【本讲教育信息】
一. 教学内容：
10.1—10.3 图上距离与实际距离、黄金分割
二. 教学目标：
1、结合现实情境了解线段的比和成比例的线段，理解并掌握比例的性质。
2、了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义，会找一条线段的黄金分割点，进一步感悟数学与生活的密切联系。
3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，能在诸多图形中找出相似图形。
三. 教学重点与难点：
重点：
1、成比例线段的意义和比例的性质。
2、相似三角形的概念与相似图形的识别。
难点：黄金分割的概念及其应用。
四. 课堂教学： （一）知识要点
知识点1、两条线段的比：两条线段长度的比叫做两条线段的比。 两条线段的比值一定是没有单位的正数；两条线段的长度单位要一致，其比值与采用的长度单位无关。
知识点2、成比例的线段：在4条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么称这4条线段成比例。
知识点3、比例的性质
（1）基本性质：如果
d
c
b a =，那么ad ＝bc;反过来，如果ad ＝b
c （b ≠0，
d ≠0），那么d
c b a =。 （2）合比性质：①如果
d c b a =，那么；d
d c b b a +=+ ②如果d c b a =，那么；d
d
c b b a -=-
（3）等比性质：如果
d c b a =＝…＝n m
，且b ＋d ＋…＋n ≠0，那么
b
a n d
b m
c a =++++++ 。 知识点4、比例中项：如果
c
b b a =（或b 2
＝ac ）
，那么我们把b 叫做a 和c 的比例中项。 知识点5、黄金分割：点B 在线段AC 上，如果
AB
BC
AC AB =
，那么称线段AC 被点B 黄
金分割，点B 为线段AC 的黄金分割点。AB 与AC （或BC 与AB ）的比值约为0.618（精确值为
2
1
5-），这个比值称为黄金比。 知识点6、黄金矩形：
若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形。 知识点7、黄金三角形：
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形。黄金三角形具有如下性质： （1）底边与腰的比值约为0.618
（2）底角的平分线与对边的交点是该边的黄金分割点。
知识点8、相似三角形： 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形，其中对应边的比值叫做它的相似比。
知识点9、相似多边形：
如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。
【典型例题】
例1. 线段a ＝5，b ＝1，那线段a ＋b 与a －b 的比例中项是 。
解：设a ＋b ，a －b 的比例中项是x ，则x 2＝(a ＋b)(a －b)，即x 2＝6×4，x 2＝24，由题意知x ＞0，所以x ＝62 。 所以线段a ＋b ，a －b 的比例中项是62。
评析：比例中项若是线段则为正，若是数，则可正可负。
例2. （1）如图，已知3==d c b a ，求d
d
c b b a ++和
的值。 （2）如果
k d c b a ==，（k 为常数），那么d
d c b b a +=
+成立吗，为什么？
解：（1）由3==d
c
b a ，得a ＝3b ，
c ＝3
d 因此
43=+=+b b b b b a ，43=+=+d d
d d d c （2）d d
c b b a +=
+成立 因为k d
c
b a ==得a ＝bk ，
c ＝dk
所以
1,1+=+=++=+=+k d
d
dk d d c k b b bk b b a 评析：该例题实际为我们展示了一个求比值的常用方法——设k 法，将等比式化为等积
式，用含一个字母的代数式表示另一个字母，再代入求比值。
例3. 已知三个数1，2，3，请你再添上一个（只添一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 。 解：从1：2＝3：x ，求出x ＝32 从1：x ＝3：2，求出x ＝3
3
2 从1：2＝x ：3，求出x ＝
2
3 故这个数为32，
2
3或332
评析：这是一道开放创新题，由于题中未明确告知构成比例的各数的顺序，因此所添的
数的位置有很大的灵活性。本题只要求添一个数，因此在解题时，不要被这种灵活性所困扰，而应避繁变简。
例4. （1）如图，两个矩形是否相似？
（2）已知四边形ABCD ∽四边形A ＇B ＇C ＇D ＇，且AB ：BC ：CD ：DA ＝7：6：5：4，若四边形A ＇B ＇C ＇D ＇的周长为44，则A ＇B ＇＝ ，B ＇C ＇= ，C ＇D ＇= ，D ＇A ＇=
解：（1）
6
22424
624040?-≠?-，∴不相似。
（2）四边形A ＇B ＇C ＇D ＇的四边长的比为7：6：5：4，分别设7x ，6x ，5x ，4x ，
∴7x ＋6x ＋5x ＋4x ＝44
22x ＝44 x ＝2
∴A ＇B ＇＝14，B ＇C ＇＝12，C ＇D ＇＝10，D ＇A ＇＝8。
评析：从定义的角度出发是我们解决问题一个重要的方法，应加以重视。
例5. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，求∠H 的大小及BC 、EH 的长度。
解：∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似 ∴∠B ＝∠F ＝100°∠C ＝∠G ＝50°
∴∠H ＝∠D ＝360°－（∠A ＋∠B ＋∠C ）
＝360°－（45°＋100°＋50°） ＝165°
∵EH AD EF AB GF BC ==，由534=BC ，得BC ＝512
由
EH 253=
，得EH ＝3
10
∴∠H ＝165°，BC ＝
512，EH ＝3
10
评析：本例在求角度时，不但用到了相似多边形性质，还要结合四边形的内角和才可求
出∠H ，这就需要正确运用多边形的内角和公式，n 边形的内角和＝（n －2）·180°，求对应边的长时，必须先由已知求出对应边的长，再根据相似多边形的对应边成比例这一性质，列出比例式或方程，从而求出未知边的长度。
例6. 科学研究表明：当人的下肢长与身高之比约为0.618时，能使人看起来感到匀称美，某成年女士身高153cm ，下肢长92cm ，据上述观点，她所选高跟鞋鞋跟的最佳高度应约为多少?(精确到0.1cm)
解：设该女士穿高跟鞋时，鞋跟的最佳高度为xcm ，根据题意得： (92＋x)∶(153＋x)＝0.618∶1 0.618(153＋x)＝92＋x x ≈6.7(cm)
评析：应该特别值得注意的是，该女士穿高跟鞋以后，身高和下肢的长都增加了，其增加的高度均为鞋跟的高度。
例7. 古希腊时期的巴农台神庙，把它的正面放在一个矩形ABCD 内，以矩形的宽为边在其内部作正方形AEFD ，如图，那么我们惊奇地发现：BC
AB
BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？
解：∵四边形ABCD 是矩形，四边形AEFD 是正方形 ∴AD ＝BC ＝AE 又∵
BC AB BE BC =∴AE AB BE AE = 即AE
BE
AB AE =因此点E 是线段AB 的黄金分割点，矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比
评析：在上面这个矩形中，宽与长的比是黄金比，这样的矩形叫黄金矩形， 黄金矩形给人以美感。另外还有黄金三角形（顶角为36°的等腰三角形）等。
例8. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，已知AB ＝1，则DE ＝ 。
解：∵△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形 ∴设DE ＝X 则DC ＝X ，
BC
DC
≈0.618 则DE ≈0.618×0.618AB ≈0.382
评析：用比例式解题很有效，还可以用方程的思想来解。
例9. 如图，四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，试求未知边A ′B ′， B ′C ′的长度以及∠C 的度数。
解：∵四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似，它们的对应边成比例，对应角相等； ∴
184＝'
'=''C B B A 7
6
解得A ′B ′＝27，B ′C ′＝31.5 又∵∠D ＝∠D ′＝134°
∴∠C ＝360°－(70°＋83°＋134°)＝73°
评析：在利用相似多边形的基本特征解题时，要注意边和角的对应顺序.
例10. 如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 的中点，DF ∶FC ＝3∶1图中有哪些相似三角形？请说明理由。
解：△ABE ∽△ECF ∽△AEF 理由如下：
设正方形的边长为4K ，
根据题意，得BE ＝CE ＝2K ，CF ＝K ， 所以
2==CF
CE
BE AB ，
又因为∠B ＝∠C ＝90°， 所以△ABE ∽△ECF
因为AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝AD 2＋DF 2， 所以AE 2＝（4K ）2＋（2K ）2＝20K 2， EF 2＝（2K ）2＋K 2＝5K 2，
AF 2＝（4K ）2＋（3K ）2＝25K 2，
所以AE 2＋EF 2＝AF 2，即∠AEF ＝90°，
又因为
212
==EF AE ， 所以BE
AB
EF AE = 所以△AEF ∽△ABE ，
综上所述，△ABE ∽△ECF ∽△AEF
评析：利用代数计算的方法得到几何论证，也是说理的一种重要方法。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
（一）选择题
1、已知A 、B 两地的实际距离是250cm ，若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是（ ） A 、1∶50 B 、1∶5000 C 、1∶500 D 、1∶50000
2、若点P 是线段AB 的黄金分割点（PA ＞PB ），则下列式子错误的是（ ） A 、AP 2＝AB·PB
B 、
PA
PB
AB PA = C 、BP 2＝AB·PA D 、AP ＝BP AB ?
3、已知线段AB ＝1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ） A 、
2
1
5- B 、
2
5
3- C 、
2
5
3215--或
D 、以上结论都不对
4、下列说法中，正确的是（ ）
A 、所有的矩形都相似
B 、所有的等腰三角形都相似
C 、所有的正方形都相似
D 、所有的等腰梯形都相似
5、有甲、乙两张同样的地图，若它们的比例尺分别为：1∶100和1∶300，则甲地图与乙地图的相似比为（ ）
A 、1∶3
B 、3∶1
C 、9∶1
D 、1∶9
（二）填空题：
6、正方形的边长与对角线长的比是 。
7、已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC 是线段 与 的比例中项；如果AB ＝12cm ，那么AC ＝ cm ，BC ＝ cm 。
8、若两个相似多边形的相似比为2∶3，且周长的和为50cm ，那么这两个相似多边形的周长分别为 和 。
9、如图所示，在△ABC 中，BC ＝a ，B 1，B 2，B 3，B 4是AB 边的五等分点，C 1，C 2，C 3，C 4是AC 边的五等分点，
B 1
C 1＋B 2C 2＋B 3C 3＋B 4C 4＝ 。
10、如图所示，E 为平行四边形ABCD 的边长AD 延长线上的一点，且D 为AE 的黄金分割点；即AD ＝
2
1
5-AE ，BE 交DC 于点F ，若AB ＝15+，则CF 的长为
（三）解答题：
11、已知x ∶y ∶z ＝2∶3∶5，求
z
z
y x -+的值。 12、已知：a ∶b ＝c ∶d ，证明：cd ab c a ++2
2＝2
2d
b cd ab ++。 13、科学研究表明，当人的上肢长与下肢长之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm ，上肢长为61cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为多少厘米（精确到0.1cm ）? 14、如图，
OD CO
OB AO = （1）若43=OB AO ，求CD
CO
OB AB ,的值 （2）若AO ＝30，AB ＝70，CD ＝105，求OD 的长？
15、如图，在△ABC 内任取一点P ，连接PA 、PB 、PC ，分别取PA 、AB 、AC 的中点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，△DEF 与△PBC 相似吗？请说明理由。
【试题答案】
（一）选择：
1、A
2、C
3、C
4、C
5、B
（二）填空：
6、2∶2
7、AB BC(BC AB) 7.416 4.584
8、20cm 30cm
9、2a 10、2
（三）解答题：
11、0（设x ＝2K ，y ＝3K ，z ＝5K ） 12、设a ＝bk ，c ＝dk ，
则左边＝k d
b k
d k b k k d b k d b k d k b k d k b =++==++=++2
22222222222222)()(右边 13、6.7cm （提示：设高跟鞋的鞋跟高为xcm ，则上肢长：下肢长＝0.618） 14、（1）
7
3
47==CD CO OB AB ， （2）OD ＝60 15、相似，理由提示，说明它们的对应边成比例，对应角相等。
第1页 共3页 数学测试（4） 一.选择题 1、两地实际距离是500m,画在图上的距离是25cm ，若在此图上量的A 、B 两地相距为4cm ，则A 、B 两地的实际距离是 A 、800m B 、8000m C 、32250m D 、3225m 2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，E 为垂足，图中 相似三角形共有（全等除外） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 3、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，连结AD ，要 使△ABD ∽△CBA ，应具备下列条件中的（ ） A 、 BC AB CD AC = B 、BD AB =2 ·BC C 、AD BD CD AB = D 、CD AC =2·BC A 、所有的等腰三角形都相似B 、有一对锐角相等的两个角三角形相似 C 、全等的三角形一定相似； D 、所有的等边三角形都相似 5、Rt ?ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F 。图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一 类，那么图中的三角形可分为（ ）类。 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6.已知 0432≠==c b a ,则 c b a +的值为( ) A.54 B.45 C.2 D.2 1 7.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2 B. 22 C.26 D.3 3 8.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m 5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.a b 2 C.c ab D.c a 2 9.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 10、在△ABC 与△中，有下列条件：①；⑵ ③∠A ＝∠；④∠C ＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断 △ABC ∽△的共有（ ）组。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题 11、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于点O ，若S △OAB ：S △OBC = 1：4，则S △OAD ：S △OCB = 。 12、在口ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于F ， 则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF = 。 13、如图，DE//BC ，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =16：25，则AD ：DB= 。 14、把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是 正方形ABCD 的面积的一半，若AC=2，则平移的距离是 。 15、如图，D 为△AB Ｃ的边ＡＣ上的一点，∠ＤＢＣ＝∠Ａ，ＢＣ＝2，△ＢＣＤ与△ＡＢＣ 的面积比是２：３ ，则ＣＤ＝ 。 1６、如图，已知△ＡＢＣ中，ＤＥ//ＦＧ//ＢＣ，（１）若 ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝１：２：３，则Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝ ；（２）若Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝１：２：３，则ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝ 。 C B A '''C B BC B A AB ''=''C A AC C B BC ''= ''A 'C 'C B A '''第5题 A B C D E F D A B C E 第2题图 A B D C 第 3题 第8题图 第9题图 O D C B A F E D C B A E O D C B A D 1C 1 B 1 A 1D C B A 第12题图 第13题图 第14题图
初三数学相似图形知识点归纳(全) 一、相似的基本性质 （一）线段的比 1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比 例：(1)线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2, 对吗？ （）若 ，且，则。 3532 8a b c a b c a ==-+== 解： （）若：：，则 。 423432x y z x y z y ::=-+= 解： (二)比例尺=图上距离／实际距离 . 例1. 已知：A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则两地的实际距离为__________（用科学记数法表示）。相距50千米的C 、D 两地在该地图上的距离为__________。 解：比例尺千米= = 1801 8000000cm （三）比例的基本性质：如果 ，那么ad=bc （）若，则 。 157a b a b == （）若，则 ， 。 2850x y x y x y x y -==+-=
（）已知 ，求。 3118x y x x y +== （）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4a mn b = A. a:b=m:n B. a:m=b:n C. a:m=n:b D. a:n=b:m （四） 合比性质、等比性质： 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 等比：若……（若……） a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== . （）若 ，则1572323a b c d e f a c e b d f ===+-+-= （）和中， ，且的周长33 5 111111111111???ABC A B C AB A B BC B C AC A C A B C ===为，求的周长。50cm ABC ? （）若 ，则4a b c b a c c a b k k +=+=+== A B C D .... 12112132或-- 例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c 的值
2019-2020年八年级数学下册 4.2黄金分割教学设计北师大版 ●教学目标 （一）教学知识点 1.知道黄金分割的定义. 2.会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. （二）能力训练要求 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力. （三）情感与价值观要求 理解黄金分割的意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系对人类历史发展的作用. ●教学重点了解黄金分割的意义，并能运用. ●教学难点找黄金分割点和画黄金矩形. ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 P109中的五角星图案，如何找点C把AB分成两段AC和BC，使得画出的图形匀称美观呢？本节课就研究这个问题. Ⅱ.讲授新课 讨论：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算、,它们的值相等吗？（） 1.黄金分割的定义 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618. 2.作一条线段的黄金分割点. P110,学生讨论作法和理由根据。 证明：∵AB=1,AC=x,BD=AB=∴AD=x+ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得（x+）2=12+（）2∴x2+x+=1+ ∴x2=1－x ∴x2=1·（1－x）∴AC2=AB·BC
即：即点C是线段AB的一个黄金分割点， 在x2=1－x中整理，得x2+x－1=0∴x= ∵AC为线段长，只能取正∴AC=≈0.618 ∴≈0.618 ∴黄金比约为0.618. 3.想一想 图4－8 古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple）.把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ Ⅲ.随堂练习 P111 Ⅳ.课时小结 1.黄金分割点的定义及黄金比. 2.如何找一条线段的黄金分割点，以及会画黄金矩形. 3.能根据定义判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. Ⅴ.课后作业习题4.3
八年级数学相似图形知识点梳理 ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; ⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则 ※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. ¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. ※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5、相似三角形周长的比等于相似比. ※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方. ※1、相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等; ②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例.①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a.两直角边对应成比例; b.斜边和一直角边对应成比例. ※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延
考点23 图形的相似 一、比例的相关概念及性质 1．线段的比 两条线段的比是两条线段的长度之比． 2．比例中项 如果a b =b c ，即b 2=ac ，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项． 3．比例的性质 4.如果点C 把线段AB 分成两条线段，使 AC BC AB AC =，那么点C 叫做线段AC 的黄金分割点，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做黄金比． 二、相似三角形的判定及性质 1．定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比． 2．性质 （1）相似三角形的对应角相等； （2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例； （3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3．判定 （1）有两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．三、相似多边形 1．定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比． 2．性质 （1）相似多边形的对应边成比例； （2）相似多边形的对应角相等； （3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方． 四、位似图形 1．定义 如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2．性质 （1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比． 3．找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心． 4．画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
黄金分割的由来 把一条线段AB分为两部分，使得AP:AB=，这个比就叫做黄金分割比，分点叫线段AB的黄金分割点．线段AB的黄金分割点大家已会用尺规作图的方法作出，可是，你知道为什么要把这种分割叫做黄金分割吗？ 这事还得从古希腊数学家毕达哥拉斯创立的学派谈起．两千多年前，这个学派在自己的研究中，掌握了一条线段的这种分割比的几何作图方法，并由此作出了正五边形，进而作出了正五角星形．他们觉得这种图形真美（确实给人以美感），决定把这种图形作为自己学派的标志，做成胸章别在胸前，并以能作出这种图形而自豪．15世纪末，这一分割比被人们神秘化，称它为＂神圣比例＂．16世纪意大利天文学家刻卜勒，将所得的比称为黄金比．人们发现，把一条线段分成两部分，如果它们符合黄金比，看起来就美观．例如，一个矩形的两条邻边的比，如果符合黄金比，这个矩形看起来就很顺眼，否则就很难看．所以，我们读的书、用的笔记本的长和宽，一般都是按黄金比来设计的。家里用的镜框、窗户框等，也大多数是按黄金比制作的。甚至在美术和艺术表演中，黄金分割比（或点）也有大量的应用。例如，二胡演奏中，“千金”只有放在弦的黄金分割点上，音调才最和谐；独唱演员站在舞台的黄金分割点的位置上，给人以最美好的感觉，声音传播情况也比较好。由此看来，把这种分割称之为黄金分割不是没有道理的。 黄金分割比在现今的工农业生产和科学实验中，仍大显身手。科
学工作者根据黄金分割比的近似值0.618，创造了优选法中的一种基本方法——0.618法，或称黄金分割法。我们来看一个例子：某一种产品 的质量由它的温度来决定，这个温度估计在到之间，问温度在一千几百几十几度时，产品质量最好？如果不用黄金分割法做实验，则需从开始做试验，一直做到，共做499次试验，才能确定最适合的温度是多少。若采用黄金分割法，只需做13次试验就可达到同样的效果。我们可以看到黄金分割法委人类创造了大量财富，节省了科学家大量的时间和精力，人们用“黄金”来给这种分割命名，它确实是当之无愧的！
《相似图形》水平测试 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1．在比例尺为1∶50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米． 2．若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中5cm a =，7cm b =，4cm c =，则d = ． 3．已知450x y -=，则():()x y x y +-的值为 ． 4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理 石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ． 7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，ABC △，BDC △，DEC △都是黄金三角形，已知1AB =，则DE 的长= ． 8．在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ． 9．如图3，ABC △中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC = ． 10．如图4，在ABC △和EBD △中，53 AB BC AC EB BD ED ===，ABC △与EBD △的周长之差为10cm ，则ABC △的周长是 ． 二、相信你的选择(每小题3分，共30分) 11．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个钝角三角形一定相似 B ．两个等腰三角形一定相似 C ．两个直角三角形一定相似 D ．两个等边三角形一定相似 12．如图5，在ABC △中，D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，30ADE =∠，120C =∠， 则A =∠（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．20° 13．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A ．都扩大为原来的5倍 B ．都扩大为原来的10倍 C ．都扩大为原来的25倍 D ．都与原来相等 14．如图6， 在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥于D ，若1AD =，
图形的相似 考点一、比例线段 （3分） 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ：b=b ： c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ?ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =?2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ?=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a =?= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 15-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 （3~5分） 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 n m b a =d c b a =
八年级数学知识点：黄金分割数www.5y https://www.doczj.com/doc/4213911595.html, 黄金分割数： 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。 黄金分割: 黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 黄金分割线: 黄金分割线是一种古老的数学方法。黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，他在当时十分有限的科学条件下大胆断言： 一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618，那么，这样比例会给人一种美感。 后来，这一神奇的比例关系被古希腊著名哲学家、美学
家柏拉图誉为“黄金分割律”。黄金分割线的神奇和魔力，在数学界上还没有明确定论，但它屡屡在实际中发挥着意想不到的作用。 黄金分割线的最基本公式，是将1分割为0．618和0．382，它们有如下一些特点： （1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。 （2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即0．618。 （3）后一数字与前一数字之比例，趋近于1．618。 （4）1．618与0．618互为倒数，其乘积则约等于1。 （5）任一数字如与前面第二个数字相比，其值趋近于2．618；如与后面第二个数字相比，其值则趋近于0．382。 理顺下来，上列奇异数字组合除能反映黄金分割的两个基本比值0．618和0．382以外，尚存在下列两组神秘比值。 即：（1）0．191、0．382、0．5、0．618、0．809（2）1、1．382、1．5、1．618、2、2．382、2．618 黄金分割点: 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，用分数表示为/2，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这个分割点就叫做黄金分割点（goldensectionratio通常用
作品编号：4862354798562348112533 学校：兽古上山市名扬镇装载小学* 教师：葛蝇给* 班级：朱雀捌班* 第4课时黄金分割 【知识与技能】 1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点. 2.会判断一点是否是线段的黄金分割点. 【过程与方法】 通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力. 【情感态度】 理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值. 【教学重点】 找一条线段的黄金分割点. 【教学难点】 黄金分割比的应用. 一、情境导入，初步认识 现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？ 【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受. 二、思考探究，获取新知 动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算AC AB 与 BC AC , 它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解. 【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如 果AC AB = BC AC ,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比叫做黄金比. 三、运用新知，深化理解 1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D） 2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为0.764 米. 3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞ CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为51 - . 4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位) 解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm， 则102 168 x x + + =0.618， 解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm. 5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC. 解：作法如下： （1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，
数学之美——黄金分割 前 言 数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称“黄金段”或“黄金率”。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。 另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。 一、黄金分割的起源与发展 1.1 黄金分割的定义 古希腊雅典学派的第三大数学家欧道克萨斯首先提出黄金分割。所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比。证明方法为： 设有一根长为1的线段AB 在靠近B 端的地方取点C ，)(CB AC >使AC AB CB AC ::= 则点C 为AB 的黄金分割点。 设x AC =，则x BC -=1 代入定义式AC AB CB AC ::= 可得 x x x :1)1(:=- 即 012 =-+x x 解该二次方程：2151--= x 2 152-=x 其中1x 为负值舍掉。 所以 2 15-=AC 约为618.0.
黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。 有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是137度28'，这恰好是把圆周分成1:0.618的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数学0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。 1.2黄金分割的发展史 据记载黄金分割是在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”。这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关“黄金分割”，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边 形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《帕乔利》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。 其实，黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多
中考数学专题复习相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段： 1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：= 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果=那么四条线段叫做同比例线段，简称 3、比例的基本性质：=<＝> 4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。】 二、相似三角形： 1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原 三角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形： 1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、位似： 1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
八年级数学上册黄金分割2学案人教新 课标版
__________________________________________________ C B A §10.2黄金分割 1．了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义。 2．会找一条线段的黄金分割点。 【基础训练】 1、如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC , ( ) A 、线段A B 被点 C 黄金分割 B 、点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C 、AB 与AC 的比叫做黄金比 D 、AC 与AB 的比叫做黄金比 2、据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C ）的黄金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)。 3、如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.（结果保留根号） 4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）的正面是一个黄金矩形。若已知黄金矩形的长等学习目 学习过
__________________________________________________ 于6,则这个黄金矩形的宽等于_________.（结果保留根号） 5、如图的五角星中,AC AB 与BC AC 的关系是( ) A 、相等 B 、A C AB >BC AC C 、AC AB 《黄金分割》教学设计 一、教材分析： 本节课是初中数学九年级下册的内容，一方面，这是在学习了线段的比的基础上，对比例性质的的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相似三角形等知识奠定了基础，是进一步研究相似图形及其性质的工具性内容。鉴于这种认识，本节课在此本书中有重要的地位，本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 黄金分割是现实生活中存在的一种现象，广泛的应用在设计、艺术等领域中，比如黄金矩形，就是黄金分割在设计中的一个主要应用：在设计建筑物、工艺品、日常用品涉及矩形时，如果设计成黄金矩形，看起来更具有美感.学生体会到数学与自然及人类社会的密切关系，丰富了学生的数学活动经验，促进了学生观察、分析、归纳、概括的能力和审美意识的发展。 通过学习“黄金分割”这样的题材，进一步体会数学的文化价值.有效的激发学生学习数学的兴趣，发展学生的动脑、动手能力，培养学生思维能力，增强学生学习数学自信心。有助于增强学生的创新意识和实践能力，为学生提供了实践和探索的机会。 这节课也有数学实验的味道，学生在具体活动中体验数学知识，并在现实情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识，是学生自己建构、探索数学知识的活动. 二、学情分析： 1、学生已有基础：学生对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣.而且,在前面的学习中,学生经历过探索概念的形成过程，获得了初步的数学活动经验和体验.学生对黄金分割的定义理解不存困难.也学过无理数、比例线段和一元二次方程的解法，,所以对于黄金比既能求出准确值也能算出近似值。 2、学生面临问题：学生思维能力处于发展阶段，动手能力较弱。 本节课引导学生从数学的角度思考问题，引导学生一步步的走入要解决的问题中心去，让学生自主、积极思维的同时，运用自己已有的知识去探索发现，感受数学的人文价值和与生活间的联系。 初中数学图形的相似技巧及练习题 一、选择题 1．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ?相似的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】 解：因为111A B C ?中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B ． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，已知////AB CD EF ，:3:5AD AF =，6BC =，CE 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 ∵AD ：AF=3：5， ∴AD ：DF=3：2， ∵AB∥CD∥EF， ∴AD BC DF CE =，即 36 2CE =， 解得，CE=4， 故选B． 【点睛】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 3．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E 点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解析】 分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性 质可得出AF AB GF GD ==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出 CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．详解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF， ∴△ABF∽△GDF， ∴AF AB GF GD ==2， ∴AF=2GF=4， ∴AG=6． ∵CG∥AB，AB=2CG， ∴CG为△EAB的中位线， ∴AE=2AG=12． 故选D． 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键． 4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，作CD的中垂线与CD交于点E，与BC交于点F．若CF＝x，tanA＝y，则x与y之间满足（） 黄金分割 （浙江省宁波市镇海区外语实验学校 315200）余满龙 在初中数学的相似形这一章中有“黄金分割”的简单介绍：把一条线段（PQ ）分成两条线段，使其 中较大的线段（PC ）是原线段（PQ ）与较小线段（CQ ）的比例中项，这种分法用途广泛，且美观，所以人们把它称为黄金分割也称“中外比”或“中末比”。（如图1） 世界上最早接触黄金分割的是古希腊的毕达哥拉斯学派。公元前4世纪（二千多年前），古希腊数学家欧多克斯（约公元前408～公元前355）第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。他发现: 在这个几何问题里，若CQ 与PC 之比等于PC 与PQ 之比， 那么这一比值就等于…，用式子表示就是: 618.0215=-==PQ PC PC CQ 这个神奇的数字已经让我们着迷了几千年但实际上，这个黄金分割很早就存在了，我们 从 Andros 神庙(公元前10000年)就可以看出,而Kheops (公元前2800年)金字塔(如右图)表现的尤为明显。几何学家，哲学家和建筑师都认为黄金分割是一组非常奇特的比例，是一种空间的和谐，能够组成精确的比例。公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克斯的工作，系统论述了黄金分割，成为最早的有证论着。欧多克斯就是从整个比例论的角度考虑黄金分割，他还把上述的C 点分PQ 所成的比PC:CQ 叫做“中外比”。欧多克斯发现这种线段之间的中外比关系存在于许多图形中。如正五边形中， Kheops (公元前Q C P 图1 莱奥纳多·达·芬奇 相邻顶角的两条对角线互相将对方分成中外比，而较长的一段等于正五边形的边。如果将有理线段分成中外比，那末被分成的两个线段长是无理数。 文艺复兴时期的欧洲，由于绘画艺术的发展，促进了对黄金分割的研究。当时，出现了好几个身兼几何学家的画家，着名的有帕奇欧里、丢勒、达芬奇等人。他们反几何学上图形的定量分析用到一般绘画艺术，从而给绘画艺术确立了科学的理论基础。 1228年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》的修订本中提出“兔子问题”，导致斐波那契数列：1，1 ，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……，它的每一项与后一项比值的极限就是黄金分割数，即黄金分割形成的线段与全线段的比值。(即设F 1 =1，F 2 =1，F n = F n-2 + F n-1，n ≥3，则) 1525年丢勒制定了充分吸收黄金分割几何意义的比例法则，揭示了黄金分割在绘画中的重要地位。丢勒以为，在所有矩形中，黄金分割的矩形，即短边与长边之比为2 15 的矩形最美观。因为这样的矩形，“以短边为边，在这个矩形中分出一个 正方形后，余下的矩形与原来的矩形相似，仍是 一个黄金分割形的矩形”，这使人们产生一种 “和谐”的感觉。 后来意大利伟大画家达·芬奇(1452-1519)(如右图)把欣赏的重点转到使线段构成中外比的分割，而不是中外比本身，提出了“黄金分割”这一名称。这一命名一直延用至今。 欧洲中世纪的物理学家和天文学家开普勒（J ．Kepler1571—1630），曾经说过：“几何学里有二个宝库：一个是毕达哥拉斯定理（我们称为“商 天才是百分之一的天分,再加上百分之 九十九的努力 第4课时黄金分割 学习目标： 1、认识线段的黄金分割，理解黄金分割的概念. 2、会运用黄金分割进行相关计算和证明. 学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念. 学习难点：运用黄金分割解决实际问题. 【预习案】 一、链接 请写出比例的基本性质. 二、导读 阅读课本P95-96，回答下列问题： （1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？ 叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比. 【探究案】 ㈠、黄金分割的定义： 1、动手操作，然后算一算，完成下面的填空： 度量线段AC 、BC 的长度，线段AC= ，BC= ， 计算AB AC = 、AC BC = , AB AC 与AC BC 的值 A B C 相等吗？ ※在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段 和 ，如果 = ， 那么称线段AB 被点C ，点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 。其中AB AC = ≈ ※⑴、黄金分割是一种分割线段的方法，一条线段的黄金分割点有 个。 ⑵、黄金比是两条线段的比，没有单位，它的比值为 ，精确到0.001为 。 2、想一想：点C 是线段AB 的黄金分割点，则AB AC = 。 ㈡、确定黄金分割点： 如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： （1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD= 21AB. （2）连接AD ，在DA 上截取DE=DB. （3）在AB 上截取AC=AE.点C 就是线段AB 的黄金分割点。 ㈢、黄金矩形： 宽与长的比是：的矩形叫做黄金矩形。 【训练案】 1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则AB ：AC= ；BC ：AB= . 2、若在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中， =11B A AB =11C B BC 1111CD DA C D D A ==58且四边形A 1B 1C 1D 1的周长为80cm ，求四边形ABCD 的周长. 3、已知，如图在 △ABC 中 EC AE DB AD = E D A A B 5?12 人教版九年级数学下册图形的相似同步练习 [图形的相似﹨相似三角形〗〖时间60分钟 满分100分〗 一﹨选择题〖每题4分，共32分〗 1．下列各种图形相似的是 〖 〗 A ．〖1〗﹨〖2〗 B ．〖3〗﹨〖4〗 C ．〖1〗﹨〖3〗 D ．〖1〗﹨〖4〗 2．下列图形相似的是 〖 〗 〖1〗放大镜下的图片与原来的图片；〖2〗幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；〖3〗天空中两朵白云的照片；〖4〗卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组 3．下列说法不一定正确的是 〖 〗 A ．所有的等边三角形都相似 B ．有一个角是100°的等腰三角形相似 C ．所有的正方形都相似 D ．所有的矩形都相似 4．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( ) A ．7.5米 B ．8米 C ．14.7米 D ．15.75米 5．两个相似三角形的周长比为4︰9，则面积比为 〖 〗 A ．4︰9 B ．8︰18 C ．16︰81 D ．2︰3 6．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下 〖 〗 A ．小明的影子比小强的影子长 B ．小明的影子比小强的影子短 C ．小明的影子和小强的一样长 D ．谁的影子长不确定 7．如图，能使△ACD ∽△BCA 全等的条件是〖 〗 A ．BC AB CD AC = B ．CB CD A C ?=2 C ．CD BD AC AB = D ．BD AD CD ?=2 8．如图所示的测量旗杆的方法，已知AB 是标杆，BC 表示AB 在太阳光下的影子，?叙述错误的是〖 〗 A ．可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高 B ．只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高 C ．可以利用△ABC ∽△EDB ，来计算旗杆的高 D ．需要测量出AB ﹨BC 和DB 的长，才能计算出旗杆 的高 二﹨填空题〖每题4分，共32分〗 9． 下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩 笔在黑板上写上三个大字1﹨2﹨3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 ．〖填序号〗 (1)(2) (3)(4) B C D A 第7题 E D C B A 第8题苏科版数学九年级下册教案-6.2 黄金分割
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