§6垂直关系
6.1 垂直关系的判定
1.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义.(重点)
2.掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与平面垂直、平面与平面垂直.(重点、难点)
3.了解二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小.(重点、易错点)
[基础·初探]
教材整理1直线与平面垂直的概念及判定定理
阅读教材P36～P37“练习1”以上部分，完成下列问题.
1.定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.
2.画法：通常把表示直线的线段画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，如图1-6-1.
图1-6-1
3.直线与平面垂直的判定定理：
平面平面
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一条直线和一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与此平面垂直.()
(2)一条直线和一个平面内的所有直线垂直，则该直线与该平面垂直.()
(3)一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，则该直线与该平面垂直.()
(4)若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l.()
【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×
教材整理2二面角
阅读教材P37“练习1”以下至倒数第4行部分，完成下列问题.
1.二面角的概念：
(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面.
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.
(3)二面角的记法：以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α-AB-β.
2.二面角的平面角：
如图1-6-2，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截面C 1D 1AB 与底面ABCD 所成二面角C 1-AB -C 的大小为________.
图1-6-2
【解析】 ∵AB ⊥BC ，AB ⊥BC 1，∴∠C 1BC 为二面角C 1-AB -C 的平面角，其大小为45°.
【答案】 45°
教材整理3 平面与平面垂直
阅读教材P 37倒数第4行至P 38“例1”以上部分，完成下列问题. 1.平面与平面垂直：
α⊥β
平面
空间四边形ABCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，那么有( )
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
【解析】∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，
∴AD⊥平面BCD.
又∵AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
【答案】 D
[小组合作型]
如图1111
图1-6-3
(1)求证：AC⊥平面B1D1DB；
(2)求证：BD1⊥平面ACB1. 【导学号：39292035】
【精彩点拨】证明线面垂直，只需证明直线与平面内的两条相交直线垂直.
⊥平面ABCD，且AC平面
【自主解答】(1)∵BB
ABCD，
∴BB1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面B1D1DB.
(2)连接A1B.
由(1)知AC⊥平面B1D1DB，
∵BD1平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.
∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1平面A1B1BA，
∴A1D1⊥AB1.
又∵A1B⊥AB1且A1B∩A1D1＝A1，
∴AB1⊥平面A1D1B.
∵BD1平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，
又∵AC∩AB1＝A，∴BD1⊥平面ACB1.
1.直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直.
2.要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的.
[再练一题]
1.如图1-6-4，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
图1-6-4
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
【证明】(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又∵SB＝SA，∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.