分析自动考虑桥梁支座沉降的分析
1. 在荷载>支座沉降分析数据>支座沉降群菜单输入可能同时发生支座沉
降的支座沉降群和沉降的大小。
2. 在荷载>支座沉降分析数据>支座沉降荷载工况对各沉降群指定单位荷
载条件。
3. 点击分析>运行分析菜单或运行分析进行分析。
4. 分析成功地结束之后，确认各种支座沉降可能发生情况下所算出的最大
最小值，或者将算出的结果与其它荷载条件的结果相组合而进行分析。
考虑钢组合桥组合前后截面特性变化的分析
1. 在荷载>静力荷载工况输入以组合前截面所须承担的荷载。
2. 在荷载>组合截面分析数据>组合前荷载工况菜单指定按组合前的截面
特性进行分析的荷载条件。
3. 点击分析>运行分析菜单或运行分析进行分析。
4. 分析结束后，按荷载条件或荷载组合条件利用结果菜单的各种后处理功
能对计算结果进行分析。
143
144 查看分析结果
模式的转换
MIDAS/Civil 出于对程序的效率和使用者的便利将程序的环境体系区分为前处理模式(Preprocessing Mode)和后处理模式(Post-processing Mode)。
建模过程中的所有输入工作只有在前处理模式才有可能，而荷载组合、反力、位移、构件内力、应力等分析结果的查看和整理工作则可在后处理模式中进行。
模式的转换可使用模式菜单或在图标(Icon Menu)
上点击
前处理模式
或 后
处理模式。
若分析顺利结束的话，前处理模式会自动转换为后处理模式。
荷载组合及最大/最小值的查寻
分析结果的组合
MIDAS/Civil 利用结果>荷载组合功能可对静力分析、移动荷载分析、动力分析、水化热分析、非线性分析及各施工阶段分析所算出的所有结果进行任意组合，并可将组合的结果在后处理模式以图形或文本形式输出。
另外，已利用荷载工况组合的荷载组合还可以与其它荷载组合进行重新组合。
请注意，分析结束后
若重新回到前处理模式对输入的事项进行修改或变更的话分析结果会被删除。
查看分析结果
145
MIDAS/Civil 输入荷载组合数据的方法有以下两种。
用户直接输入荷载组合条件的方法
3. 从已输入的荷载组合条件的文件导入数据的方法
种类 : 指定分析结果的荷载组合方法
添加 : 将分析结果进行线性组合
包络
: 各分析结果的最大(max)，最小(min)及绝对值的最大值
ABS : 反应谱分析中绝对值的和与其它分析结果的线性组合 SRSS : 反应谱分析中SRSS 组合结果与其它分析结果的线性组合
荷载组合条件的自动生成和修改
对于所输入的荷载组
合条件可根据用户的需
要，在结果分析过程中利用激活功能予以采用或予以排除。
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查看分析结果
MIDAS/Civil的后处理模式中对分析结果提供图形和文本两种形式以便可以对所有
结果进行分析和验算。
MIDAS/Civil的各种后处理功能从属于结果菜单，其具体的种类如下。
荷载组合
产生荷载组合条件
反力
反力/弯距:支点的反力和弯矩
查看反力和弯距:查看所需的支点的反力和弯矩
变形
变形形状:模型的变形图
位移等值线:位移等高线图
查看位移:查询所需节点的位移
内力
桁架单元内力:桁架单元构件内力等高线图
梁单元内力:梁单元构件内力等高线图
梁单元内力图:梁单元的剪力图和弯矩图
板单元内力:面单元构件内力等高线图
应力
桁架单元应力:桁架单元的应力等高线图
梁单元应力:梁单元的应力等高线图
平面应力单元/板单元应力:平面应力单元和面单元的应力等高线图
平面应变单元:平面变形单元的应力等高线图
轴对称单元应力:轴对称单元的应力等高线图
实体单元应力:实体单元的应力等高线图
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查看分析结果
水化热分析
输出与水化热分析相关的应力、温度、变形、容许张力、裂缝系数及时程曲线
梁单元细部分析
输出梁单元的详细变形图、剪力/弯矩图、最大应力分布图、截面应力分布图
单元详细分析结果
按各单元荷载条件或荷载组合条件输出单元的构件内力和应力
局部方向内力的合力
由板单元或实体单元的节点力输出处于任意方向上的构件内力
振型形状
输出固有振动数和固有振动模式
屈曲模态
输出临界屈曲系数和屈曲模态
时程分析结果
输出时程分析结果的图形和文本
阶段/步骤时程图形
将各阶段(stage)和各步骤(step)的分析结果按图形形式输出
影响线
输出移动荷载分析时的反力、位移、各单元构件内力的影响线
影响面
输出移动荷载分析时的反力、位移、各单元构件内力的影响面
移动荷载追踪器
进行与车辆移动荷载相关的影响线或影响面分析时对于任意分析结果(反力、位移、各单元构件内力等)查询其移动荷载条件
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G ETTING S TARTED
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未知荷载系数
对于反力、位移、桁架单元及梁单元的构件内力等提供满足相应设计条
件的荷载系数
悬臂法预拱度
输出进行悬臂法施工阶段分析时的预拱度图和相关数据表格
桥梁内力图
输出桥梁主梁的最大应力图
预应力钢束预应力损失变化图表
分别按各施工阶段输出钢束预应力损失的变化图形或动画
分析结果表格
提供反力、位移、构件内力、应力、固有模式、水化热分析、钢束等所
有分析结果的spread sheet形式的表格
输出文本结果
提供将反力、位移、构件内力等分析结果按所需荷载和形式所整理的文
本形式的输出文件
后处理功能的使用步骤
MIDAS/Civil后处理功能的一般使用步骤如下。
1. 点击后处理模式将程序的环境转换为后处理模式。
2. 利用结果菜单或工具条的图标导入后处理功能。
3. 画面左侧出现对话框后，选择相应荷载工况/荷载组合条件，若要输入
新的荷载组合条件可利用右侧的键。
4. 在内力组成选择栏对位移、构件内力及反力的方向成分进行指定。
5. 在显示形式选择栏对等值线图、变形图、数值显示等画面表现形式进
行指定，若要进行变更时可利用相应选择栏右侧的键。
查看分析结果
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后处理功能的对话框及调整画面表现形式的对话窗口
6. 在所有模型中只想在画面上显示某一部分时，可利用视图>选择功能对该部分进行选择后，再利用视图>激活>激活功能将其激活。
7.
点击键则反映上述指令的后处理结果就会在画面上显示出
来。
8. 导入其它后处理功能时比起利用主菜单，利用对话框上的各后处理功能表单和功能目录表或利用图标菜单会更为便利。
因选择功能是与后处
理功能相互独立的，故可随时加以使用。
后处理功能导入表单 功能目录
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150 显示选项
用于调节后处理结果的显示状态，可进行多重选择。
等值线图将分析结果按等值线图表现。
指定等值线图的形式、使用颜色数(Number of Colors)、等值线
图颜色分割领域(Customize Range)，基本颜色种类(Color Tabl
e)，颜色变更(Customize Color Table), 是否进行梯度扩散(Grad
ation)处理等。
等值线图详细对话窗口
变形显示变形图。
调整变形图的变形程度(Deformation Scale Factor)或决定变形
图的种类。
MIDAS/Civil不只提供反映节点变形的折线变形图，还提供反映节
点间各位置变形的平滑变形图。
设定变形的详细对话窗口
数值将变形、构件内力、应力等在指定的位置显示。
若将进行Gradation 处理的等高线图使用
File>Windows Meta
File功能打印的话需要很
长时间，请留意。
查看分析结果
151
指定小数点以下的位数(Decimal Points)和是否以指数形式(Expo-
nential)显示以及是否只显示最大/最小值等。 数值的颜色和大小可在
显示选项的字体表单中来指定。
输出数值的详细对话窗口
图例
指定后处理画面上显示各种参考事项的图例(legend)的位置。
指定图例的位置。
设定图例的详细对话窗口
动画
以动画形式表现模型的变形过程。
图例的颜色可在
显示选项 进行变更。
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决定等值线图的颜色(Animate Contour)是否随变形过程而变化，
还可决定变形过程的反复周期是以半个周期还是以整个周期来
进行。
作为参考，在表现建筑物的变形图时一般选择半个周期，在表
现振型或屈曲模态时选择整个周期。另外在AVI选项栏可指定等
值线图颜色的各像素数(Bits Per Pixel)和是否将动画数据进行压
缩，还决定半周期影像数(Frames per Half Cycle)和每秒影像系
数(Frames per Second)。
这些项目可对动画的画质和每周期(cycle)的画像处理时间及质量
产生影响。
在进行施工阶段分析时，可分别对各施工阶段或者当前施工阶
段内各步骤(step)的画像处理方法进行指定。
设定动画的详细对话窗口
变形前
在变形图上重叠表现变形前的模型。变形前模型的表现可在
显示选项功能的绘图表单中进行调整。
镜像将以1/2或者1/4的模型所分析的结果按面对称进行扩展以输出全部模型的分析结果。
查看分析结果
153
进行面对称扩展时，需指定模型输出方法及对称面的全局坐标系坐标。
对称模型进行镜像处理的详细对话窗口
切断面图 以图形表现被任意的线和面切割的板单元的变形。
选择输出的应力的方向。还可指定应力的表现方法(数值、图形、最大/最小等)。
板切割图的详细对话窗口
切割面
显示被任意面所切割的实体单元的应力。
定义切割面，并指定实体单元的表现方法和动画处理时切割面的移动或旋转的方向等。
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154
切割面的详细对话窗口
等值面图表现实体单元任意应力值的等值面。
设定应力值并指定实体单元的表现方法。
等值面图的详细对话窗口
批量输出结果在已设定的画面打印方式下，依次改变荷载工况/
荷载组合条件，一次性生成图形输出文件。
查看分析结果
155
为运行批量输出结果功能，将画面打印方式(在输出选项中选择输出文件的种类)以基本文件保存并输入文件名。
指定基本文件和荷载工况/荷载组合条件等。
批量输出结果的对话窗口
后处理功能的种类
在MIDAS/Civil 的后处理功能中利用显示形式功能可生成多种形态的图形输出结果。此中包括利用1/2或1/4模型的分析结果输出全部模型的分析结果的镜像功能，和支持将模态形状或位移/构件内力的时程等动力分析结果和静力分析结果进行动画处理的功能(Animation)。另外还提供一次性地将几个荷载条件下的结果以特定图形形式自动生成/输出的批量输出结果的功能。
MIDAS/Civil 的后处理功能的种类和所输出结果的例子如下。
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156 查看反力
反力和弯距 : 竖直方向的反力查看变形
查询位移
使用鼠标指定相应的节点，在信息窗口中就
会显示该点的位移。
查看分析结果
157
变形后形状和变形前形状
位移等值线图
在对话框的显示形式
中点击变形
右侧的可调节变形的大小。
选择变形前可将变形
前的模型图与产生的变形重叠起来观察。
选择 透视
和
消隐 可以将等值线图表
现得更切如实际。
在对话框的显示形式
中点击等值线图
的键，可对等高线的分割数、位移、颜色种类、是否进行梯度扩散处理等进行调整。
选择图例可在模型画
面的左侧或右侧显示色带及相应数值、模型坐标、文件名、操作日期等。
变形前形状
变形后形状
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158 查看构件内力
梁内力图
梁内力/弯距 : 轴力
在显示形式 选择栏的
'数值'前表示 'v' 后在输出位置指定 '最大值'，则梁单元所产生的最大构件内力就会以数值显现出来。
使用窗口>新窗口功
能可以将几种画面同时显示。
在梁单元内力图的显
示选项 中若选择'5点'，则利用在梁单元的4等分点所计算的剪力图和弯距图来显示，若选择'精确解'则会对梁单元全长计算剪力图和弯距图再进行显示。在'内力组成'选择 'Fy'或'Myz'则对强轴和弱轴的剪力图和弯距图会同时给与表现。
查看分析结果
159
查看应力
梁单元应力 : 组合应力
平面应力/板单元应力 : von-Mises 应力等值线图
在内力组成选择栏选
择组合的话可对梁单元的组合应力(轴应力+强弱轴的弯矩应力)进行分析。
在应力坐标系选择'局
部'并在内力组成选择'矢量'，则主应力会以矢量形式显示。
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平面应力/板单元应力 : 主应力矢量平面应力/板单元应力 : 切断面图
使用窗口>新窗口功能可将多种形态的后处
理结果同时在几个窗口
上显示。
查看分析结果
161
实体应力 : 主应力等值线图
实体应力-切断面
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162 查看梁单元的详细分析结果梁单元细部分析
梁单元细部分析 : 标准应力
梁单元细部分析功能可对任意梁单元提供详
细的变形、剪力/弯矩
图、任意截面的应力、
单元全长的最大应力分
布图等。
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
一、人体重变化 某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克?天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律. 一、问题分析 人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效 2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重得变化就是一个连续函数 4、初始体重为Ｗ0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t); 身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)） 将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量； 转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt; 四、模型求解 d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6 W(0）=W0 解得： ５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686) 即：
W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686） 当t趋于无穷时，ｗ=８１; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出： 请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。 二、问题分析 本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。 三、条件假设 除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用; 四、模型建立 二 5 11 7 三６ 4
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩
11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
组号：702 田宇；孙蕙雯；樊博 校园减速路障间距设计 摘要：减速路障的间距设计合理对于减速带作用的发挥具有重要的意义。本文利用查阅的相关资料，采用Lingo回归分析和最小二乘法，对汽车的加速时加速度和加速时的加速度进行了参数估计。根据题意进行数学建模，建立了汽车在一条具有多个减速带的公路上加速后减速匀速通过减速带的一维直线运动的模型。通过牛顿运动学公式进行了模型求解，最后得出了相邻减速带间的最佳距离。 关键词：减速带间距；一维直线运动模型；最小二乘法
一、问题的提出 1.1 问题的背景 校园、居民小区的道路中间，常常设置用于限制汽车速度的减速带（路障）。减速带使路面稍微拱起以达到车辆减速目的，设置在需要车辆减速慢行的路段和容易引发交通事故的路段，是用于减速机动车、非机动车行使速度的新型交通专用安全设置。减速带很大程度减少了各交通要道口的事故发生，是交通安全的新型专用设施。汽车在行驶中既安全又起到缓冲减速目的，提高交通道口的安全。随着校园车辆的逐渐增多，在校园中合理的设置减速带又成为一个很重要的实际问题。 减速带的使用效果在很大程度上取决于车辆的运行速度和减速带的放置间距间距。因此，为确保限速安全和驾驶人的舒适，合理设定道路的限速具有很重要的意义。 1.2 问题重述 校园道路需要设置路障以限制车速，如果车速不超过40km/h，应该相距多远？ 二、问题的分析 2.1 模型预备知识 道路减速带的减速原理：道路减速带的减速是通过影响驾驶员的驾驶心理实现的。当车辆以较高速度进入道路减速带时,剧烈的振动会从轮胎经车身及座椅传递给驾驶员,使驾驶员产生强烈的生理刺激(包括振动刺激和视觉刺激)和心理刺激,从而促使驾驶员主动减速,使车辆以较低的速度通过道路减速带。 2.2问题的分析 1、汽车通过减速带时速度近于零，过减速带后加速。 2、车速达到40km/h时因为前面有下一个减速带而减速，至减速带处车速又近于零。 3、如此循环达到减速目的。
历年全国数学建模试题及解法归纳 赛题解法 93A非线性交调的频率设计拟合、规划 93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划 94B锁具装箱问题图论、组合数学 95A飞行管理问题非线性规划、线性规划 95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化 96B节水洗衣机非线性规划 97A零件的参数设计非线性规划 97B截断切割的最优排列随机模拟、图论 98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化 99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟 99B钻井布局0-1规划、图论 00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工 神经网络 00B钢管订购和运输组合优化、运输问题 01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建
赛题解法 01B 公交车调度问题多目标规划 02A车灯线光源的优化非线性规划 02B彩票问题单目标决策 03A SARS的传播微分方程、差分方程 03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化 05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理 05B DVD在线租赁随机规划、整数规划 06A出版社书号问题整数规划、数据处理、优化06B Hiv病毒问题线性规划、回归分析 07A 人口问题微分方程、数据处理、优化07B 公交车问题多目标规划、动态规划、图 论、0-1规划 08A 照相机问题非线性方程组、优化 08B 大学学费问题数据收集和处理、统计分 析、回归分析 2009年A题制动器试验台的控制方法分析工程控制 2009年B题眼科病床的合理安排排队论，优化，仿真，综 合评价 2009年C题卫星监控几何问题，搜集数据
一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设： 1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。 2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。 3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型： 以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定： ()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和 由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为： 已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ， ()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立 若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分） 由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在 ()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。 最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分） 图 5
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
A题机组组合问题 当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行。又由于发电机组的物理特性限制，发电机组不能够随心所欲地发出需要的电力。为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小。 在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成，它们是启动成本（Startup Cost），空载成本（No load cost）和增量成本（Incremental Cost）。需要考虑的约束有： 1．负荷平衡约束：任何小时，电力负荷之和必须等于发电机发电出力之和。 2．系统备用约束：处于运行状态的发电机的最大发电能力减去其出力称为该发电机的备用容量，处于停运状态的发电机的备用容量为0。任何小时，发电机的备用容量之和必须大于系统备用要求。 3．输电线路传输容量约束：线路传输的电能必须在它的传输容量范围内。 4．发电机组出力范围约束：处于运行状态的发电机组的发电出力必须小于其最大发电能力（Pmax, MW）。 5．机组增出力约束（Ramp Up, MW/h）：发电机组在增加发电出力时，不能太快，有一个增加出力的速度上限，在一定时间内（通常是10分钟，为简单起见，本题取1个小时）不能超过额定范围。 6．机组降出力约束（Ramp Down, MW/h）：与机组增出力约束类似，发电机组在减少发电出力时也有一个减少出力的速度上限。 问题1：3母线系统 有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。请求出这4个小时的最优机组组合计划。最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。所有数据请见下面图及表格，“3BusData”目录中还有包含了本题所有表格数据的5个xml文件。
数学建模典型例题 某学校有三个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生代表会议设20各级席位,公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配,显然甲乙丙三系分别应占有10,6,4个席位,现在丙系有6名学生转入甲乙两系,各系人数如表第二列所示,仍按比例(表中第三列)分配席位时出现了小数(表中第四列),在将取得整数的19席分配完毕后,三席同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的系,于是三系分别占有10,6,4席(表中第5列) 因为有20个代表会议在表决的时候可能出现10:10的局面,会议决定下一届增加一席,他们按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6,7列,显然这个结果对丙系太不公平了.因为总席位增加一席,而丙系却由4席减为3席. 按照比例并参照惯例的席位分配
系别学生学生人数 20个席 20个席位 21个席位 21个席位人数的比例(% 的分配的分配的分配的分配 比例分配参照惯例比例分配参照惯例 的席位的结果的席位的结果 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 丙 34 17.0 3.4 4 3.570 3 总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21 要解决这个问题必须舍弃所谓惯例，找到衡量公平分配席位的指标，并由此建立新的分配分配方法
解答: Pī/Nī表示第ī个单位每个代表名额代表的人数 采用相对标准,引入相对不公平概念.如果P1/n1>P2/n2,则说明A方是吃亏的,或说对A方不公平. 对A的相对不公平度: rA(n1,n2)=(p1/n1-p2/n2)/(p2/n2)=(p1n2)/(p2n1)-1 对B的相对不公平度: rB(n1,n2)=(p2n1)/(p1n2)-1 情形1: P1/(n1+1)>p2/n2,表明即使A方再增加一个名额,仍然对A方不公
。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数，则一 个月后(加上利息后)欠款，不过我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由
(2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月， 已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下 的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从而得 (3) A和x之间的关系式，如果我们已经知道银行(3)表示N＝60，x＝1200给定时0 A。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得的贷款利息R，就可以算出0 53946元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70000十53946＝ 123946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或 Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑 下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用 某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款 期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这 对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢?
典型例题 1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a 元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b 元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P (m )是售出m 份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小． 解：设报童每天订购Q 份报纸，则其收益函数为 ?? ?>≤--=Q m am Q m b m Q am m y , ,)()( 利润的期望为 ∑∑∞ +==+ -+=1 )()(])[()]([Q m Q m m aQP m P bQ m b a m y E 比较各个m 的)]([m y E 值，使其最大者即为所求．若m 的取值过多，可将)]([m y E 当成m 的连续函数或借鉴连续函数求极值的方法令 0d )] ([d =m m y E ． 2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型． 解：假设有α%的人患有血友病，并假设下一代与上一代虽人数可能不等，但所生男女比例一样．基于这样一个假设，不妨设下一代男女与上一代相同，设初始第一代男女分别占总人数的比例占总人数的比例为 a 0，b 0，由题设，a 0：b 0=1：1.2．注意到只有女人遗传血友病，由此，第一代将有%2 1 0αb 个女人及 %2 1 0αb 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .1%0001αα=+= b a b c 同理，第二代将有 %21210αb ?个女人及%2 1 210αb ?个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .121% 21 0002αα?=+=b a b c 依次类推，第n 代将有%)2 1(0αb n 个女人及%)2 1(0αb n 个男人有血友病，血友病占总人数的百分比为 %2 .22 .1)21(% )21 (10001αα?=+=--n n n b a b c 令∞→n ，则0→n c ． 3．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来
建模十大经典算法 1、蒙特卡罗算法。 该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。 建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MA TLAB软件实现。 4、图论算法。 这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。 这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。 这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7、网格算法和穷举法。 网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8、一些连续离散化方法。 很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9、数值分析算法。 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10、图象处理算法。 赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图
1、一个银行的统计资料表明，存放在银行中的总存款量正比于银行付给存户利率的平方。现在假设银行可以用12%的利率再投资这笔钱。试问为得到最大利润，银行所支付给存户的利率应该定为多少？ 解 假设银行支付给存户的年利率是r,(0