控制工程基础微分方程式是描述线性系统运动的一种基本
形式的数学模型。通过对它求解，就可以得
到系统在给定输入信号作用下的输出响应。
然而，用微分方程式表示系统的数学模型在
实际应用中一般会遇到一些困难。
拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是分析研究线性动态系统的有力数学工具。通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，也使系统的分析大为简化。
控制工程基础在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的:
用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频率特性都是建立在拉氏变换的基础之上的。
控制工程基础
主要内容
第一节拉氏变换的定义
第二节典型函数的拉氏变换第三节拉氏变换的性质
第四节拉氏反变换
第五节用拉氏变换解微分方程
控制工程基础
第一节拉普拉斯变换的定义
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)]（简称拉氏变换）或F(s)定义为
dt
e
t f
s
F
t f
L st-
∞
?
=
=?0)(
)(
)]
(
[(2-1-1)
原函数象函数
s j
σω
=+
控制工程基础一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：
(1)在t<0时，0
)(=
t
f
(2)在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；
∞
<
-
∞
?dt
e
t
f st
)
(
(3)
控制工程基础
加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化。为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正玄函数、以及单位脉冲函数等。
第二节典型函数的拉氏变换
控制工程基础
1、单位脉冲函数
?
?
?
≠
=
∞
=
)
(
t
t
t
δ
?∞∞-=1
)
(dt
t
δ
性质?∞
∞
-
=)
(
)
(
)
(f
dt
t
t
fδ
[()]()1
st
L t t e dt
δδ
∞-
=?=
?
其拉氏变换
且
)(t
δ1
)(t
f
t
图2-2-1 单位脉冲函数
控制工程基础
2、单位阶跃函数
0 0
()
1 0
t
f t
t
<
?
=?
≤
?
图2-2-2 单位阶跃函数
)
(t
f
1
0t 其拉氏变换
[()]1
111
(01)
st
st
L f t e dt
e
s s s
∞-
-∞
=?
=-=--=
?
控制工程基础3、单位斜坡函数
0 0
()
t
f t
t t
<
?
=?
≥
?
图2-2-3单位斜坡函数
)(t f
t
o
其拉氏变换
00
2
[()]
11
()
1
st
st st
L f t t e dt
te e dt
s s
s
∞-
∞
-∞-
=?
=-+
=
?
?
控制工程基础4、等加速函数
2
0 0
()1
2
t
f t
t t
<
?
?
=?
≥
??
其拉氏变换
2
1
[()]
2
st
L f t t e dt
∞-
=?
?31
s
=
控制工程基础
0 0
() ()
at
t
f t a
e t
<
?
=?
≥
?
为实数
5、指数函数
dt
e
e
e
L st
at
at?∞-?
=
]
[dt
e
t
a
s)
(
-
-
∞
?=
其拉氏变换
a
s-
=
1
控制工程基础
2
2
ω
ω
+=
s 0 0() ()
sin 0
t f t t t ωω
-?=0
sin ][sin dt
e t t L st
ωω其拉氏变换
6、正弦函数
控制工程基础
?∞
-=0
cos ][cos dt
te t L st
ωω其拉氏变换
余弦函数
2
2
ω
+=s s 0 0() ()
cos 0
t f t t t ωω
控制工程基础
)
(
2
1
sin t j
t
j e
e
j
tω
ω
ω+
--
=
注:欧拉公式
)
(
2
1
cos t j
t
j e
e
tω
ω
ω+
-+
=
控制工程基础
)(
)]
(
[
1
1
s
F
t
f
L=)(
)]
(
[
2
2
s
F
t
f
L=为常数
和b
a
)]
(
)(
[
2
1
t
bf
t
af
L+
设
则
)
(
)
(
2
1
s
bF
s
aF+
=
1、线性性质－－齐次性和叠加性
第三节拉氏变换的性质
控制工程基础
则
对任一实数
设,
),
(
)]
(
[a
s
F
t
f
L=
)(
)]
(
[s
F
e
a
t f
L as-
=
-
时域位移定理
)
(
)]
(
[a
s
F
t f
e
L at-
=
复数域位移定理
2、位移定理
控制工程基础
则
若)
(
)]
(
[s
F
t
f
L=
[()]()(0)
d
L f t sF s f
dt
=-
3、微分性质
控制工程基础
)
(
)]
(
[s
F
t
f
L=
12(1) ()
()(0)(0)(0) n
n n n n n
d f t
L s F s s f s f f dt
---
??
'
=----
??
??
推论若
特别地，当(1)
(0)(0)(0)0
n
f f f-
'
====
)
(
)]
(
[)(s
F
s
t
f
L n
n=
控制工程基础4、积分性质
则
若)
(
)]
(
[s
F
t
f
L=
(1)
()(0)
()
t F s f
L f t dt
s s
-
??=+
??
??
?
控制工程基础
)
(
)]
(
[s
F
t
f
L=
推论若
特别地，当
(1)(2)
n1 000
()
111
()()()(0)(0)
1
(0)
t t t n
n n
n
L f t dt F s f f
s s s
f
s
--
-
-
??=++
??
??
++
???
(1)(2)()
(0)(0)(0)0
n
f f f
---
====
)
(
1
)(
s
F
s
dt
t
f
L t=
??
?
??
??
)
(
1
)
)(
(
n
000
s
F
s
dt
t
f
L t t t n=
??
?
??
????