第三讲小升初专项训练几何二：圆和立体
引言：立体图形是近两年来小生初的考察新热点，由于立体图形考察学生的空间想象能力，更反映学生的本身潜能，所以越来越受到学校的欢迎；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。
【典型题目解析】：
一、圆与扇形阴影部分的面积
【例1】．（★★★）在图中，一个圆的圆心是O，半径r＝9厘米，∠1＝∠2＝15o。那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14.）
【例2】、（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1。求阴影部分的面积。
【例3】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？
【例4】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【例5】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【分析】阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图所示）。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。
3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56（平方厘米）
【例6】如图19－10所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方形ABO
O的面积。
1
【分析】因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图19－10右图所示）。所以 3.14×12×1/4×2＝1.57（平方厘米）
【例7】如图所示，图中圆的直径AB是4厘米，平行四边形ABCD的面积是7平方厘米，∠ABC＝30度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数）。
【分析】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形AOC的面积，再减去三角形BOC的面积。
半径：4÷2＝2（厘米）
扇形的圆心角：180－（180－30×2）＝60（度）
扇形的面积：2×2×3.14×60/360≈2.09（平方厘米）
三角形BOC的面积：7÷2÷2＝1.75（平方厘米）
7－（2.09+1.75）＝3.16（平方厘米）
【例8】如图所示，求图中阴影部分的面积。
【分析】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×1/4－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）
练习5
1、如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）答
2、如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直
角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
答
【例9】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
【分析】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图所示。
3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28（平方厘米）
练习
1、如图所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径
画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。答
2、如图所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为
5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
答
【例10】在图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
【分析】
先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
练习11
1、求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
2、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
3、求右面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。答
【例11】在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
【分析】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习
1、如图所示，图形中正方形的面积是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
2、如图所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分
别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。答
【例12】在图的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×1/4－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习15
1、如图所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。答
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部
分的面积。答
上面所举的例子只是常见的圆的组合图形面积解法，在以后的练习中，还希望同学们能举一反三，总结自己的学习方法与心得与体会，达到举一反三的效果！
【例13】如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的
人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽
然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为πR-πr＝π（R-r）
＝3.14×1.22≈3.83（米）。
即外道的起点在内道起点前面3.83米
【例14】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？
【例15】左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。
【例16】图40-45中每个大正方形的边长都是2厘米，求（1）～（10）各图阴影部分的面积。（适于六年级程度）
【例17】计算图40-39、图40-40、图40-41的阴影部分的面积。（单位：厘米）（适于六年级程度）
【例18】如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。（取3π=）
【例19】如图，矩形ABCD 中，6AB =厘米，4
BC =
厘米，扇形ABE 半径6AE =厘米，扇形CBF 的半4CB =厘米，求阴影部分的面积。（取3π=）
【例20】如下图，求阴影部分面积，π取3.
【例21】（★★★）如图，ABCD 是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取π＝3）
【例22】（★★★）如下图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15厘米，
二、立体几何
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。
基本立体图形认知
板块二、立体染色及最短线路问题
板块三、套模法、切片法及立体旋转问题
r
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
例题精讲：
【例1】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽
为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多
少？
【例2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上
下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种
玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右
面、上面挖去的正方体）
【例3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方
体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1
2
厘米的正
方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为1
4
厘米，
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，
每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长
方体24块，那么这24
【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为2
56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2
cm．
【例5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
【例6】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？
⑴当 b =2h 时，如何打包？ ⑵当 b <2h 时，如何打包？ ⑶当 b >2h 时，如何打包？
图3
图2
图1
h b
a
【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表
面积．
【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正
方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【例 9】 把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体
图形的表面积．
【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．
【例11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的
最小值是多少?
【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444
??的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三
个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？
．
【例14】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？
【例15】把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
【例16】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能
大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不
同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？
A
【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555??的立方体，在一个方向上开有115??的孔，
在另一个方向上开有215??的孔，在第三个方向上开有315??的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！
【例 19】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物
体的表面积是多少平方米？(π取3.14)
1110.51
1.5
【例 20】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔
的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【例21】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)
【例22】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14
=)
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14
=)
【例23】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【例 24】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14
=)
【例 25】(2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14
)
(单位：厘米)
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
【例26】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？
【例27】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙
杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
【例28】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的1
3
，乙容器中水的高度是锥高的
2
3
，比
较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？
甲
乙
【例 29】(2008年仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是平方米．
【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？
【例 30】如图，ABC是直角三角形，AB、AC的长分别是3和4．将ABC
?绕AC旋转一周，求ABC
?扫出的立体图形的体积．(π 3.14
=)
C
B A
4 3
【例 31】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的
立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)
【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴
旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？
A
B
C
【例 32】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与
BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取
3)
A
B
A
B
【巩固】(2006年第十一届华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、
BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
B A
【例 33】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上
下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
【例36】.（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
【例37】．（★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
【例38】（★★★）现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm 高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
例：
【例39】．（★★）有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？
【例40】．（★★★）今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体。现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。问剩下的体积是多少立方厘米？
【例41】．（★★★）某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图6-9所示在三个方向上加固。所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米。若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，由这个长方体包装箱的体积是多少立方米？
【例42】、（★★★★）用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方形体，如下图；大正方体内的对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个？
【例43】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？