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2014高考数学辅导《数列》

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例（1）已知*

()156

n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 取得最大项时n= __最大项是__（答：12或13，125

）；

（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；

（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，

且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=

，1(1)

n n n S na d -=+

。（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，

3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

例：1、设{}n a 是等差数列，求证：以b n =

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}

n b 为等差数列。

2、等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；

3、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

d <≤） 4、数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则1a ＝＿，

n ＝＿（答：13a =-，10n =）；

5、已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 3.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a +=.

(4) 若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、

*{}(,)p nq a p q N +∈、232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，而{}n

a a 成等比数列；

若{}n a 是等比数列，且0n a >，则{lg }n a 是等差数列.

（5）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n +时，S S a -=奇偶中，(1)S n a =+?奇中，S n a =?偶中（这里a 中即1n a +）

；:(1):S S n n

=+奇偶

。

（6）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且

()n

A f n

B =，则21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. (7)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组

???

? ?????≥≤???≤≥++000011n n n n a a a a 或确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*n N ∈。上述两种

方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

例（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；

（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则（A ）1210,S S S 都小于0，1112,S S 都大于0

（B ）1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 （C ）125,S S S 都小于0，67,S S 都大于0

（D ）12

20,S S S 都小于0，2122,S S 都大于0 （答：B ）

（3）等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。（答：225）

（4）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；

（5）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

（6）设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

3-+=

n n T S n n ，那么=n n b a ___________（答：6287n n --）（7）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

（答：前13项和最大，最大值为169）；

（8）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（答：4006）

4.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法1(n n a q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11

n n n n a a

a a +-=

(2)n ≥。

（2）等比数列的通项：11n n

a a q -=或n m n m a a q -=。

（3）等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)

1n n a q S q

-=-

11n a a q q

-=-。

特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

（4）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任

何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab ±。如已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及

n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，

即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，

22,,,,a a a aq aq q q ...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (3)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。

例（1）设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比

q . （答：6n =，1

q =

或2）

（2）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：

）；（3）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝

是等比数列。

（4）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；（5）

)(1010

∑∑==n n

k k n

的值为_____；_____（答：2046）

（5）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a =.

(2) 若{}n a 是等比数列，则{||}n a 、*

{}(,)p nq a p q N +∈、{}n ka 成等比数列；若

{}{}n n a b 、成等比数列，

则{}n n a b 、{}n n

b 成等比数列；若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列。当1q =-且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若

10,01a q ><< ，

则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

(4) 当1q ≠时，b aq q

q q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，

这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数

列。

(5) m n m n m n n m S S q S S q S +=+=+.

(6) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，

1S a qS =+奇偶.

(7)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

例（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；

（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若

569

a a ?=，则

313

23l o g l o g l o g a a a +++

= （答：10）。

例（1）已知0a >且1a ≠，若数列{a n }满足log a x n+1=1+log a x n 设数列{}n x 满足(*)n N ∈，且12100100x x x ++

+=，则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）；

（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

例若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝（答：－1）

例设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

例设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ），关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、2，

则{}n a 是等差数列；③若()n

n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是（答：②③）

6.数列的通项的求法：

?公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例已知数列 ,32

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式：__________（答：1

212n n a n +=++

）

?已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：{11

,(1)

,(2)n n n S n a S S n -==-≥。

例①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{3,12,2

n a n ==≥）；

②数列{}n a 满足

12211

12522

2n n

a a a n +++

=+，求n a （答：{

114,1

2,2n n n a n +==≥）

?已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =??=?

≥?-?。例数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：6116

）

?若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

1a +(2)n ≥。

例已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--111(2)n ≥，则n a =________（答：

121n a n =+-+）

?已知

()n n

a f n a +=求n a ，用累乘法：12

1121

n n n n n a a a a a a a a ---=??

?(2)n ≥。例已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，求n a （答：4

(1)

n a n n =+）

?已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如

1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

例①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=-）；

②已知111,32n n n a a a -==+，求n a （答：11532n n n a -+=-）；

（2）形如1

1n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例①已知1

111,31

n n n a a a a --==+，求n a （答：132n a n =-）

；②已知数列满足1a =1，11n n n n a a a a ---=

，求n a （答：21

n a n

）

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。例数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=

，求n a （答：{

4,134,2n n n a n -==≥）

（3）若数列{}n a 满足a （n+T ）=a n 恒成立则数列是周期为T 的周期性数列 7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：

1123(1)2n n n +++

+=+，222112(1)(21)6

n n n n +++=++，

33332

(1)123[]2

n n n +++++=.

例（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2

232221n a a a a ++++ ＝_____（答：

413

n -）；

（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，如2)1101(表

示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=?+?+?+?，那么将二进制

20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

例求：1357(1)(21)n n S n =-+-+-

+--（答：(1)n n -?）

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.

例①求证：012

135(21)(1)2n

n n n n n C C C n C n ++++

++=+?；

②已知2

()1x f x x

=+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______（答：72

）

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

例（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；②122n n T n +=--）；

（2）设函数)1(4)()1()(2

-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：12,()n a f a =(n a =-

))(()1++∈N n a g a n n ，

①求证：数列}1{-n a 是等比数列；

②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-(1)n n a x +

+-，求函数)(x h 在点3

x 处的导数)38(h '，并比较)38(h '与n n -22的大小。（答：①略；②8()(1)213n h n '=-+，当1n =时，)38(h '＝n n -22；当2n =时，)38(h '

(h '>n n -22）

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k

=-++； ③

1(1))((1b n a n a b b n a n +-+-=++ ④22

11111

()1211

k k k k <=---+，

⑤

211111111(1)(1)1k k k k k k k k k

-=<<=-++--； ⑥1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑦ 11(1)!!(1)!

n n n n =-++； ⑧ 22211n

n n ?-?-，⑨若0,0a b m >>>，则b b m a a m

+<+

⑩2122(1)2(1)11

n n n n n n n n n +-=

<<=--+++-. ⑾!(1)!!n n n n ?=+-

自己构造吧

例（1）求和：111

1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：31

n n +）；

（2）在数列{}n a 中，1

1++=

n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

如①求数列1×4，2×5，3×6，…，(3)n n ?+，…前n 项和n S = （答：

(1)(5)

n n n ++）；

②求和：111112123

123n

+++

=++++++

+ （答：

n +）

8. “分期付款”、“森林木材”型应用问题

(1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

(2)利率问题：①单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p 元，每期利率为r ，则n 期后本利和为：(1)(12)(1)n S p r p r p nr =+++++

(1)

()2

n n p n r +=+

（等差数列问题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，分n 期还清。如果每期利率为r （按复利），那么每期等额

还款x 元应满足：12

(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++（等比数列问题）.

自主攻擂体验真题

例1；山东（本小题满分12分）

设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2，a 2n =2a n +1 （1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）设数列｛b n ｝的前n 项和T n ，且T n +

n n

a + = λ（λ为常数），令c n =

b 2n ，（n ∈N ?）.

求数列｛c n ｝的前n 项和R n .

例2；江西（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和kn n S n +-=2

1，*N k ∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ；（2）求数列}229{

a -的前n 项和T n 。本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用

(1),

n n n S n a S S -=?=?

-?来实现n a 与n S 的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意1n n n a S S -=-不能用来求解首项1a ，

首项1a 一般通过11a S =来求解.运用错位相减法求数列的前n 项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.

例3；2013.广东（本题满分14分）

设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足12211+-=++n n n a S ，n ∈N ﹡

,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．

（1）求a 1的值；

（2）求数列{a n }的通项公式．（3）证明：对一切正整数n ，有2

11121<+++n a a a .

例4．（本题满分14分）

设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2144

1,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列．

(1) 证明：2145a a =

+；(2) 求数列{}n a 的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数n ，有

1223

11111

n n a a a a a a ++++

<．本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知n S 求n a ，{}n a 是等差数列，第（3）问只需

裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成1n =，2n ≥来做后，不会求1a ，没有证明1a 也满足通项公式.

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

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、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b