故, a b 不可能同时为零，但可以其中一个或全不为零。 12（（（3 第六章 数理统计的基本概念精华习题完全解答 一、填空题 1．设)2,0(,,,2 4321N X X X X 是来自正态总体的样本，则统计量 243221)43( 1)2(1Y X X X X -+-= 服从______分布。. 2 3 45．设随机变量()~, X F n n ，则概率{}1P X <= __________。 【解】()(){}{}{}{}111~, ~, 111112X F n n F n n P X P Y P P X P X X X ìü T T<=<=<=>T<=íy?t 。 6． 设总体()2, 01 ~0, X x x X f x other <<ì=í? ，12, X X 来自X 的简单随机样本，12U X =，21V X =+， 则12U P V ìü ￡=í y?t _______。 【解】()12, ~X X ()1212124, 01, 01 , 0, x x x x f x x other <<<<ì=í? 2P < 7 1 2 (( A B C D 有关高等数学计算过程中所涉及到的数学公式（集锦） 一、0 101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞?=??+++? =??? （系数不为0的情况） 二、重要公式（1）0sin lim 1x x x →= （2）()1 0lim 1x x x e →+= （3 ）)1n a o >= （4 ）1n = （5）lim arctan 2x x π→∞= （6）lim tan 2 x arc x π →-∞=- （7）lim arc cot 0x x →∞ = （8）lim arc cot x x π→-∞ = （9）lim 0x x e →-∞ = （10）lim x x e →+∞ =∞ （11）0 lim 1x x x + →= 三、下列常用等价无穷小关系（0x →） sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 2 11c o s 2 x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ? +-? 四、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 五、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= 高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x高等数学函数基本公式
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