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Unitary Evolution on the Z 2n ×Z 2n Phase Space E.G.Floratos (a )?and S.Nicolis (b )?(a )Physics Department,University of Athens,Athens,Greece (b )CNRS–Laboratoire de Math′e matiques et Physique Th′e orique (UMR 6083)Universit′e de Tours,Parc Grandmont,37200Tours,France Abstract We construct quantum evolution operators on the space of states,that realize the metaplectic representation of the modular group SL (2,Z 2n ).This representation
acts in a natural way on the coordinates of the non-commutative 2-torus,T 22n and thus is relevant for noncommutative ?eld theories as well as theories of quantum space-time.The larger class of operators,thus de?ned,may be useful for the more e?cient realization of new quantum algorithms.
Recent progress in M-theory indicates that spacetime itself becomes noncommutative at scales where D-branes play an important role[1,2].This noncommutativity comes about in a rather natural way because D-branes are charged,gravitational solitons,moving in backgrounds with magnetic?ux.This is reminiscent of the Landau problem,where the noncommutativity of the two,real,space coordinates is brought about by the magnetic ?ux[3].The strength of the?ux provides a measure of non-commutativity.
Another,a priori independent,manifestation of non-commutativity is realized in quan-tum mechanics.Here spacetime is commutative,but phase space is not.The“strength”of the non-commutativity is given by Planck’s constant, .
Non-commutativity in quantum mechanics implies that the phase space is cellular:the size of the elementary cell,??q×??p,is set by the quantum of action.It is not possible to realize?q and?p by?nite dimensional matrices that respect the commutation relation, [?q,?p]=i I.It is,however,well known how to overcome this obstruction:to pass from the algebra to the group,by taking exponentials,P=exp(i?p),Q=exp(i?q).This is only possible when2π is a rational number;we will study the simplest case,2π =1/N. The operators P and Q satisfy QP=ωP Q,whereω=exp(2πi/N)and admit an N–dimensional,irreducible,representation[4].This discretization of phase space thus di?ers markedly from the usual lattice regularization on spacetime.However,one can use this to discretize spacetime in the presence of magnetic?ux of strength1/N per cell.
Classical mechanics in the Hamiltonian formalism amounts to the study of phase space symplectomorphisms.For one degree of freedom the linear symplectomorphisms form the group SL(2,R)and the corrrespondance principle allows us to?nd the unitary evolution operator U(A),that corresponds to the classical transformation A∈SL(2,R)[5].For the Z
N×Z N phase space lattice,SL(2,R)becomes SL(2,Z N)[6].
In previous work[7,8]we constructed the metaplectic representation of SL(2,Z N), which realizes Bohr’s correspondance principle in a particularly transparent fashion.These quantum maps have been studied,in particular within the context of quantum chaos[9], Rational Conformal Field Theory[10]and quantum gravity[11].
The case N=2n was not amenable to analysis using the tools thus far available, although it is of clear interest for quantum computing[12]and the state space has been widely used in communication engineering.The principal di?culty resides in resolving ambiguities due to the factors of1/2that abound in the expressions of the metaplectic representation,indicative of theorems that hold for odd integers but not even ones!
These ambiguities are not just a technicality:they highlight a fundamental di?erence between odd and even values of the discretization,since even values allow the inclusion of fermions.As is well known,the discretization of fermionic actions entails di?culties in taking into account the quantization of classical symmetries.These anomalies become manifest as obstructions in the construction of local evolution amplitudes.
In this note we shall present the construction of the evolution operator for the dis-cretization N=2n of the phase space?This will be possible for a subgroup of all possible classical symplectomorphisms,namely those that contain an even number of odd entries–and it is interesting to note that the Fourier transform belongs to this class!It is thus possible to put in perspective the success of the Fourier transform in the development of
quantum information processing;but also to realize that it constitutes just a special case, that is by no means singular.
Let us start by recalling the consistent quantization of linear symplectomorphisms r′s′ =(A∈SL(2,Z N)) r s = a b c d r s
where(r,s)and(r′,s′)label the classical phase space and,along with the elements ,a,b,c,d,are integers mod N.
It is possible to?nd,for every N,operators J r,s that generate the Heisenberg–Weyl group and are given by
J r,s=ωr·s/2P r Q s
where QP=ωP Q andω=exp(2πi/N).In the basis where
Q k,l=ωkδk,l
and
P k,l=δk?1,l
the J r,s have matrix elements
[J r,s]
=δk?r,lωs
k,l
The classical motion described by the matrix
1bd?101
is a(right)translation in phase space with parameter x=bd?1and corresponds to the motion of a free particle.This leads us to write
U right(x)≡U 1x01 k,l=ωCxk2δk,l,k,l=0,...,2n?1(3)
with C to be determined.
It is easy to check that this Ansatz satis?es both properties under the condition that C=?1/2,which is the only value compatible with the metaplectic property.This means that x must be an even number,since1/2mod2n doesn’t exist.
The translation opeator thus constructed has,however,a problem with periodicity.
U 1x01 k,l=δk,lω?xk2/2?U 1x+2n
01 k,l=ω?xk2/2ω?2n?1k2δk,l=U 1x01
k,l
which must be addressed,since the phase space is a torus.The remedy is to de?ne the operator
M k,l=(?1)k2δk,l(4) This operator has the property that
M2 k,l=δk,l=I2n×2n(5) Therefore the operators
C±=
I±M
since
M ·C ±=±C ±
The (left)translation operator may be constructed from the right translation operator through the identity
U 01?10 1?y 01 0?110 =U 01?10 U 1?y 01 U 0?110 and the expression for the unitary operator that realizes the discrete Fourier transform
F ≡U 0?110 k,l
=12n ωk ·l The classical motion described by the diagonal matrix
d ?10
0d
is a dilatation.We make the following Ansatz for the corresponding unitary operator
U d ?100d k,l
=δk,d ·l (8)It is equally straightforward to verify that it satis?es the group property and the meta-plectic property.It is worth noting that this is a permutation operator and may be used to construct non-commutative solitons[13].
We thus obtain the matrix elements for the left translation operator
U left (y )≡U 10y 1 k,l =U 01?10 k,m
U 1?y 01 m,m ′U 0?110 m ′,l =12n ω?km ωym 2/2δm,m ′12n
ωm ′l =1
The left translation operator thus obtained is a generalized Gau?sum,
σn(p,q)=1
2n
2n?1
k=0ωpk2+qk(10)
that reduces to the usual Gau?sum,σn(p)[14],for q=0.
The usual Gau?sum,σn(p),has the value
σn(p)=(?2n|p)ε(p)(1+i)
where(?2n|p)is the Jacobi symbol[14](equal to1if?2n is a quadratic residue mod p and?1otherwise)andε(p)is equal to1if p≡1mod4and i if p≡3mod4.The result is summarized in the following table:
pσn(p,q)
2m p′
√
any0
even4p(?2n|p)ε(p)(1+i)
2l q′2m p′√p′σ
n?m
(p′)(m Including the projector leads to computing the sum 1 2n 2n?1 k=0ωpk2+qk 1+(?1)k√ √√ 2 σn?1(cd?1,kd?1?l) 2n+1 (11) The case,when a and d are both even and b and c are both odd may be related to this one through the observation even odd odd even = odd′even′even′odd′ 0?110 Thus,if we de?ne U even odd odd even =U odd′even′ even′odd′ U 0?110 (12) then we may deduce that this evolution operator has the metaplectic property,since U(A1A2)=U(A1)U(A2) j=1,2 ?J r,s U(A1A2)=U(A1A2)J(r,s)A1A2 J r,s U(A j)=U(A j)J(r,s)A j The set of elements of SL(2,Z2n)of the form odd even even odd forms a normal subgroup.Together with the set of elements even odd odd even it generates a bigger subgroup of SL(2,Z2n),which we may call H.In this paper we have constructed the metaplectic representation of H and have shown that it may be written in terms of the Fourier transform,the two translation operators and the dilatation operator. On the other hand,classical symplectomorphisms of the form odd odd odd even cannot be quantized in the same way.It is intriguing that the cube of any such element belongs to H and can be consistently quantized by the procedure we have presented. Acknowledgements:S.N.would like to thank the theory group at the NRCPS “Demokritos”for the warm hospitality and M.Axenides for stimulating discussions. E. G.F.and S.N.also acknowledge the support and hospitality of the CERN Theory Division where this work was completed. References [1]T.Banks,W.Fischler,S.Shenker and L.Susskind,Phys.Rev.D55(1997) [hep-th/9610043]; [2]A.Connes,M.R.Douglas and A.Schwarz,JHEP02(1998)003,[hep-th/9711162]; B.Pioline and A.Schwarz,JHEP08(1999)021,[hep-th/9908019]N.Seiberg and E.Witten,JHEP09(1999)032,[hep-th/9908142]; [3]A.Connes,Noncommutative Geometry,Academic Press(1994). [4]H.Weyl,The Theory of Groups and Quantum Mechanics,Dover,N.Y.(1931). [5]P.Cartier,“Quantum Mechanical Commutation Relations and Theta Functions”in Proc.Symp.Pure Mathematics,9:Algebraic–Discontinuous Groups,AMS, Providence,RI(1966). [6]E.G.Floratos,Phys.Lett.B228(1989)335. [7]G.G.Athanasiu and E.G.Floratos,Nucl,Phys.B425(1994)343.G.G.Athana- siu, E.G.Floratos and S.Nicolis,J.Phys.A:Math.Gen.29(1996)6737, [hep-th/9509098];G.G.Athanasiu,E.G.Floratos and S.Nicolis,J.Phys.A: Math.Gen.31(1998)L655,[math-ph/9805012];E.G.Floratos and S.Nicolis,J. Phys.A:Math.Gen.31(1998)3961,[hep-th/9508111]. [8]E.G.Floratos and S.Nicolis,“Quantum Mechanics on the Hypercube”, [hep-th/0006006]. [9]J.Hannay and M.V.Berry,Physica1D(1980)267;M.V.Berry Proc.R.Soc.A473 (1987)183;N.L.Balazs and A.Voros,Phys.Repts.143(1986)109;J.Keating,J. Phys.A:Math.Gen.27(1994)6605. [10]R.Balian and C.Itzykson,C.R.Acad.Sci.(I)303(1986)773;E.Verlinde,Nucl. 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Bravyi,A.Kitaev,“Fermionic Quantum Computation”,Ann.Phys.298(2002)210, quant-ph/0003137]; [13]E.G.Floratos and G.K.Leontaris,Phys.Lett.B412(1997)35,[hep-th/9706156]; E.G.Floratos and S.Nicolis,“Non-commutative solitons in?nite quantum mechanics,”Nucl.Phys.Proc.Suppl.119(2003)947[hep-lat/0209032]. J. A.Harvey,“Komaba Lectures on Noncommutative Solitons and D-Branes”, [hep-th/0102076];J.A.Harvey and G.Moore,“Noncommutative Tachyons and K-Theory”,[hep-th/0009030];T.Krajewski and M.Schnabl,“Exact Solitons on Non-Commutative Tori”,[hep-th/0104090].V.P.Nair and A.P.Polychronakos,“Quan-tum Mechanics on the Noncommutative Plane and Sphere”,[hep-th/0011172];B. Morariu and A.P.Polychronakos,“Quantum Mechanics on the Noncommutative Torus”,[hep-th/0102157]. [14]https://www.doczj.com/doc/4c13873285.html,ng Algebraic Number Theory,Addison-Wesley(1970). 空间几何体的直观图 整体设计 教学分析 “空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法．用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础．因此，教科书安排了两个例题，用以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤．在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置．因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．而在平面上确定点的位置，可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置．因此，画水平放置的平面直角坐标系应当是学生首先要掌握的方法． 值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形． 三维目标 通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学思想方法． 重点难点 教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图． 教学难点：直观图和三视图的互化． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画呢？教师指出课题：直观图． 思路2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影．中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图．把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图． 推进新课 1、 Blindness is a very serious disability. 失明是非常严重的残疾。 2、 Though he is disabled, he is a gifted artist. 尽管身残疾 (的 )，他是一个有天赋的艺术家。 3、 person with a hearing and eyesight disability misses many things. 一位听力和视力残疾的人会错过很多东西。 4、 Beware of the love syndrome.当心恋爱综合症。 5、 Rosalyn had been there frequently in past years for treatment for infantile paralysis. 罗莎琳在过去的几年中频频来这里治疗小儿麻痹。 6、 Harris went on top in the last lap. 哈里斯在最后一圈跑到了最前面。 7、 He had a high ambition to be a headmaster. 他的抱负是想成为一名校长。 8、 I will love the ambitious for they can inspire me!我爱雄心壮志的人，因为他们能激励我！ 9、 We will have dictation today.我们今天要听写了。 10、 I wrote the letter at Sally's dictation . 我照萨利的口述写信。 11、 The campus is noisy today.今天校园里很吵。 12、 Do believe there is no best man, only much suitable one. 要相信没有最好男人，只有更适合的。 13、 Trees hid the entry of the cave. 洞穴的入口被树丛遮掩。 14、 Fresh air is beneficial to people's health. 新鲜空气对人的健康有好处。 15、 In other words, a classic fudge. 总之一句话，一派胡言。 16、 Mother reproached me for being too clumsy. 母亲责备我笨手笨脚。 17、 He used to be quiet, but now he is very outgoing. 他以前性格沉默少言，但现在很外向。 18、 How do you adapt to this new environment? 你要怎样适应这种新环境呢?。 19、 The bench often does duty for a table. 这条长凳经常当桌子用。 20、 The doctor told me to cut out meat for my fat. 由于肥胖，大夫叫我停止吃肉 21、 He applied his eye to the microscope. 他把眼睛贴近显微镜。 22、 She was out of breath from climbing the stairs. 爬楼梯使她上气不接下气的。 23、 A servant is known by his master's absence.主人不在就可以看出仆人的品行来。 24、 You are a milk-livered fellow!你真是一个胆小的家伙！ 25、 Thank you, my fellow colleagues. 谢谢，同事们。 26、 No joy without annoy. 没有无烦恼之快乐。 27、 I am really very annoyed about it. 我对此事真是很生气。 28、 I felt annoyance at being teased.我恼恨“别人”取笑我。 29、 I let go of all annoyance. 我放下所有烦恼。 30、 He has his faults, but all in all , he is a good guy. 他有缺点，但总的来说，他是不错的人。 单词拼读举例:Di sa bi li ty di sa bled syn drome in fan tile pa ra ly sis am bi tion am bi tious 4．3 角 第1课时角 教学目标 1．理解角的概念，能用运动的观点理解角、平角、周角的概念． 2．掌握角的表示方法，会用不同方法表示同一个角． 3．认识角的度量单位度、分、秒，会进行简单的换算和角度计算． 教学重点 1．角的定义和用不同的方法表示一个角． 2．会进行角度的换算． 教学难点 角的表示方法．角度的换算． 教学设计(设计者：) 教学过程设计 一、创设情境明确目标 A．以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？ B．在我们的生活中存在着许许多多的角，一起看一看，你能从教室中常用的物品里找出角吗？ 二、自主学习指向目标 自学教材第132至133页，完成下列问题： 1．角的概念： (1)有公共端点的__两条射线__组成的图形叫做角，这个公共端点是角的__顶点__，这两条__射线__是角的两条边． (2)角也可以看作由一条射线绕它的端点__旋转__而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的__始边__，旋转终止时的射线叫做角的__终边__． 2．角的表示： 如图所示，把图中用数字表示的角，改用三个大写字母表示分别是__∠1＝∠ADE，∠2＝∠EDB，∠3＝∠CED，∠4＝∠ABC，∠5＝∠AED__． 可用一个大字写字母表示的角是__∠A，∠B，∠C__． 3．角的度量： (1)常用的角的度量单位有__度__、__分__、__秒__；1°＝__60__′，1′＝__60__″. (2)1周角＝__2__平角＝__4__直角＝__360__°. (3)把下列各题结果化成度． ①72°36′＝__72.6__°； ②37°14′24″＝__37.24__°. 三、合作探究达成目标 探究点一角的概念及表示方法 活动一：阅读教材第132页，思考： 1．举出生活中给我们以角的形象的例子． 2．什么是角？什么是角的边？请画图说明． 3．画图说明如何表示一个角． 4．如何从旋转的角度描述角？在旋转的过程中，有哪些特殊的角？ 5．如图所示，图中共有多少个角？能用一个字母表示的角有几个？把它们表示出来， 能用三个字母表示的角是： 能用一个字母表示的角是： 【展示点评】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角 的顶点，这两条射线是角的两条边． 【小组讨论】角有哪几种表示方法？应注意什么问题？ 【反思小结】角的表示方法有4种，分别是用三个大写字母，一个大写字母，一个数字，一个希腊字母．用三个大写字母表示角时，顶点写在中间；用一个大写字 Unit 3 Under the sea 【导语】捕鲸业是世界上古老的行业之一，它的历史发展和现状如何呢？ The whaling industry is one of the oldest industries in existence.It has undergone vast changes since its beginning，primarily due to the creation of the International Whaling https://www.doczj.com/doc/4c13873285.html,mercial whaling still continues throughout the world，but the whaling quotas are restricted by the commission，thereby helping conserve the whale populations. Whaling refers to hunting wh ales primarily for their oil，meat and bones.Whaling dates back to prehistoric times，most prevalent in Norway and Japan.The hunt became an industry in the 1600s in the Arctic regions，mostly by the Dutch and British.American colonists started whaling in the 1700s.Nantucket whalers were the first to kill a sperm whale，and the discovery of spermaceti in the whale's head made the sperm whale one of the most highly prized catches.Whaling ships set out from New England into the Pacific for extremely long voyages to hunt down these whales. Whaling industry has been a part of a variety of countries' industries.The following countries were the earliest pioneers in the whaling industry：England，France，Germany，Iceland，Japan，the Netherlands，Norway and the American colonies (although they were not a country at the time)．The following countries still practice whaling in some form or fashion：Canada，Greenland，the Grenadines，Iceland，Indonesia，Japan，the Netherlands，Norway，Russia and the United States. 【词海拾贝】 1．vast adj.广阔的；巨大的 2．primarily adv.首先；最初 3．commission n．委员会 4．commercial adj.商业的 5．quota n．配额 6．prevalent adj.盛行的 7．sperm whale 巨头鲸；抹香鲸 【问题思考】 1．What helps conserve the whale populations? _______________________________________________________ 答案：The whaling quotas. 《遥感图像处理》课程作业 常见遥感图像空间域滤波器 一、实验目的 通过查找各种常见空间域滤波的卷积模板，了解其特点与应用，并应用卷积模板对图像进行操作，对比原图和进行滤波后的图像，进一步理解遥感图像空间域滤波的原理和方法，为今后进行遥感图像滤波处理做好基础知识上的准备。 二、实验原理 空间域滤波是在图像空间中借助模板对图像进行领域操作。空间滤波器都是基于模板卷积，将模板在图中移动并使模板中心与图中某个象元重合，然后将模板上的系数与模板下对应的象元灰度值相乘求和，最后把所得值赋给中心象元。 空间滤波一般分为线性和非线性滤波两种。而根据其功能则主要分为平滑滤波器和锐化滤波器。 三、实验操作 在PCI软件的ImageWork模块下Tools -> Filter 工具中，以软件自带遥感图像irvine.pix的Band 1为输入波段，在自定义卷积模板中输入各常见模板进行计算。 四、实验结果 （一）平滑滤波器 平滑一般用低通滤波实现，目的是将图像模糊化，在提取较大目标前去除不必要的细节；消除噪声。 1、高斯滤波 线性平滑滤波，适用于消除高斯噪声，广泛应用于图像处理的减噪过程。 2、高斯滤波卷积算子 3、五点均值滤波算子 5、领域平均算子 6、均值滤波器 均值滤波为线性滤波，其采用的主要方法为邻域平均法。 7、中值滤波 中值滤波可以消除图像中的长尾噪声，例如负指数噪声和椒盐噪声。在消除噪声时，中值滤波对图像噪声的模糊极小（受模板大小的影响），中值滤波实质上是用模板内所包括像素灰度的中值来取代模板中心像素的灰度。中值滤波在消除图像内椒盐噪声和保持图像的空域细节方面，其性能优于均值滤波。 （二）锐化滤波器 锐化一般通过高通实现，增强被模糊的细节，进行边缘提取检测。 8、拉普拉斯算子（线性锐化滤波器） Unit 3 Underthesea 基础知识默写篇 一、分层单词 写作词汇 1. vt.放弃;遗弃;抛弃 2. vt.当场见到;目击 n.目击者;证人;证据 3. vi.& n.暂停;中止 4. vt.拖;拉;扯 5. vi.逃避;逃跑 vt.逃离 6. n.住所;住宿 7. n.关系;血缘关系;交往 8. adj.好的;整齐的;匀称的 9. adj.生动的;鲜明的;鲜艳的 10. adj.纯的;纯粹的;纯洁的 11. prep.在……对面 adj.相对的;相反的 12. vt.催促;极力主张;驱策 13. vi.思考 vt.映射;反射;思考 14. adj.意识到的;知道的 阅读词汇 1.jog vi.&vt. 2.dive vi.& n. 3.suck vt.& vi. 4.conservation n. 5.target n. 6.boundary n. 7.pension n. 8.annual adj. & n. 9.narrow adj. 10.shallow adj. 11.steep adj. 12.awesome adj. 13.seaside n.&adj. 14.telescope n. 15.teamwork n. 16.dimension n. 拓展词汇 1. n.深(度);深处→adj.深的adv. 深深地 2. adj.好吃的;可口的→ n.味道;品位;鉴赏力v.尝;品尝;有……的味道 3. adj.意识到的;知道的→ n.意识;认识 4. vi.思考vt.反射;思考→ n.反射;思考 5. adj.锐利的;锋利的;敏捷的→v.(使)变得锋利 6. vt.催促;极力主张;驱策→ n.紧急;迫切;催促→adj.紧急的;迫切的;催促的 7. vt.恐吓 vi.受惊吓→adj.害怕的 二、高频短语 1. 帮助(某人)摆脱困境或危难 2. 对……知道、明白;意识到…… 3. 举起;阻碍 4. 整理;收拾 5. 在此期间;与此同时 6. 靠近 7. upside down 8. (be) scared to death 9. aim at 4.3.1 角 一、单选题 1、如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠CON=55°，则∠AOM的度数为 （） A、35° B、45° C、55° D、65° 2、如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形 内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（） A、90°＜α＜180° B、0°＜α＜90° C、α=90° D、α随折痕GF位置的变化而变化 3、如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC：∠EOD=1：2，则∠BOD等于（） A、30° B、36° C、45° D、72° 4、下列说法中正确的是（） A、两点之间线段最短 B、若两个角的顶点重合，那么这两个角是对顶角 C、一条射线把一个角分成两个角，那么这条射线是角的平分线 D、过直线外一点有两条直线平行于已知直线 5、两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（） A、一对邻补角的平分线互相垂直 B、一对同位角的平分线互相平行 C、一对内错角的平分线互相平行 D、一对同旁内角的平分线互相平行 6、如图，AB∥CD，CE⊥BD，则图中与∠1互余的角有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 7、如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E、F，EG平分∠AEF，若∠2=40°，则∠1的度数是 （） A、70° B、65° C、60° D、50° 8、如图，已知l1∥l2， AC、BC、AD为三条角平分线，则图中与∠1互为余角的角有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 Unit 3 under the sea 1.witness (1) v 当场见到，目击 . 在我昨天回家的路上路上我亲眼目睹一场事故。 (2) v表明，说明Her flushed（通红）face she felt. 她通红的脸表明他、她感到非常高兴。 (3) v 为…作证常与to 连用witness to 为某事作证说 He enter the room. 他作证说他看到那个人进入房间。 (4) n (C) “目击者，证人”常与to连用be a witness to 是…的目击者 The police found the witness to the murder case. 警察找到了那个谋杀案的目击者 (5) n (C,U) 证词，证据，证明give witness on behalf of 替…作证 The old man an accused person. 那位老人为被告作证。 2. sort (1) vt 把…分类,拣选 She is . 她正忙于给信件分类。 (2) sort out 整理（好） I 我已把信分好 (3) n 种类，类别 A hammer is .斧头是一种工具。 He’s the sort of person I really dislike. (4)词组sort of 颇为，有几分I feel . 我感觉有点生病了。 all sorts of 相当于all kinds of 3. accommodation (1) 房间，住所The accommodation of this hotel is scare. （不足） (2) 膳宿（常用复数） 我们今晚能找到旅馆住宿吗？Can we ____find accommodations at a hotel__ for tonight? (3) accommodate 向…提供住处，接纳(v) 相关短语：(1) make accommodations for 为…提供膳宿(2) book accommodation at a hotel 在旅馆预订房间 (4) accommodate …to = adapt… to 使…适应 You will have to accommodate yourself to the situation. 4. yell（1）v.叫喊。 （1）yell(out) at sb.朝某人大喊大叫 .她对淘气的孩子大喊大叫。 They yelled at him to stop. （2）n. /叫声，喊声 E.g. a yell of delight / warning 5. throw (1) 投，掷，扔，抛 Throw the ball to your younger brother. He was thrown into prison.被关进… (2) 匆忙或随便穿/脱 He threw a blanket over the injured man. 他匆忙给伤者披上毯子。 人教版七年级数学上 4．3．1 角 教学目标：1．认识角，掌握角的两种定义形式及四种表示方法． 2．认识角度的单位；会初步进行角度的度、分互化运算． 教学重点：角的概念与角的表示方法． 教学难点：对角的概念的理解． 教学准备：三角尺、量角器、多媒体课件 教学设计 一、设置情境，导入新课 播放多媒体课件，展示图片、实物等 1、观察下面实物图片，你发现这些实物图片中有什么相同图形吗？ 2、你能把观察到的图形画在练习本或黑板上吗？这都是什么图形呢？ 3、从这些不同的图形中，你能归纳出它们的共同特点吗？ 二、自主探究 1、角的定义（1）【静态角的定义】 请同学们在你的练习本上任意画一个角,提问： （1）你能指出所画角的边和顶点吗？ （2）角的两边是前一节刚学过的什么图形，它们的位置关系如何？ （3）你能描述一下怎样的几何图形叫做角吗？ 在学生充分发表自己对角的认识的基础上，师生共同归纳总结得角的定义 角是由具有公共端点的两条射线组成的图形。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。 如图，角的顶点是O ，两边分别是射线OA 、OB 。 2、角的表示 那么如何表示一个角呢?角的表示方法课本P132图4.3-2说得比较清楚，请同学们通过课本探究，角有几种表示方 法 。请讲讲你的看法。 3、归纳：角的表示法 ① 用三个大写字母及符号“∠”表示． 三个大写字母分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间． 如上图的角，可以记作∠AOB 或∠BOA ．【角的符号+三个大写字母】 ② 用一个大写字母表示．这个字母就是顶点．如上图的角可记作∠O ．【角的符号+表示顶点的字母】 注意：当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示． ③ 用一个数字或一个希腊字母表示． 在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上希腊字母或数字． 如图的两个角，分别记作∠α、∠1 【角的符号+数字或希腊字母】 4、练习1 1.把图中的角表示成下列形式： ①∠APO ②∠AOP ③∠OPC ， ④∠O ⑤∠COP ⑥∠P 。 O B A α 1P O C A 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/4c13873285.html, 一个线性算子的特征向量空间 作者：金亚东徐森林 来源：《江苏理工学院学报》2015年第02期 摘要：线性算子A=（x）=[（t2-1）x′]′，当λ=n（n+1）时，λ为A的本（特）征值，它相应的本（特）征向量为Legendre多项式，且特征向量空间是1维的；当λ≠n（n+1）时，λ 不为A的本（特）征值。 关键词：线性算子，特征向量空间，Legendre多项式 中图分类号：O21文献标识码：A文章编号：2095-7394（2015）02-0005-05 0 引言 泛函分析是现代数学中的一门较新的数学分支。它起源于数学物理中的变分问题、边值问题，概括了经典数学分析、函数论中的某些重要概念、问题和成果，又受到量子物理学、现代工程技术和现代力学的有力推动。它综合地应用分析的、代数的和几何的观点和方法去研究分析数学、现代物理及现代工程技术提出的许多问题。随着泛函分析本身不断地深入发展，现在它已经成为一门内容丰富、方法系统体系完整、应用广泛的独立分支。同时泛函分析的概念和方法已渗透到现代纯粹数学和应用数学、理论物理和现代工程技术理论的许多分支，例如：微分方程、概率论、计算方法、量子场论、统计物理学、抽象调和分析、现代控制理论、微分几何等方面。现在，泛函分析对纯粹数学和应用数学产生了重大的影响。 泛函分析可分为线性泛函分析和非线性泛函分析两大部分。由于线性问题比较容易研究，因此，线性泛函分析要比非线性泛函分析成熟的多。而线性算子和线性泛函是泛函分析研究的基本对象。 1 定义与定理 定义1 设Λ是实数或复数域，X和Y为Λ域上的两个线性空间，D是X的线性子空间，T是D到Y的一个映照，对x∈D，设x经T映照后的像为Tx或T（x）。如果对任何x、 y∈D以及数α、β∈Λ， 有T（αx+βy）=αTx+βTy成立，就称T为线性算子，称D为T的定义域，也记为D （T）。[1] 定义2 设X是线性空间，λ是一个数，T是XX的线性算子。如果有X中非零向量x∈D （T），使得T（x）=λx，则称λ是T的特征值（或本征值），而x为T（相应于特征值λ）的特征向量（或本征向量）。[2] Unit 3 Under the sea 语言点 编稿：牛新阁审稿：王春霞 学习目标 重点词汇 annual witness accommodation opposite yell pause drag depth urge abandon target reflect scare awesome 重点短语 in the meantime be aware of ahead of ... to death help （...）out upside down 重点句型 It takes sb. some time/ ... to do sth.的变化 a time when... 知识讲解 重点词汇 annual 【原句回放】It was a time when the killer whales, or “killers” as they were then called, helped the whalers catch the baleen whales that were on their annual migration. 那个时期，虎鲸（当时被称为“杀手”）帮助捕鲸人在每年须鲸迁徙时捕捉须鲸。 【点拨】annual adj. 1. 每年的，一年一次的 the annual output 年产量an annual report 年度报告 Steel output reached an annual figure of one million tons. 钢的年产量达到100万吨。 2. 按年度计算的 the annual income 年收入the annual rainfall 【拓展】annually adv. 每年地，年度地 witness 【原句回放】I thought, at the time, that this was just a story but then I witnessed it with my own eyes many times. 当时我以为这只是一个故事罢了，但是后来我亲眼见过多次。 【点拨】witness vt.& vi.亲眼看见，目睹，作证； n.见证人；目击者（与of连用） We were witnessing the most important scientific development of the century. 我们正目睹着本世纪最重要的科学发展。 We witnessed great changes in the city. 我们见证了这个城市的巨大变化。 The police found the witness of the murder case. 警察找到了那起谋杀案的证人。 There was no witness at the scene of the accident. 在事故现场没有目击证人。 【拓展】常见搭配：witness to (doing...)为……作证 bear / give witness to 为......作证 in witness of 作为......的证据 a living witness to 活生生的证人 witness stand 证人席(美)＝witness box (英) He witnessed to having seen the man enter the building. 模块7各单元词汇和短语复习 Unit 1 Living Well Part One 根据首字母或汉语提示写出完整的单词: 1. An unexpected accident made Sang Lan a girl with a physical d____________, but she never gave up. 2. We often observe the tiny cells with m______________ in our biology classes. 3. The production of iron and steel is the most important i______________ of the city. 4. Taiwan is part of China and not an i_______________ state. 5. I have passed all the exams and I am waiting to get the graduation c_______________. 6. A place is a______________ if it is possible to reach it. 7. I was not alone on the journey. Instead, I had so many c________________. 8. You can refer to old people in general as the _______________. 9. When something can help people or improve their lives, we say it is ______________ to people. 10. When the disabled meet with difficulty, we should do what we can to give them a___________. 11. One of his ________________ (志向) is to become a world-wide famous pop singer. 12. He was _____________(笨拙的) with a tool. 13. The patient’s _______________(呼吸) grew stronger and stronger. 14. Who took his place and controlled the company during his ________________ (不在) ? 15. I’m going to give some suggestions to this famous ________________(建筑师). 16. A man’s _______________（尊严）doesn’t depends on his wealth but on his character. Part Two 一、词形变换（用所给词的适当形式填空） 1. The ______________ is good at ______________ TV plays from the stories he reads about or hears. (adapt) 2. The country used to be _____________ on Britain in many ways, but now it has become absolutely_______________. (depend) 3. We have ___________ a lot from the co-operation and I’m sure it will continue to be ________ to both of us. (benefit) 4. Her _____________ lecture ____________ all of us. We won’t forget her ____________. (encourage) 5. ______________ people should be treated equally in spite of their ______________. (disability) 6. You were _____________ yesterday, Tom. Can you tell me the reason for you _____________? (absent) 7. The ______________ serving the passengers on the train is of good_______________. (conduct) 8. ________________ countries pay much attention to the development of ________________. (industry) 二、翻译句子 1. 应该给残疾人尽可能多的鼓励和援助。 ______________________________________________________________________________ 2. 换句话说，这些措施对我们的工业发展是有益的。 ______________________________________________________________________________ 3. 总之，在学校寄宿(board)能帮助学生学会独立。 ______________________________________________________________________________ 4.3 角 4.3.1 角 【知识与技能】 通过丰富的实例，帮助学生理解角的形成，建立几何中角的概念，掌握角的两种定义形式和四种表示方法. 【过程与方法】 通过在图片、实例中找角，培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力. 【情感态度】 通过实际操作，体会角在实际生活中的应用，培养学生积极参与数学学习活动的热情和对数学的好奇心与求知欲. 【教学重点】 角的概念与角的表示方法. 【教学难点】 正确理解角的概念. 一、情境导入,初步认识 展示实物（如时钟、红领巾等），播放多媒体课件. 1.观察实物与图片，你发现其中有什么相同图形吗？ 2.你能把观察得到的图形画在本子上或黑板上吗？这是一些什么图形？ 3.从黑板上这些不同的图形中，你能归纳出它们的共同特点吗？ 二、思考探究，获取新知 在学生充分发表自己对角的认识的基础上，师生共同归纳得出：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 探究1 下面的三个图形是角吗？ 【教学说明】教师让学生分小组交流，说说生活中的角，然后小组内互相交流并 做记录，最后各组选派代表发言. 探究2 在刚才的讨论中，我们发现了生活中有许多角的形象.那么，我们如何给这些角取名呢？ 1.角通常用三个大写字母及符号“∠”表示.三个大写字母应分别写在顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间.如∠AOB，“O”表示顶点，“A、B”表示两边上的任意点. 2.角也可用一个大写字母表示.这个字母应写在顶点上.但当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示. 3.角还可用一个数字或一个希腊字母表示.在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上数字或希腊字母. 【教学说明】这里所讲的是“角”的表示，教师要向学生讲清楚角的写法，这对学生以后的学习会大有帮助. 探究3 如何定义角？ 1.播放录像：一艘轮船正在大海上打开探照灯寻找目标. 2.多媒体演示：一只挂钟的钟摆不停地摆动. 思考：在观看过程中，有以新的方式出现的角吗？ 在讨论的基础上，归纳：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 继续演示：当射线OA绕点O旋转时，当终止位置OB和起始位置OA成一条线时，会形成什么角？继续旋转，当OB和OA重合时，又形成什么角？ 三、典例精析，掌握新知 例1 我们已学过角的三种表示方法,请你试用适当方式表示下图中每个角.能行吗? 【分析】表示一个角通常有三种方法:(1)用三个大写字母表示,应注意顶点字母必须在中间,如∠AOC;在不会混淆时也可以用一个大写字母表示,如∠A;(2)用阿拉伯数字表示,如∠1;(3)用希腊字母表示,如∠β. 解:图中的角可表示为∠AOC或∠1,∠AOD,∠AOB,∠COD,∠COB,∠DOB或∠β. 【教学说明】在描述图中的角时,也应注意顺序,如以OA为边的角全部表示出来,把以OC为边的角给全部描述完,再把以OD为边的角给全部表示出来,如此继续下去, 《角》 本节课学习角的定义，角的表示方法，用运动的方式描述角，周角、平角等概念。本节课的许多知识学生在前一学段有初步的了解，但比较分散，现在要比较系统地学习，进一步 加深认识。学生对进一步学习图形与几何知识的方法还不能很快适应，特别是对于对象的文字和符号描述，必须紧密联系图形，这一认识需要一个逐渐熟悉的过程，这对今后的学习很 重要。 【知识与能力目标】 1、理解角的定义及相关概念。 2 、用运动观点理解角，平角，周角等概念。 3、掌握角的表示法。 4、学会度、分、秒的换算。 【过程与方法目标】 初步培养学生利用变化观点，揭示事物间的相互联系，渗透类比，联想，转化等数学思想。 【情感态度价值观目标】 培养学生主动探索，敢于实践意识，锻炼学生用联系的方法思考问题。 【教学重点】 会用不同的表达式方式表示一个角，会进行角度之间的换算。 【教学难点】 角度单位之间的换算。 收集相关文本资料，相关图片，相关动画等碎片化资源。 一、情境引入 问题1：我们知道，线段是一种基本的几何图形，角也是一种基本的几何图形。在小学我们已对角有些粗浅的认识，本节课在已有的知识基础上，我们将对角作进一步的研究。 教师总结： 角也是一种基本的几何图形，钟面上的时针与分，棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们角的形象。 二、新课学习 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共的端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 角的表示方法： （1）用三个字母来表示（顶点字母写在中间） （2）当顶点处只有一个字母时，可以用顶点字母来表示。 （3）用希腊字母表示. （4）用阿拉伯数字表示 新知应用：1. 判断下面各角的表示方法是否正确。 2. 下面表示∠DEF的图是( ) 3.完成已下各题（1）写出图中能用一个字母表示的角；（2）写出图中以B为顶点的角；（3）图中共有几个角。 1.2.3 空间几何体的直观图教案 一、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图、空间几何体的直观图。 （2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3．情感态度与价值观 （1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对比在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图。 难点：直观图与三视图的转换。 三、学法与教学用具 1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2．教学用具：ppt 课件，三角板、圆规 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：棱柱 把实物棱柱放在讲台上让学生画。 2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。 （二）研探新知 1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 斜二测画法的步骤： (1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O .画直观图时，把它们画成对应的x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，且使y o x '''∠＝ 45（或 135），它们确定的平 第5讲Under the sea 词汇篇 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.熟练掌握重点单词及其用法； 2.能够熟练运用重点短语和句型。 一. 重点词汇 1.annual adj. 每年的；按年度计算的n. 年刊；年鉴 [重点用法] annually adv. 年年地，每年地 [典例] 1) an annual income. 年收入 2) an annual report年度报告 3) Premier Wen Jiabao noted that the two most important problems would be previous to anything else in the government annual report.温家宝总理在政府年度报告中指出要优先解决这两大问题。 2.witness n. 目击者；证人；证据vt. 当场见到；目击 [典例] 1) He is the witness to the accident. 事故的目击者 2) This old auditorium has witnessed many ceremonies. 这个古老的礼堂内举行过许多次典礼。 3.accommodation住所 [重点用法] accommodate v.向...提供，容纳，调和；适应 accommodation address临时通讯处 accommodation allowance膳宿津贴 [典例] 1) The high cost of accommodation makes life difficult for students in London. 由于住宿费用昂贵，伦敦的学生感到生活困难。 2) The university offers excellent accommodation for summer visitors. 这所大学为夏季来访者提供了很好的住宿。 4.abandon vt. 放弃；遗弃；抛弃n. 放任，狂热 [重点用法] abandon oneself to sth./doing sth. 沉溺于 abandon …to sb. 把……舍弃给…... with abandon放任地；放纵地；纵情地 [典例]空间几何体的直观图 说课稿 教案 教学设计
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