2011年数学理科测试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的. 1.【新编】已知集合A={}(,)0x y x y +=，{}(,)x
B x y y e
==，则A B 的子集个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2.【新编】在三角形ABC 中，“0AB BC ?<
”是“ABC ?为锐角三角形”的
A ． 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.【改编】已知等比数列{}n a 满足0,n
a n N
*
>∈，且11n n a a -+，是方程2220
n
x mx ++=的两个实根，则当
2123221
1l o g l o g l o g n
n a a a -
≥+++ 时，等于 （ ） A ．(21)n n - B ．2(1)n + C ．2n D ．2(1)n -
4.【新编】设实数,a b 是方程lg x c
=的两个不同的实根，若10a b <<，则abc 的取值范围是
A ．(0,1)
B ．(1,10)
C ．
(10,100
D ．(1,100)
5.【新编】〖例〗在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若2
2
a b -=
,sin C B =,则A=
A ．0
30 B ．0
60 C ．0
120 D ．0
150 6.【改编】如果执行如图的程序框图，输入正整数,n m ，满足n
m
≥，那么输出的p 等于（ ）
A ．1m n C -
B ．1m n A -
C ．m n C
D ．m n A 7.【新编】已知M 是曲线2
1ln (1)2
y
x x a x
=+
+-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于
4
π的锐角，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(,2]-∞
B ．[2,)+∞
C ．(0,2]
D ．(,2-∞+
8.【改编】到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且垂直于另一条直线的平面内的
轨迹是（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 9.【新编】记实数12,,,n x x x 中的最小数为{}12min ,,,n x x x ，设函数()
f x ={min 1sin ,x ω+}1sin (0),x ωω->，
若
()
f x 的最小正周期为1，则ω的值为 （ ）
A ．1
2
B ．1
C ．
2
π D ．π
10.【改编】已知向量α ,β
,γ 满足||1α= ,||||αββ-= ,()()0αγβγ-?-= .若对每一确定的β ,||γ
的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意β
,m n -的最小值是（ ）
A.
12
B.
14
C.3
4
D.1
二、填空题： 本大题共7小题，每小题4分，共28分.
11.【改编】设函数()cos 2f x x =，若()f x ?+是奇函数，则?的一个可能值是 . 12.【新编】设复数(,),z x yi x y R i
=
+∈为虚数单位，若1z =，
则x y +的最大值为 .
13.【新编】若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是＿＿＿＿＿cm 3．
14.【新编】数列{}n a 满足递推式：1
1
33
2
n n
n n a a λ++=++?，若数列
233n n n a ??????-??
???????
为等差数列，则实数λ= .
15.【新编】已知实数,x y 满足不等式1x y +≤，若ax y -的最大值.
最小值分别为1和-1，则实数a 的取值范围是 . 16【改编】如图：用四种不同颜色给图中的ABCDEF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 种.（用数字作答） 17【新编】设F 1,F 2分别是双曲线C ：
222
2
1x y a
b
-
=的左.右焦点，过
F 1斜率为
1的直线l 与双曲线的左支相交于A.B 两点，且
22
,,AF AB BF 成等差数列，
则双曲线的离心率为 .
三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 18【新编】已知：向量1
(sin
,1cos ),(cos ,),222
OA OB θ
θθ=-=
（O 为坐标原点）.
（Ⅰ）求OA OB ?
的最大值及此时θ的值组成的集合；
（Ⅱ）若A 点在直线2y x m =+上运动，求实数m 的取值范围.
19.【改编】一个盒子中装有大小相同的小球n 个，在小球上分别标有1，2，3， ,n 的号码，已知从盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n 的概率为1
4，
（Ⅰ）问：盒子中装有几个小球？ （Ⅱ）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，ξ=1；取1246时，ξ=2，取1235时，ξ=3）， （ⅰ）求(3)P ξ=的值；（ⅱ）求随机变量ξ的分布列及均值.
20.【新编】如图，边长为2的正方形ABCD ，E 是BC 的中点，沿AE ，DE 将,ABE D CE ??折起，使得B.C 重合于O.
（Ⅰ）设Q 为AE 的中点，证明：QD ⊥AO;.
（Ⅱ）求二面角O —AE —D 的余弦值.
21.【新编】已知中心在原点O ，焦点在x
2
的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若A.B 分别是椭圆长轴的左.右端点，动点M 满足0
M A M B ?=
，直线MA 交椭圆于P ，求OM OP
?
的
取值范围.
22.【改编】设函数2
()(1)ln ,0.
f x x b x b =-+≠其中
（Ⅰ）若函数()
f x 在定义域上为增函数，求b 的取值范围；
（Ⅱ）求函数
()f x 的极值点;
（Ⅲ）证明:,n N *?∈不等式2
3
111ln(
1)n n
n
+>
-
恒成立.
B
C
A
E
D
A
E
D
O
Q
(第21题)
2011年数学理科测试卷答案
1.B ．x
y
x y e A B =-=∴ 与的图象只有一个交点，只有一个元素，子集只有2个。
2.B ．由0AB BC ?<
可得角B 为锐角，角A.B 无法确定.
2
2
211212322113(21)
2
21321223.2
,0,2
log log log log ()log 2
log 2
n
n
n n n n n n n n
n C a a a a a a a a a a a n
-+-+++--?==>∴=∴+++==== 、
4.A ．由lg y
x
=的图象可得
0110
a b <<<<，lg lg a
b c
∴-==
01,lg lg lg 0, 1.0 1.
c a b ab ab abc ∴<<+===∴<<且
5.A
1,11;23k p p n m k k k m ===-+=== m
n
6、D. 当时，当时,p=(n-m+1)(n-m+2); 当时,p=(n-m+1)(n-m+2)(n-m+3);;
当时,p=(n-m+1)(n-m+2)(n-1)n;故输出p=A
7.A ．由题意得：对任意的0
x
>，'
111y x a x
=
++-≥恒成立.
11,0,21 2.
a x x x x a x
x
≤+
>+
≥=∴≤ 即当且仅当时取“= 8.C ．如图：
将两条异面直线放入长方体中即AB.CD ，P 在平面ABC 内.P 到两直线
的距离相等，即为P 到AB 的距离等于PC.符合抛物线的定义. 9.D. 如图：实线为1sin y x ω=+的图象，
虚线为1sin y x ω=-的图象，()f x ∴的图象为直线1y =下方的曲线，
()
f x 的最小正周期为1是函数1sin y
x ω=+周期的
12
，1212π
ωπω
∴
?=∴= 10.A ．如图：.OA OB OC α
βγ===
令，，||||αββ-= O B AB =
即，
作BD O A ⊥
垂足为D ，D 为OA 中点.
(
α ADBC ∴四点共圆，AB 为直径.，
A
B
C
D
P
||γ∴
即为点
O
到圆周上点的距离，||γ
的最大值和最小值分别为,m n m n AB
∴-=，当B.D 重合时
AB
最
小. 11..
4
π 由题意得：
()cos(22)cos 2f x x x
??+=+=±，2().2
k k z π
?
π∴=±
∈
2
2
112,z x y xy x y =∴=+≥+=
≤
又
13.
81).3
2
3
π+ 几何体为底面边长为2，高为2
2
的圆台组成，
118142).3
3
2
32
3
V πππ=
??+
?
+
=
+
+
14.-1.
1
133
2
n n
n n a a λ++=++?两边同除以1
3
n +得
111
1
213
3
23
n n n n n
n a a λ++++?=++
?
11
111
1
2
2
2()1()33
3
23
3
2
21(
)()3
3
33
212()1()(), 1.3333
n n n n n n n
n n n
n
n n n
n a a a a λλ
λλ++++++?∴-=++
-?=++-
+=-++∴=-
15.[-1,1]不等式
1x y +≤所表示的平面区域如图所示：
00,1,0,1,a a y ax a a y ax a =>=≤<=≥-时，显然成立；
时直线的斜率如图;
时直线的斜率如图。
16.264．分两类讨论：第一类，用到3种颜色，先给A.B.C 三点涂色，因A.B.C 两两相邻，所以颜色互不相同，有34A 种涂法，再给D.E.F 涂色，因A 与D ，B 与E ，C 与F 颜色不同，故有2种，由乘法原理得342A ?；第二类， 4种颜色都用到，先给A.B.C 三点涂色，有34A 种涂法，再给D.E.F 涂色，因为D.E.F 中必有一点用到第4种颜色13C ，所以另外两点用到A.B.C 三点所用颜色中的两种23C ，此时涂法确定，由乘法原理得
3
1
2
433
A C C ??.所以共有342A ?+312433A C C ??=264种.
2
根据双曲线的定义得2122212,42AF AF a AF BF AB a
BF BF a
-=??+-=?
-=?两式相加
22
,,AF AB BF 成等差数列，222AF BF AB
∴
+=代入上式得
4AB a
=，
设直线l 的方程为y
x c
=+与双曲线方程联立得：
2
2
2
2
2
2
2
()2()0,4b a x a cx a c b A B a
---+==
=
化简得2
2
32,
2
c a c a
==
18.(1)OA OB ?
=1111sin cos )2
2
22
4
2
πθθθ-
+
=
-
+
，
当2,2()4
2k k k Z ππ
πθ
πθθπ??
-
=
++∈????
3即=时，4（OA OB ? ）
122
.
(2)将A 点坐标代入直线方程得：
2
2
1111cos 2sin
2sin
2sin
2(sin
),1sin
1, 4.
2
2
2
2
2
2
2
2
m m θ
θ
θ
θ
θ
θ=--=-=-
-
-≤≤∴-
≤≤
19.（Ⅰ）
1
12
18.
4
n n
C n C
-=
∴=
（Ⅱ）（ⅰ）1
1
1
1
2443
4
8
2(3).7C C C C P C ξ+===
（ⅱ）4
48
8
51
5
14(1);(4);(2)1(1)(3)(4).
14
14
7
P P P P P P C
C
ξ
ξξξξξ==
=
==
===-=-=-==
1421331234.14
7
7
14
14
E ξ∴=?
+?
+?
+?
=
20.(1)取AO 中点M ，连接MN ，DM ，由题意可得：,A O E O D O E O
⊥⊥，
AO=DO=AB=2EO=2.DM AO ∴⊥
//Q A E M Q E O M Q A O ∴∴⊥ 为的中点，，
.AO DM Q AO DQ ∴⊥∴⊥平面
（2）作MN
AE N DN
⊥垂足为，连接 ,A O E O D O E O E O A O D
E O D M
⊥⊥∴⊥∴⊥ 平面，
D M AO D M AO E
⊥∴⊥ 平面
MN AE DN AE DNM O AE D ⊥∴⊥∠-- ，就是所求二面角
的平面角。1cos .
5
5
4
M N D M M N D N D N M D N
=
=
=
∠=
=
O AE D -- 1二面角的余弦值为
4
2
2
2
2
21
21(1)2242,21 1.224
c
x a b ab a b c a b y a ??=∴===+==∴+= 、又,解得，椭圆方程为：
A E
D
O
Q
M
N
2
2
11222222
22
2
2
222222
2
222
04,(,).(2)(2)(1)44404442242(2),
111(2)(14)14M A M B M A B x y x y M x y M A y k x y k x k x k x k x y k k k x x y k x k
k
k
y k x k x y ?=∴+==+=+??+++-=?+=?--∴-=
∴=
∴=+=
+++=+???+?+=??
（2）点的轨迹是以为直径的圆周上，
方程为设P(,),设直线的方程为222
2
2111122
2
22
2222
4
2
4
2
2
4
2
4
2
24
2
161640164
2842(2),
14141428224414114116444(451)24451
451
244451x k x k k k
k x x y k x k k
k
k k k k
O M O P k k k k k k k k k
k k k k k
k k ++-=--∴-=
∴=
∴=+=
+++--∴?=?+?++++-+++-=
=
++++=-
++∴
当2
22
4
2
2
2
2
0424240441451
45
44.
3
14[4]23
k O M O P k
k O M O P k k k k
k O M O P =?>?=-
=-
+++
+≥-
=
=∴?∈
时最大为当时 当且仅当时等号成立。，。
2
'
2
'
2
2
2
2
122222(1)()2(1)(0),()22()022*******().
22
2
2
1(2)(1)()2
1220112
b x x b
f x x x f x x x
x x b
f x b x x x
y x x x b b f x b x x b x x -+=-+=
>∞-+∴=
≥∞≥-+=-+=--+
≤
∴≥
≥∞<
-+==-
=+ 、在(0,+)为增函数，
在(0,+)恒成立，即，由得当是在(0,+)为增函数，无极值点；
当时，
得122212*********,10
()(0,)(,)1,2
()(0,)(,),1()12
10()11()2
b x x f x x x b x x f x x x x x b f x x x b f x x b f x <=-
=+
∴+∞<<
∈∞∴+∞<<=-=+
<=+≥
时,在递减递增；当0时，(0,+)
在，递增,()递减；综上所述：当0时，有一个极大值点一个极小值点当时，只有个极小值点当时，无极值点；
(2
32
3
'
'
3
2
2
3
1()(1)ln 3(1)(1)
()(1)()(),1()0
()[1,)()(1)0(1)()(1)ln 1111,
1[1,)ln(
1).
b f x x x x x h x x f x h x x h x x
h x h x h x f x x x n N n
n
n
n
*
=-=---+-=--∴=
≥≥∴+∞≥=-≥=--∈+∈+∞+≥
-
3)证明：当时，令当时在递增，，即恒成立，代入上述不等式的
2011年浙江省高考名校名师新编冲刺模拟联考卷
数学（理科）测试卷（一）参考答案
一、选择题 1．答案：C 提示：A 中的元素6
233
12
-=
-
=m m x ，B 中的元素6
2
)1(36
136
12
-+=
+=
+
=
n n n x ，则A ＝B
2．答案：D
提示：4)22()1(21=-?+=?i i z z ，i
i i
i z z 22
)
1(21222
1
2-=-?=
+-=，则i
z z z z 241
221-=+
?
3．答案：D
提示：4
314)4
3()4
3()53()4
3()23(11n
n n a a n
n n n n -?
=?--?-=-++，故当4≤n 时，n n a a >+1，当5≥n 时，
n n a a <+1，∴5a 是最大项，又0
2
31<-=a ，2≥n 时，0>n a ，∴最小项为1a
4．答案：D
提示：AB 与BC 所成的角是△ABC 的一个外角，此时△ABC 中角A 与角C 不确定 5．答案：A
提示：数形结合，当向量a 的起点为原点时，终点在以原点在圆心2为半径的圆周在第四象限的圆弧上，从图上可看出夹角为θ
π-25
6．答案：C
提示：这个几何体为底面边长为2，高为3的正三棱柱上放一个直径为1的球，求得正三棱柱的全面积为
3218+，球的面积为π
7．提示：C 8．答案：A
提示：3sin sin sin cos 4)(22+-=--=x x x x x f ，则)1s i n 2(c o s )(-='x x x f ，
当∈x )
2
3,
6
5(ππ时，0cos 1sin 2<-x ，则0)(>'x f ，∴)(x f 在) 2 3, 6 5( ππ上递增. 或利用复合函数的单调性分析. 9．答案：B 提示：设),(00y x P ，则5 3)(2 22 2 02 022 22 2 02 0000- =- =--=-= -? += ?a b a x x a a b a x y a x y a x y k k PB PA ∴)(5532222c a b a -==，∴5 1052= = a c 10．答案：D 提示：由 1 1 1 1++---= -n n n n n n a a a a a a 可得： n n n a a a 2111 1 = + +- ，∴} 1{ n a 是等差数列，首项为 2 1，公差为 2 12 11111 2 = - =-a a ，∴ 2 1n a n =， n a n 2=，∴5 110 210== a 二、填空题 11．答案：]5,4[- 提示：x x x f cos 4sin 3)(+=＝)sin(5θ+x ，其中θ是满足5 4sin =θ，5 3cos = θ的锐角，∴当π=x 时，) (x f 取最小值4-，当2 π θ=+x 时，)(x f 取最大值5 12．答案：2 提示：虽然PA 、PB 、PC 两面垂直，应用基本不等式可得。 13．答案：0 提示：先画出前两个不等的区域，然后求出642-=+y x 与两条直线的交点，再把相应的点的坐标代入即 可 14．答案：{0，1，3} 提示：依题意得2 2x x x ≤??=?,或2523x x x <≤?? -=?,或1 5x x x >??=?,解得0x =,或1x =,3x =. 15. 答案：90720 提示：2 288 813 )2(r r r r r x C T --+???-=，∴当=r 4时，常数项为907205=T 16答案： n n n n n 2 )1(11+= +++， n n n n n 2 )1()1(1+= +?+ 17．答案：1 e e 提示：设切点为),(00y x ，则?????===='00 000 01 ln )(y x y a a a x f x x ，解得e e a 1 = 三、解答题 18．解：(1) 1cos 2cos sin 2)(2-+=x x x x f ＝)4 2sin(22cos 2sin π + =+x x x ∵函数|sin |x y =的递增区间是[2 ,π ππ+ k k ])(Z k ∈， ∴由2 42π ππ π+ ≤+ ≤k x k ，得 8282 π ππ π+≤≤- k x k ∴|)(|)(x f x g =的单调递增区间是[ ]8 2 , 8 2 π ππ π+ - k k )(Z k ∈ (2) )()()(x g x f x h +==|)4 2sin(2|)4 2sin(2π π + ++x x ∵]3 , 6[π π - ∈x ，∴]12 11, 12 [4 2ππ π - ∈+ x ∴?? ???+=)42sin(220)(πx x h ]12 11,0(42]0,12[42ππππ∈+-∈+x x ∴ 当]0,12 [42π π - ∈+x 时，即]8 ,6 [π π - - ∈x 时，0)(min =x h 当2 4 2π π = + x 时，即8 π = x 时，22)(max =x h 19．解（1）∵O 、E 分别是AC 、SC 的中点，∴SA//EO ， ∴SA ⊥平面ABCD ，∴SOA ∠是SA 与平面ABCD 所成的角，∴ SA 、AB 、AD 两两垂直，连结DG 并延长交SB 于F ． S O S B D G SO ?∴ 是的中线，点在上 D F S B SB ?⊥ ⊥?⊥? ?⊥? ⊥? ⊥? 面FAD 面SDB AD 面SAB AD SB AG AG SB 同理可得,BG SD SO BD ⊥⊥ G S B D ∴?是的垂心 S B D ∴?又是等边三角形 S A A B A D ∴==， t a n S O A ∴∠ （2）G 是SBD ?的重心， F 是SB 的中点 C D A B C D S A B C D G S A B ?? 面过的平面交面于 C D S A D C D H F ⊥∴ 面四边形是直角梯形梯形的高 2 D H a = = ，2 2 2 2 8 C D H F a a S a a +∴ =? = 梯形. 20．解：⑴ 把抛掷结果列表ξ的概率分布为： 3 1436 9636 12536 10436 4336 12=? +? +? +? +? =ξE ⑵把抛掷结果列表得η的概率分布如下： 则9 7366236 16136140= ?+? +? =ηE 81 4136 6)972(36 16)9 71(36 14)970(2 2 2= ? - +? - +? -=ηD 21. 解：(1) 设Q （x 0，0） ),(),,(02b x AQ b c A F -=-= c b x b cx AQ A F 2 02 02,0,- ==--∴⊥ ， 由于02221=+Q F F F 即1F 为2F Q 中点． 故c c c b 22 -=+- 2 22 2 3c a c b -==∴ 故椭圆的离心率2 1=e （2）由⑴知 ,2 1=a c 得a c 2 1=于是2F （ 2 1a ，0） Q )0,2 3(a - ， △AQF 的外接圆圆心为（-2 1a ，0），半径r=2 1|FQ|=a 所以 a a =-- 2 |32 1|，解得a =2，∴c =1，b=3， 所求椭圆方程为 13 42 2 =+ y x （3）由（2）知)0,1(2F ,l ：)1(-=x k y ? ????=+-=134 )1(22 y x x k y 代入得01248)43(2222=-+-+k x k x k 设),(11y x M ，),(22y x N ,则2 221438k k x x += +，)2(2121-+=+x x k y y =-+-=+),(),(2211y m x y m x PN PM ),2(2121y y m x x +-+ 由于菱形对角线垂直，则?+)(PN PM 0=MN 故02)(2121=-+++m x x y y k , 则02)2(21212 =-++-+m x x x x k 2 k )2438( 2 2-+k k 024382 2 =-++ m k k 由已知条件知0≠k 且R k ∈，4 31432 2 2 += += ∴k k k m 4 10< <∴m 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是4 1 0< 22. 解：（1）设,2-≤x 则2≥-x ，))(2()(x a x x f +--=-∴ 又 偶函数 )()(x f x f -=∴，∴)2)(()(--+=x a x x f （2）当2>a 时 ))(2()(,2x a x x f x --=≥，2 m ax )12 ( )2 1()(-=+ =a a f x f 2 ( 1)10424 2 a a a ∴-<∴<<∴<< 当2≤a 时，都满足综上所得 4 （3）m x f =)(零点4321,,,x x x x ，)(x f y =与m y =交点4个且均匀分布当2≤a 时 ??? ??=++=-=+0 22 32 31221x x x x x x x 得23,21,21,23,3432121==-=-==x x x x x x ，43=m 当 42< 3= m 时，且4 3)12 ( 2 < -a ，即2323+<<+-a 所以 232+< 3= m 当4=a 时m=1时 当4>a 时，1>m 1612203)42)(242(,42222 432 42343+-=+--+=+=???? ??-=+=+=+a a a a a m a x x x x x x a x x 此时2 )12 (1-< 所以 3 7 41037 410-< +> a or a （舍） 4>a 且3 7 410+> a 时，16 12 2032 +-= a a m 时存在 综上所得： ①32+