第八章 多元函数微分学 第一节 基本概念、定理与公式 一、二元函数的定义及定义域 1 二元函数的定义
定义1 设x ，y ，z 是三个变量．如果当变量
x ，y 在在一定范围D 内任意取定一对数值时，变量
z 按照一定的法则f 总有确定的数值与它们对应，则称变量z 是变量x ，y 的二元函数，记为(,)z f x y =.
其中x ，y 称为自变量，z 称为因变量.自变量x ，y 的取值范围D 称为函数的定义域.
二元函数在点()00,x y 所取得的函数值记为
00
x x y y
z ==，00(,)x y z 或00(,)f x y 2 二元函数的定义域
二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．
整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．
不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区
域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．
能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．
开区域如: {
}22
(,)14x y x y <+<
闭区域 如:
{}2
2
(,)14x y x
y ≤+≤
注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．
例1 求下列函数的定义域，并画出的图形．
(1)ln z = （2）arcsin()z
x y =+
解（1） 要使函数有意义，应有
22
10x y --> 即2
2
1x y +<，定义域为有界开区域{
}22(,)1x y x y +< （2）要使函数有意义，应有1x y +≤，即
x
11x y -≤+≤
定义域为无界闭区域{}(,)11x y x y -≤+≤ 3 二元函数的几何意义
设(,)P x y 是二元函数(,)z f x y =的定义域D 内的任一点,则相应的函数值为(,)z f x y =,有序数组x ，
y ，
z
确定了空间一点(,,)M x y z ,称点集
{}(,,)(,),(,)x y z z f x y x y D =∈为二元函数的图形. 二
元函数(,)z f x y =的图形通常是一张曲面.
注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.
二、二元函数的极限与连续 1．二元函数的极限
以点000(,)P x y 为中心，
δ为半径的圆内所有点的集
合{}22
00
(,)()()x y x x y y δ-+-<称为点0P 的δ邻域，记作0(,)U P δ．
定义 2 设二元函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义（点0P 可以除外）,点(,)P x y 是该领域内异于0P 的任意一点．如果当点(,)P x y 沿任意路径趋于点000(,)P x y 时,函数(,)f x y 总无限趋于常数A ，那么称A 为函数(,)z f x y =当
00(,)(,)x y x y →时的极限，记为 0
lim (,)x x y y f x y A →→= 或 00(,)(,)
lim
(,)x y x y f x y A →=
说明：（1）定义中0P P →的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.
（2）倘若沿两条不同的路径，0
lim (,)x x
y y f x y →→不相等，则可断定0
lim (,)x x
y y f x y →→不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.
例2 求极限22200
sin()
lim x y x y x y →→+
解 22200
sin()lim x y x y x y →→+2222200
sin()lim x y x y x y x y x y →→=+
其中
222
1
2
x y x x y ≤+ 222
00
sin()
lim 0x y x y x y →→∴=+ 例3 证明 36200
lim x y x y
x y →→+不存在．
证明：设3
y kx =，则36200
lim x y x y x y →→+6
626200
lim 1x y kx k x k x k →→==++其
值随k 的不同而变化，故极限不存在．
确定极限不存在的方法：（1）令点(,)P x y 沿y kx =趋向于000(,)P x y ，若极限值与k 有关，则(,)f x y 在点000(,)P x y 处极限不存在;
（2）找出两种不同趋近方式，使00
lim (,)x x y y f x y →→存在，但
两者不相等，则此时(,)f x y 在点0
(,)P x y 处极限不存在;
2．二元函数的连续性
定义3 设函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 的某一邻域内有
定义，如果0
lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=,则称函数(,)f x y 在点0
(,)
P x y 处连续.
定义 4 设函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 的某一邻域内
有定义，分别给自变量x ，y 在0
x ，0
y 处以增量x ?，y ?，
得全增量
0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-
如果极限
lim 0x y z ?→?→?=
则称(,)z f x y =在0
(,)P x y 处连续．
如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点都连续,则称函数(,)f x y 在区域D 内连续.
如果函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 不连续，则称点
000(,)P x y 是函数(,)f x y 的间断点.
例4 求23
lim x y x y xy
→→+．
解 因为函数(,)x y f x y xy
+=是初等函数,且点(2,3)在该函
数的定义域内,故23
5lim (2,3)6
x y x y f xy →→+==.
例5 讨论函数22
22
22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
的连续性．
解 当(,)(0,0)x y ≠时，(,)f x y 为初等函数,故函数在
(,)(0,0)
x y ≠点处连续.当
(,)(0,0)
x y =时，由例6知
lim (,)x y f x y →→=22
lim x y xy
x y →→+不存在,所以函数(,)f x y 在点(0,0)
处不连续，即原点(0,0)是函数的间断点．
3．有界闭区域上连续函数的性质
性质1（最值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．
性质2（介值定理） 在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．
三、偏导数 1.偏导数的定义
定义5 设函数(,)z f x y =在0
(,)P x y 的某邻域内有定义,
固定0
y y =,在0
x 处给自变量x 以增量x ?,相应地得到函
数z 关于x 的得增量(称为偏增量):
0000(,)(,)x z f x x y f x y ?=+?-
如果极限00000
(,)(,)
lim lim
x
x x z f x x y f x y x
x
?→?→?+?-=??
存在, 则称此极限值为函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 处对x 的偏导数,记为
00
x x y y z x
==??，00
x x y y f
x
==??，00
x x x
y y z =='
或0
(,)x
f x y '.
类似地,函数(,)z f x y =在点0
(,)x y 处对y 的偏导数定义为:
00000
(,)(,)
lim
lim
y y y z f x y y f x y y
y
?→?→?+?-=??，
记为
00
x x y y z y
==??，00
x x y y f
y
==??，00
x x y y y z =='
或0
(,)y
f x y '.
例6 求2
23z x xy y =++在点(1, 2)处的偏导数.
解 把
y
看成常数,得
23z
x y x
?=+?，则
12
21328x y z x
==?=?+?=?；
把x 看成常数,得32z x y y
?=+?，则12
31227x y z
y
==?=?+?=?.
例7 求函数(,)arctan x f x y y
=的偏导数．
解:222
111z y x
y x y x y ?=
=?+??+ ???
，2222
1
1z x x
x
y x y x y ???-=
-= ??+????+ ???
例
8
设u =2
2
2
1u u u x y z ?????????
++= ? ? ????????
??. 证明：因为u x x
u
?=?，u y y
u
?=?，u z z u
?=?，
所以
2
2
2
22222
21u u u x y z u x y z u u ?????++????
++=== ? ? ????????
?? 例9 已知理想气体的状态方程PV=RT (R 为常数).求证：1P V T V T P
?????=???
证: 因为RT P V
=,2
P RT V
V
?=-?；RT V P =, V
R
T
P ?=
?；PV T R
=,
T V
P R
?=?.所以
P V T V T P ????????2RT V ??=- ???R P ?1V RT
R PV
?=-=-．
注：偏导数的记号z x
??,z y
??是一个整体,不能看成微
商,否则导致运算错误．
例10 求
2222
22,0(,)0,0xy
x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
在点(0,0)处的偏
导数.
解:
22
000
0(0,0)(0,0)()0
(0,0)lim lim 0x x x x f x f x f x x
?→?→??-+?-?+===?? 22
000
0(0,0)(0,0)()0
(0,0)lim lim 0y y y y f y f y f y y
?→?→??-+?-?+===??. 注意: (1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．
(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求． (3)由偏导数的概念可知，(,)f x y 在点0
(,)x y 处关于x
的偏导数0
(,)x
f x y '显然就是偏导数(,)x
f x y '在点00
(,)x y 处的
函数值；
00(,)
y f x y '是偏导数
(,)
y f x y '在点0
(,)x y 处的函数
值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．
2.偏导数的几何意义：设0
(,,(,))P x y f x y 为曲面
(,)z f x y =上的一点，过0P 作平面0y y =截此曲面(,)z f x y =得
一曲线，其方程为0
(,)z f x y =，则导数0
(,)x
f x y '就是曲线
0(,)z f x y =在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线对x 轴的斜率（设切
线与x 轴的倾斜角为α，则0
(,)tan x
f x y α'=）．
同样，偏导数0
(,)y
f x y '是曲面(,)z f x y =与平面0
x x =的
交线在点0
(,,(,))P x y f x y 处的切线对y 轴的斜率（设切线
与y 轴的倾斜角为β，则0
(,)tan y
f x y β'=）．
3、高阶偏导数
函数(,)z f x y =的两个偏导数(,)x
z f x y x
?'=?，(,)y
z
f x y y
?'=?它们
都是x ，y 的二元函数,如果这两个函数关于x ，y 的偏导数也存在, 即
z x x ???? ?????，z y x ????
?
????
，z x y ???? ?????，z y y ???? ?????，称它们为二元函数(,)z f x y =的的二阶偏导数．二元函数的二元偏导数最多有4个．将
z x x ????
?????表为22z x
??或(,)xx
f x y ''或xx
z ''；
z y x ????
?????
表为2z x y ???或(,)xy f x y ''或xy z ''； z x y ???? ?????表为2z
y x
???或(,)yx f x y ''或yx z ''；
z y y ???? ?????表为22z y
??或(,)yy
f x y ''或yy
z ''．
其中，2(,)xy xy z z
f x y z y x x y
?????''''=== ???????，2(,)yx yx z z f x y z x y y x ?????''''=== ???????是二阶混合偏导数
类似地,二阶偏导数的偏导数，称为原来函数的三阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的三阶偏导数最多有8个：
xxx
f '''，xxy f '''，xyx f '''，xyy f '''，yxx f '''，yxy f '''，yyx f '''，yyy f ''' 一般地，1n -阶偏导数的偏导数，称为原来函数的n 阶偏导数，二元函数(,)z f x y =的n 阶偏导数最多有2n
个．
二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而z
x
??和z y
??称为函数的一阶偏导数．
注：二阶偏导数的计算方法是逐次求偏导数． 定理１（求偏导数次序无关的定理） 如果函数
(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ???，2z
y x
???在区域D 内连续,则对任何(,)x y D ∈有
2z x y ???2z y x
?=??. 即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．
4.全导数的定义
设(,)z f u v =，()u t ?=，()v t ψ=，且f 、?、ψ均可导，则关于t 的一元函数[(),()]z f t t ?ψ=也可导，且有
dz f du f dv
dt u dt v dt
??=+
?? z 对t 的导数叫全导数．
四、全微分
1.定义 设函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 的某邻域内有
定义,给x ，y 在0
(,)x y 分别以增量x ?、y ?，相应地得到
函数的全增量z ?，若其可表示为
()z A x B y o ρ?=?+?+
其中A 、B 与x ?、y ?
无关．ρ=
．()o ρ为0x ?→，
0y ?→时ρ的高阶无穷小．则称函数(,)f x y 在000(,)P x y 处可
微．A x B y ?+?称为(,)f x y 在0
(,)P x y 处的全微分，记为
00(,)(,)x y dz df x y A x B y ==?+?
当
(,)z f x y =在000(,)
P x y 可
微时，
00
00(,)
x x x y y z A f x y x
==?'=
=?,
00
00(,)
y x x y y z B f x y y
==?'=
=?，
于
是
000
(,)x y x x x x y y y y z z
dz x y x y
====??=
?+???
注意：规定自变量的增量等于自变量的微分，即
x dx ?=，y dy ?=，则全微分又可记为z z
dz dx dy x y
??=
+??. 五、二元函数的连续、偏导数及全微分之间的关系
定理2 若函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则函数在点(,)P x y 连续．
定理3 （可微的必要条件）如果函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处可微，则在该点处的两个偏导数z x
??、z y
??必都
存在，且z z dz dx dy x
y
??=+??．
定理4 （可微的充分条件）若函数(,)z f x y =的两个偏导数z x
??、z y
??在点(,)P x y 的某领域存在，并且在点
(,)P x y 处连续，则函数(,)z f x y =在点(,)P x y 处必可微．
注：若(,)z f x y =在(,)P x y 处, z x
??、z y
??都存在,不能保
证(,)z f x y =在(,)P x y 处可微分.
例如：
22
22
22,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=?
在点(0,0)处(0,0)0x f =，
(0,0)0y f '=但它在点(0,0)处不可微分.
注：（1）关于二元函数全微分的定义及可微分的充分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数.
（2）函数(,)z f x y =的偏导数存在与否与函数是否连续毫无关系．
六、多元复合函数微分
定理(复合函数的偏导数)设函数(,)u x y ?=，(,)
v x y ψ=
在点(,)x y 处有偏导数，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处有连续偏导数,，则复合函数((,),(,))z f x y x y ?ψ=在点(,)x y 处的偏导数存在,且
z z u z v
x u x v x
?????=+
?????
z z u z v
y u y v y
?????=+
?????
七、隐函数微分
1.一元隐函数求导公式
方程 (,)0()F x y y y x =?=，(,())0F x y x ≡，链式图
两边对x 求导，得： 0F F dy x
y dx
??+?=??，
则x
y F
F dy x F dx F y
??=-=-?
?
2.二元隐函数求导公式
方程(,,)0(,)F x y z z z x y =?=得(,,(,))0F x y z x y ≡ 两边对x 求导：0F F z x
z x
???+?=???
两边对y 求导：0F F z y
z y
???+?=???
得
x z
F z
x F ?=-?
y z
F z
y F ?=-?
z
u v
x
y
F
x
y
x
7.2 偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间曲线()
()()x x t y y t z z t =??Γ=??=?
，
下面给出曲线Γ的切线的定义． 定义：设点0
000(,,)M
x y z 是空间曲线Γ上的一个定点，
M 是曲线Γ上的一个动点，当点M 沿着曲线Γ趋近于0
M 时，割线0
M M 的极限位置0
M T （如果存在）称为曲线Γ在
点0
M 的切线，并称过点0
M 而且垂直于切线0
M T 的平面
为曲线Γ在点0
M 的法平面．
下面推导曲线Γ在点0
M 的切线和法平面方程．
设对应于定点0
M 的参数为0
t ，令0
0()x
x t =，00()y y t =，
00()z z t =，则点0M 的坐标为000(,,)x y z ，设曲线Γ上对应于参
数为0
t
t +?的点M 的坐标为0
00(,,)x
x y y z z +?+?+?，根据解析
几何知识，割线0M M
的方向向量为{,,}x y z ???，也可取为
{
,,}x y z
t t t
??????，
当0t ?→时，点M 沿着曲线Γ趋于0M ，割线0M M 的极限位置就是曲线Γ在点0
M 的切线，若()x t ，()y t ，()z t 在0
t 处可导且导数不同时为零，那么此时切线的方向
向量为0
{(),(),()}x t y t z t '''，从而曲线Γ在点0
000(,,)M
x y z 处的切
线方程为
000
000()()()
x x y y z z x t y t z t ---==
'''
曲线Γ在点0
M 的法平面方程为
000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=
二、曲面的切平面与法线 设曲面方程为(,,)0F x y z =，过点0
000(,,)M
x y z 且完全在曲面上的曲线为Γ，其参数方程为()()()x x t y y t z z t =??
=??=?
，因此
((),(),())0F x t y t z t =．对t 求导，在0t t =处（即在点0M 处）有
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t ''''''++=
向量0
{(),(),()}x t y t z t '''是曲线Γ在点0
M 的切线的方向向量，
向量0
{(,,),(,,),(,,)}x
y
z
F x y z F x y z F x y z '''和这些切线垂直，又由
于所取曲线Γ的任意性，可知曲面上任意一条过0
M 的
曲线，它在点
M 的切线皆垂直于向量
000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''，因此这些切线应位于同一
平面上，这个平面称为曲面在点0
M 处的切平面，向量
000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z '''是切平面的法向量．
曲面在点0
M 处的切平面方程为
000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z '''-+-+-=
曲面在点0
M 处的法线方程为
000
000000000(,,)(,,)(,,)
x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---=='''． 7.3 二元函数的极值
一、二元函数的极值
定义1：设函数(,)z f x y =在点0
(,)P x y 的某个邻域内有
定义，若该邻域内
00(,)(,)
f x y f x y ≤，点0
(,)x y 为极大点，
00(,)
f x y 为极大值；
00(,)(,)f x y f x y ≥，点00(,)x y 为极小点，00(,)f x y 为极小值.极小
值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值通称为极值． 定义2：方程组(,)0
(,)0x y
f x y f x y '=??'=?的解，称为函数(,)z f x y =的
驻点．
定理1（取极值的必要条件）：若函数(,)z f x y =在点
000(,)P x y 一阶偏导数存在，且000(,)P x y 是(,)z f x y =的极值点，则该点的偏导数必为零，即0000
(,)0
(,)0x y f x y f x y '=??'=?．
定理2（极值存在的充分条件）：设点0
(,)P x y 是函
数(,)z f x y =的驻点，且函数在点0
(,)P x y 的某邻域内二阶
偏导数连续，令
00(,)xx
A f x y ''= 00(,)xy
B f x y ''= 00(,)yy
C f x y ''= 则 (1)当2
0B
AC -<时,点000(,)P x y 是极值点,且（i ）当
0A <(或0C <)时,点000(,)P x y 是极大值点；(ii)当0A >(或0C >)时,点000(,)P x y 是极小值点.
（2）当2
0B
AC ->时，点000(,)P x y 不是极值点. （3）当2
0B
AC -=时，点000(,)P x y 可能是极值点也可
能不是极值点.
例1 求函数3
22(,)421f x y x
x xy y =-+-+的极值.
解: （1）求偏导数2
(,)382x f x y x
x y '=-+，(,)22y f x y x y '=-，
(,)68xx
f x y x '=-，(,)xy f x y y '=，(,)2yy f x y '=-
（2）解方程组2
(,)3820
(,)220x y f x y x x y f x y x y '?=-+=??'=-=??
得驻点(0,0)及
(2,2)
在(0,0)处，8A =-,2B =,2C =-,2
0B AC ?=-<
在(2,2)处，4A =,2B =,2C =-,2
0B
AC ?=->
结论： 函数在(0,0)处取得极大值(0,0)1f =，在(2,2)无极值.
注意：对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一个偏导数不存在的点.
二、条件极值与无条件极值 1.求二元函数无条件极值步骤如下： （1）求(,)x
f x y '，
(,)y f x y '，并解方程组(,)0(,)0x y
f x y f x y '=??'=?，求得所有驻点；
（2）对于每一个驻点(,)x y ，求出二阶偏导数的值
00(,)xx
A f x y ''=，00(,)xy
B f x y ''=，00(,)yy
C f x y ''=； （3）定出2
B
AC -的符号，利用极值存在的充分条
件判断驻点(,)x y 是否为极值点，若是，是极大值点还是极小值点，并求出极值．
2.求二元函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ?=下的极值的方法和步骤如下：
方法一：条件极值?无条件极值
（1）从约束条件(,)0x y ?=中求出()y x ψ=； （2）将()y x ψ=代入二元函数(,)f x y 中化为一元函数
(,())f x x ψ，变为无条件极值；
（3）求出一元函数(,())f x x ψ的极值即为所求． 方法二：条件极值不能转化为无条件极值（运用拉格朗日乘数法）.
(1)构造辅助函数(,,)(,)F x y f x y λ=(,)x y λ?+,称为拉格朗日函数,其中参数λ称为拉格朗日乘数；
(2)由(,,)F x y λ的一阶偏导数组成如下方程组：
(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)0
x x x
y y y F x y f x y x y F x y f x y x y x y λ?λ??'''=+=??
'''=+=??=?
（3）结上述方程组得驻点0
(,)x y ，则0
(,)x y 就是函数的极值点，依题意判断
00(,)
f x y 是极大值还是极小
值．上述方法即拉格朗日乘数法可平行地推广到多元函数、多个限制条件上去．
例 2 求表面积为2
a ，而体积为最大的长方体的
体积.
解：设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ，则长方体体积为V xyz =，约束条件为
22()xy yz xz a ++=
即2
(,,)2()0x y z xy yz xz a
?=++-=
构造辅助函数2
(,,)2()2
a F x y z xyz xy yz xz λ=+++-
解联立方程组2(,,)2()0(,,)2()0(,,)2()02()0x y
z F x y z yz y z F x y z xz x z F x y z xy x y xy yz xz a λλλ'=++=??'=++=??
'=++=??++-=?
解得
x y z ===
λ=
因为是唯一可能的极值点，所以由问题的实
际意义知3
max
36
V
a =
. 三、最值的求解
在有界闭区域D 上连续的函数一定在该区域D 上取得最大值和最小值，最值点可能在D 的内部也可能在D 的边界点上，如果假定函数在D 上连续，在D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）.因此在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数(,)f x y 在
D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值
和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值.但是这种做法并不简单，因为求函数在边界上的最大值和最小值一般来说仍然是相当复杂的，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数(,)f x y 的最大值（最小值）一定在D 的内部取得，而函数在D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
儿童多元智能理论 美国发展心理学家、哈佛大学教授加德纳（Howard Gardner）的多元智力（Multiple Intelligences）理论在当前美国教育改革的理论和实践中产生了广泛的积极影响，并且已经成为许多西方国家90年代以来教育改革的重要指导思想。在深化教育改革、全面推进素质教育的新形势下，探讨加德纳的多元智力理论及其对我国幼儿教育改革的积极意义是非常必要的。 一、多元智力理论的基本涵义 著名人物如丘吉尔、莫扎特、爱因斯坦、毕加索、麦克尔·乔丹、柏拉图和马丁·路德·金谁更’聪明’呢？加德纳的多元智力理论为我们提供了看待’聪明’问题的全新视角。 传统的智商（IQ）理论和皮亚杰的认知发展理论都认为智力是以语言能力和数理──逻辑能力为核心的、以整合方式存在的一种能力。而加德纳提出的多元智力理论在批评上述两种理论的基础上提出人具有多种智力、而且人的多种智力都与具体的认知领域或知识范畴紧密相关而独立存在。加德纳在1983年出版的《智力的结构》一书中提出了一个新的智力的定义，即’智力是在某种社会和文化环境的价值标准下，个体用以解决自己遇到的真正难题或生产及创造出有效产品所需要的能力’。加德纳的这一智力定义特别
强调了智力是个体解决实际问题或生产及创造出社会需要的产品的能力──在加德纳看来，智力并不是像传统的智力定义那样以语言能力和抽象逻辑思维能力为核心和衡量水平高低的标准，而是以能否解决现实生活中的实际问题或生产及创造出社会需要的产品的能力为核心和衡量水平高低的标准，即智力一方面是解决实际问题的能力，另一方面还是生产及创造出社会需要的产品的能力。 根据新的智力定义，加德纳提出了关于智力及其性质和结构的新理论──多元智力理论。也就是说，加德纳所谓的’个体用以解决自己遇到的真正难题或生产及创造出有效产品所需要的能力’，其基本性质是多元的──不是一种能力而是一组能力，其基本结构也是多元的──各种能力不是以整合的形式存在而是以相对独立的形式存在，如它们都有着不同的发展规律并使用不同的符号系统。在《智力的结构》一书中，加德纳指出了他所谓的多元智力框架中相对独立存在着的7种智力，这7种智力分别是（1）言语──语言能力、（2）音乐──节奏智力、（3）逻辑──数理智力、（4）视觉──空间智力、（5）身体──动觉智力、（6）自知──自省智力、（7）交往──交流智力。 根据加德纳的多元智力理论，作为个体，我们每个人都同时拥有上述相对独立的7种智力，我们每个人身上的这7种相对独立的智力在现实生活中错综复杂地、有机地以
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31,31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A 6．函数 在点 处具有两个偏导数 是函数存在全
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？
例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。）
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
多元智能理论介绍 八十年代，美国著名发展心理学家、哈佛大学教授霍华德·加德纳博士提出多元智能理论，二十多年来该理论已经广泛应用于欧美国家和亚洲许多国家的幼儿教育上，并且获得了极大的成功。霍华德·加德纳博士指出，人类的智能是多元化而非单一的，主要是由语言智能、数学逻辑智能、空间智能、身体运动智能、音乐智能、人际智能、自我认知智能、自然认知智能八项组成，每个人都拥有不同的智能优势组合。 1、语言智能（Linguistic intelligence） 是指有效的运用口头语言或及文字表达自己的思想并理解他人，灵活掌握语音、语义、语法，具备用言语思维、用言语表达和欣赏语言深层内涵的能力结合在一起并运用自如的能力。他们适合的职业是：政治活动家，主持人，律师，演说家，编辑，作家，记者，教师等。 2、数学逻辑智能(Logical-Mathematical intelligence ) 是指有效地计算、测量、推理、归纳、分类，并进行复杂数学运算的能力。这项智能包括对逻辑的方式和关系，陈述和主张，功能及其他相关的抽象概念的敏感性。他们适合的职业是：科学家、会计师、统计学家、工程师、电脑软体研发人员等。 3、空间智能( atial intelligence ) 是指准确感知视觉空间及周周一切事物，并且能把所感觉到的形象以图画的形式表现出来的能力。这项智能包括对色彩、线条、形状、形式、空间关系很敏感。他们适合的职业是：室内设计师、建筑师、摄影师、画家、飞行员等。 4、身体运动智能( odily-Kinesthetic intelligence ) 是指善于运用整个身体来表达思想和情感、灵巧地运用双手制作或操作物体的能力。这项智能包括特殊的身体技巧，如平衡、协调、敏捷、力量、弹性和速度以及由触觉所引起的能力。他们适合的职业是：运动员、演员、舞蹈家、外科医生、宝石匠、机械师等。 5、音乐智能( Musical intelligence ) 是指人能够敏锐地感知音调、旋律、节奏、音色等能力。这项智能对节奏、音调、旋律或音色的敏感性强，与生俱来就拥有音乐的天赋，具有较高的表演、创作及思考音乐的能力。他们适合的职业是：歌唱家、作曲家、指挥家、音乐评论家、调琴师等。 6、人际智能( Interpersonal intelligence) 是指能很好地理解别人和与人交往的能力。这项智能善于察觉他人的情绪、情感，体会他人的感觉感受，辨别不同人际关系的暗示以及对这些暗示做出适当反应的能力。他们适合的职业是：政治家、外交家、领导者、心理咨询师、公关人员、推销等。 7、自我认知智能(Intrapersonal intelligence) 是指自我认识和善于自知之明并据此做出适当行为的能力。这项智能能够认识自己的长处和短处，意识到自己的内在爱好、情绪、意向、脾气和自尊，喜欢独立思考的能力。他们适合的职业是：哲学家、政治家、思想家、心理学家等。 8、自然认知智能（Naturalist intelligence） 是指善于观察自然界中的各种事物，对物体进行辨论和分类的能力。这项智能有着强烈的好奇心和求知欲，有着敏锐的观察能力，能了解各种事物的细微差别。他们适合的职业是：天文学家、生物学家、地质学家、考古学家、环境设计师等。
`第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
加德纳的多元智力理论介绍 加德纳的多元智力理论提供了信息加工如何影响智力行为的另一种新的观点。他给智力下的定义是:”一种处理信息的生理心理潜能,这种潜能在某种文化环境之下,会被引发去解决问题或是创作该文化所重视的作品。”按照这一定义,智力是看不到也无法测量的,可能是许多不同的神经方面的潜能,它能否引发出来往往取决于那个文化所重视的价值观,所提供的机会以及个人在自身或其他人影响下作出的选择和决定。 加德纳否认存在一个普遍的智力,而提出多元智力观。他不是用传统的智力测验因素分析法去决定智力的多维性,而是从生物科学、发展心理学的角度和逻辑分析出发提出人类具有七种不同的智力,每种智力都有生物学的基础,都有它独特的发展过程,并有不同的最终状态或专家作业的表现形式,以下是他最初提出的七种智力。 语文智力:涉及对口语和书写语言的敏感度,学习多种语言的能力,以及使用语言达到某种特别目标的能力。律师、作家、诗人、记者等通常是具有高度语文智力的人。 逻辑-数学智力:这是指用逻辑去分析问题,善于数学运算,以及用科学方法去探讨问题。数学家、逻辑学家和科学家都特别善于利用逻辑-数学智力。 以上两种智力通常是在学校里最受重视的智力,加德纳
认为皮亚杰号称他研究所有智力,但事实上他只着重研究了逻辑-数学智力。 接下来的三项是属于艺术的领域,但其中的每一项都可以用于其他方面。 音乐智力:包括在音乐演奏、创作和欣赏方面的技能。各种乐器演奏家、作曲家都有很高的音乐智力。 肢体-动觉智力:包括一个用全身或身体的某些部分去解决问题或创作的能力。舞蹈家、演员和运动员是最明显具有肢体-动觉智力的例子,但这一方面的智力对工匠、外科医生、动手操作的科学家、技师等同样是重要的。 视觉-空间智力:这是指能确认和操作广大空间方面的潜在能力以及较小范围的空间模式的能力。前者是航海家和飞行员所必须具备的,而后者对雕塑家、外科医生、棋手、画家和建筑师都是很重要的。 以下最后两项是属于人际关系的能力。 人际智力:指的是一个人能够了解别人的动机、意图、欲望,并能以此为基础与别人有效共事的能力。推销员、教师、医生、宗教家、政治家和演员都需要有相当敏锐的人际智力。 内省能力:这是指一个人能清楚地了解自己,有效地处理自己的欲望、恐惧和能力并能有意义地运用这些信息去调适自己生活的能力。这方面的智力对政治家、宗教领袖,甚
多元智能理论 多元智能理论是美国著名发展心理学家加德纳提出的。加德纳基于多年来对人类潜能的大量实验研究，于1983年出版了《智力的结构》一书，书中提出了著名的多元智能理论。这一理论认为：每个人都或多或少具有七种智能，只是其组合和发挥程度不同，而适当的教育和训练可以使每一种智能发挥到更高水平。这一理论提出后在美国的教育教学改革中产生了广泛的积极影响，已经成为许多西方国家90年代以来教育教学改革的重要指导思想。 一、多元智能理论的产生和发展 20世纪初，法国心理学家比奈创造了智力测验，用来测量人的智力的高低。1921年，美国心理学家特尔曼又提出了“智商”的概念，智商即智力商数，它是用数值来表示智力发展水平的重要概念。智商的公式是：智商(1Q)＝智力年龄／实际年龄×100。所谓智力年龄，是指一个人在做智力测试中所能达到的水平。特尔曼还提出了通过智商测验了解儿童智力水平的一套方法，从而建立了“智商理论”。这个理论认为：人的成功取决于智商的高低。从此，智商理论风行一时，人们已习惯于用智商来衡量一个人的智力高低，进而推断他的成就大小。在大批心理学家致力于研究人的智力的同时，也有一些心理学家则从智力之外的因素，来探讨其在人们成功之中的作用。1935年，亚历山大第一次提出“非智力因素”这个概念。所谓“非智力因素”是指注意力、记忆力、观察力、思维力等智力因素之外一切心理因素，主要包括动机、兴趣、情感、意志、性格等。这些非智力因素都是直接影响和制约智力因素发展的意向性因素。但是，这一理论提出后，并未受到人们的关注，直到1957年11月苏联成功地发射了第一颗人造卫星，震动了全美国，引起了全社会的反思。一些教育家提出这样的观点：美国的科学教育是先进的，但艺术教育却是落后的，两国科技人员不同的文化艺术素质导致了美国空间技术的落后。经过十年的讨论，美国决定于1967年在哈佛大学教育研究生院创立《零点项目》，由美国著名哲学家弋德曼主持。《零点项目》主要任务是研究在学校中加强艺术教育，开发人脑的形象思维问题。从这以后的20多年间，美国对该项目投入上亿美元，参与研究的科学家、教育家超过百人，他们先后在100多所学校做实验，有的人从幼儿园开始连续进行20年的跟踪对比研究，出版了几十本专著，发表了上千篇论文。多元智能理论就是这个项目在80年代的一个重要成果。 加德纳在研究中首先重新考察了大量的、迄今没有相对联系的资料，即关于神童的研究、关于脑损伤病人的研究、关于有特殊技能而心智不健全者的研究、关于正常儿童的研究、关于正常成人的研究、关于不同领域的专家以及各种不同文化中个体的研究。通过对这些研究的分析整理，他提出了自己对智力的独特理论观点。为多元智能理论奠定了理论基石。从1983年提出多元智能理论之后的十多年间加德纳又不断发表文章，深化他的这个理论，特别是在人际关系和自我认识这个“一体两面”的“个人能力”上，进一步指出：前者是了解别人的能力，包括别人的行事动机与方法，以及如何与别人合作；后者与前者相似，但对象是自己，亦即对自己能有准确的认知，并依据这一认知来解决人生的问题。这些都是促使人们取得成功的重要素质。可以说，多元智能理论是适应现代社会、经济、科技发展对人才素质和人才类型的新要求的产物。 二、多元智能理论的主要内容 1．加德纳关于智力的观点 在《智力的结构》一书中，加德纳提出了一个新的智力定义，即“智力是在某种社会或文化环境的价值标准下，个体用以解决自己遇到的真正难题或生产及创造出有效产品所需要的能力。”基于这一定义，加德纳又着重论述了他的多元智能理论的基本结构，他认为：个体身上相对独立地存在着的、与特定认知领
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
美国加德纳多元智能理论 多元智能理论介绍人类的智能是多元化而非单一的。主要是由语言文字智能、数学逻辑智能、视觉空间智能、身体运动智能、音乐旋律智能、人际交往智能、自我任知智能、自然观察智能八项组成。 八十年代，美国著名发展心理学家、哈佛大学教授霍华德·加德纳博士提出多元智能理论，二十多年来该理论已经广泛应用于欧美国霍华德·加德纳博士指出，语言智能：有效的利用口头或书面语言的才能。 音乐智能：感知、欣赏和创作音乐的才能，对乐曲、旋律、节奏等特别敏感，有很强的鉴赏音乐的能力。 数理逻辑智能：有效利用数字和逻辑推理的才能。 空间智能：准确感知视觉空间世界的才能。 身体运动智能：善于运用身体来表达内心感受的才能。 人际交往智能：察觉并区分他人的情绪、意图、动机的才能 自我认识智能：也叫自省的智力。至接近自己内在生活情感的才能，是有关人的内心世界的认知。 自然观察智能：观察自然界中的各种形态，对物体进行辨认和分类，能够洞察自然的才能。 --美国著名教育心理学家、哈佛大学教授霍华德?加得纳博士 1、语言智能(Linguistic intelligence)是指有效的运用口头语言或及文字表达自己的思想并理解他人，灵活掌握语音、语义、语法，具备用言语思维、用言语表达和欣赏语言深层内涵的能力结合在一起并运用自如的能力。他们适合的职业是：政治活动家，主持人，律师，演说家，编辑，作家，记者，教师等。 2、数学逻辑智能(Logical-Mathematical intelligence ) 是指有效地计算、测量、推理、归纳、分类，并进行复杂数学运算的能力。这项智能包括对逻辑的方式和关系，陈述和主张，功能及其他相关的抽象概念的敏感性。他们适合的职业是：科学家、会计师、统计学家、工程师、电脑软体研发人员等。 3、空间智能( Spatial intelligence )是指准确感知视觉空间及周周一切事物，并且能把所感觉到的形象以图画的形式表现出来的能力。这项智能包括对色彩、线条、形状、形式、空间关系很敏感。他们适合的职业是：室内设计师、建筑师、摄影师、画家、飞行员等。 4、身体运动智能( Bodily-Kinesthetic intelligence )是指善于运用整个身体来表达思想和情感、灵巧地运用双手制作或操作物体的能力。这项智能包括特殊的身体技巧，如平衡、协调、敏捷、力量、弹性和速度以及由触觉所引起的能力。他们适合的职业是：运动员、演员、舞蹈家、外科医生、宝石匠、机械师等。
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
多元函数微分学练习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
第五章（多元函数微分学） 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= ． 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ ． 3. 1(,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= ． 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = ． 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠，则d z = ． 6. 设22ln(1)z x y =++，则(1,2)d z = ． 7. 设u =d u = ． 8. 若(,)f a a x ?=? ，则x a →= ． 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 ． 10. 设函数23u x y z =++，则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 ． 11. 设2z xy =，3l i j =+，则21x y z l ==?=? ．
12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 ． 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 ． 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 ． 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 ． 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 ． 17. 曲线2226,2 x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处切线的方向向量s = ． 18. 设2),,(yz e z y x f x =，其中),(y x z z =是由方程z y x e z y x --+=+确定的隐函数，则=)1,1,0(x f ． 二、选择题 1. 设0x 是n R ?E 的孤立点，则0x 是E 的 （ ） (A)聚点； (B)内点； (C)外点； (D)边界点． 2. 设0x 是n R ?E 的内点，则0x 是E 的 （ ） (A)孤立点； (B)边界点； (C)聚点； (D)外点． 3. 设22 2, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??=? ，则(0,0)y f =( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 1-
多元智能理论 加德纳 智能是: 1.在实际生活中解决所面临的实际问题的能力 2.提出并解决新问题的能力 3.对自己所属文化提供有价值的创造和服务的能力 八种智能简介 1.语言智能 指运用言语思维、用语言表达和欣赏语言深层内涵的能力。 2.逻辑－数学智能 指能够计算、量化、思考命题和假设，并运用复杂数学运算的能力。科学家、工程师和电脑软件师都有较强的逻辑－数学智能。3.空间智能 指人们利用三维空间的方式进行思维的能力。如航海家、飞行员、建筑师所表现的能力。空间智能使人能够知觉到外在和内在的图像。 4.身体－运动智能 指人能巧妙地操纵物体和调整身体的技能。运动员、舞蹈家、外科医生都是这方面的例证。 5.音乐智能 指人敏锐地感知音调、旋律、节奏和音色等的能力。 6.人际智能 指能够有效地理解别人和与人交往的能力。成功的教师、社会工作者、演员或政治家就是最好的例证。 7.自我认识智能 指关于建构正确自我知觉的能力，并善于用这种知识计划和导引自己人生，如哲学家、神学家。 8.自然观察智能 指观察自然界中的各种形态，对物体进行辨认和分类，能够洞察自然或人造系统的能力。如植物学家、生态学家、庭院设计师。 培养语言智能的特定策略： 1.创设一个语文的学习环境 2.在倾听中学习 有效倾听的要点 听故事和朗诵 聆听诗歌 教师扮演讲故事的人 听讲 有效倾听的10个要点：
ａ.找出有兴趣的内容 ｂ.判断内容，而不是放弃 ｃ.控制你的情绪 ｄ.听取观念 ｅ.能变通 ｆ.在听讲方面努力 ｇ.避免分心 ｈ.训练你的心智 ｌ.开放你的胸襟 ｊ.利用事实，因为思考比说的速度快 3.说话 学生扮演讲故事的人 班级讨论 记忆报告访谈 4.阅读 寻找题材 教室里的文字 为理解而阅读 创造逻辑－数学智能的学习环境 1.采用不同的提问策略 2.提出开放性问题让学生解答 3.建构重点概念的模型 4.要求学生用具体物体证明他们的理解 5.预测和改变逻辑的结果 6.在各种现象中辨认模型和各种事物之间的联系 7.要求学生判断他们的陈述和观点 8.提供观察和调查的机会 9.鼓励学生在学习中建构意义 10.把数学概念和程序与其他学科领 域和实际生活联系起来 逻辑-数学智能培养的相关策略 1.逻辑数学 科学方法: a陈述问题；b形成假设或解释；c观察和实验；d解释资料；e推导结论。跨学科的科学思考 2.演绎逻辑 三段论 范恩图解 3.归纳逻辑
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法? (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??=叫做微分形式不变性。 例1 设? ?? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。 解：?? ? ?????? ??'+' +=+?=x y d f xy d f x fdx x df x dx x f dz 213 2 3 2 )(33 ?? ? ???-'++' +=22 13 2(3x ydx xdy f ydx xdy f x fdx x
读托马斯·R·霍尔《成为一所多元智能学校》 王梓丞比起阅读雷夫老师生动的教学故事霍尔校长的这本《成为一所多元智能学校》阅读起来的确有点困难。几次都是拿起就想放下。理论的东西太强了。读第一遍的时候根本就是“丈二的和尚摸不着头脑”于是我跑去图书馆借了几本关于多元智能的书籍来看一本是《多元智能新视野》另外一本是《重新审视多元智能》,还有一本《多元智能在全球》。大致翻看这两本书后我才清楚的了解到学习多元智能对当今教育的重要性，它是21世纪主流教育思想之一同时也是课程改革的支柱理论之一。对于一个老师而言学习有关多元智能教育是当今教育形势的要求。想成为一名优秀的合格的老师就必须学习和掌握多元智能理论。 加德纳的多元智力理论告诉我们所有的儿童都是聪明伶俐的，他们是以不同的方式表现出来的，所有的儿童都存有潜能，教师应致力于找出运用多元智力理论来增加学生学习的机会，促进其个性发展的途径和手段。这让我想起了上个学期看的一步印度电影《地球上的星星》，电影中的尼克老师就是运用多元智能使一个有读写障碍的孩子在画画方面重新找到的自信。他挽救了一个孩子，挽救了一个家庭。再来说说另外一部我假期看的印度影片，《三傻大闹宝莱坞》中的主人公法兰，在自然探索和视觉认知能力方面具备先天优势智能，最终成为了优秀的野生动物摄影家。而兰彻则在创造力和内省能力方面有超常的智能，他背不出中规中矩的公式和定义，但并不影响他最终发展为拥有几百项发明专利的著名科学家。 霍华德·加德纳提出了多元智能。传统的智力测验过分强调语言和数理逻辑方面的能力，只采用纸笔测试的方式，过分强调死记硬背知识，缺乏对学生理解能力、动手能力、应用能力和创造能力的客观考核。多元智能认为，人的智力不是单一的能力，而是由多种能力构成，因此，学校的评价指标、评价方式也应多元化，并使学校教育从纸笔测试中解放出来，注重对不同人的不同智能的培养。 而后，我又耐下性子重新拿起《成为一所多元智能学校》。霍尔确实是个了不起的校长他从1988年开始带领新城学校的全体员工实施多元智能理论，并成立了“天资委员会”这样一个阅读小组，每个人都读这本书，每周集中一次轮流在小组中介绍不同的章节并组织讨论。定期发布委员会成员的学习心得，讨论事项等，以此影响其他老师，力图让每个人都参与其中，努力创设起一个积极合作的学习、探索与工作的氛围。试图通过学习与研讨积极引导全校老师切实意识到教科书和目前的课程设置的确存在某些缺失或限制;切实感觉到现在的教育并没有符合每个学生的需求;切实认识到多元智能才是使学习个别化的一种好方法，并自愿用多元智能理论指导自己的教学。，这是一个非常优秀的工作团队，他们充满爱心、富有才华、具有创造力，并乐于奉献。十年时间里他们一起拼搏，相互鼓励，共同成长，在无数次成功的兴奋与失败的遗憾中把成立初只有100多个学生的新城学校发展成为圣路易斯市最大的私