长江水质评价和预测的数学模型
田定胜，张欣，刘闯
指导教师：薛志远
摘要：本文通过建立数学模型对长江水质作出评价和预测。问题一引入模糊综合评价模型对长江上17个观测点的水质作出综合评价，然后对长江干流和长江支流上的观测点分别作出评价，评价出干流和支流的水质情况，最后通过对干流和支流水质评价得出长江水质的等级为1.6084。问题二引进虚观测点后，建立迭代模型，用前一点的污水浓度计算后一点的污水浓度，计算出干流上六个点的污水浓度，然后根据观测点的污水浓度和排放量求解各个地区排放污染物的量，最后，选出排放污染物较多的地区为主要污染源。求解得到高锰酸盐的主要污染源有岳阳地区、宜昌地区、南京地区和安庆地区；氨氮盐的主要污染源有岳阳地区、安庆地区、宜昌地区和重庆地区。问题三把长江水文年全流域水质定为长江水质，利用时间数列预测模型，由前面十年的数据预测未来水质变化趋势，得出预测方程。通过预测方程预测后续年份的水质情况的变化趋势，可以得出结论：如果不采取有效的措施保护长江，水质将会逐渐恶化，第一类水、第二类水、第三类水、第四类水、第五类水将依次从长江水质中消失，到若干年后长江里面将全部是劣五类水。问题四解决处理污水的量：重新将六类水定义为三个类别的水（生活用水、工业用水、污水），首先用时间数列预测模型预测未来十年的污水排放量，接着对于前十年的数据，用回归分析找出污水排放量与各类水的百分率之间的线性关系，最后用规划模型计算出每年最少的处理污水量。
关键词：模糊评价迭代算法时间数列预测虚观测点线性回归
1 模型假设
假设溶解氧(DO)、高锰酸盐指数（CODMn）、氨氮（NH3－N），pH值这四者之间是线性无关的，即各自互相独立；每个地区向长江排放污水只在观测点处；长江流域的水的流速都比较平稳，在每小段的流速不变；在未来的几年中，人们的环境意识不会变化太大；长江流域在未来的几年中不会出现大的变故，如大面积的旱灾、涝灾、战争等等；长江流域的经济稳定发展，排污能力不会突变；在处理污水时资金是充足的；长江水文年全流域的水质能够反映长江水质情况；污水经过处理后能够达到生活用水标准；长江支流和干流水在交汇处交汇后，在很短的时间内混合均匀。
2 符号说明
R：第j个点位的隶属度模糊关系矩阵，*B：加权平均处理的模糊评价结j
DO COM NH：容果，i u：单因子评价时，样本对等级i重指标的隶书度，,,
ui ui ui
氧量、高锰酸盐指数、氨氮隶属函数，j b：样本属隶书与等级j的隶书度，i：
d：长江干流上第m段从上游到下游长江干流上的（虚）观测点(1,210
i )，m
（两观测点间的部分）（1,26m = ），i x ：从四川攀枝花到i 点的距离，()m v x ：水在m 段内x 处的流速，i M ：第i 点的长江干流的流量，i S ：第i 点的长江支流的流量，i q ：第i 点干流江水的污水浓度，i r ：第i 点支流江水的污水浓度，i t
：江水从第i 点流到1i +点的时间，m N ：m 段下游地区的排水量，m p ：m 段下
游地区的排水量浓度，(1)
(2),m
m
q q ：m 段排放污水中CODMn 和NH3-N 的浓度，(1)(2),m m
Q Q ：m 段排放CODMn 和NH3-N 的量，()()i L t ：长江近10年第i 类水在t 年所占的百分比，()i w t ：t 年的第i 类水所占的百分比，()F t '：t 年长江最大承受的废水量，()F t ?：t 年需要处理的废水量。
3 问题的分析建模与求解
3．1问题一
3．1.1问题分析
附表3中给出了长江上17个观测点在28个月的观测值。要对整个长江的水质情况作出综合评价就要先对这17个观测点水质情况作出评价，然后由17个观测点的评价值对长江的水质情况作出定量的综合评价。在处理17个观测点的数据时，认为在28个月测量的28组数据是观测点的样本，取样本平均值作为观测点的评价值，然后用模糊综合评价方法对每个观测点作出水质的综合评价。由于观测点是分布在长江干流和支流上面的，由于观测点的位置不同，先对长江干流和长江支流水质作出评价。最后，根据干流和支流的水质情况，评价整个长江水质情况。
3.1.2模型的建立与求解 模糊综合评价方法
Step1、确定评价对象的因素集，即确定评价指标。评价指标根据《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目标准限值设置。通过对长江各观测站的检测结果分析，设置溶解氧(DO)、高锰酸盐指数（CODMn ）、氨氮（NH3－N ）为评价因子（由于从2003-6至2005-9月期间几乎所有的pH 值指标均在允许的6―9范围内，故暂不讨论）。设评价因子集为：123(,,)u x x x =。求出四川攀枝花干流等17组点位28个月各个检测项目的实际数据平均值，得到17个观测点位的各评价因子值。
Step2、建立评价集
根据国家地表水环境质量标准GB3838—2002中4个主要项目标准限值将水
由于水质污染程度和水质分级标准都是模糊的，所以用隶属度来描述分级界限较合理。先根据各指标的6级标准，做出6个级别的隶属函数。其中评价指标中DO 的评价指标是以数值大为最优，其余则以小为优，其函数如下：
DO 以升半梯形分布建立隶属函数：
11
x 7.5()1/2(6) 67.5,06u DO x x x x ≥??=-<
2
x 7.5,x 5
()1/2(6) 67.5,
556u D O x x x x x ≥≤??
=-<
30
x 6,3()5 56,1/2(3)35u x DO x x x x x ≥≤??
=-<
4
x 5,2
()1/2(3) 35
,
2
23
u x D O x x x x x ≥≤??=-<
50
3,0()2 23,/202u x x DO x x x x x ≥≤??
=-<
60
2()/2 02,
10u x DO x x x x ≥??
=<
再类似地分别建立CODMn 、NH3-N 的降半梯形分布建立隶属函数。
有了各评价指标的隶属函数，就可以进行单因素评价，建立模糊关系矩阵R 。以四川攀枝花断面为例，将实际监测值CODMn ＝2.432 mg/L 代入相应隶属函数，计算隶属度为：
CODMn:1
234560.784,=0.784,0,0,0,0u u u u u u =====
类似地计算出其它指标的隶属度，便可得到四川攀枝花断面的模糊关系矩阵
1R ：
1 1 0 0 0 0 00.784 0.784 0 0 0 00.906 0.906 0 0 0 0 R ??
??=??
????
，依照此方法，可依次算出其他16个模糊关系矩阵217~R R （具体数值略）。
Step4、建立评价因素的权重集
由于DO 、CODMn 、NH3-N 等污染指标对水质的影响不用。因此，对各指标应赋予不同的权重。根据污染物对水质的影响不同，因此，对各指标应赋予不同的权重。根据污染物对水质污染大、权重大的原则来决定权重的大小。
定义：对DO 越大越优型:/i i i a k c =,对CODMn 、NH3-N 越小越优型：/i i i a c n =。式中,,,i i i i a c k n 分别为第i 种评价标准的权重、各点位测得指标的浓度、多级浓度标准的最小值和最大值。再将各单因子归一化处理，即：i
i i
a Q a =
∑。应用此算
法求得28个月均值的权重集A 为：[0.111,0.346,0.543]A =
Step5、模糊综合评价
将评价因素的权重与单因子矩阵合成得到模糊综合评价结果B ，以攀枝花点位为例：(0.874,0.763,0,0,0,0)B A R =?=。同样根据此步骤可得其他各点模糊综合评价结果，。
Step6、模糊综合评价结果加权平均处理
将六个等级看作一种相对位置，使其连续化。设各等级分别用1，2，…，6表示，并称为各等级的秩。然后用B 中对应的量将各等级的秩加权求积的到被评等级的相对位置，即：
6
1*61
k j
j k j
j b
j
B b
==?=
∑∑，式中j b 为隶属于第j 等级的隶属度，k 为待定系数（k ＝
1或2）。
采用加权平均原则对长江流域17个点位观测结果的模糊评价结果处理得最
高锰酸盐指数（CODMn ）、氨氮（NH3－N ）的检测结果评价长江干流（序号为1～7）上的水质均在1.3～1.5级之间，而支流的水质情况差别很大。
对长江整个流域分析：
干流上的水质级别：711 1.4387i i e ==∑，支流上的水质级别：17
8
1 1.86410i i e ==∑
取干流上的水质评价权重系数为0.6，支流上的水质评价权重系数为0.4
得出长江水质综合评价值：`717
18
110.60.4 1.6084710i i i i g e e ===?+?=∑∑
这个两个数据说明这两年以来长江的水质还是很好，等级为1.6084，平均在
2级，同时也反映出支流上的水质比干流上的水质要差。
3.2 问题二 3.2.1问题分析
污染源就是排放的污染物较多的地方，要得出某个地区排放的污染物的量，就必须求出这个地区排出污水的浓度和排出的污水量。假设这个地区所有污水都汇集到观测点附近排放，又因为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水，所以我们可以根据上一个观测点的江水流量、污水浓度和本
观测点的江水流量、污水浓度计算这个点的污水浓度。进一步考虑：由于一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水，但是影响上游污水浓度的因素有上游干流污水和上游支流污水。为了更加准确的计算出各个观测点的污水浓度，考虑到支流会影响干流的污水浓度，我们在每个支流与干流交汇处增加虚观测点以监测交汇处的污水浓度。
3.2.2模型的建立与求解
用迭代模型建模，步骤如下：
step1:根据某段最上游观测点的流量，流速和污水浓度计算出与这段最上游
观测点相邻下游点
的污水浓度。
step2：判断相邻的下游点是观测点还是虚观测点。
step3：如果是虚观测点，继续向下游方向计算下一个相邻点的污水浓度，
如果是观测点，计算出这个地区向长江排入污水的量和污水浓度。
step4：计算下一个阶段的污水浓度。 模型建立几个原则：
1、m 段江水流速（取平均流速）：2
i n
m v v v +=()m i n 段的起止点分别为和 2、水流过m 段内的i 到1i +两点所用的时间：1i i
i m
x x t v +-= 3、第i 点的江水经降解后到第1i +点的浓度：1
(1) 0.2i t i i q q k k +=-=
4、支流在i 点与干流汇合后的浓度：1111(1)i t i i i i
i i i
M q k S r q M S -----+=+
5、n 地区的污水排放量：1
n n n i j
j i
N M M S
-==-+
∑
根据以上原则，建立江水污水浓度方程 (m 段上是从i 点到n 点) 计算点j 为虚观测点：i j n <<，计算出j p
1
1
1
1[](1)
[]j j j t i m j j j i m j m i m i
M S p k S r M S p ----==+?-+=+?∑∑ (2.1)
计算点为观测点n ：计算出n q
11
1[](1)n n t i m n n n n n m i
M S p k M p N q ---=+?-=?-?∑ (2.2)
m 地区污染物排放量(1)(1)m (2)(2)
m Q Q m m m m
q N q N ?=???=???，如果(1)
m Q 较大，则m 地区为CODMn 污染源；(2)(2)
m m m Q q N =?则m 地区为NH3-N 污染源。
根据上面的迭代算法计算得出各个地区向长江排放废水量和排放废水中含有污染物的平均浓度。得到如下结论：高锰酸盐的主要污染源有：岳阳地区、宜昌地区、南京地区和安庆地区；氨氮盐的主要污染源有：岳阳地区、安庆地区、宜昌地区和重庆地区。 3.3问题三
3.3.1问题分析
要对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，就要根据前十年数据发展趋势对后面十年数据做出预测。附表四里面分别给出前10年长江在水文年、丰水期、枯水期的长江全流域、干流、支流的水质情况。我们在预测后十年的长江水质情况时，长江全流域的水质情况会更加全面的反映长江水质情况；水文年的水质情况是长江水质的普遍情况，最能反映整个长江的水质情况，所以我们以水文年的全流域水质情况评价整个长江的水质情况。我们通过前10年水文年全流域水质情况数据对后面十年长江水质进行预测，分析未来10年长江的水质变化情况，对长江未来水质的发展趋势做出预测分析。
4.3.2模型建立与求解
把过去10年认为是一个时间数列，根据过去10年水文年全流域水质情况，运用时间数列预测模型来预测未来10年水文年全流域水质情况。
设预测方程为：()
?()i t L
t a b =? ,a b 为待定系数
采用三项加权平均值求解指数方程的代定系数：
令：()()()()()()1[lg (1)2lg (2)3lg (3)]6
1[lg (2)2lg (1)3lg ()]6i i i i i i R L L L T L n L n L n ?=++????=-+-+??
根据,R T 计算出??,a b ?37??3T R
b n a R b
-?=??-??=-??
，其中10n =，??log , log a
a b b ==,从而求出,a b 。
根据上面的方法和步骤，代入数据得到预测方程如下：
第一类：(1)?()27.5960.768t L
t =?；第二类：(2)?()23.10.95t L t =? 第三类：(3)?()43.970.975t L
t =?；第四类：(4)?()9.527 1.01t L t =? 第五类：(5)?() 1.84 1.12t L
t =?；第六类：(6)?() 1.695 1.219t L t =? 由于预测出来的是百分率，因为所有的百分率的和为1，对预测十年的数据
进行归一化：
()()6
()
1100??()()?()
n i i i L
t L t L
t ='=∑ 得到从11年到第20年各种水质所占的百分率。
根据预测函数，可以做出以下预测：
1、第一类水、第二类水、第三类水的预测函数为：()(2)(3)?()27.5960.768?()23.10.95?()43.970.975i t t t L t L t L t ?=??
?=???=???
预测函数中，1b <，为减函数，且1b <时，b 越小，将会递减的越快。这三
类水的递减速率为：一类>二类>三类。所以不久后，(1)?()L t 、(2)?()L t 、(3)?()L t 将依次趋向于0，长江上一类、二类、三类水消失。
2、第四类水的预测函数为：(4)?()9.527 1.01t L
t =? 由于在预测函数中，1b ≈，所以在短期内，第四类水所占的百分率时几乎不变的。
由于要百分率要归一处理，由于随着时间的增加，6
()1?()i i L
t =∑增大，代入归一函数 ()()6
()
1100??()()?()
n i i i L
t L
t L
t ='=∑后，就会使得(4)?()L t 逐渐减小，到最后趋向于0，第四类水将会消失。
3、第五类水和劣五类水的预测函数为：(5)(6)?() 1.84 1.12?() 1.695 1.219
t t L
t L t ?=???=???
在预测函数中，当1b >时，预测函数时增函数。且1b >时，b 越大，增长的越快。所以在时间不是很长时，第五类水和劣五类水都会增长的非常快，但是劣五类增
长率大于第五类水。一段时间后，()?()0 i=1,2,3,4i L
t ≈，同样要归一化 (5)(5)(5)6(5)(6)()1(5)(6)(6)
(5)
100100???()()()??()()?()??()()100??()()
i i L t L t L t L t L t L t L t L t L t L t =?'=≈?+????+>???>??∑
所以(5)?()L t 成为减函数。经过的一段时间后，(5)?()L t 趋向于0，第五类水消失，长江里面将全部是劣五类水。
结论：如果不对长江采取有效的措施，长江水质按照这个趋势变化下去，一
类水、二类水、三类水、四类水、五类水将依次从长江水质中消失，到最后长江里面将全部是劣五类水。 3.4问题四
3.4.1问题分析
要使得在10年内长江干流上的Ⅳ类和Ⅴ类水小于20%，没有劣Ⅴ类水。由此把长江上的六类水重新定界为3类。第一类水（生活用水）：Ⅰ类、Ⅱ类、Ⅲ类；第二类水（工业用水）：Ⅳ类、Ⅴ类；第三类水（污水）：劣Ⅴ类。
污水一次处理都会达到第一类，这样，用新定界的三类分析会使评价指标减少，问题得到简化。接着，根据前十年的废水排放量对后面十年的废水排放量做出预测，并且要找出废水排放量与各个类别水的百分率关系（函数），最后，根据废水排放量与各个类别水的百分率关系（函数），在考虑处理污水最少这个目标下，满足第二类水少于20%，没有第三类水这个条件下做规划模型，得出每年处理污水量。
4.4.2模型建立与求解
首先，由于每年的排污量不同，后十年的排污量要经过前十年的排污量数据预测，采用问题三中的时间序列预测模型对后十年的排污量预测，得出预测函数为：
()156.45 1.062t F t =?
通过线性回归计算出污水排放量与各类水质所占的百分率之间的线性关系。
通过线性回归分析计算得：
123()196.76()269.04()744.08()F t w t w t w t =++
()F t 为t 年的排污量，()i w t 为t 年的第i 类水所占的百分比
对污水净化，要达到最低的进化要求，并且处理污水量最少，建立规划模型：
目标函数：min ()()()F t F t F t '?=-
约束条件：1233
2123()196.76()269.04()744.08()()00()20%()()()1
F t w t w t w t w t w t w t w t w t '=++??=??<
从前面四个问题得出的数据来看，长江水质在呈指数增长形式恶化，预计到2012年长江全流域前三类水占总体水的百分比已经不足50％，换句话说，长江
流域将有一半以上的水不能供人生活饮用！短短的十年之后，到2014年长江流域将有近一半的水是废水，目前长江沿岸GDP是占全国总量的54%，试想到那时长江沿岸GDP如果减少一半，这对我国经济发展将是何等的不利！如果时间再长一点，长江水质将会全部恶化为劣五类水，那时侯的长江就是名副其实的臭水沟了。所以目前长江确实已陷入深度危机，好像患上了早期癌症，若不及时拯救，10年之内长江水系生态将濒临崩溃。
然而以目前长江的情况来看，将水质逐渐改善也是完全有可能的。欧洲的泰晤士河、莱茵河、日本的琵琶湖、美国的伊犁湖等等都曾有过被严重污染的记录，有的甚至不止一次被污染，但目前来看，都治理的相当不错了。究其原因，我们应当作好打持久战的准备，同时注意以下几点：
（1）必须转变人们先污染后治理的污染控制思想，尤其是对于那些难以自然降解的有毒有害污染物，必须先治理后排放。提高公众的环境意识，将污染预防工作提高到一个新的高度，在环境治理问题上争取公众的支持。
（2）成立专门的河流(或大气)污染治理部门，并通过区域之间的合作，一方面，制定相互协调的污染治理政策；另一方面，制定统一的污染物排放标准。治理重点污染源与工业区的污染，治理污染较为严重的河段。在治理、保护机构设置上，需要重要领导带头，同时利用多个相关部门的力量等等。
（3）建立严格的法规对污染源进行管理，同时加大执法力度，对恶意污染环境者处以重罚，坚决整治治理过程中的贪污腐败现象。在税收管理方面，可以作出这样的规定：长江流域的企业工厂只要在生产中对环境有影响，就要交一定额度的环保税。
（4）增加投资，在财政上为环境保护提供有力保障。
（5）合理规划、建设城市污水处理厂，使排水达到可被水体的自净作用消纳的程度。在进行上述工作时，需要相关领域专家的参与，借助现代化科学技术方法、设施实现污染治理过程的最优化。
4 模型优缺点分析
在解决前四个问题时，用到了模糊数学综合评价模型，迭代模型，时间数列预测模型，线性回归，规划模型五个模型。五个模型有着不同的功能，可以解决本问题中的不同的小问题。另外，由于题中数据众多，我们选择了matlab和vc++两种编程工具软件处理数据，减小了处理数据时的计算误差。
但是，由于数据较多，我们把一些数据和一些概念作了近似考虑，例如：以水文年的全流域水质情况评价整个长江的水质情况。这样处理以后，会与真实结果有一点偏差。