高一下期末复习资料
板块一 指对幂函数
【知识要求】
（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。 1.1对数恒等式：01log =a
1log =a a
b a b a =log
1.2对数公式：MN N M a a a log log log =+ N
M
N M a a a a log log log log =
-
b n b a n a log log =
b m
n
b a n a m log log =
a
b
b c c a log log log =
a
b b a log 1
log =
1log log log =a c b c b a
（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。 （3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。 【经典例题】
【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数()?
??≤>=0,20
,log 3x x x x f x
，则=??
?
?????? ??91f f
。
A ．4
B ．41
C ．4-
D ．4
1-
【解析】B ；291-=??
? ??f ，()412=
-f 。 （2）【2010湖北文05】函数()
34log 1
5.0-=
x y 的定义域为 。
A ．??? ??1,43
B ．??
? ??+∞,43
C ．()+∞,1
D ．()+∞??
?
??,11,43
【解析】A ；()?≠-034log 5.0x ()14
3
1340034log 5.0<-x x x 。 （3）【2010重庆文04】函数x
y 416-=的值域是
。
A ．[)+∞,0
B ．[]4,0
C ．[)4,0
D ．()4,0
【解析】C ；21640416≤?≤?≥-x x
x ，
(](][)[)[)4,016,04160,16416,042,∈?∈-?-∈-?∈?∞-∈y x x x x 。
【例2】【2010北京文06】给定函数①2
1
x y =，②()1l o g 2
1+=x y ，
③1-=x y ，④1
2+=x y ，
其中在区间()1,0上单调递减的函数的序号是
。
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【解析】B ；根据函数图像可得②③满足题意。
【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设2log 3=a ，2ln =b ，2
15
-=c ，则 。
A ．c b a <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．a b c <<
【解析】C ；∵3log 12log 23=
=a ，e
b 2log 1
2ln ==，e 22log 3log >，∴b a <，又∵215
15
2
1<
=
=-
c ，2
1
3log 2log 33=>=a ，∴a c <。综上，b a c <<。 板块二 三角比
【知识要求】
（1）角的定义与表示
1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）
1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。
1.3表示：与角α终边一致的角：{
}
Z k k ∈+?=,360|0
αββ
1.4弧度制
1.4.1为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。 1.4.2弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换0
180?π。 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做rad 1。圆心角r l =
α；扇形面积2
2
121r lr S α==。 '00185730.571=≈rad ；rad 01745.010≈。
（2）三角比的定义
2.1三角比的定义
①用直角三角形边之比定义锐角．．
三角比； c a =
αsin ，c b =αcos ，b a =αtan ，a
b
=αcot ，
正割：b c =
αsec ，余割：a
c =αcsc ②用终边上点的坐标定义任意角．．．
的三角比； 在任意角θ的终边上任取一点P 。设P 点的坐标为()y x ,，则22y x r OP +=
=。
2
2sin y x y r
y +==
α，
2
2cos y x x r
x
+==α，x
y
=
αtan 。 由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负： 一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。 ③用单位圆上的有向线段定义任意角．．．
的三角比。 MP ==αsin ，OM ==αcos ，AT ==αtan
速记口诀如下：
0 30 45 60 90度，正余弦及正切值。 数字0 1 2 3 4 ，除以4求算术根； 计算结果都存在，对应五角正弦值。 数字4 3 2 1 0，除以4求算术根； 计算结果都存在，对应五角余弦值。 数字0 1 2 3 4 ，数字4 3 2 1 0， 对应相除若有商，算术根乃正切值。
（3）同角三角恒等式
1cos sin 22=+θθ
θθθcos sin tan =
??
?
??∈+≠Z k k ,2ππθ
θ
θ
θsin cos cot =
()Z k k ∈≠,πθ 1cot tan =θθ??
? ??∈≠Z k k ,2πθ 1csc sin =θθ()Z k k ∈≠,πθ
1sec cos =θθ??
?
??∈+≠Z k k ,2ππθ
θθ22sec tan 1=+??
?
??∈+≠Z k k ,2ππθ
θθ22csc cot 1=+()Z k k ∈≠,πθ
【注】θθcos sin b a ±、θθcos sin 、θsin 、θcos 、θθcos sin 、θ
θ
sin cos 以上表达式只需知其一，其余的必可求解！
（4）诱导公式
口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成απ
±?k 2
的形式，然后用口诀。
（5）两角和差展开公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ ()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan -+=
+
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan +-=
-
（6）二倍角公式
αααcos sin 22sin =
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
α
α
α2tan 1tan 22tan -=
半角公式
2cos 12sin 2
αα
-=
2cos 12cos 2α
α+=
α
α
αααsin cos 1cos 1sin 2tan -=
+=()Z k k ∈≠,πα （7）辅助角公式（提携公式）
()?θθθ++=+sin cos sin 22b a b a
2
2sin b a b +=
?，2
2cos b a a +=
?，a
b
=
?tan *()?θθθ-+=
+cos sin cos 22b a b a
2
2sin b a b +=
?，2
2cos b a a +=
?，a
b =
?tan 【经典例题】
【例4】（1）若?是第二象限角，那么
2?和?π
-2
都不是 。 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
【解析】B ；∵?是第二象限角，∴2?是第一或三象限角，?-为第三象限角，∴?π
-2
为第四象限角，故
2?和?π
-2
都不是第二象限角。 （2）扇形的中心角为0
120，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 。
【解析】
93
47+；设扇形半径为R ，内切圆半径为r 。r R r R r ???? ?
?+=?-=32160sin 0，
∴
=???? ?
?+?=???
??=?=2222
32131313221r R r R
S S ππ内切圆
扇形9347+。 【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角α的终边过点(
)0
30sin 6,8--m P ，且5
4
c o s
-=α，
则m 的值为
。
A ．2
1
-
B ．23-
C ．21
D ．
2
3
【解析】C ；∵(
)0
30
sin 6,8--m P ，即()3,8--m P ，∴5
4
9
648cos 2-
=+-=
m m α，∴21
±=m ，又∵0cos <α，03<-=P y ，∴角α的终边应在第三象限，∴08<-=m x P ，∴2
1=m 。
（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是
。
A ．000168sin 10cos 11sin <<
B ．00010cos 11sin 168sin <<
C ．00010cos 168sin 11sin <<
D ．00011sin 10cos 168sin <<
【解析】C ；在单位圆中画出0
11sin 、0
10cos 、0
168sin 分别所对应的三角函数线可得
00010cos 168sin 11sin <<。
【例6】（1）【2009山东临沂】已知51cos sin -=+αα，??
?
??-∈2,2ππα，则αtan 的值是
。
【解析】3
4
-
；法一：∵51cos sin -=+αα，∴251cos sin 21=+αα，∴
2512cos sin -
=αα，∴()2549251221cos sin 2
=??? ??-?-=-αα，又∵??? ??-∈2,2ππα，02512cos sin <-
=αα，∴??
?
??-∈0,2πα，∴0cos sin <-αα，∴57cos sin -=-αα。则34cos sin tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -==????
????????
?
=
-=?-=--=+ααααααααα。
法二：∵51cos sin -
=+αα，∴251cos sin 21=+αα，∴25
12cos sin -=αα，∴2512cos sin cos sin 22-=+αααα，∴2512tan 1tan 2-=+α
α，即012tan 25tan 122
=++αα，∴34tan -
=α或43tan -=α，又∵??
? ??-∈2,2ππα，051cos sin <-=+αα，02512cos sin <-
=αα，∴??
?
??--∈4,2ππα，∴34tan -=α。 （2）【2009安徽合肥】已知x x cos 2sin =，则=+1sin 2
x
。
A ．56
B ．59
C ．34
D ．3
5
【解析】B ；∵x x cos 2sin =，∴2tan =x ，∴=+1sin 2
x x x 2
2
cos sin 2+
5
91tan 1tan 2cos sin cos sin 2222222=++=++=x x x x x x 。 【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记(
)k =-0
80
cos ，那么=0
100
tan 。
A ．
k
k 2
1-
B ．k
k 2
1-- C ．
2
1k
k -
D ．2
1k
k --
【解析】B ；(
)k
=-0
80
cos k =?080cos ，则20180sin k -=，故
=0
100t a n (
)
=-=-=-0
080
cos 80sin 80tan 80
180tan k k 21--。 （2）【2009安徽皖北】若536sin =???
??+απ，则=??
?
??-απ3cos 。 A ．5
3
-
B ．53
C ．5
4
D ．5
4-
【解析】
53；53
6sin 6
2cos 3cos =??? ??+=????????? ??+-=??? ??-απαππαπ。 【例8】（1）已知4
π
βα=
+，则()()=++βαtan 1tan 1
。
【解析】2；
∵()14
tan tan tan 1tan tan tan ==-+=+π
βαβαβα，∴βαβαt a n t a n 1t a n t a n --=
∴()()=++βαtan 1tan 1βαβαtan tan tan tan 1+++2=。
（2）已知α为锐角，且13
5
6cos =???
?
?+
πα，则=αcos 。
【解析】
261235+；∵α为锐角，∴()ππα,06∈+，∴??? ?
?+-=??? ??+6cos 16sin 2παπα 131213512
=???
??-=，∴=αcos ??????-??? ?
?+66cos ππα
6sin 6sin 6cos 6cos ππαππα??? ?
?
++??? ??+=26123521131223135+=?+?
=。 【例9】（1）已知5
3
4sin =???
??-x π，则=x 2sin 。 【解析】257；=x 2sin 25753214sin 2122cos 2
2=??
? ???-=??? ??--=??? ??-x x ππ。
（2）已知4
1
4cos 43sin -=??? ??-??? ?
?
-
ππx x ，则=x 4cos 。 【解析】
21；414cos 43sin -=??? ??
-??? ?
?
-
ππx x ?414cos 24sin -=??? ??-??????-??? ?
?-πππx x 22sin 1222cos 1414cos 414cos 22x x x x +=?
?? ??
-+==??
? ??-?-=??? ??--?πππ212sin -=?x ，∴=x 4cos ()2121212sin 212
2=??
?
??-?-=-x 。
【例10】（1）【2008四川非延考理05】若πα20≤≤，ααcos 3sin >，则α的取值范
围是
。
A ．??? ??2,3ππ
B ．??? ??ππ,3
C ．??? ??3
4,
3π
π D ．??
?
??2
3,3π
π 【解析】C ；ααcos 3sin >
0cos 3sin >-?αα03sin >??? ?
?
-?πα
πππ
απ+<-
2，Z k ∈3
423
2π
παπ
π+
<<+
?k k ，Z k ∈，又∵πα20≤≤，∴∈α??
?
??34,3ππ。
（2）若3212cos 12sin 3=??? ??
++???
?
?+ππx x ，且02<<-x π，则=-x x cos sin
。
【解析】34-
；3212cos 12sin 3=??? ??++??? ??+ππx x 32612sin 2=??? ?
?++?ππx
314sin =
??? ?
?
+?πx ，
又
∵
2
<<-
x π
，∴
4
4
4
π
π
π
<
+
<-
x ，∴
3223114sin 14cos 2
2=??? ??-=??? ??+-=??? ??+ππx x 。∴=-x x cos sin ??? ?
?
-4sin 2πx
??? ??
+-=??????-??? ?
?+=4cos 224sin 2πππx x 34-=。
板块三 三角函数
【知识要求】
（1）定义：一般地，形如x y sin =，x y cos =，x y tan =的函数称为三角函数。 （2）图像
①由单位圆上的有向线段平移所得
②五点法
（3）图像变换
①同名函数之间进行变换；
②所有变换必须针对x 或y ；
③左加右减，“上正下负”。
（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称 【经典例题】
【例11】（1）作出函数??
?
?
?
+=32sin 2πx y 的图像。
法二：通过图像变换绘制。由x y sin =的图像，向左平移3
个单位，纵坐标不变横坐标变
为原来的2
1
，横坐标不变纵坐标变为原来的2倍。
（2）【2010江苏10】定义在区间??
?
??2,
0π上的函数x y cos 6=的图像与x y tan 5=的图像的交点为P ，过点P 作x PP ⊥1轴于点1P ，直线1PP
与x y sin =的图像交于点2P ，则线段
21P P 的长为
。
【解析】
3
2
；根据题意画出函数图像，显然线段21P P 的长度为x y sin =在1P 点处所对应的函数
值。记1P 点处的横坐标为0x ，则21P P 0sin x =。又有002
00s in 6
5
c o s t a n 5c o s 6x x x x =?=，又因为
1c o s s i n 02
02=+x x ，所以
23
sin 1sin 65sin 0002-=?=+x x x （舍）或
3
2
sin 0=x 。
【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数
()()R x x A y ∈+=?ωsin 在区间??
?
???-65,6ππ上的图像，为
了得到这个函数的图像，只要将()R x x y ∈=sin 的图像上
所有的点 。
(A)向左平移
3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(B) 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【解析】A ；由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是
()?+=x y 2sin 。代入???
??1,12π可得?的一个值为
3π，故函数的一个表达式为??? ?
?
+=32s i n πx y ，所以只需将()R x x y ∈=sin 的图像上所有的点向左平移3π个单位长
度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变。
（2）【2005天津理08】要得到y x =的图像，只需将函数24y x π?
?=+ ??
?的图像
上所有的点的
。
A 、横坐标缩短到原来的
1
2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8
π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的1
2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4
π个单位长度
C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π
个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8
π
个单位长度
【解析】C ；cos y x =的周期是24y x π?
?=
+ ??
?的周期的2倍，从周期的变化上知
道横坐标应该伸长。排除A 、B 。24y x π?
?+ ???的横坐标伸长2倍后变成了
14y x π??=+ ???，将y x =化成正弦形式为22y x π?
?=+ ??
?，根据口诀“左加
右减”得2y 由1y 向右移动
4
π
。
【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数
()sin (0,)2
y x π
ω?ω?=+><
的部分图像如图所示，
则
。
A ．1=ω 6
π
?= B ．1=ω 6
π
?-
= C ．2=ω 6π
?=
D ．2=ω 6π
?-
=
【解析】D ；22413127=?=?=-ωπω
π
ππT ，所以()()?+=x x f 2sin ，又因为
13=??
?
??πf ，所以??? ??<-=?=???
??+26132sin π?π??π。 （2）【2009浙江理08】已知a 是实数，则函数()ax a x f sin 1+=的图像不可能．．．是
。
【解析】D ；D 选项：122=
a a
T ππ
，而由图像的振幅可得1>a 两者相互矛盾。
【例14】（1）【2010浙江理11】函数2()sin(2)4
f x x x π
=--的最小正周期是______。
【解析】π；
()22cos 22cos 222sin 22-+-=
x x x x f 22cos 2
2
2sin 22-+=x x 242sin -??? ?
?
+=πx ，故最小正周期为π。
（2）【2010北京理15改编】函数()x f 2
2cos2sin 4cos x x x =+-的最大值为______，最
小值为______。 【解析】6，3
7-
；22()2(2cos 1)(1cos )4cos f x x x x =-+--=2
3cos 4cos 1x x --
=227
3(cos )3
3x --
，x R ∈。因为cos x ∈[1,1]-，所以，当cos 1x =-时，()f x 取最大值6；当2cos 3x =时，()f x 取最小值7
3-。
（3）【自编】函数x x x x y cos sin cos sin +-=，???
?
?
?∈65,12ππx 的值域为______。 【解析】??
?
???-1,81；令??? ??-=
-=4s i n 2c o s s i n πx x x t ，当??
?
???∈65,12ππx 时，
4π
-x ???
???-∈127,6ππ，则??
????-∈2,22t 。 又有2
1cos sin cos sin 212
2
t x x x x t -=?-=，
则原函数可化为()11212121212
22+--=++-=?-+=t t t y t t y ，当??????-∈2,22t 时，???
???-∈1,2241y ，故函数的值域为????
??-1,224
1。 【例15】（1）【自编】已知函数()x x x f 2
sin 22sin -=，R x ∈
（ⅰ）求函数的值域；
（ⅱ）求函数的最小正周期； （ⅲ）求函数的单调性；
（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；
【解析】()142sin 212cos 2sin sin 22sin 2
-??? ?
?
+=
-+=-=πx x x x x x f
（ⅰ）R x ∈ ，∴42π
+
x R ∈，??? ?
?
+42sin πx []1,1-∈，()[]
12,12---∈x f ，即值
域为[]
12,12---。 （ⅱ）ππ
==
2
2T ，即最小正周期为π。 （ⅲ）函数的增区间为?????
?
+-∈???????+-∈+
8,8322,2242πππππππππ
k k x k k x 函数的减区间为??
?
??
?
++∈???????
++∈+
85,82
32,2242πππππππππ
k k x k k x
【注】在下列区间内函数??
?
??-=
x y 24sin 2π单调递减的是___ ___。
A ．???
??
?-
4,4ππ
B ．???
??2,
0π C ．???
??
?-
8,8ππ
D ．???
?
?43,2ππ 【解析】C ；此题的函数为复合函数，在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特
别需要注意函数的复合形式。 令x t 24
-=
π
，t u sin =，u y 2=，可见函数x t 24
-=
π
单调递减，u y 2=单调递增，
则要求整个函数的减区间，只要t u sin =单调递增即可。所以??
?
??
?+
-
∈22,2
2πππ
πk k t ，即
x 24-π
?????
?
+-∈22,22ππππk k ??????+-∈?83,8ππππk k x ，Z k ∈。显然备选答案C 是上
述区间的一个子区间。 （ⅳ）对称轴：4
2π
+x ?+
=2
π
πk 8
2π
π+=
k x ，Z k ∈ 对称中心：4
2π
+
x 82πππ-=
?=k x k ，所以对称中心为??
?
??--1,82ππk ，Z k ∈。 （2）【自编】下列命题 ①函数()???
?
?
-
=42sin 2
πx x f 的最小正周期是2
π
； ②函数()x x x f cos sin 2=在（4π，2
π
）上是递增的； ③函数??
?
?
?-
=62tan πx y 的图像关于点??
?
??0,3π中心对称； ④函数??? ?
?
--???
?
?+
=4sin 4sin 22
ππx x y 是奇函数。 其中正确命题的序号为
。
【解析】①③④；
①()??? ?
?-=42sin 2πx x f 2142cos 21224cos 1+??? ??--=?
?? ??
--=
x x ππ214sin 21+-=x ，故最小正周期==
42πT 2
π
；②()x x x f c o s s i n 2=x 2s i n =，函数的递增区间为
4
4
2
222
2π
ππ
ππ
ππ
π+
<<-
?+
<<-
k x k k x k ，即∈x ??
?
?
?
+
-
4,4
πππ
πk k ，Z k ∈，
而??? ?
?
+-????
??4,42,4ππππππk k ，Z k ∈；③对称中心：124262ππππ+=?=-k x k x ，
Z k ∈，当1=k ，3
π
=
x ，所以点??
?
??0,3π为函数的对称中心；④??? ??--??? ??+=4sin 4sin 22ππx x y -??? ??-=x 4cos 2π??? ??-4sin 2πx x
x 2sin 22cos =??
?
??-=π，所以函数为奇函数。
【例16】（1）【2003天津文21】已知函数)0,0)(sin()(π?ω?ω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图像关于点)0,43(
πM 对称，且在区间]2
,0[π
上是单调函数。求ω?和的值。 【解析】 函数()x f 是R 上的偶函数，∴()10±=f ，即1sin ±=?，又 π?≤≤0，则2
π
?=
；
函数关于点)0,43(
πM 对称，∴024
3sin 043=??? ??+?=??? ??πωπ
πf
函数243043cos ππωπωπ+=?=??
?
???k 3234+=?k ω，Z k ∈；
在区间]2
,0[π
上是单调函数，∴πωππ≥?
≥222T ，又 0>ω，∴2≤ω； 综上，2
π
?=
，3
2
=
ω或2=ω，经检验以上两组答案均满足题意。 【注】此题为逆向问题，告诉三角函数()?ω+=x A y sin 的相关性质，求解参量。对于此类问题总结如下：
1、 已知()M x f =0?直接代入；
2、 已知奇偶性：()()()
()()()
???=-±=?-=-=?0000)2(;0)1()2(;00)1(x f x f A f x f x f f 偶函数奇函数
3、 已知对称 轴对称：
关于0x x =轴对称()A x f ±=?0或()()0000??-=+x f x f 在同一周期内()()b f a f = ?A b a f ±=??
?
??+2
中心对称： 关于点()0,0x 中心对称()00=?x f 或()()0000??--=+x f x f
在同一周期内()()b f a f -= ?02=??
?
??+b a f
4、 已知周期002T T T =?
=ω
π
5、 已知单调特性T ?
6、 已知最值或最值分布情况?振幅或周期
提醒：因为以上结论均非充要条件，故解完此类问题，需代回原函数进行检验。 （2）【2008辽宁理16】已知()sin()(0),()()363
f x x f f π
ππ
ωω=+
>=，且()f x 在区间
(,)63
ππ
有最小值，无最大值，则ω＝__________。
【解析】
3
14
；因为??
?
??=??? ??36ππf f ，且()f x 在区间(,)63ππ有最小值，无最大值，所以
134
sin 14-=??? ??+?-=??? ??πωπ
πf 2234πππωπ-=+?k 3108-=?k ω，Z k ∈；
进一步挖掘函数()f x 在区间(
,)63
ππ
有最小值，无最大值，有3262π
ωππ≥?
≥T ，又因为0>ω，所以6≤ω；
综上，3
14
=
ω。经检验满足题意。 板块四 反函数
【知识要求】
1.1定义：若函数()x f y =的定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素0y 在A 中有唯一确定的元素0x 与之对应，则函数()x f y =存在反函数，即为()x f
y 1
-=，否则不存在反
函数。
1.2存在反函数的前提条件：一一映射。
1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换 1.4互为反函数的两函数的性质：
①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。
②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。 ③原函数与反函数关于直线x y =对称。 1.5反三角：
①反三角公式：()x x arcsin arcsin -=-，()x x arccos arccos -=-π
()x x arctan arctan -=-，()x arc x arc cot cot -=-π
2
cot arctan arccos arcsin π
=
+=+x arc x x x
()()()()x x arc x x x ====cot cot arctan tan arccos cos arcsin sin
当???
??
?-
∈2,2ππx 时，()x x =sin arcsin
当[]π,0∈x 时，()x x =cos arccos
当??
?
??-
∈2,2ππx 时，()x x =tan arctan
当()π,0∈x 时，()x x arc =cot cot
②反三角函数的图像和性质
【经典例题】
【例17】（1）函数()022
≤-=x x x y 的反函数为
。
【解析】()111
+-
=-x x f
，[)+∞,0；()1122
2--=-=x x x y ，当0≤x 时，函数的值
域为[)+∞,0。∴11+-=-y x ，则11+-=y x ，∴反函数为()111+-=-x x f ，
[)+∞∈,0x 。
（2）【1992全国理】函数2
x x e e y --=的反函数为
。
A ．奇函数，且在()+∞,0单调递减
B ．偶函数，且在()+∞,0单调递
C ．奇函数，且在()+∞,0单调递增
D ．偶函数，且在()+∞,0单调递增
【解析】C ；原函数定义域为R 关于原点对称，且有()()x f e e x f x
x -=-=--2
，故原函
数为奇函数，∴反函数也为奇函数。∵函数x
e y =在()+∞,0单调递增，函数x
e
y -=在
()+∞,0单调递减，∴函数2
x
x e e y --=在在()+∞,0单调递增，∴反函数在()+∞,0上也单调
递增。
（3）【2004全国理15】已知函数()x f y =是奇函数。当0≥x 时，()13-=x
x f ，设()
x f 的反函数是()x g y =，则()=-8g
。
【解析】2-；原函数为奇函数，则反函数也为奇函数，故()=-8g ()8g -，令813=-x
，解得2=x ，∴()=-8g 2-。
【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：31sin -=x ，??
?
???∈23,ππx ，则x 等于
。
A ．??
?
??-31arcsin B ．31
arcsin +π C ．31arcsin -π D ．3
1
arcsin 2-π
【解析】B ；
（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若??
?
???-∈32,3ππx ，则()x cos arcsin 的取值范围是
。
【解析】??????-
2,6ππ；∵??????-∈32,3ππx ，∴??
?
???-∈1,21cos x ，根据x y arcsin =的图像可
得()x cos arcsin ∈??
????-
2,6ππ。 板块五 解三角
【知识要求】 （1）解三角工具
1.1解三角问题：a 、b 、c 、A 、B 、C 、l 、S ，已知部分量，求解其它量的问题 1.2解三角工具
①π=++C B A ，l c b a =++
②()()()c p b p a p p rl C ab ah S ---====
2
1
sin 2121 r 为内切圆半径，2
c
b a p ++=
③正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，R 为外接圆半径
变形： 1）C B A c b a sin :sin :sin ::=
2）R C
B A c b a
C B c b A a 2sin sin sin sin 2sin 2sin =++++=--=
适用情况：1）两角一边；2）两边一对角
④余弦定理：bc a c b A 2cos 222-+=，ac
b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 2
22-+=
变形：A bc c b a cos 22
2
2
-+=，B ac c a b cos 22
2
2
-+=，C ab b a c cos 22
2
2
-+= 适用情况：1）三边；2）两边一夹角
⑤三角形内的诱导公式
()C B A sin sin =+，()C B A cos cos -=+，()C B A tan tan -=+
2cos 2sin
C B A =+，2sin 2cos C B A =+，2cot 2tan C B A =+，2
tan 2cot C
B A =+ ⑥三角形内的不等关系：
1）大边对大角，大角对大边；