我发现了筛法的计算公式 孟庆馀［江苏连云港］ 2010年5月 [摘要]： 笔者在探索中，发现了有关素数与合数关系的三条主要规律： １、区段（区域）性的规律。 ２、逐项相除四舍五入的规律。 ３、随从数的规律。 根据这三条规律推导出一个公式, 它可以计算出任一已知素数后边紧跟的那个素数和任意大的一个自然数之前共有多少个素数的问题。 这个公式是： m p = 2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （ )1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n p 1）]+（1-n ） [关键词]： 筛法公式、逐项相除、四舍五入、区段、随从数。 [正文]： 笔者在多年的探索中，发现了有关素数与合数关系的一些规律，根据这些规律找到了一个可以对埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes ）筛法进行计算的公式，即“筛法计算公式”(它包括计算素数和计算奇合数两个公式)，计算素数的公式也可以称为“素数公式"。给素数找出一个通项表达式，即已知任一素数后边紧跟的那个素数的公式，这是一个缠绕着数学家的世界难题，时至今日都没有解决。笔者的这个公式能较好地解决任一已知素数后边紧跟的那个素数的问题。 一、“筛法计算公式”(用于计算素数) m p = 2N -N [ (211p p +311p p -3211p p p ±…±13211-n p p p p Λ)+ （)1111132131211-±±++-n p p p p p p p p p ΛΛ（-n p 1）]+（1-n ） …（1） 式中m p 为1~N 数列中素数个数；N 为任意大的自然数（2n p ≤N <21+n p ） ；n p p p p ,,,,321K 为素数，其中：1p = 2，2p = 3，3p = 5，…,6p = 13，…；n ≥2 。
图解简单易学的两种还原魔方的常用口诀公式 前言 我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： （图1） 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 （见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都将以白色为底面， 为了方便教学，请都统一以白色为准）。 （图 2）
认识公式 （图3）（图4）公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示 （图5）
（图6） （图7）
（图8） 三阶魔方入门玩法教程（一） 步骤一、完成一层 首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2). 如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层! （1）（2） （3）（4） 注：图（2）和（4）分别是图（1）和（3）的底面状态 想完成魔方，基础是最重要的，就像建筑一样，魔方也如此，基础是最重要的。
由于上文提到过中心块的固定性，这一性质，在魔方上实质起着定位的作用，简单的说就是中心块的颜色就代表它所在的面的颜色。 一、十字（就是快速法中的CROSS ） 第一种情况如图所示： 公式为R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。但其橙色片没有和橙色的中心块贴在 一起。为此我们先做D’ F’ 即把橙色粘在一起，接着 R 还原到顶层,， F 是把蓝白橙还原到正确的位置(上面的F’ 使蓝白块向左移了九十度)。 公式为D’ F’ R F 图解： 当然，架十字不只只有上面两种情况，现我们在分析下其它的一些情况吧！ 如下图： 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化成第二种情况，然后用还原第二种情况的 （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色）
素数普遍公式 目录[隐藏] 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 一、引言 二、素数普遍公式 三、素数的个数 四、公式的用途 五、素数普遍公式在认识形成中的作用和意义 思考题 [编辑本段] 一、引言 2000多年前欧几里德在证明素数无穷多时就埋下了寻求素数普遍公式的伏笔 素数普遍公式 ，以布劳维尔为首的直觉主义学派认为：“你没有给出第n个素数是如何构造的，就不能算是好的证明”。2000多年来，数论学最重要的一个任务，就是寻找素数普遍公式，为此，一代又一代数学精英，耗费了巨大的心血，始终未获成功。黎曼曾想用他的ζ函数数的“零点”来逼近素数普遍公式，至今未获成功。也有人反向思考，用素数普遍公式逼近“零点”来解决黎曼猜想。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上说：对黎曼公式进行了彻底讨论之后，或许就能够严格解决哥德巴赫问题和孪生素数问题。实际在哲学上，只要有一个明确的定义，就应该有一个公式。 [编辑本段] 二、素数普遍公式
公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法： （一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 （二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 魔方的还原方法 第一步:先选定一个中心块颜色作为底层,然后将底层四个边块和四个角块向上，也就是我们通常说的转一面。具体方法略。 第二步:所有的色块都变成一面后，我们需要调整底面的角块和边块，实现 完成第二步后，我们就会得到这样的效果 接下来就要开始学习公式还原了。在开始之前先了解一下魔方复原的术语。 首先要知道3×3×3 魔方的 6 个面的相对叫法和英文缩写: 如图示:前--Front (F),后--Back(B),左--Left(L),右--Right (R),上--Up (U),下-- Down(D). 注:各个面的叫法是根据它们对你的方向所定的,不是根据颜色! 我们还要把这26 块分类: 1) 中心块----六个面的中心就叫中心块(只有一种颜色) 2) 边块----和中心块相邻的由两种颜色组成的块 3) 角块----8 个在角上由三种颜色组成的块 注:a)不管怎样旋转魔方,中心块的位置是不会变的 b)旋转魔方时,边块和角块都会移动,但边块不会移动到角块的位置,同样角块也不会移动到边块的位置!!(这里我们就会想到复原魔方的基本思想就是把角块和边块移动到它"该到的"位置上!!!!) 这里还要理解复原魔方的又一思想----我们是按层的思想复原魔方的,显而易见 3×3×3 魔方分了 3 层---- 上层; 中层; 底层.换句话说就是先复原上面或下面,然后把这层作为底层,然后复原中层,最后是上层!!!! 然后要理解拧法,在本篇文章里归纳起来一共有 3 种法: 1)顺时针旋转(90 度) 2)逆时针旋转(90 度) 3)半圈旋转(180 度) 表示方法: a)顺时针一般不用符号标识 b)逆时针--(') c)半圈--(2 或") 举例: R 顺时针直角旋转右面； U' 逆时针直角旋转上面； F" 旋转前面 180 度 好!理解了以上所讲的内容后我们就可以开始复原魔方了!!!! 第三步:前两步已经把上层复原,这时把魔方颠倒一下,即底层全部复原.所以第三步的目的就是使中层四个边块复位.先在上层找一个应该去中层的边块,然后转动上面,使该边块的侧面与同色的侧面中心块对齐, 然后看符合图 3 还是图 4的情况 , 如果是图 3 做 URU'R'U'F'UF, 如果是图 4 做 U'F'UFURU'R',这样原来在上层的边块就可以复原了. 如果要复原的中层边块就在中层,则应先随便取一个上层边块用图 3 或图 4 的方法去占据要复位的边块所在的位置,使它到上层来再用前面的方法使它复位. 第三步做完后魔方就是这样的了 新魔方新手教程 前言 我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： （图1） 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 （见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都将以白色为底面， 为了方便教学，请都统一以白色为准）。 （图2） 认识公式 （图3）（图4）公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示 （图5） （图6） （图7） （图8） 步骤一、完成一层 首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2). 如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层! （1）（2） （3）（4） 注：图（2）和（4）分别是图（1）和（3）的底面状态 想完成魔方，基础是最重要的，就像建筑一样，魔方也如此，基础是最重要的。 由于上文提到过中心块的固定性，这一性质，在魔方上实质起着定位的作用，简单的说就是中心块的颜色就代表它所在的面的颜色。 一、十字（就是快速法中的CROSS） 第一种情况如图所示： （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色） 公式为R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。但其橙色片没有和橙色的中心块贴在一起。为此我们先做D’F’即把橙色粘在一起，接着 R 还原到顶层,，F 是把蓝白橙还原到正确的位置(上面的F’使蓝白块向左移了九十度)。 公式为D’F’R F 图解： 当然，架十字不只只有上面两种情况，现我们在分析下其它的一些情况吧！ 如下图： 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化成第二种情况，然后用还原第二种情况的公式即可！ 筛法求素数 目录 基本思想 C语言实现 pascal实现: 1C++实现: 2python 实现: 基本思想 用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列，1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是： 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 C语言实现 1、算法一：令A为素数，则A*N（N>1;N为自然数）都不是素数。 #define range 2000 bool IsPrime[range+1]; //set函数确定i是否为素数，结果储存在IsPrime[i]中，此函数在DEV C++中测试通过 void set(bool IsPrime[]) { int i,j; for(i=0;i<=range;++i) IsPrime[i]=true; IsPrime[0]=IsPrime[1]=false; for(i=2;i<=range;++i) { if(IsPrime[i]) { for(j=2*i;j<=range;j+=i) IsPrime[j]=false; } } } 2、 说明：解决这个问题的诀窍是如何安排删除的次序，使得每一个非质数都只被删除一次。中学时学过一个因式分解定理，他说任何一个非质（合）数都可以分解成质数的连乘积。例如，16=4^2，18=2 * 3^2，691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小质数写在最左边，有16=4^2，18=2*9,691488=2^5 * 21609,；换句话说，把合数N写成N=p^k * q，此时q当然是大于p的，因为p是因式分解中最小的质数。由于因式分解的唯一性，任何一个合数N，写成N=p^k * q;的方式也是唯一的。由于q>=p的关系，因此在删除非质数时，如果已知p是质数，可以先删除P^2,p^3,p^4,... ，再删除pq,p^2*q,p^3*q,...,（q是比p大而没有被删除的数），一直到pq>N为止。 因为每个非质数都只被删除一次，可想而知，这个程序的速度一定相当快。依据Gries与Misra的文章，线性的时间，也就是与N成正比的时间就足够了（此时要找出2N的质数）。（摘自《C语言名题精选百则（技巧篇）》，冼镜光编著，机械工业出版社，2005年7月第一版第一次印刷）。代码如下： #include 例6、用筛法求出100以内的全部素数，并按每行五个数显示。 【问题分析】 ⑴把2到100的自然数放入a[2]到a[100]中（所放入的数与下标号相同）； ⑵在数组元素中，以下标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp,和它的位置p（即下标号）； ⑶从p+1开始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去（筛掉），也就是给该元素值置0； ⑷让p=p+1，重复执行第②、③步骤，直到minp>Trunc(sqrt(N)) 为止； ⑸打印输出a数组中留下来、未被筛掉的各元素值，并按每行五个数显示。 用筛法求素数的过程示意如下（图中用下划线作删去标志）： ① 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 ｛置数｝ ② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被2整除的数} ③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被3整除的数} …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被整除的数} Program Exam53; const N=100; type xx=1 .. N; {自定义子界类型xx（类型名）} Var a: array[xx] of boolean; i,j: integer; Begin Fillchar(a,sizeof(a),true); a[1] := False; for i:=2 to Trunc(sqrt(N)) do if a[I] then for j := 2 to N div I do a[I*j]:= False; t:=0; for i:=2 to N do if a[i] then Begin write(a[ i ]:5); inc(t); if t mod 5=0 then writeln end; End. 【例3】输入十个正整数，把这十个数按由大到小的顺序排列（将数据按一定顺序排列称为排序，排序的算法有很多，其中选择排序中的“简单选择排序”是一种较简单的方法） 分析：要把十个数按从大到小顺序排列，则排完后，第一个数最大，第二个数次大，……；因此，我们第一步可将第一个数与其后的各个数依次比较，若发现，比它大的，则与之交换，比较结束后，则第一个数已是最大的数。同理，第二步，将第二个数与其后各个数再依次比较，又可得出次大的数。如此方法进行比较，最后一次，将第九个数与第十个数比较，以决定次小的数。于是十个数的顺序排列结束。 例如下面对5个进行排序，这个五个数分别为829105。按选择排序方法，过程如 我的魔方解法----简化的CFOP法 魔方快速还原方法中Fridrich的CFOP (Cross+F2L+OLL+PLL魔方吧叫“20秒还原法”)法是很主流的方法，还原速度很快但是有100多个公式要掌握。通过在“魔方吧”的学习，我整理出一个简化的CFOP 方法，这样只需记15个公式就可实现较快的还原魔方。要更快一点，就再多记1个架“十”字公式，本法推荐记16个公式(教程中红色显示)。这比起完整CFOP的（41+57+21=119）个公式来说已大大减轻了负担，本法是一种“中级”的魔方解法，不太适合初学者（初学者还是推荐最简单、公式最少的基本层先法）和只想学会还原的朋友。主要适合学习对象为：1）不愿意记非常多的公式又想还原得快一点的朋友；2）完整CFOP方法的初学者。此法可作为Fridrich方法（CFOP）的入门教程。 一、技术路线 第一、二层采用基本层先的方法（第二层3个公式），第三层采用CFOP法的棱和角一起翻色（此时采用先架棱“十”字，再后用7个OLL公式来完成顶面翻色），然后调棱位置，再调角位置（由于是简化所以不能同时调角和棱的位置），其实就就是把PLL的角和棱分开来完成。 二、具体步骤 1、第一层 现在的目标是在顶上完成第一层（顶层），用架好棱十字（要求顶层四棱的相对位置正确，也就是棱块的侧面色要和对应魔方面的中心块的颜色相同如图1）再对好四角的方法。此步的小技巧是：可以将目标棱块和对应的中心块并到一起后再参加架“十”字。加好顶棱十字后再对好四个角（位置和色向都要对）详细方法可见魔方吧“笑面虎”方法中的内容，因为简单可以自己想出来不再多说了。这时就完在了一层。图2 图1图2 附1：架“十”字另一方法是先将四个目标棱块都转上去架起“十”字，再来调节它们的相对位置，这时要用到两个公式中的一个： 1、相对棱对调R’L U2 R L’ 2、相邻棱对调R’U’R U R’ 2、第二层 由于中心块已固定，所以第二层只有四个棱块没解决了，现在就来解决它。先将第一步中做好的的魔方倒过来（如图3）一般都会出现下面（图4、5、6）几种情况，（有一种特殊情况是四个中层棱都在不在顶上，而是相对错位，此时只要用图4图5的公式做一次便可出现4、5的情况）用对应的公式来解决它们。 图示公式录像 三阶魔方玩法与口诀 目录 一、前言_________________________________________________ - 2 - 二、认识公式 _____________________________________________ - 2 - 三、拧魔方的步骤与口诀 ___________________________________ - 4 - 步骤一、完成一层_______________________________________ - 4 - （一）完成第一层十字________________________________ - 4 - （二）完成第一层角块________________________________ - 5 - 步骤二、完成第二层_____________________________________ - 7 - 步骤三、完成顶层_______________________________________ - 8 - （一）顶层十字______________________________________ - 8 - （二）顶层平面_____________________________________ - 10 - （三）顶层角块_____________________________________ - 11 - （四）顶层棱块_____________________________________ - 12 - 一、前言 魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正 6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 二、认识公式 素数的线性筛法 //整体思想是从自然数 2 开始与所有之前已经确定的素数相乘后的数标记为合数就能把素数一个不漏地找出来 #include 魔方教程 前言 我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： （图1） 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 （见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都将以白色为底面， 为了方便教学，请都统一以白色为准）。 （图 2） 认识公式 （图3）（图4） 公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示 （图5） （图6） （图7） （图8）步骤一、完成一层 首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一 下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2). 如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层 ! （1） （2） （3） （4） 注：图（2）和（4）分别是图（1）和（3）的底面状态 想完成魔方，基础是最重要的，就像建筑一样，魔方也如此，基础是最重要的。 由于上文提到过中心块的固定性，这一性质，在魔方上实质起着定位的作用，简单的说就是中心块的颜色就代表它所在的面的颜色。 一、十字（就是快速法中的CROSS ） 第一种情况如图所示： 公式为R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。但其橙色片没有和橙色的中心块贴在 （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色） PS：本来没有决心把这个东西写完的，结果早上写到一半，出去吃个饭，没保存，回来手一抖直接关掉了，好不容易写了一大半了，只能重新写了，坑爹啊，但就是这个插曲，本来还没有决心的我，一下子却坚定了信念，一点要把这个东西写完。就这样开始吧 BY：Lee 下面，我们重新开始 ═══════════════════════════════════════════ 如何判断一个数是否是素数呢 ═══════════════════════════════════════════也许你会认为这是一个简单的问题，但事实上，世界上任何一个问题，都没有你想象中的那么简单1 + 1 是否等于2 ，这便是一个简单而又复杂的问题，呵呵。 突然想把这个东西换一种风格来写了，就这样扯淡扯下去吧。扯的时候文章中多少有内容来自于网络，没有侵权的意思，如果作者看到还请见谅。 ═══════════════════════════════════════════下面正式进入正题 ═══════════════════════════════════════════ 一、朴素判断素数 ═══════════════════════════════════════════1. 这种方法被誉为笨蛋的做法： 一个数去除以比它的一半还要大的数，一定除不尽的，这还用判断吗？？ 很容易发现的，这种方法判断素数，对于一个整数n，需要n-2 次判断，时间复杂度是O(n)在n非常大或者测试量很大的时候，这种笨蛋做法肯定是不可取的。 2. 改进一下下小学生的做法： 3. 再改进一下聪明的小学生的做法 对于一个小于n的整数X，如果n不能整除X,则n必定不能整除n/X。反之相同一个明显的优化，就是只要从2枚举到√n 即可。 因为在判断2的同时也判断了n/2。到√n时就把2到n-1都判断过了。 在这里，这个聪明的小学生还用了i*i <= n 来代替sqrt（n）， 这里是避免了调用函数sqrt（），其消耗时间很大， 特别是在大量数据测试的时候消耗很明显。 这个算法的时间复杂度，与最前面的笨蛋做法就好多了， 不过这里好像用sqrt()也没问题啊，，，，这个就不太清楚了。 但是做一个测试发现，如果是这样额话，每一次判断都要计算i*i， 20秒魔方快速入门解法 我的魔方解法----简化的CFOP法 魔方快速还原方法中Fridrich的CFOP (Cross+F2L+OLL+PLL魔方吧叫“20秒还原法”)法是很主流的方法，还原速度很快但是有100多个公式要掌握。通过在“魔方吧”的学习，我整理出一个简化的CFOP 方法，这样只需记15个公式就可实现较快的还原魔方。要更快一点，就再多记1个架“十”字公式，本法推荐记16个公式(教程中红色显示)。这比起完整CFOP的（41+57+21=119）个公式来说已大大减轻了负担，本法是一种“中级”的魔方解法，不太适合初学者（初学者还是推荐最简单、公式最少的基本层先法）和只想学会还原的朋友。主要适合学习对象为：1）不愿意记非常多的公式又想还原得快一点的朋友；2）完整CFOP方法的初学者。此法可作为Fridrich方法（CFOP）的入门教程。 一、技术路线 第一、二层采用基本层先的方法（第二层3个公式），第三层采用CFOP法的棱和角一起翻色（此时采用先架棱“十”字，再后用7个OLL公式来完成顶面翻色），然后调棱位置，再调角位置（由于是简化所以不能同时调角和棱的位置），其实就就是把PLL的角和棱分开来完成。 二、具体步骤 1、第一层 现在的目标是在顶上完成第一层（顶层），用架好棱十字（要求顶层四棱的相对位置正确，也就是棱块的侧面色要和对应魔方面的中心块的颜色相同如图1）再对好四角的方法。此步的小技巧是：可以将目标棱块和对应的中心块并到一起后再参加架“十”字。加好顶棱十字后再对好四个角（位置和色向都要对）详细方法可见魔方吧“笑面虎”方法中的内容，因为简单可以自己想出来不再多说了。这时就完在了一层。图2 附1：架“十”字另一方法是先将四个目标棱块都转上去架起“十”字，再来调节它们的相对位置，这时要用到两个公式中的一个： 2、第二层 由于中心块已固定，所以第二层只有四个棱块没解决了，现在就来解决它。先将第一步中做好的的魔方倒过来（如图3）一般都会出现下面（图4、5、6）几种情况，（有一种特殊情况是四个中层棱都在不在顶上，而是相对错位，此时只要用图4图5的公式做一次便可出现4、5的情况）用对应的公式来解 何为线性筛法，顾名思义，就是在线性时间内（也就是O（n））用筛选的方法把素数找出来的一种算法，没用过线性筛素数法的人可能会奇怪，用遍历取余判定素数不是也是线性时间的吗，没错，但是确切的说线性筛法并不是判定素数的，而是在线性时间内求出一个素数表，需要判定是否是素数的时候只要看该数是否在表内就可以瞬间知道是不是素数。 比如想求10000以内的素数，定义表int a[10000]，进行线性筛选后，a[n]的值就代表n是不是素数，a[n]如果是1，就代表n是素数，a[n]如果是0，就代表n不是素数，这就是查表。再判定其他的素数也是一样，不用再做任何计算。 而如果用遍历取余，那么每判定一个数都要从头开始再遍历一遍，而线性筛法只在开始一次性运算完，以后只要查表即可，查表通常只需要1条语句。所以如果你的程序从始至终只需要判定那么几次素数那么用遍历取余即可，但是如果需要多次判定素数，而且这个数还不是很小的话，那么线性筛法就会体现出巨大的优越性来。 线性筛法的核心原理就是一句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉，还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数，其实都一样，但是我觉得这种方法不太容易说明，这种方法我会在最后给出简略说明）。这个很容易证明：这个小学就知道合数一定有因子，既然是几个数，就一定有最大的一个。最大因子是唯一的，所以合数只会被它自己唯一的因子筛掉一次，把所有合数筛掉后剩下的就全是素数了。 先假设一个数i，一个合数t，i是t最大的因数，t显然可能并不唯一（例如30和45的最大因数都是15）。那么如何通过i知道t呢，t必然等于i乘以一个比i小的素数。先来说这个数为什么一定要比i小，这很显然，如果是i乘上一个比它大的素数，那么i显然不能是t 最大的因子。再来说为什么要是素数，因为如果乘上一个合数，我们知道合数一定可以被分解成几个素数相乘的结果，如果乘上的这个合数x=p1*p2*……，那么 t = i * x = i * p1 * p2……很显然p1* i也是一个因数，而且大于i。所以必须乘上一个素数。 比i小的素数一定有不少，那么该乘哪一个呢，既然t不唯一，那么是不是都乘一遍呢？很显然不行，虽然t不唯一，但全乘一遍很显然筛掉的数的数量远远超过合数的数量。我们先给出结论： 任意一个数i = p1*p2*……*pn，p1、p2、……pn都是素数，p1是其中最小的素数， 设T 为i * M的积（显然T就成了一个合数），也就是T = i * M，（M是素数，并且M<=p1）,那么T的最大的因数就是i。 是的，乘上的数要小于等于i最小的质因数。 魔方还原公式详解 在开始介绍魔方还原方法之前先介绍一下魔方和魔方还原的基础知识。 魔方，又叫魔术方块，是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在１９７４年发明的。当初他发明魔方，仅仅是作为一种帮助学生增强空间思维能力的教学工具。问世以来，魔方用她独有的魔力征服了全世界，并以惊人的销量成就了玩具界史无前例的奇迹。当年魔方不但被社会学家誉为“20 世纪最有影响的 100 项发明之一”，还获得“1980 年最佳游戏发明奖”和“最有教育意义的玩具”。 现在魔方正以益智、健身、健脑的特点被人们重新认识，并进入了我们的休闲领域。魔方不仅仅是益智玩具，也是一种教学用具、一种运动用品，玩魔方更是象征智慧和时尚的休闲活动，能训练数十种能力：眼力、耐力、手力、记忆力、空间判断力、右脑能力、注意力、反应速度、本体感知、改装保养技术等。而今魔方还原成为一种大脑休闲益智活动。 魔方还原的基础知识：为了便于描述魔方复原过程，魔方的块按结构分为——角块、棱块、中心块，见下图 把魔方中的每一块或块上的某个面或所有面在还原中的状态可以定义以下状态观念：面位、到位、归位。 面位：魔方的块的某一面颜色与所在面的中心块颜色相同，我们就可以说魔块的这一面在相邻的面上面位了。 到位：位置正确，即魔方的块在它还原后的位置，不考虑面的状态。 归位：位置正确，各个面的朝向也正确，即每面颜色均和所在面的中心块的颜色同色，它是魔方块还原后的状态。 由此可见归位的块肯定到位，各个面也在相邻的面上面位了。到位不一定面位，注意到位和面位没有必然联系，一个是说面，一个是说位置。切记这一点。 棱面位棱面位 角面位角面位 棱归位棱归位 角归位角归位 介绍了魔方的基础知识以后，现在开始魔方还原方法的介绍。本教程里包含了四种魔方还原方法：层先法、高级层先法、角先法和棱先法。本文所列出还原方法和公式都经过了软件的测试无误，如果你发现任何疏漏之处请尽快与我联系。 学习魔方最有效的方法是多观察学习魔方最有效的方法是多观察、、多练习多练习、、不断学习不断学习、、不断总结不断总结。。 注意决定魔方还原速度的因素除了还原方法之外（方法决定还原的步数，步数越少还原越快）还有还原手法和反映速度，后两个因素的改进需要你坚持不懈的努力，本文主要是帮助你掌握好还原方法。 【总结】关于求素数的说【两种筛法】 （学习小结，请无视） 素数大家都很熟了，不多说了，这里只想说一下求素数。 当然先是唯一素因子分解定理：合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：a=p1e1p2e2…prer 其中pi为素数，p1 孪生素数筛法 齐宸 首先研究一下个位为3的合数。 要想两数相乘的结果个位为3，这两数字的个位有且只有两种组合1、3或7、9。自然数(10k+1)乘以自然数(10i+3)，可以利用初中数学将其转化为10[(10i+3)k+i]+3形式。去个位后转换为(10i+3)k+i。 同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下: 个位为1：(10i+1)k+i、(10i+3)k+7i+2、(10i+9)k+9i+8 个位为3：(10i+3)k+i、(10i+7)k+9i+6 个位为7：(10i+7)k+i、(10i+3)k+9i+2 个位为9：(10i+9)k+i、(10i+3)k+3i、(10i+7)k+7i+4 这里的关键是去掉个位。 显然个位为1的无个位合数公式可以求得所有个位为1的合数，计算结果中没有的数字必是个位为1的素数，也就说可以筛出所有个位为1的素数。这实际上就是个位为1的素数筛法。 同样个位1和个位为3的5组无个位合数公式合用，可以计算得到所有个位为1和个位为3的合数，也就等同于得到了任意一个自然数内所有个位为1和3的非孪生素数。而剩余数字全部是孪生素数。此时的非孪生素数与孪生素数不是2个数字，全部是一个数字。比如个位1和个位为3的5组无个位合数公式合用能计算出10以下9个数字中的6个数字，分别是2、3、5、6、8、9，这些无个位数字分别填上个位数字1、3后变成两个数字，如2变成21-23显然这组不是孪生素数。同样，31-33、51-53、61-63、81-83、91-93也不是孪生素数。而计算结果中没有的数字1、4、7，这3个数字填上个位1和3后分别变成了11-13、41-43、71-73，全部是孪生素数。这种方法实质上就是孪生素数筛法。当然仅是个位为1和3的这类孪生素数。（17-19和29-31这样类型的孪生素数变换公式后也可求出）。 这里有三个新观点： 1、孪生素数可以用一个数字指代。 如用1指代孪生素数11-13，用4指代孪生素数41-43。相反的如2、3是非孪生素，分别对应的是21-23和31-33。 2、孪生素数存在补集：非孪生素数。 魔方新手教程 前言 我们常见的魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： （图1） 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。（见图2）注：（这里以白色为底面，因为以后的教程都将以白色为底面，为了方便教学，请都统一以白色为准）。 （图2） 认识公式 （图3）（图4）公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示 （图5） （图6） （图7） （图8） 步骤一、完成一层 首先要做的是区分一层和一面：很多初学者对于“一面”与“一层”缺乏清楚的认识，所以在这里特别解释一下。所谓一层,就是在完成一面(如图2的白色面)的基础上,白色面的四条边,每条边的侧面只有一种颜色,图(2). 如图（1）中心块是蓝色，则它所在面的角和棱全都是蓝色，是图(2)的反方向 图（3）和（4）则是仅仅是一面的状态,而不是一层! （1）（2） （3）（4） 注：图（2）和（4）分别是图（1）和（3）的底面状态 想完成魔方，基础是最重要的，就像建筑一样，魔方也如此，基础是最重要的。 由于上文提到过中心块的固定性，这一性质，在魔方上实质起着定位的作用，简单的说就是中心块的颜色就代表它所在的面的颜色。 一、十字（就是快速法中的CROSS） 第一种情况如图所示： 公式为R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。但其橙色片没有和橙色的中心块贴在 一起。为此我们先做D’ F’ 即把橙色粘在一起，接着 R 还原到顶层,， F 是把蓝白橙还原到正确的位置(上面的F’ 使蓝白块向左移了九十度)。 公式为D’ F’ R F 图解： 当然，架十字不只只有上面两种情况，现我们在分析下其它的一些情况吧！ 如下图： 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化成第二种情况，然后用还原第二种情况的公式即可！ （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色）魔方快速还原方法-增加图案魔方的方法
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