(1)
―木桶原理‖已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，―这个题目涉及的概念是- - -‖，而非―在哪儿做过这道题‖，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好，抓好基础正当时。
考研数学讲座（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，―一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。‖发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时―写‖与―思‖同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得―写‖的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或―依据已知条件，我首先能得到什么？‖（分析法）；
或―要证明这个结论，就是要证明什么？‖（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
―连续函数与不连续函数的和会怎样？‖
写成―连续A + 不连续B = ？‖后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
如果，―连续A + 不连续B = 连续C‖ 移项，则― 连续C －连续A = 不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如―函数在一点可导‖，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
题面上有已知条件f ′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时，lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。
数学思维的特点之一是―发散性‖。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的―1+2‖论文中有28个―引理‖，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，―写‖―思‖同步步履轻，笔下生花花自红。
考研数学讲座（3）极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，―一尺之竿，日取其半，万世不竭。‖
近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n 个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，―割而又割，即将n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。‖
国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对―过程‖的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x →x0 ；一类是x →∞ ，
―当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？‖
如果是，则称数a为函数的极限。
―无限接近‖还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
自然数n 趋于无穷时，数列1/n 的极限是0 ；x 趋于无穷时，函数1/x 的极限是0 ；
回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，
x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x 趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
x →0+ 时，对数函数lnx 趋于－∞ ；x 趋于正无穷时，lnx 无限增大，没有极限。
x →∞ 时，正弦sinx 与余弦conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y = sinx 的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了―震荡因子‖sin（1/x）。当x 趋于0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x 由0.01变为0.001时，只向中心点x = 0 靠近了一点点，而正弦sinu 却完成了140多个周期。函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。在x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地―挤‖在一起，就好象是―电子云‖。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x 趋于0 时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于
语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ 语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是
―若x 趋于∞ 时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，) 总有f（x）＞0 ‖
*―若x 趋于x0 时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0 的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正‖这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和―近朱者赤，近墨者黑‖一个道理吗。
除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x 趋于无穷时，函数的极限为0 ，则x 的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点x0 ，当∣x∣＞x0 时，) 函数的绝对值恒小于1
若x 趋于无穷时，函数为无穷大，则x 的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点x0 ，当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值全大于1
*若x 趋于0 时，函数的极限为0 ，则在0 点的某个适当小的去心邻域内，或x 的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1
（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ 时，函数的绝对值全小于1 ）
没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中―无限接近‖的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点x0 ，或充分小的数δ＞0 ，并利用它们。
考研数学讲座（4）“存在”与否全面看
定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。
1．海涅定理
观察x 趋于x0 的过程时，我们并不追溯x 从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：
定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的―充分性‖没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x 逼近x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的―必要性‖独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：
―如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。‖
唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。
2．用左右极限来描述的等价条件
用ε–δ 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：
定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为
函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。
函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
（3）突出极限值的等价条件
考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：
定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A 存在的充分必要条件是，f（x）－A 为无穷小。
从―距离‖的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A 无限接近，自然等价于
：函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0
如果记α = f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：
f（x）= A + α（无穷小）
例1 x 趋于0 时，函数exp（1/x）不存在极限。
分析在原点x = 0 的左侧，x 恒负，在原点右侧，x 恒正。所以
x 从左侧趋于0 时，指数1/x 始终是负数，故左极限f（0－0）= 0 ，
x 从右侧趋于0 时，函数趋向+∞ ，由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0时，exp（1/x）是无穷大。
但是，在这种情形下，函数图形在点x = 0 有竖直渐近线x = 0
例2 x 趋于0 时，―震荡因子‖sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。
分析用海涅定理证明其等价问题，―x 趋于+∞ 时，sinx 不存在极限。‖
分别取x = nπ 及x = 2nπ 两个数列，n 趋于+∞ 时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx 不存在极限。（构造法！）
例3 x 趋于∞ 时，函数y = arctgx 不存在极限。
分析把∞ 视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，
x 趋于+∞ 时，函数极限为π/2 ，x 趋于－∞ 时，函数极限为－π/2 ，
故，函数y = arctgx 不存在极限。
请注意，证明过程表明，函数y = arctgx 的图形有两条水平渐近线。即
－∞方向有水平渐近线y = －π/2 ；+∞方向则有有y = π/2
例4 当x → 1时，函数f (x) = (exp (1/(x－1)) )( x平方－1)∕(x－1) 的极限
（A）等于2 （B）等于0 （C）为∞ （D）不存在但不为∞
b]分析考查x → 1 时函数的极限，通常认为x 不取1 ；而x≠1 时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为 f (x) = (x+1)exp (1/(x－1))
左极限f（1－0）= 0 ，x 从右侧趋于1 时，函数趋向+∞ ，（选（D））（画外音：多爽啊。这不过是―典型不存在1‖的平移。）
例5 f（x）=（2 + exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+ sinx ∕∣x∣ , 求x趋于0时函数的极限。
分析绝对值函数y = | x | 是典型的分段函数。x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉―典型不存在1‖，这个5分题用6分钟足够了。实际上
x → 0- 时，lim f（x）=（2+0）/（1+ 0）－1 = 1
x → 0+ 时，exp（1/x）→ +∞ ，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限
lim f（x）=（0+0）/（0+1）+1 = 1
由定理（2）得x → 0 时，lim f（x）= 1
例6 曲线y = exp(1/x平方) arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有
（A）1条．（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B）分析先观察x 趋于∞ 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1 和－2 ；对于每个零点x0，直线x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有
x →∞ 时，lim y = π/4 ，曲线有水平渐近线y =π/4
其中，x →∞ 时，lim exp(1/x平方) = 1 ；im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））= 1 （分子分母同除以―x平方‖）考查―嫌疑点‖ 1和－2时，注意运用―典型不存在3‖，
f（1－0）= －eπ/2 ；f（1+0）= eπ/2 ，x = 1不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得x = －2不是曲线的竖直渐近线。
x → 0 时，前因式趋向+∞；后因式有极限arctg（－1/2），x = 0 是曲线的竖直渐近线。
啊，要想判断准而快，熟记―三个不存在‖。看了上面几例，你有体会吗？
*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：
定理（4）夹逼定理——若在点x0 邻近（或| x |充分大时）恒有g (x)≤f (x)≤h (x)，且x →x 0 ( 或x →∞) 时lim g (x) = lim h (x) = A 则必有lim f (x) = A
定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）
加上讲座（3）中的――近朱者赤，近墨者黑‖定理‖。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。
微积分还有一个名称，叫―无穷小分析‖。
1. 概念
在某一过程中，函数f（x）的极限为0 ，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。
为了回避ε–δ 语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量，不是0 ；y = 0 视为―常函数‖，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。
依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，―非法地‖使用等号来表示无穷大。（潜台词：并不表示极限存在。）比如
x 从右侧趋于0 时，lim lnx = －∞ ；x 从左侧趋于π/2 时，lim tgx = +∞
无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。
y = tgx（在x →π/2 左側时）是无穷大。在（0，π/2）内y = tgx 是无界变量
x 趋于0 时，函数y =（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。
不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E 。
2. 运算与比较
有限个无穷小量的线性组合是无穷小；―∞－∞‖则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定：
有界变量?无穷小= 无穷小无穷小?无穷小= （高阶）无穷小无穷大?无穷大= （高阶）无穷大
其它情形都没有必然的结果，通通称为―未定式‖。
例10 作数列x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
y = 0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
两个数列显然都无界，但乘积xy 是零数列。这表示可能会有无界?无界= 有界
两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即―无穷小的比较‖。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。
无穷大有类似的比较。
无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。
x 趋于0 时，α = xsin（1/x）和β = x 都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数，我们看到
x 趋于+∞ 时，y = x 的μ 次方，指数μ＞0 的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ 阶无穷大。
（潜台词：这多象汽车的1档，2档，- - - ，啊。）
x 趋于+∞ 时，底数大于1 的指数函数都是无穷大；底数小于1 的都是无穷小。
x 趋于+∞ 或x 趋于0+ 时，对数函数是无穷大。
x 趋于∞ 时，sinx 及cosx 都没有极限。正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
（1）x → +∞ 时，lim （x的n次方）∕exp（x）= 0 ，这表明：
― x 趋于+∞ 时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。‖
或者说，― x 趋于+∞ 时，函数exp（－x）是任意高阶的无穷小。‖
（2）x → +∞ 时，lim ln x∕（x的δ次方）= 0；δ 是任意取定的一个很小的正数。这表明：
― x 趋于+∞ 时，对数函数l nx 是比x 的δ 次方都还要低阶的无穷大。‖
在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为―缓增函数‖；称exp（－x）为―速降函数‖。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。
例12 设有数列Xn，具体取值为
若n为奇数，Xn =（n平方+ √n ）∕n ；若n为偶数，Xn = 1∕n
则当n → ∞ 时，Xn 是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量
分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））
请与―典型不存在1‖对比。本质相同。
例13 已知数列Xn 和Yn 满足n → ∞ 时，lim Xn Yn = 0 ，则
（A）若数列Xn 发散，数列Yn 必定也发散。（B）若数列Xn 无界，数列Yn 必定也无界。
（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。（D）若变量1∕Xn 为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小量。
分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证lim Xn Yn = 0
无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn 为无穷大。要保证lim Xn Yn = 0，Yn 必须为无穷小量。应选答案（D）。
考研数学讲座（6）微观分析始连续
微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类―分段函数‖。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。
1．函数的连续性
定义——设函数f(x) 在点x0 的邻近有定义。当x 趋于x0 时，如果函数有极限.且极限值等于函数值f (x0)，就称函数f 在点x0 连续。否则，称函数f 在点x0 间断。x0 是它的间断点。
―函数f在点x0 的邻近有定义‖意味着，如果函数在点x0 没有定义，那x0 只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。函数y = 1/x 在原点就是这样的。
―有极限‖ 意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成―左右极限存在且相等。‖
函数在一点连续的定义等式，―左极限= 右极限= 中心点函数值‖，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：―用连续定义求参数值。‖则函数可以含一个或两个参数。
如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。
最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。
―有‖，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。
介值定理——如果数c 能被夹在连续函数的两个值之间，则c 一定属于此函数的值域。
请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。
介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x) = 0 的根，可以转化为讨论函数 F 的零点。
例16 试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。
分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M = f（x1），最小值m = f（x2），闭区间[m ，M] 内的任一数 c ，自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。
例17 试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。
（潜台词：没有零点的连续函数定号。）
分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。
（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）
例18 函数f在闭区间[a，b]上连续，其值域恰好也是[a，b]，试证方程f (x) = x 在区间[a，b]上有解。
2．间断点分类
连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。
若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。
若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。
第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。
对于第二类间断，我们只学了两个特例。即
x = 0 是震荡因子y = sin（1/x) 的震荡间断点。（画外音：请联想―典型不存在（2）‖）
x = 0 是函数y = exp(1/x) 的无穷间断点。（画外音：请联想―典型不存在（1）‖）
只要函数在x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。x = x0 是图形的竖直渐近线。
考题中经常把问题平移到别的点去讨论。
例19 确定y = exp(1/x) arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。
分析函数的解析表达式中，分母有零点0 ，1 （潜台词：两个嫌疑犯啊。）
在点0 ，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0 点是无穷间断点.
在点1 ，前因子连续非零，后因子的左极限是－π/2 ，右极限为π/2，第一类间断。
三个特殊的―不存在‖记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。
例20 设函数f (x) = x∕(a + exp(bx)) 在(－∞, +∞) 内连续，且x →－∞ 时，极限lim f (x) = 0 ；则常数a ，b 满足
（A）a < 0，b < 0 （B）a > 0，b > 0 （C）a≤0，b > 0 （D）a≥0，b < 0
分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。
已知函数连续，则其分母不能为0 ，而指数函数exp(bx) 的值域为(0,+∞) ，故a ≥ 0
又，x → －∞ 时，极限lim f (x) = 0 表明，f (x) 分母是较分子x 高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx) 为无穷大，只有b < 0，应选（D）。
（画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）
*例21 已知函数f (x) 在区间[a，b]上处处有定义，且单调。若f (x)有间断点，则只能是第一类间断点。
分析（构造法）不仿设f (x) 在区间[a，b]上单增，但是有间断点x0 ；我们得证明f 在点x0 的左右极限都存在。
已设f 在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有
x → x0－时，f 单增，显然f (b) 是它的一个上界。故左极限存在。
x → x0+ 时，自变量从右向左变化，相应的f 值单减。显然f (a) 是其一个下界。右极限也存在。
构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。
考研数学指导（7）导数定义是重点
选定一个中心点x0 ，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在x0 点邻近，如果自变量x 有一个增量Δx，则函数相应该有增量Δy = f（x0+Δx）－f（x0），我们如何表述，研究及估计这个Δy 呢？
最自然的第一考虑是―变化率‖。中国人把除法称为―归一法‖。无论Δx的绝对值是多少，Δy／Δx总表示，―当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。‖
定义令Δx 趋于零，如果增量商Δy／Δx 的极限存在，就称函数在点x0 可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为
Δx → 0 ，lim（Δy／Δx）= f ′(x0)
或x →x0 ，lim (（f（x）－f（x0））／(x－x0）) = f ′(x0)
理解1 你首先要熟悉―增量‖这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Δy 研究好了，在x0 邻近，f （x）= f（x0）+ Δy ，函数就有了一个新的表述方式。
回头用―增量‖语言说连续，则
―函数在点x0 连续‖ 等价于―Δx趋于0时，相应的函数增量Δy一定趋于0‖
理解2 要是以产量为自变量x ，生产成本为函数y ，则Δy／Δx 表示，在已经生产x0 件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。导数则是点x0 处的―边际成本‖。
（画外音：―生产‖过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。）
如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在x0 状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果Δx 趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y 对x 的弹性。
理解3 如果函数f在区间的每一点处可导，就称f 在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为 f 的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。
用定义算得各个基本初等函数的导数，称为―求导公式‖。添上―和，差，积，商求导法则‖与―复合函数求导法则‖，我们就可以计算初等函数的导数。
例24 设函数f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 2 n ）), 讨论函数f(x) 的间断点，其结论为
（A）不存在间断点（B）存在间断点x = 1 （C）存在间断点x = 0 （C）存在间断点x = －1
分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。
任意给定一点x ，(视为不变。) 此时，把分母中的x2n 项看成是（x2）n ，这是自变量为n 的指数函数。令n→∞ 求极限计算相应的函数值。
鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x 给定在不同区间所可能的影响。
（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得
－1＜x＜1 时，f(x) = 1 + x ；f(1)=1 ；f(－1) = 0
而x＜－1 或x ＞1 时，恒有f(x) = 0 ，观察得x →1 时，lim f(x) = 2 ；应选（B）。
理解4 运用定理（2），―极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。‖则
―函数在点x0可导‖ 等价于―左，右导数存在且相等‖。
讨论分段函数在定义分界点x0 处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0 两側算左导数，右导数。
例25
（2）h 趋于0 时，lim (f(2h)－f（h））/h 存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。
请对比: 如果f（x）函数在0 点可导，则h→0 时，
lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h
= 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h －lim (f（h）－f(0))/ h
= 2 f ′(0) －f ′(0) = f ′(0)
（画外音：我把上述恒等变形技术称为―添零项获得增量‖。考试中心认为你一定会这个小技术。
（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在0 点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除―不存在－不存在= 存在‖的可能性。）
例26 若函数f（x）满足条件f（1+x）= a f（x），且 f ′(0) = b ，数a≠0，b≠0 ，则
（A）f（x）在x = 1 不可导。（B） f ′(1) = a （C） f ′(1) = b （D） f ′(1) =a b
分析将已知 f ′(0) = b 还原为定义lim (f(0+h)－f（0））/ h = b ,
要算 f ′(1) ，考查lim (f(1+h)－f（1））/ h
如何向f ′(0) 的定义式转化？！只能在已知恒等式上功夫。
显然f(1+h) = a f（h）；而f（1）= f（1+0）= a f（0）
lim (f(1+h)－f（1））/ h = lim a (f(h)－f（0））/ h = ab 应选（D）。
*理解5 可导的定义式，是两个无穷小的商求极限，自然也就是两个无穷小的比较。于是可以说，
连续函数f（x）在点x0 可导的充分必要条件是，x → x0 时，函数增量Δy 是与Δx 同阶，或较Δx 高阶的无穷小。
考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为―双特殊情形‖。这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x ，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，―双特殊情形‖下函数在原点可导，等价于x 趋于0 时，函数是与自变量x 同阶或比x 高阶的无穷小。
如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。
例27 设函数f（x）在点x = 0 的某邻域内有定义，且恒满足∣f (x)∣≤ x 平方，则点x = 0 必是f (x)的（A）间断点。（B）连续而不可导点。（C）可导点，且 f ′(0) = 0 （D）可导点，且 f ′(0) ≠ 0
分析本题中实际上有夹逼关系0 ≤∣f (x)∣≤ x 2 ，在x = 0 的某邻域内成立。这就表明
f（0）=0，且∣f (x)/ x∣≤∣x∣由夹逼定理得，f ′(0) = 0，应选（C）。
其中，g(x)为有界函数，则f (x)在点x = 0 （A）不存在极限（B）存在极限，但不连续。
（C）连续但不可导。（D）可导。
分析由定义得中心点函数值f（0）= 0 ；本题在―双特殊情形‖下讨论。
x ＞0 时，显然f (x)是比x 高阶的无穷小。右导数为0
x ≤ 0 时，f (x)/ x = xg(x) ，用夹逼法可判定左导数为0 ；应选（D）。
*理解6 运用定理（3），若f（x）函数在点x0 可导，即有已知极限
Δx → 0 ，lim（Δy／Δx）= f ′(x0)
于是Δy／Δx = f ′(x0) + α(x)（无穷小）；即Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx
由此即可证明，函数在点x0 可导，则一定在x0 连续。
―如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。‖经济类的考生可以这样来体验―可导一定连续‖。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。
把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。
不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。
考研数学讲座（8）求导熟练过大关
函数在一点x0 可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是―函数光滑‖。
1 典型的不可导
可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。
最简单也最实用的反例是绝对值函数y =∣x∣。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x = 0 两侧分别用定义计算，易算得右导数为 1 ，左导数是－1
进一步的反例是y =∣sinx∣在点x = 0 和y =∣lnx∣在点x = 1 连续而不可导。
从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。
连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。
y =sinx 在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是
函数y = x3 的图形叫―立方抛物线‖。在点x = 0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x = 0是立方函数的重零点。
综合上述, 在f (x)恒为正或恒为负的区间上，曲线y = | f (x) | 和曲线y = f (x) 的光滑性是一致的。
只有在f (x) 的零点处，才可能出现曲线y = f (x) 光滑而曲线y = | f (x) | 不光滑的状况。
数学三的考巻上有过这样的 4 分选择题。
例31 f (x) 在点x = a 可导，则| f (x) | 在x = a 不可导若函数的充分必要条件是
（A） f (a) = 0且f ′(a) = 0 （B）f (a) = 0 且f ′(a) ≠ 0
（C） f (a) > 0 且 f ′(a) > 0 （D） f (a) > 0 且f ′(a) ＜0
分析如果没有思路，首先联想y = x 与y = | x | 即可排除（A）；
俗语说，连续函数―一点大于0，则一段大于0‖；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。
（画外音：如果用代数语言，f (x) 可导，f (a) = 0，而 f ′(a) ≠ 0，则点 a 是f (x) 的单零点。这道题该算擦边题。）
2．讨论深化
我在讲座（2）中举例，―连续A + 不连续B = ？‖
如果，―连续A + 不连续B = 连续C‖ 则― 连续C －连续A = 不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
推理的关键在于，逆运算减法可行。
自然类似有：可导A + 不可导B = 不可导C 。比如y = x +∣sinx∣在点x = 0 不可导。
例32 函数f（x）=∣sin x∣+∣cos x∣的不可导点是（？）
分析函数为―和‖结构。无论是∣sin x∣的不可导点或∣cos x∣的不可导点，都是f的不可导点。即
x = kπ 与x = kπ +π/2 ，k = 0，±1，±2，…
更深化的问题是：可导A × (连续)不可导B ，是可导还是不可导？
比如y = x ∣x∣在点0可导吗？
与―和‖的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A≠0 时，才有C/A = B 所以
结论2（*例33）已知函数f (x) 在点x = a 可导，函数g (x) 在点x = a 连续而不可导，试证明
函数F（x）= f（x）g（x）在点x = a 可导的充分必要条件是f (a) = 0.
证明先证充分性，设 f (a) = 0 则 F (a) = 0
令h→0 , F ′(a) = lim (F(a+h)－F（a））/ h = lim f(a+h) g（a+h）/ h
= (lim (f(a + h) －f（a）)/ h ) lim g（a + h）
= f ′(a) g（a）
再用反证法证必要性。设函数 F (x) 在点x = a 可导而f (a) ≠ 0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x = a 的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。
例34 设函数f（x）可导，F（x）= f（x）（1+∣sinx∣），则f（0）= 0是F(x)在x = 0处可导的
（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。
（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A））
分析1+∣sinx∣是可导函数+ 连续不可导函数类型，在在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A）
例35 函数y =（x2－x－2）∣x3－x∣的不可导点的个数是
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
分析函数y具―积‖结构。y = f（x）g（x），可导函数f（x）= x2－x－2只有两个零点x = –1，x = 2，
而连续函数g（x）= ∣x3－x∣有不可导点x = 0 ，x = 1 ，x = –1 ；（即x3－x 的三个零点。）其中有两个不是f （x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。
实际上，x = –1 是积函数的而重零点。
3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）
函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。
求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？
对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：
―是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？‖
对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：
对幂指型函数求导，视y = f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y ′
还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。
没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。
考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟
在考研试题中，条件―f（x）连续，x 趋于0 时，lim (f（x）/x) = 1‖出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？
无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。
1 条件―f（x）连续，x 趋于0 时，lim (f（x）/x) = 1‖推理——→
信息（1），自变量x ，当然是x 趋于0 时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0 时，lim f（x）= 0
（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x = 1 + α（无穷小），即，f（x）= x（1 + α））
信息（2），已知f 连续，故f（0）= lim f（x）= 0
信息（3），（潜台词：这是―双特殊情形‖啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值 f ′(0) = 1
信息（4），(―符号体念，近朱者赤。‖) 商的极限为正数 1 ，在0 点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x 同号，左负右正。
最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。
对比：如果把条件中的分母换成―x2‖，则后两条信息就不同了。
信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0
信息（4）*，商的极限为正数 1 ，在点0 的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x 的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。
再对比：若考题把条件中的分子换成f（x）－x ，怎么办？
那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）= f（x）－x ，先对F 写出结论，再写还原讨论f（x）。
比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f（x）= F（x）+ x 也在原点可导。……。
有了高速路，找到匝道就上去了。
x →1 时，lim f（x）= 0 = f（1），实际计算f（1）得方程1+ b + c = 0
再由已知极限与极限定义得 f ′(1) = 3 ，实际求导即 2 + b =3 ；联解之， b = 1 c = －2
2．程序化的经典题目
在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为：
―求（分段）函数f (x)的导函数，并讨论导函数的连续性。‖
这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。
例37 设a为实常数，定义函数f(x)如下
x ＞0时f (x) = xasin(1/x2) , x ≤ 0时，f (x)=0
回答下列问题，并简单说明理由。
（1）在什么情况下，f (x) 不是连续函数。（2）在什么情况下，f (x) 连续但在点x = 0 不可微？
（3）在什么情况下，f (x) 有连续的导函数f ′(x) ？
*（4）在什么情况下，f (x) 可微但f ′(x) 在原点邻近无界？
*（5）在什么情况下，f (x) 可微，f ′(x) 在原点邻近有界，但f ′(x)不连续？
分析x ≤ 0 时，f (x) 恒为零，故 f (x) 在0 点左连续，且左导数为0 ；讨论的关键在于：
sin（1/x2），cos（1/x2）都是震荡因子。当x → 0+ 时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。
（潜台词：有界变量·无穷小量= 无穷小量）
解（1）a ≤ 0 时，f (x) 不是连续函数，它在点x = 0 处有第二类间断（振荡间断）。
（2）0 < a ≤1 时，f (x) 连续但在x = 0 处不可导。实际上
x→0+ 时，lim (f（x）/x) = lim x（a－1）sin（1/x2）不存在
这又表明，仅当a > 1时，f (x) 在0 点的右导数为0 ，从而f ′(0) = 0；反之则右导数不存在。
于是，a > 1时，f (x)是可导函数。且f ′(x)有分段表达式：
x≤0 时，f ′(x) = 0 ；x＞0 时，f ′(x) =ax（a－1）sin（1/x2）－2 x（a－3）cos（1/x2）
*（4）观察f ′(x)的结构，当1＜a≤3 时，它之所以会在原点邻近无界，显然是因为其后项存在有负幂因子。即1＜a ＜3 时，f ′(x) 在原点邻近无界。
（5）最后，自然有 a = 3 时，f ′(x) 在原点邻近有界，但f ′(x) 不连续。
分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——―构造法‖。
再看一例来体念―实实在在‖的―构造法‖。
例38 已知函数f（x）在x≥a 时连续，且当x → +∞ 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界。
分析（1）用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣≤ C
（2）想用分析法走一步，有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。（？！）
（3）（试探）随便选一个充分大的数b ，函数在a 与 b 组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢？
（4）需要从数值上体念已知极限：
x → +∞ 时函数有极限A ，即x → +∞ 时函数的绝对值无限靠近数A 的绝对值。
这就是说，我们可以取到充分大的数b，使x＞b 时，恒有∣f（x）∣≤∣ A∣ + 1
（5）a与b组成的闭区间上函数有最大，最小值。取其绝对值。三个正数相比较，最大的那个数就是我们需要的C
啊，我们―构造‖出了函数的一个上界。
考研数学指导（10）微分是个新起点
微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。
线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。
―能否把非线性问题线性化？‖这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓―线性化‖，只是用一个―合适的‖ 线性模型去近似非线性模型。即
非线性模型= 线性模型+ 尾项（非线性模型－线性模型），
关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。
把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0 邻近，能否有
如果能，就称函数在点x0 可微分。简称可微。记dy = AΔx ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。
将可微定义等式两端同除以Δx ，令Δx 趋于零取极限即知，若函数在点x0 可微，则
常数A 就是函数在点x0的导数f ′(x0)；从而
Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ；其中，ο(Δx) 表示―比Δx 高阶的无穷小。‖
或Δy = dy + ο(Δx) ；dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx
要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx 高阶的无穷小，如果∣Δx∣适当小,那么，绝对誤差也能相应地适当小。
不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式：
f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)
历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。
近一步可以证明，可微与可导等价。
例41 设函数f（u）可导，y = f（x平方）,当自变量x 在点x = －1 取得增量Δx = －0.1 时，相应的函数增量Δy 的线性主部为0.1 ，则 f ′(1) = _______
分析Δy 的线性主部即是微分dy ，而y′(x) = f′(u)2x , y′(1) = －2f′(1)
故dy = y′(x) dx 具体为0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得 f ′(1) = 1/2
函数f（x）在一个区间上可导时，我们记微分dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。
函数可微，且f ′(x0)≠0 时，还可以把可微定义等式变形为
Δy / f ′(x0)Δx = 1 +ο(Δx)∕f ′(x0)Δx
令Δx → 0 取极限，即知Δy 和dy 是等价无穷小。
为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x → 0 过程中
sinx ～x ；ln（1+x）～x ；exp(x)－1 ～x ；√（1+ x）－1 ～x∕2
它们都是在原点计算Δy 和dy 而获得的。最好再记住1－cosx ～x平方∕2
两条经验：
（1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在x → 0 过程中，α（x）是无穷小，则
（2）等价无穷小的差为高阶无穷小。
例42 设当x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）是比xsin(x的n次方) 高阶的无穷小；而后式是比exp（x平方）－1 高阶的无穷小，则正整数n = ？
分析x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）为4次方级的无穷小；xsin(x的n方) 是n+1 次方级；
exp（x平方）－1 是2 次方级，由已知，2＜n+1＜4 ，只有n = 2
我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。
例43 设在区间[1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。
分析（1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点 1 的左极限。
（2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成―无穷－无穷‖未定式。
（3）―计算无穷－无穷，能通分时先通分‖。通分后化为0/0 型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。
（4）公分母为π(1－x）sinπx ,可以考虑在点1 计算sinπx 的等价无穷小
因为sinπ= 0 ,故Δy = sinπx ；而dy =πconπΔx = －π（x－1）
作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。
学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0 型未定式极限。作个对比。
例44 设函数f (x) 在x = 0 的某邻域内有连续的一阶导数，且f (0)≠0 ，f ′(0) ≠0，若
a f（h）+
b f（2h）－f（0）在h → 0 时是较h 高阶的无穷小，试确定数a 和b 的值。
分析由高阶无穷小的定义得h → 0 时lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0
记F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F 连续。于是（用―基本推理‖）由极限式与连续性推出F(0)= lim F(h) =（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0
同时（F(h)－F(0)) / h = F(h) / h ，再由极限式得 F ′(0)= 0
实际上， F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0
*分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。
设想h 充分靠近0，则f（x）= f（0）+ f ′(0)x +ο(x) （中心点是原点，Δx = x －0 = x）
故f（h）= f（0）+ f ′(0)h +ο(h) f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)
从而 a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f ′(0)h +ο(h)
要它在h → 0 时是比h 高阶的无穷小，常数项和h 项系数必需为0 ，获得两个方程。
考研数学讲座（11）洛尔定理做游戏
洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。
我国的大学数学教材，通常把―费尔玛引理‖的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。）
1 费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0
分析我们复习一下―构造法‖。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。
―老老实实‖地写：设函数在区间内一点x0 取得最大值。写出增量商
(f（x）－f（x0）) /（x－x0）
―实实在在‖地想：它有什么特点呢？f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来，
增量商在x0 左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0 ）
增量商在x0 右侧恒负。故右极限即右导数非正。
函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0
（画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢。）
2 洛尔定理——若函数f（x）在闭区间[a，b] 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点ξ处导数为0
分析函数在闭区间[a，b] 连续→ 函数必有最大最小值
端值相等→ 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。
函数在（a，b）内可导→ 内部的最值点处导数为0
请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，叙述十分简明。
例47 设函数f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数f "（x）至少有一个零点。
分析―函数有两个零点‖，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足―端值相等‖条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。
设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2 ，x3
顺次取区间[x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，
ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ2
ξ1，ξ2 客观存在。它们组成区间[ξ1，ξ2] ，且f ′(x) 在此区间上端值相等。
又已知二阶导数f "（x）存在，即 f ′(x) 可导。对函数 f ′(x) 用洛尔定理就得本题结论。
本例同时展示了―逐阶运用洛尔定理‖的思路。
不要怕―点ξ‖，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。
(画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。)
3 ―垒宝塔‖ 游戏
如果函数n 阶可导，且函数有n +1 个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？
我们可以象上例那样，先把这n +1 个零点由小到大排序编号，x1，x2 ，x3 ，…… ，x n ，x n+1
再顺次组成n个区间，[x1，x2]，[x2，x3]，…… ，[x n ，x n+1]
分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n 个零点，且有大小排序
ξ11 ＜ξ12 ＜…… ＜ξ1n
同理，顺次取区间[ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，…… ，[ξ1（n－1），ξ1n]
共计n－1个区间，分别对一阶导函数f ′(x) 用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记为
ξ21 ，ξ22 ，…… ，ξ2（n－1）
…… ……
再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n 阶导数有1 个零点。
这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的―杨辉三角形‖。
就当是做游戏吧。一个―垒宝塔‖ 游戏。
― 已知…… ，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立。‖
例48 设f（x）在[0，1] 上连续，在（0，1）内可导，且f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点ξ，
使得f（ξ）+ ξf ′(ξ) = 0
分析（综合法）ξ只是一个特殊点。ξ就是方程f（x）+ xf ′(x) = 0 的根。
方程的根转化为函数g（x）= f（x）+ xf ′(x) 的零点讨论。
（潜台词：我们有―介值定理‖，―洛尔定理‖两件兵器哦。）
由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即g（x）是某个函数F（x）的导函数？！
再仔细观察g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。
（画外音：求导不熟练，肯定反应慢。）
实际上它的确是积函数F（x）= xf（x）的导函数，且恰好端值相等。
证明时只需从―作辅助函数F（x）= xf（x），…… ‖说起。
啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。
考研数学讲座（12）中值公式不为算
数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。
中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。
描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。
描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。
微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式：
f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（尾项，比Δx高阶的无穷小）
历史上，这个表达式称为，―带皮阿诺余项的一阶泰勒公式‖。
之所以是―微局部‖的描述公式，是因为只有在x0 的充分小的邻域内，―高阶无穷小‖的描述才有实际意义。
不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数
一份好的考研复习资料，会让你的复习力上加力。中公考研辅导老师为考生准备了【高等数学-极限知识点讲解和习题】，同时中公考研网首发2017考研信息，2017考研时间及各科目复习备考指导、复习经验，为2017考研学子提供一站式考研辅导服务。 模块二 极限 1、设221,0 ()0,01,0x x f x x x x ?->? ==??+
（3） () 22311lim arcsin 121x x x x x →∞++++ （4）30 tan sin lim sin x x x x →- （5）2 10lim ln cos x x e e x +→- （6）() tan sin 3 0lim ln 1x x x e e x →-- （7 ）1x →（8 ）021ln 1x x x →+ ? -?? 7、求下列极限 （1）0lim sin x x x e e x -→- （2）() 20ln 1lim sec cos x x x x →+- （3）()02sin 22lim arcsin ln 16x x x x x →-?? + ??? （4）0ln cos lim arctan x x x x x →- （5 ）0 x x → （6）0 1 1lim cot sin x x x x →??- ??? （7）2 10 lim x x xe → （8）2 1lim(ln(1))x x x x →∞ -+ 8、求下列极限 （1）( ) 1 lim x x x x e →+ （2）0 )x x π +→ （3）tan 24 lim(tan ) x x x π → （4）222lim 12x x x x x →∞??+ ?-+?? （5） ( ) 1lim x x x x e →+∞ + （6 ）tan 0lim x x +→ 9 、设)12n x x n ==≥，求lim n n x →∞ .
2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析（数三） 一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01 [()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B)
(C) (D) (3)设有下列命题： ①若2121 ()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设22 0ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==-；（B ）0,2a b ==-；（C ）50,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ） T A x b =，对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （C ）12A B --； （D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） （A ）22 11()~(1)1n i i X X n n χ=---∑； （B ）221 1(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑； （C ）22 12()~()2n i i X n χ=-∑； （D ）221 ()~()2n i i X X n χ=-∑； (8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ，若概率1 ()2 P aX bY μ-<=则（ ） （A ）11,22a b ==；（B ）11,22a b ==-；（C ）11,22a b =-=；（D ）11 ,22 a b =-=-； 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中的横线上。
高等数学 考研指定教材：同济大学数学系主编《高等数学》（上下册）（第六版）内容来自互联网，仅供参考。 第一章函数与极限 (7天)（考小题） 学习内容复习知识点与对应习题大纲要求 第一节：映射与函数 (一般章节)函数的概念，常见的函数（有界函数、奇函数与 偶函数、单调函数、周期函数）、复合函数、反 函数、初等函数具体概念和形式.（集合、映射 不用看；双曲正弦，双曲余弦，双曲正切不用看） 习题1－1：4，5，6，7，8，9，13， 15，16（重点） 1．理解函数的概 念，掌握函数的表 示法，并会建立应 用问题中的函数 关系. 2．了解函数的有 界性、单调性、周 期性和奇偶性． 3．理解复合函数 及分段函数的概 念，了解反函数及 隐函数的概念． 4．掌握基本初等 函数的性质及其 图形，了解初等函 数的概念. 5．理解极限的概 念，理解函数左极 限与右极限的概 念，以及函数极限 存在与左、右极限 之间的关系． 6．掌握极限的性 质及四则运算法 则. 7．掌握极限存在 的两个准则，并会 利用它们求极限， 掌握利用两个重 要极限求极限的 方法． 8．理解无穷小量、 无穷大量的概念， 掌握无穷小量的 比较方法，会用等 价无穷小量求极 第二节：数列的极限(一般章节)数列定义，数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性 )（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看，如P26例1，例2，例3，定理1,2,3的证明都不作要求，但要理解；定理4不用看） 习题1－2：1 第三节：函数的极限(一般章节)函数极限的基本性质（不等式性质、极限的保号性、极限的唯一性、函数极限的函数局部有界性,函数极限与数列极限的关系等） P33(例4,例5)（例7不用做，定理2,3的证明不用看，定理4不用看） 习题1－3：1，2，3，4 第四节： 无穷大与无穷小（重要）无穷小与无穷大的定义，它们之间的关系，以及与极限的关系（无穷小重要，无穷大了解）（例2不用看，定理2不用证明） 习题1－4：1，6 第五节： 极限的运算法则（掌握）极限的运算法则(6个定理以及一些推论) （注意运算法则的前提条件是否各自极限存在）（定理1,2的证明理解，推论1,2,3，定理6的证明不用看）P46(例3,例4),P47(例6) 习题1－5：1，2，3，4,5（重点） 第六节：极限存在准则（理解）两个重要极限（重要）两个重要极限（要牢记在心，要注意极限成立的条件，不要混淆，应熟悉等价表达式，要会证明两个重要极限）,函数极限的存在问题（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用夹逼法则求极限，求递归数列的极限（准则1的证明理解，第一个重要极限的证明一定要会，另一个重要极限的证明不用看，柯
2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2
（5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________ 一、解答题 1． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力． 解：如图20，建立坐标系，直线AB 的方程为 y =-x 10 +5． 压力元素为 d F =x ·2y d x =2x ??? ?-x 10+5d x 所求压力为 F =??0202x ????-x 10+5d x =? ???5x 2-115x 3200 =1467(吨) =14388(KN) 2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 3．一点沿对数螺线e a r ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t t ???ωω?=?=??= 4．一点沿曲线2cos r a ?=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率. 解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ???? ?=?==? d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2 cos 22cos .d d d x x a a t t y y a a t t ???ωω????ωω??=?=??-?=-=?=?= （20）
5．椭圆22 169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得 d d 32180d d x y x y t t ? +?= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=± 即所求点为1616,3,3,33????-- ? ???? ?. 6．设总收入和总成本分别由以下两式给出： 2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+ 其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为： ()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+= (2) 利润函数为 2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q =-=--'=- 令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82. 7．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得 ()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈. 证明：令()()e ,x F x f x =?()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ?∈，使得()0 F ξ'= ，即()e ()e f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈ 8．求下列曲线的拐点： 23(1) ,3;x t y t t ==+
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 考研高数辅导：高等数学的比重 考生已经进入了复习准备，考生首要了解的就是自己考试的专业、学校和考试科目等等。为了让考生尽快的了解自己的优缺点，尽快对考研数学有多了解，帮助自己选择专业院校，这里就高等数学在历年考研数学中的比重来做一个简要的分析。 提到高等数学很多考生有或多或少的想起一些事情来，比如有的考生会说“大一大二时哪块知识点没有学好，没有学会”、“哪里掌握的还好”、“线代还好” 等等。可谓是有的头痛有的欢喜，但头痛的考生也不要气馁，因为这里有跨考教育，可以帮助你达标过线，甚至将“劣势”转为“优势”。那我们先看看高等数学在考研数学中的比重。考研数学按照难易程度分为数学一、数学二和数学三，其中数学一考查内容最多，相比于数学二和数学三较难，数学二在积分计算中注重考查积分的物理应用，而数学三则侧重于经济方面的应用，数学一和数学三的考试内容包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计，考试分数分配比为高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。数学二的考试内容有高等数学和线性代数，没有概率论与数理统计，分数比例为高等数学占78%，线性代数占22%。上述分数比例均是通过统计历年真题得到的大致比例，实际上，由于高等数学与线代和概率论之间的关联，使得高等数学的比例达到80%左右，可见它有多重要，自然高等数学也成了广大考生复习的重要学科，投入更多的复习时间。 今年的考研数学试题仍不改往年的传统，高等数学的占到了80%以上，数学一中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、曲面的切平面方程、傅里叶级数、曲线积分、数列极限、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、隐函数求导、参数方程求导、反常积分、变上限函数求积分、幂级数的和函数、多元函数的极值、微分中值定理的应用、求曲面的方程以及立体的形心等。数学二中涉及到的高数知识点有无穷小的比较、数列极限、函数极限、函数的连续性、反常积分的收敛性、多元函数的偏导数计算、二重积分的计算、反函数求导、定积分的应用(平面图形的面积及旋转体的体积)、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解、微分中值定理的应用、多元函数的极值、导数的应用(求函数的最值)、弧长积分及平面图形的形心。数三中有无穷小的比较、函数间断点的判断、二重积分的计算、级数收敛性的判断、数列极限、多元函数偏导数的计算、反常积分的计算、二阶常系数齐次线性微分方程通解、定积分的应用(旋转体的体积)、导数的应用(与经济学相关的应用题)、微分中值定理的应用。 在高等数学的题目中数学一、数学二、数学三中虽然有重复的，但是题目的难度不一样，侧重点也有所不同，除了要很好的掌握知识点意外还要具有一定的计算能力，不要会做算不 2011考研数学大纲解 读 2012考研数学大纲《数学一》 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容： 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 0sin 1lim 1, lim(1)x x x x e x x →→∞=+= 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题中的函数关系。 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限 之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则。 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方 法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极 限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容： 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L ’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数最大值和最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径 考试要求： 考研数学二模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）当0x →时，设2 arctan x α=，11(0)a x a β=(+)-≠，2 arcsin x tdt γ=? ，把三个无 穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（ ） （A ）,,αβγ；（B ）,,βγα；（C ）,,βαγ；（D ）,,γβα； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0) (0,)-∞+∞内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)若()f x 是奇函数，()x ?是偶函数，则[()]f x ?（ ） （A ）必是奇函数 （B ）必是偶函数 （C ）是非奇非偶函数 （D ）可能是奇函数也可能是偶函数 (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)下列说法中正确的是（ ） （A ）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大； （B ）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小； （C ）有界函数与无穷大之和必为无穷大； （D ）无界函数与无界函数的乘积必无解； (6)设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶线性非齐次方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 123,,C C C 为任意常数，则该方程的通解是（ ） （A ）112333C y C y C y ++； （B ）1123123()C y C y C C y +++； （C ）1123123(1)C y C y C C y +---；（D ）1123123(1)C y C y C C y ++--； (7)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =，对任何12(,, )T n b b b b = （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 2017年考研数学复习:深刻解析数学大纲三次变化２0１７年考研数学复习:深刻解析数学大纲三次变化考研数学大纲有过三次大得变动,了解大纲变动对于我们把握命题得方向与趋势有帮助。正在复习20１７年考研数学得考生更要对考研数学大纲这三次大得变化有一个深刻认识,今天小编就为大家梳理一下,20１7考研得考生赶紧查瞧吧。 第一次,2002年全国硕士研究生入学考试数学考试大纲就是在原考试大纲得基础上修订而成。修订得原则就是保持考试内容、考试要求与试卷结构得基本稳定。现将修订情况说明如下： 考研数学大纲变化分析:删去有关近似计算得考试内容 由于目前大多数高等院校开设了“计算方法”课程,近似计算得内容基本上在此课程中讲授,高等数学已基本不再讲授近似计算得内容。同时考虑到随着计算机得广泛普及与应用,近似计算得问题完全可由计算机解决,对考生近似计算得能力已不就是研究生入学考试考核得重点。基于以上考虑,新得数学考试大纲中删除了有关近似计算得所有考试内容与考试要求。 (1)数学一中删去一元函数微分学中关于“微分在近似计算中得应用”以及“方程近似解得二分法与切线法”得考试内容与考试要求;一元函数积分学中“定积分得近似计算法”及相应得考试要求;多元函数微分学中关于“全微分在近似计算中得应用”得考试内容与考试要求；无穷级数中得“幂级数在近似计算中得应用”及相应得考试要求；常微分方程考试内容中得“微分方程得幂级数解法”及相应得考试要求;概率论中“会用有关定理近似计算有关随机事件概率”得要求。 (２）数学二中删去一元函数微分学中关于“微分在近似计算中得应用”以及“方程近似解得二分法与切线法”得考试内容与考试要求以及一元函数积分学中“定积分得近似计算法”及相应得考试要求。 考研数学大纲变化分析：数学二考试大纲中增加了部分线性代数考试内容 数学二考试大纲中增加了部分线性代数考试内容，提高了线性代数在试卷中得占分比例，同时将“线性代数初步”更名为“线性代数”。 自1997年考试大纲修订以来,“线性代数初步”作为考试内容已被高校与考生普遍接受,随着新技术得发展,对线性代数内容得深广度得要求越来越高,原数学二线性代数初步得考试内容过少,增加部分考试内容并提高线性代数在数学二试卷中得占分比例就是非常必要得。修订得主要内容包括: (1）在矩阵得考试内容部分增加了“反对称矩阵”、“方阵得幂”、“初等矩阵”。在考试要求部分增加了“了解反对称矩阵得性质”、“初等矩阵得性质”。(２)把原“线性方程组”分为“向量”与“线性方程组”两部分。在向量部分得考试内容中增加了“等价向量组”，考试要求部分相应增加了“了解向量组等价得概念以及向量组得秩与矩阵秩得关系” (３)增加了矩阵特征值与特征向量部分。 考试内容 矩阵特征值与特征向量得概念、性质及求法相似矩阵得概念与性质矩阵可对角化得充分必要条件与相似对角矩阵。 考试要求 2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 考研高数精华知识点总结：极限的运算 高等数学是考研数学考试中容最多的一部分，分值所占比例也最高。为此我们为大家整理分享了考研高数精华知识点总结之闭区间连续函数的性质。凯程考研将第一时间满足莘莘学子对考研信息的需求，并及时进行权威发布，敬请关注! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由海洋教授、鑫教授、卢营教授、王洋教授、武金教授、释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的 辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，海洋、鑫教授、方浩教授、卢营教授、浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程。在凯程官方的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元少华，2012年状元马佳伟，2011年状元玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的博等10人，北大法学考研王少棠，北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院，另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人，创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人，中传家威勇夺中传新闻传播硕士状元，王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元，（他们的经验谈视频在凯程官方有公布，随时可以查看播放。）对于如此优异的成绩，凯程辅导班班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。 考研数学三模拟题 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。 （1）()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数，对任何0b a >>，记()b a M xf x dx =?， 01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+??(中间的加号改成减号)，则必有（ ） （A ）M N ≥；（B ）M N ≤；（C ）M N =；（D ）2M N =； （2）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导，函数()y y x =的图像为 则其导数的图像为（ ） (A) (B) (C) (D) (3)设有下列命题： ①若 21 21 ()n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞=∑收敛； ②若1 n n u ∞=∑收敛，则10001 n n u ∞ +=∑收敛； ③若1 lim 1n n n u u +→∞>，则1n n u ∞=∑发散； ④若1()n n n u v ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑，1n n v ∞ =∑收敛 正确的是（ ） （A ）①②（B ）②③（C ）③④（D ）①④ (4)设220ln(1)() lim 2x x ax bx x →+-+=，则（ ） （A ）51,2a b ==- ；（B ）0,2a b ==-；（C ）5 0,2 a b ==-；（D ）1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵，齐次线性方程组（I ）0Ax =有非零解，则非齐次线性方程组（II ）T A x b =， 对任何12(,,)T n b b b b =L （A ）不可能有唯一解； （B ）必有无穷多解； （C ）无解； （D ）可能有唯一解，也可能有无穷多解 (6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵，则行列式1020 T A B -?? -? ??? 的值为 （A ）1 (2)n A B --； （B ）2T A B -； （ C ）12A B --； （ D ）1 2(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ，12,,,n X X X L 为来自X 的样本，X 为样本均值，则（ ） 2016年考研数学大纲（数学一） 研究生数学一考试科目：高等数学（同济）、线性代数（同济）、概率论与数理统计（浙大） 考研考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构：高等教学约56%；线性代数约22%；概率论与数理统计约22%. 四、试卷题型结构： 单选题8小题，每小题4分，共32分 填空题6小题，每小题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立；数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则两个重要极限； 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质。 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容：导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系． 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数．5．理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用柯西（Cauchy）中值定理． 6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法． 7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形． 考研高等数学复习方法指导 考研高等数学复习方法指导 下面简单谈谈如何复习考研数学中的高等数学部分。 首先考生们要明确的是考研数学主要是考根底，包括基本概念、基本理论、基本运算等，假如概念、基本运算不太清晰，运算不太 纯熟那你肯定是考不好的。高数的根底应着重放在极限、导数、不 定积分、当然还有定积分、一元微积分的应用，还有中值定理、多 元函数、微分、线面积分等内容，这些内容可以看成那三部分内容 的联系和应用。另一部分考查的是简朴的分析综合能力。因为现在 高数中的一些考题很少有单纯考一个知识点的，一般都是多个知识 点的综合。如果能够围绕着这几个方面进行有针对性地复习，取得 高分也就不再是难事了。 在复习过程中考生们要注意以下几点： 第一：要明确考试重点，充分把握重点。比如高数第一章的不定式的极限，我们要充分把握求不定式极限的各种方法，比如利用极 限的四则运算、利用洛必达法则等等，另外两个重要的极限也是重 点内容;对函数的连续性的探讨也是考试的重点，这要求我们需要充 分理解函数连续的定义和掌握判定连续性的方法。 第三：关于积分部分。定积分、分段函数的积分、带绝对值的函数的积分等各种积分的求法都是重要的题型。而且求积分的过程中，特别要留意积分的对称性，利用分段积分去掉绝对值把积分求出来。二重积分的计算，当然数学一里面还包括了三重积分，这里面每年 都要考一个题目。另外曲线和曲面积分，这也是必考的重点内容。 第四：一阶微分方程，还有无穷级数，无穷级数的求和等。 (1)强调学习而不是复习 (2)复习顺序的选择问题 对于考研数学，建议先高等数学再线性代数再概率论与数理统计。高等数学是线性代数和概率论与数理统计的基础，一定要先学习。 我们并不主张三门课齐头并进，毕竟三门课有所区别，要学一门就 先学精了再继续推进，做成“夹生饭”会让你有种骑虎难下的感觉，到时你反而会耗费更多的时间去收拾烂摊子。同学们也可根据自己 的特殊情况调整复习顺序。 (3)注意基本概念、基本方法和基本定理的复习掌握 (4)加强练习，重视总结、归纳解题思路、方法和技巧 数学考试的所有任务就是解题，而基本概念、公式、结论等也只有在反复练习中才能真正理解和巩固。试题千变万化，但其知识结 构却基本相同，题型也相对固定，一般存在相应的解题规律。通过 大量的训练可以切实提高数学的.解题能力，做到面对任何试题都能 有条不紊地分析和计算。 (5)不要依赖答案 学习的过程中一定要力求全部理解和掌握知识点，做题的过程中先不要看答案，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之 后再抛弃答案自己把题目独立地做一遍。不要以为看明白了就会了，只有自己真正做一遍，印象才能深刻。 (6)强调积极主动地亲自参与，并整理出笔记 对于考研数学来说，做题是最关键的，考生必须保证一定的做题量!看书是获得理论知识，要想考场上考出好成绩，必须经过大量的 做题实践，只有经过大量的做题实践，才能熟练、自如的应用理论 知识。做题有很多好处的：一是通过做题来准确理解、把握基本概念、公式、结论的内涵和外延，并逐渐掌握它们的使用方法。单纯 的看书，许多概念是无法掌握其精髓的，也不知道在什么情况下使用，如何使用。试卷上不需要考生默写某个概念或公式，而是用这 些概念或公式解决问题，这种灵活运用公式的能力只有也只能通过 做题来获得，所以考生必须做一定数目的题目。二是题目做的多了，考研高数辅导：高等数学的比重
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