难点17 三角形中的三角函数式
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧.
●难点磁场
(★★★★★)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B .B
C A cos 2
cos 1cos 1-
=+，求cos
2
C
A -的值.●案例探究
［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？
命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.
知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.
技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.
解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3
3
(千米)在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°
)/(3026
1
3303
30)3()33(
2222时千米=÷=+=+=
∴AB AC BC (2)∠DAC =90°－60°=30°
sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =
1010
3
3
303=
=BC
AB
sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°1010
3
=
.20
10)133()10103(121232-=-?-在△ACD 中，据正弦定理得
CDA
AC
DCA AD sin sin =
，
∴133920
10
)133(1010333sin sin +=-?
=?=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为
13
3
9+千米.［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2
C
A -，f (x )=cos
B (
C
A cos 1
cos 1+
). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域.命题意图：本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题.错解分析：考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题.
技巧与方法：本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和
差化积和积化和差公式.在求定义域时要注意|2
C
A -|的范围.
解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°
,
342122
1)cos()cos(2cos
2cos
2cos cos cos cos 21)(22
-=-+-=-++-+=
?+?=x x
x x C A C A C
A C A C A C A x f ∵0°≤|
2C A -|＜60°，∴x =cos 2
C A -∈(21
，1]
又4x 2－3≠0，∴x ≠
23，∴定义域为(2
1
，23)∪(23，1］.(2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=3
423
422
112
22--
-x x x x =
)
34)(34()34)((22
2
2
12121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，
x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0
即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(
2
3
，1］，则4x 12－3＞0.4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0.
即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(
21,2
3
)和(23，1]上都是减函数.
(3)由(2)知，f (x )＜f (
21)=－2
1
或f (x )≥f (1)=2.故f (x )的值域为(－∞，－2
1
)∪［2，+∞).
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘.
●歼灭难点训练一、选择题
1.(★★★★★)给出四个命题：(1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形.以上正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4二、填空题
2.(★★★★)在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2
tan
2tan 32tan 2tan C
A C A ++的值为__________.
3.(★★★★)在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =5
4
，
则cos2(B +C )=__________.
三、解答题
4.(★★★★)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.
5.(★★★★★)如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正
弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin r
θ
，
其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？
6.(★★★★)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，2
7
cos 22sin 42=-+A C B .
(1)求角A 的度数；
(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值.
7.(★★★★)在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =
2
π
，试求∠A 、∠B 、∠C 的值. 8.(★★★★★)在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值.
参考答案
难点磁场
解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α=
2C
A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， ,
43cos cos sin 43cos 41cos sin 2
3cos 211sin 23cos 211)
60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα
=α-αα=α+α+α-α=α-?+
α+?=+C A 所以 依题设条件有
,cos 2
43
cos cos 2B
-=-
αα .224
3cos cos ,21cos 2-=-αα
∴=B
整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )
(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，
∴2cos α－2=0.从而得cos
2
2
2=
-C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120°
22cos 1
cos 1,2260cos 2-=+∴-=?-C
A
①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C
②，
利用和差化积及积化和差公式，②式可化为
)]cos()[cos(22
cos 2cos 2C A C A C
A C A -++-=-+
③，
将cos 2C A +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得：
)cos(22
2
2cos
C A C A --=-
④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2
C
A -－32=0，(*)，
.
2
2
2cos :,022cos 2,032cos 22,
0)32
cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得
歼灭难点训练
一、1.解析：其中(3）(4）正确. 答案： B
二、2.解析：∵A+B+C =π，A+C=2B ，
.
32
tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=
+∴C
A C A C A C A C A C A 故π 答案：3
3.解析：∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°. ∵cos(2A +C )=－
54，∴sin(2A+C )=5
3
. ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B =54.故cos B =5
3
. 即sin(A+C )=
54，cos(A +C )=－5
3
. ∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－25
24
， ∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－1=625
527
. 答案：
625
527
三、4.解：如图：连结BD ，则有四边形ABCD 的面积：
S =S △ABD +S △CDB =
21·AB ·AD sin A +2
1
·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C
故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =2
1
(2×4+6×4)sin A =16sin A
由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ，
∴64cos A =－32，cos A =－2
1
，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°=83.
5.解：R =r cos θ，由此得：2
0,cos 1π
<θ<θ=R r ，
R R h R
k I R k R k I R k R k r k I 22
tan ,33sin ,392)32
()()sin 1)(sin 1(sin 2)(2)cos (sin cos sin sin 2
3
22222222222
22=θ==θ?≤
?≤θ-θ-?θ?=θ?θ?=θ?θ?=θ?=此时时成立等号在由此得
.
12
21:23 2:3,3.
3)(2
1
221cos 2cos :)2(60,1800,
2
1
cos ,01cos 4cos 45
cos 4)cos 1(4,2
7
1cos 2)]cos(1[2:
,1802
7
2cos 2sin 4)1(:.6222222222222?
??==???==???==+==+==-+∴=-+∴=-+=
?=∴?<
a c
b A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解
7.解：由a 、b 、3c 成等比数列，得：b 2=3ac
∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－2
1
)［cos(A +C )－cos(A －C )］
∵B =π－(A+C ).∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2
π
］
即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=－2
1
.
∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π.又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C =12
π
.
8.解：按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABC 中， ∠APB =180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ，
由正弦定理知：APB
AB
BAP BP sin sin =
.∴BP =)120sin(sin θθ-?a 在△PBD 中，?
=
-???==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θ
θθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以, .3
)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++?=-????=
∴θθθθa
a x
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时， sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(3
23-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－
3.
高考数学解答题17题常见类型 1.【优质试题高考湖南，文17】设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =. （I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3 sin sin cos 4 C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 2.【优质试题山东，文17】 ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c . 已知 cos ()B A B ac = +==求sin A 和c 的值. 3.【优质试题高考陕西，文17】ABC ?的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与 (cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ；(II) 若2a b ==求ABC ?的面积. 4.【优质试题高考四川，文19】已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tanA 、tanB 是关于方程x 2 px －p ＋1＝0(p ∈R )两个实根. (Ⅰ)求C 的大小(Ⅱ)若AB ＝1，AC ，求p 的值 5.【优质试题高考天津，文16】△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的 面积为,1 2,cos ,4 b c A -==- （I ）求a 和sin C 的值;（II ）求πcos 26A ?? + ?? ? 的值. 6.【优质试题高考新课标1，文17】已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B = ，且a = 求ABC ?的面积.
三角函数专题复习 在三角函数复习过程中，认真研究考纲是必须做的重要工作。三角函数可以当成函数内容中的重要一支，要注意与其它知识的联系。 一、研究考题，探求规律 1. 从表中可以看出:三角函数题在试卷中所处的位置基本上是第一或第二题,本章高考重点考查基础知识,仍将以容易题及中档为主,题目的难度保持稳定,估计这种情况会继续保持下去 2. 特点:由于三角函数中，和差化积与积化和差公式的淡出,考查主体亦发生了变化。偏重化简求值,三角函数的图象和性质。考查运算和图形变换也成为了一个趋势。三角函数试题更加注重立足于课本,注重考查基本知识、基本公式及学生的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低。三角化简、求值、恒等式证明。图象。最值。 3、对三角函数的考查主要来自于：①课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题的基础上组合、加工和发展的结果。②历年高考题成为新高考题的借鉴，有先例可循。 二、典例剖析 例1：函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是 A ．2(,)33ππ B ．(,)62ππ C ．(0,)3π D ．(,)66 ππ- 【解析】函数22()cos 2cos 2 x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2 t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22 t ∈-， ∴ 原函数此时是单调增，选A 【温馨提示】求复合函数的单调区间时，需掌握复合函数的性质，以及注意定义域、自变量系数的正负.求复合函数的单调区间一般思路是：①求定义域；②确定复合过程；③根据外层函数f(μ)的单调性，确定φ(x)的单调性；④写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子，并解出x 的范围；⑤得到原函数的单调区间（与定义域求交）.求解时切勿盲目判断. 例2、已知tan 2θ=． （Ⅰ）求tan 4πθ??+ ??? 的值； （Ⅱ）求cos2θ的值． 【解析】 （Ⅰ）∵tan 2θ=， tan tan 4tan 41tan tan 4π θπθπθ+??∴+= ???-
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式
绝密★启封并使用完毕前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A={x|–2x1}，B={x|x–1或x3}，则A B= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （2）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 （A）(–∞，1) （B）(–∞，–1) （C）(1，+∞) （D）(–1，+∞) （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C） 5 3 （D）8 5 （4）若x，y满足x≤3， x + y ≥2，则x + 2y的最大值为 y≤x， （A）1 （B）3 （C）5 （D）9
（5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? ，则(x)f （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A ）32 （B ）23 （C ）22 （D ）2 （8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则 下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若双曲线2 2 1y x m -=的离心率为3，则实数m =_______________. （10）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=–1，a 4=b 4=8，则 2 2 a b =__________.
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
专题17 椭圆 文 考纲解读明方向 考纲解读 分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大. 2018年高考全景展示 1．【2018年全国卷II 文】已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且 ， 则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率. 点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知
识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 2．【2018年浙江卷】已知点P(0，1)，椭圆+y2=m(m>1)上两点A，B满足=2，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 3．【2018年天津卷文】设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为， . （I）求椭圆的方程； （II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值. 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ). 【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为. （II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得. 易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得 .结合，可得，或.经检验的值为. 详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,
三角函数总结及统练 一. 教学内容： 三角函数总结及统练 （一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系：商数关系： 倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2
正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =
近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为
高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
理科17题解法及评分细则 第一问： 解法一：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ?平面,CDE CD ?平面CDE ，-----------------------1分 所以//AB 平面CDE ， ---------------------------------------------------------------------2分 同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =I 所以平面//ABF 平面CDE ，-----------------------------------------------3分 因为BF ?平面,ABF 所以//BF 平面CDE . --------------------------------------------4分 解法二：取DC 中点G ，连接,BG EG ，--------------------------------------------------1分 因为//,AB CD AD CD ⊥，12 AB AD CD ==. 所以BG ∥AD 且BG AD =，------------------------------------------2分 又ADEF 为正方形，所以BG ∥EF 且BG EF =， 所以四边形EFBG 为平行四边形，所以//BF EG ，------------------------3分 又BF ?平面,CDE EG ?平面,CDE 所以//BF 平面CDE .-----------------------------4分 解法三：因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， CD AD ^，CD ì平面ABCD ， 所以CD ^平面ADEF .又DE ì平面ADEF ，故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，--------------------------1分 以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系D xyz -.--------------------------------------------------------------------2分 设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ，----------------------------3分 所以(0,1,1)BF =-u u u r ，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r ， 所以0BF DA ?=u u u r u u u r ，所以//BF 平面CDE .-----------------------------------------------------4分 第二问 解法一：因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， CD AD ^，CD ì平面ABCD ， 所以CD ^平面ADEF .又DE ì平面ADEF ，故CD ED ^.------------------------5分 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^， 以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系D xyz -. -----------------------------------------------------------6分 设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r ，-----------------------------------------------------7分 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
江苏省2019年高考数学卷第17题【探源·解析·品赏】 【2019年全国高考数学 江苏卷。17】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x cm （1）某广告商要求包装盒侧面积S （cm 2 ）最大，试问x 应取何值？ （2）某广告商要求包装盒容积V （cm 3 ）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 【解析】：本小题主要考查函数的概念与性质、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满分14分 设包装盒的高为h （cm ），底面边长为a （cm ），由已知得 . 300),30(22260,2<<-=-==x x x h x a （1） ,1800)15(8)30(842+--=-==x x x ah S 所以当15=x 时，S 取得最大值. （2）)20(26),30(22232x x V x x h a V -='+-== 由00=='x V 得（舍）或x=20. 当)20,0(∈x 时，.0)30,20(;0<'∈>'V x V 时当 所以当x=20时，V 取得极大值，也是最大值. 此时2 1=a h 即包装盒的高与底面边长的比值为1.2 【探源1】苏教版高中数学 必修一（2019年版）第93页复习题4
2)220(y x x -=)100(< 第17专题训练 函数的极值 一、基础知识: 1、函数极值的概念: (1)极大值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x <,就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值,记作()0y f x =极大值,其中0x 是 极大值点 (2)极小值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有 ()()0f x f x >,就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值,记作()0y f x =极小值,其中0x 是 极小值点 极大值与极小值统称为极值 2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 3、极值点的作用: (1)极值点为单调区间的分界点 (2)极值点是函数最值点的候选点 4、费马引理:()f x 在0x x =处可导,那么0x x =为()f x 的一个极值点?()0'0f x = 说明:①前提条件:()f x 在0x x =处可导 ②单向箭头:在可导的前提下,极值点?导数0=,但是导数0=不能推出0x x =为 ()f x 的一个极值点,例如:3y x =在()0,0处导数值为0,但0x =不是极值点 ③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无关(例如:y x =在()0,0处不可导,但是0x =为函数的极小值点) 5、求极值点的步骤: (1)筛选: 令()' 0f x =求出()'f x 的零点(此时求出的点有可能是极值点) (2)精选:判断函数通过()' f x 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否 则不是极值点 (3)定性: 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减后增→极小值点 6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。 7、对于在定义域中处处可导的函数,极值点是导函数的一些零点,所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。但要注意检验零点能否成为极值点。 8、极值点与函数奇偶性的联系: (1)若()f x 为奇函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极小(极大)值点 (2)若()f x 为偶函数,则当0x x =是()f x 的极大(极小)值点时,0x x =-为()f x 的极大(极小)值点 二、典型例题: 例1:求函数()x f x xe -=的极值. 解:()()' 1x x x f x e xe x e ---=-=- 令()'0f x >解得:1x < ()f x ∴的单调区间为: 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。高考数学经典常考题型第17专题 函数的极值
高三数学三角函数经典练习题及答案精析
最全高中数学三角函数公式
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