第二十七章相似
27.1图形的相似（第1课时）
教学目标
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3.通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6. 通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．重点:相似三角形的初步认识．
教学过程
1、观察
共同特征：形状相同，大小不同．
相似图形：我们把这种形状相同的图形说成是相似图形
问题1：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形
______或________得到，
问题2：举出现实生活中的几个相似图形的例子
例如，放映电影时，投在屏幕上的画面就是胶片上的图形的放大；
实际的建筑物和它的模型是相似的；
用复印机把一个图形放大或缩小所所得的图形，也都与原来的图形相似．
问题3：尝试着画几个相似图形？（多媒体出示）
2、教材“观察”
图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？（多媒体出示）
相似不相似不相似
课堂练习:教材1、2。
教学后记：
27.1图形的相似（第2课时）
教学目标：1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
4．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
重难点：根据定义求线段长或角的度数。 教学过程：
解：四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应角相等。 四边形ABCD 和EFGH 相似，它们的对应边成比例。
由此得：
AB
EF AD EH =
，即1824
21=X ，
四、相似三角形的定义及记法
1、因为相似三角形是相似多边形中的一类，因此，相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出.
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． 如△ABC 与△DEF 相似，多媒体出示，
记作△ABC ∽△ DEF
F
E
D
C B A
其中对应顶点要写在对应位置，如A 与 D 、B 与 E 、C 与 F 相对应．AB ∶ DE 等于相似比,相似比为K ． 2、想一想：如果△ABC ∽△DEF ，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
准备活动:
阅读理解：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如
d
c
b a =（即ab=cd ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 一、复习旧知
相似多边形有关概念 二、引入新知
例题.如图（多媒体出示），四边形ABCD 和EFGH 相似，求∠1、∠2的度数和EF 的长度. ∴∠1=∠C =83°，
∠A =∠E =118° 在四边形ABCD 中， ∠2=360°-（78°+83°+118°）=118°
解得，x =28（cm ）.
三、巩固练习 如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m ，在这个草坪的图
纸上，这条边长5 cm ，其他两边的长都是3．5 cm ，求该草坪其他两边的实际长度.
H
G
F E
D C B A 21
24cm
118?83?78?
21cm 18cm
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例．
3、议一议：
（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
五、小结：
请学生谈一谈自己的收获以及自己对本节课的体会;
六、作业
1、看书
2、教材复习巩固1、3
教学后记：
27．2．1相似三角形的判定（一）
〔教学目标〕
1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1
难点：探究判定引例﹑判定方法1的过程
〔教学设计〕
教学过程设计意图说明
新课引入：
1．复习相似多边形的定义及相似多边形相似比的定义
↓
相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义2．回顾全等三角形的概念及判定方法（SSS）
↓
相似三角形的概念及判定相似三角形的思路。
从相似多边形的概念及全等三角形的概念两个以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：
如图27·2-1（多媒体出示），在?ABC中，点D是边AB的中点，DE∥BC，
DE交AC于点E ，?ADE与?ABC有什么关系？
F E
D
A
B
C
分析：观察27·2-1易知AD=1
2
AB，AE=
1
2
AC，∠
A=∠A，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，只需引导
学生证得DE=1
2
BC即可，学生不难想到过E作EF∥
AB。
↓
?ADE∽?ABC，相似比为1
2
。
延伸问题：
通过观察特殊平行条件（经过三角形一边的中点平行于另一边）下两三角形的相似关系，引导学生思考一般平行条件（平行于三角形一边的直线和其他两边相交）下两三角形的相似关系，进一步体会事物间特殊到一般的关系。
通过几何画板演示，培养学
改变点D 在AB 上的位置，先让学生猜想?ADE 与?ABC 仍相似，然后再用几何画板演示验证。
↓
归纳：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 生的实验探究意识。
探究方法：
探究1（多媒体出示）
在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流）
在学生小组交流的基础上引导学生思考证明探究所得结论的途径。
分析：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E ?
?A 1DE ∽?A 1B 1C 1。用几何画板演示?ABC 平移至?A 1DE 的过程
? A 1D=AB ，A 1E=AC ，DE=BC ??A 1DE ≌?ABC ? ?ABC ∽?A 1B 1C 1
↓
归纳：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这
两个三角形相似。
学生通过作图，动手度量三角形的各边长及三角形的角，在动手实践中
探究几何结论成立与否，加深了学生对定理的重发现体验。
通过几何画板演示让学生从中体会到把不熟悉的几何问题（如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形是否相似？）转化为熟悉的几何问题（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）的过程。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有
利于学生进行认知重构，以全方
位地准确把握定理的内容。
突出几何定理的图形语言﹑符号语言可以帮助学生完成几何定理的建模。 A
B
C A 1
D E
B 1
C 1 A
B
C
A 1
B 1
C 1
↓ 若11AB A B =11BC B C =11CA k C A = 则? ?ABC ∽?A 1B 1C 1
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。 作业：
教学后记：
27．2．1相似三角形的判定（二）
〔教学目标〕
4．掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的
夹角相等，那么这两个三角形相似。
5．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三
角形判定方法（SAS ）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。 6．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。 〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程 〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入： 3．复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系： SSS ↓ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1） 4．回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程 ↓ 探究两个三角形相似判定方法2的途径 从回顾探究判定引例
﹑判定方法1的过程及复习两个三角形相似的判定方
法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系两个角度来以旧引新，帮助学生
建立新旧知识间的联系，体
会事物间一般到特殊﹑特
殊到一般的关系。
提出问题： 利用刻度尺和量角器画?ABC 与?A 1B 1C 1，使∠A=∠A 1，11AB A B 和11
AC A C 都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC
和B 1C 1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B 1，∠C 与∠C 1是否相等？ （学生独立操作并判断） ↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC 和B 1C 1的比都等于k ，另外两组对应角∠B=∠B 1，∠C=∠C 1。 延伸问题： 改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 探究方法： 探究2（多媒体出示） 改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）
学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以
及三角形的各个角的大小，
从尺规实验的角度探索命
题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。
改变∠A 或k 值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素
的能力。
通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能
↓
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，
那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生
独立完成）
若∠A=∠A 1，
11AB A B =11
AC
A C =k 则? ?ABC ∽?A 1
B 1
C 1
辨析：对于?ABC 与?A 1B 1C 1，如果11AB A B =11
AC
A C ，∠B=∠
B 1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
力。
对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。 应用新知：
例1：根据下列条件，判断 ?ABC 与?A 1B 1C 1是否相似，并说明理由：
（1）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。 （2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。
分析: （1）11AB A B =11AC A C =7
3
,∠A=∠A 1＝1200
? ?ABC ∽?A 1B 1C 1 （2）11AB A B =11AC A C =14
,∠B=∠B 1＝1200但∠B 与∠
B 1不是AB ﹑A
C ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1的夹角，所以?ABC 与?A 1B 1C 1不相似。
让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS 进行相关证明与计算的雷同性。
让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是 “夹角相等”。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
作业： 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
教学后记：
A
B
C
A 1
B 1
C 1
27．2．1相似三角形的判定(三)
〔教学目标〕
7．掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对
应相等，那么这两个三角形相似。
8．培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法3与全等三
角形判定方法（AAS ﹑ASA ）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。 9．让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。 〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用 难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程 〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入： 复习两个三角形相似的判定方法1﹑2与全等三角形判定方法（SSS ﹑SAS ）的区别与联系： SSS ↓ 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1） SAS ↓ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法2）
从复习两个三角形相似
的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）及两个三角
形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS ）的区
别与联系来以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联
系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题： 观察两副三角尺，其中同样角度（300与600，或450与450）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。 ↓ 如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？ 延伸问题： 作?ABC 与?A 1B 1C 1，使得∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗？分别度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11
AC A C ，你有什么发现？（学生独
立操作并判断） ↓ 分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足 ∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11
AC A C 。
↓ 通过观察同样角度的两副三角尺，可以发现：两个
三角尺大小可能不同，但它
们的形状相同。学生从实物的比较中容易直观地得到：如果两个三角形有两组角对应相等，它们很可能相似。
作图并动手进行尺规实验来探索命题成立的可能
性，让学生经历定理的重发
现过程，有助于对定理的理解。
让学生进行协同式小组
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。） 合作可以提高实验的效率，并培养学生的合作能力。 探究方法：
探究3（多媒体出示）
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。）
↓
归纳：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成） 若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 则? ?ABC ∽?A 1B 1C 1
把学生利用刻度尺、量角器等作图工具作静态探究与应用“几何画板”等计算机软件作动态探究结合起来，丰富学生的探究体验，帮助学
生深入理解定理的内涵。
对几何定理作文字语言﹑图
形语言﹑符号语言的三维注
解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定
理的内容。
应用新知： 例2 如图27·2-7（多媒体出示），弦AB 和CD 相交于⊙O
内一点P ， 求证：PA ·PB=PC ·PD 。
分析：欲证PA ·PB=PC ·PD ，只需PA PC
PD PB
=
，欲证PA PC
PD PB
=
只需?PAC ∽?PDB ，欲证?PAC ∽?PDB ，只需∠A=∠D ，∠C=∠B 。
让学生了解运用相似三角形的判定方法3进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法AAS ﹑ASA 进行相关证明与计算的雷同性。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾整理本节课所学的知识。 作业：
教学后记：
O
C A
B
D A
B
C
A 1
B 1
C 1
27．2．2相似三角形应用举例
〔教学目标〕
1．让学生学会运用两个三角形相似解决实际问题。 2．培养学生的观察﹑归纳﹑建模﹑应用能力。
3．让学生经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。 〔教学重点与难点〕
重点：运用两个三角形相似解决实际问题 难点：在实际问题中建立数学模型 〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入： 5．复习相似三角形的定义及相似三角形相似比的定义 6．回顾相似三角形的概念及判定方法 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。 提出问题： 利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度的问题？（学生小组讨论） ↓ “相似三角形对应边的比相等”?四条对应边中若已知三条则可求第四条。 一试牛刀： 例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度。 如图27．2-8（多媒体出示），如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO 。
分析：BF ∥ED ?∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=900 ?
?ABO ∽?DEF ?BO OA EF FD =?
20123
BO = 二试牛刀：例4：如图27．2-9（多媒体出示），为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。如果测得QS=45 m ，ST=90 m ，QR=60 m ，求河的宽度PQ 。 让学生了解：利用三角
形的相似可以解决一
些不能直接测量的物体的长度的问题。
通过解决“泰勒斯测量金字塔的高度”问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法。
O B
A(F)
E
D
分析：∠PQR=∠PST=900，∠P=∠P
?
?PQR ∽?PST
?
8 1.6 6.4
512 1.610.4
FH FH -==
+-，即PQ QR PQ QS ST =+，604590PQ PQ =+， 90(45)60PQ PQ ?=+?。解得PQ=90
三试牛刀：
例5（多媒体出示）：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离BD=5m ，一个身高1．6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？
分析：,AB l CD l ⊥⊥?AB ∥CD ，?AFH ∽?CFK 。
?
FH AH FK CK =，即8 1.6 6.4
512 1.610.4
FH FH -==
+-，解得FH=8。
让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型，通过建模培养学生的归纳能力。
数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路。
课堂小结：说说你在本节课的收获。
让学生及时回顾
整理本节课所学的知识。
作业：
分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。
教学后记：
a
b
R Q
P
S
T
27．2．3相似三角形的周长与面积
〔教学目标〕
1． 经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决问题策略的多样性。
2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
3．探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。 〔教学重点与难点〕
重点：理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 难点：探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。 〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入： 1．回顾相似三角形的概念及判定方法。 2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。 以旧引新，帮助学生建立新旧知识间的联系。 提出问题： 如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）
↓
?ABC ∽?A 1B 1C 1，相似比为k ?111111
AB BC CA
k A B B C C A ===
?AB=kA 1B 1,BC=kB 1C 1,CA=kC 1A 1? 111111
111111111111
AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++++==++++
?
相似三角形周长的比等于相似比 ?
相似多边形周长的比等于相似比 延伸问题： 探究： （1） 如图27．2-11（1）（多媒体出示），?ABC ∽?A 1B 1C 1，相似比为k 1 ，它们的面积比是多少？ A
B C
D (1)
A 1
B 1
C 1
D 1
A
B
C
D （2） 图27．2-11 分析：如图27．2-11（1），分别作出?ABC 和?A 1B 1C 1的高AD 和A 1D 1。
让学生经历从特殊到一般的过程，体会有限数学归纳法的魅力，学生
以小组讨论的形式开展
学习有利于丰富学生的
探究经验。
∠ADB=∠A 1D 1B 1=900又∠B=∠B 1
?
?ABD ∽?A 1B 1D 1 1111
1AD AB k A D A B ==
111ABC A B C S S = 11111111111111
11221122BC AD K B C K A D B C A D B C A D = =k 12
相似三角形面积比等于相似比的平方 （2）如图27．2-11（2）（多媒体出示），四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？ 分析： 111ABC A B C S S = 111
ACD A C D S S = k 22
1111ABCD A B C D S S =四边形四边形111111
ABC ACD A B C A C D ++S S S S = k 22
相似多边形面积比等于相似比的平方
应用新知： 例6：如图27．2-12 (多媒体出示) ，在?ABC 和?DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ， ∠A=∠D ，?ABC 的周长是24，面积是48，求 ?DEF 的周长和面积。 图27．2-12 分析： ?ABC 和?DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF 12
DE DF AB AC ==又∠A=∠D
?ABC ∽?DEF ，相似比为12
?DEF 的周长=12?24=12，面积=1()2
2?48=12。
让学生经历从“相似三
角形周长的比与相似比
的关系到相似三角形面积比与相似比的关系”
的过程，体会它们之间的形式雷同性与认知结构雷同性。
让学生再次经历从特殊
到一般的过程，进一步体验有限数学归纳法的魅力。
让学生了解运用“相似
三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似
比的平方”的常见解题思路。
课堂小节:让学生谈谈你在本节课的收获 让学生及时回顾整
理本节课所学的知识。 作业：
教学后记：
D E F
A
B
C
《4.3相似三角形》 《相似三角形》是浙教版九年级上册第4章第3节的内容， 在这之前学生已经学习了相似形，知道了相似形的本质特征，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。相似三角形的知识是在全等三角形的基础上的拓广和发展,相似三角形承接全等三角形,从特殊的相等到一般的成比例予以深化,学好相似三角形的知识,为今后进一步学习多边形相似、三角函数及巩固有关的比例线段等知识打下良好的基础.本课由一般到特殊引出相似三角形的概念，并应用这一概念解决一些具体问题，在本章节的学习中占重要地位。同时对后续教学内容起奠基作用，也为学生今后学习和生活更好的运用数学做准备。 【知识与能力目标】 1、使学生理解并掌握相似三角形的概念，理解相似比的概念。 2、使学生掌握预备定理，并了解它的承上启下的地位和作用。 3、通过预备定理的条件所构成的图形的三种情况，教学生对一致性问题的思想方法。 【过程与方法目标】 通过找形状相同的图形，培养学生的观察能力；同学间还要互相合作交流，锻炼了大家的合
作交流能力. 【情感态度价值观目标】 通过认识和动手画形状相同的图形，使学生掌握基本的识图、作图技能.丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维. 【教学重点】 相似三角形的概念及预备定理 【教学难点】 由相似三角形写对应边的比例式. 学生准备：课件、多媒体； 学生准备：直尺，练习本； 一、导入新课 1.相似图形的特征是什么？ （学生回顾相关知识，为相似三角形的研究做好准备。） 二、新课学习 1.在相似多边形中，最为简单的就是相似三角形（similar triangle）． 什么是相似三角形呢？前面我们学过形状相同的图形说成是相似的图形，而相似三角形的本质特征就是“具有相同的形状”，它们的大小不一定相等。 定义：对应边相等、对应角成比例的三角形是相似三角形。 （注意：定义中要求有两个条件，缺一不可） （1）表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”．如图18.3.1所示的两个三角形
第二十七章 相似 27.1 图形的相似（一） 教学目标 知识与技能目标、理解并掌握两个图形相似的概念． 过程与方法目标：了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 二、重点、难点 1． 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 2． 难点：成比例线段概念． 教学设计： 一、板书课题，揭示目标 二、指导自学 1．（1）请同学们看黑板正上方的五星红旗，五星红旗上的大五角星与小五角星他们的形状、大小有什么关系？再如下图的两个画面，他们的形状、大小有什么关系．（还可以再举几个例子） （2）教材P36引入． （3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面） （4）让学生再举几个相似图形的例子． （5）讲解例1． 2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的长度比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 d c b a =（即ad=bc ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作 d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=bc ． 三、学生自学 例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ） 分析：因为图A 是把图拉长了，而图D 是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B 是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B 与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180o后，再按一定比例缩小得到的，因此图C 与左图相似，故此题应选C. 例2（补充）一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？ （1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？
3、相似三角形常见的图形 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） 4、相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等． 例题精讲 【题型一、相似三角形的概念】 【例1】判断对错： (1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ (4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 方法技巧：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 【题型二、相似三角形的判定】 【例2】如图所示，已知ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，BE AB 3 ，DE 与BC 相交于F ，请找出 图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. (1) E A B C D (3) D B C A E (2) C D E A B
【例3】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？ 【例4】如图,ΔABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC.求证:AB·BC=AC·CD. 方法技巧：凭数感找出要证明的一对相似三角形，再仔细想清楚他们的对应角，常用分析法解题。 【题型三、相似三角形的性质】 【例5】△ABC∽△EDF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△EDF中一边的长度，你能求出△EDF的另外两边的长度吗？试说明理由. 方法技巧：因没有说明长4cm的线段是△EDF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 【例6】如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积. 方法技巧：利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积.
第27章：相似 一、基础知识 (一)相似 1.定义:形状相同的图形称为相似图形. 2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等. 相似比：相似多边形对应边的比。 3.相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等. （2）相似三角形的周长比等于相似比. （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方. （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 4.相似三角形的判定 （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。（3）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （4）（类似全等SSS）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（5）（类似全等SAS）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （6）（类似全等AAA）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （7）（类似全等HL）：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 5.三角形中位线定义（区别于中线）:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线. 梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用: １、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建 筑物的高度等。 8.射影定理（补充知识，选讲）： △ABC中，∠C=90°，AB边的高为CD，则有：CD2=AD*BD，AC=AD*AB，BC=BD*AB (二)位似: 位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比. 位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 二、经典例题 例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．
课题：图形的相似（第1课时）教学设计 一、教学目标 知识技能 1.通过实例知道相似图形的意义. 2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然. 过程与方法 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 情感态度价值观 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 1.重点：相似图形和相似多边形的意义. 2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形 生：（齐答）叫全等图形. 师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）. 师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）. （二）尝试指导，讲授新课 师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是
第二十七章相似 27．2．1图形的相似（一） 一、教学目标 1.会识别相似图形. 2.通过观察、测量让学生了解线段的比、成比例线段的概念. 3.会求线段的比，会判断已知线段是否成比例. 二、教学重难点 教学重点：对线段的比的理解及会判断成比例线段. 教学难点：掌握成比例线段的特点，欣赏生活中的数学美. 三、教学方法 多媒体教学——创设情境，以境激趣 探索教学法——调动学生主动参与探索知识、运用知识过程 四、教学用具 多媒体电教及教学软件 五、教学过程设计 1、创设情境，设疑激趣 （多媒体演示） 自然界中美丽的蝴蝶、一片树叶，生活中的蒙娜丽莎像、五角星图以及古希腊的雅典帕德嫩神庙、埃及的金字塔等都给人以最优美、最令人赏心悦目的视觉，为什么它们能令人有如此的感觉呢？ （欣赏完图片，学生讨论并引入课题） 两个相似的平面图形之间有什么关系呢？为什么有些图形是相似的，而有些 不是呢？相似图形有什么主要特征呢？ （通过多媒体的直观演示，设置问题情境，营造良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣。）2、探索研究，揭示概念 线段的比和成比例线段 （1）做一做：
下图是某个城市的大小不同的两张地图，当然，它们是相似的图形。设在大地图中有A、B、C三地，在小地图中的相应三地记为A′、B′、C′，试用刻度尺量一量两张地图中AB、BC、与A′B′、B′C′的图上距离. 思考与讨论 ①AB=__________cm，BC=____________cm； A′B′=__________cm，B′C′=_____________cm ②分别计算等于多少？ （小地图是由大地图缩小得来的，我们能感到线段A′B′、B′C′与AB、BC的长度相比都“同样程度”地缩小了．） ③显然两张地图中AB和A′B′、BC和B′C′的长度都是不相等的，那么它们之间有什么关系呢？ （通过学生的交流,培养他们的合作精神和欣赏他人的意识.） 显然，我们能发现： 结论 线段的比：如果选用同一个长度单位度量两条线段AB、CD的长度，它们的长度比就是这两条线段的比. 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长 度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）议一议： ①请量一量AC= cm , A′C′= cm ,再计算你又发现什么？ ②AB、BC、AC和A′B′、B′C′、A′C′中，哪四条线段分别成比例？请分别写它们的比例式. ③如果在这两张地图中,你猜猜会出现什么情况? ④如果在测量时,AB的长度单位采用厘米而A′B′的长度单位采用分米,那么它们的比有没有变化? ⑤两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系?
（第6节）相似三角形的判定（3） 目标：使学生明确相似三角形的识别方法3，4并能简单应用 重点：相似三角形的识别 过程： 一、复习：相似三角形预备定理。 1、已知：DE∥BC，EF∥AB 求证：①△ADE∽△EFC ②若AD:DB=2:3，则BF:FC= 2、订正上节课作业5 作DE∥BC—→△ADE∽△ABC 作∠ADE=∠C—→△ADE∽△ACB 二、新课： 作图：书45页探究2 定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两三角形相似。 （三边成比例，两三角形相似） 作用：由k A C CA C B BC B A AB = = = ' ' ' ' ' ' ?△ABC～△A’B’C’? ? ? ? ? ? ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ' ' ' C C B B A A 定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） 作用：由 ? ? ? ? ? ∠ = ∠ = ' ' ' ' ' A A C A AC B A AB ?△ABC～△A’B’C’? ? ? ? ? ? ? ? ∠ = ∠ ∠ = ∠ = = ' ' ' ' ' ' C C B B k B A AB C B BC 例1、依据下列条件，判定△ABC和△A’B’C’是不是相似，并说明为什么？ （1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm ∠A’=120°，A’B’=3cm，A’C’=6cm （2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm
A ’ B ’=12cm ，B ’ C ’=18cm ，A ’C ’=21cm 解（1）∵37''=B A AB ，3 7614''==C A AC ∴' '''C A AC B A AB = 又∠A=∠A ’=120° ∴△ABC ∽△A ’B ’C ’（ ） （2）∵31124''==B A AB ；31186''==C B BC ；21 8''=C A AC ∴' '''''C A AC C B BC B A AB ≠= ∴△ABC 与△A ’B ’C ’不相似。 问题：要使△ABC 与△A ’B ’C ’相似，不改变AC 的值，A'C'的长应该是多少？ 点评：1、先求比值，再判断是否成比例。 2、如何确定对应线段呢？三条线段中，短、中、长分别对应求比。 例2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，现在有几个同学完成了这项工作，但他们的答案都不一样，这是为什么？（学生分组讨论） 图1 在△ABC 中，AB=4，BC=5，AC=6。 在AB 上取AD=2，作DE ∥BC 交AC 于E 则△ADE ∽△ABC ∴2 1===AC AE BC DE AB AD ∴DE=2.5 AE=3 ①△ADE 的三边长为2.5，3，2 同图1，如果AE=2 ③如果DE=2 ②31625====DE AB AD AC AE 5 264===AE AD BC DE ∴344*3131===AB AD 5 84*5252===AB AD 355*3131===BC DE 5 126*5252===AC AE ∴△ADE 的三边长为2，3 5,34 ∴△ADE 的三边长为2，512,58
第二十七章《相似》复习讲练 专题一：图形的相似 知识要点： 1、两个图形相似，其中一个图形可以看作把另一个图形放大或缩小得到； 2、相似多边形对应角相等，对应边的比相等．反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1时，两个图形全等． 典例例题分析： 例1如图1，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC = ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB 的比叫做黄金比，其比值是（ ）． A ．512- B ．352- C ．512+ D ．352 + 分析：根据比例的性质有AC 2 =AB·BC，而BC=AB-AC ，故AC 2 =AB·（AB-AC ），此时把等式看作关于AC 的一元二次方程，通过解此方程即可找出AC 与AB 的比例关系． 解：∵AC：AB=BC ：AC ，∴AC 2 =AB·BC． 又∵BC=AB -AC ，∴AC 2=AB·（AB-AC ），即AC 2+AB·AC -AB 2 =0． 解之得AB AC 251+-= （负数舍去），∴2 1 5-=AB AC ． 说明：黄金比值是一个重要的概念，在日常生活中有广泛的实用价值，同学们应牢记． 例2（2007·宁波）如图2，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．（1）求AD 的长；（2）求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比． 分析：（1）根据图形相似对应边的比相等性质列比例式解答即可；（2）求图形的相似比即求多边形对应边之比． 解：（1）由已知，得MN=AB ，MD=12AD=1 2BC ． ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，∴BC DM MN AB = ∴12 AD 2=AB 2 ， ∴由AB=4得，AD=42． （2）矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为 DM 2 AB 2 =． 说明：本题主要考查利用相似多边形对应边的比相等性质求边长或相似比等问题． 专题训练（一）： 1．在下列四组图形中，不相似的有 （ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 A B C 图1 图2
第二十七章相似教案 总第11课时 执教人（备课人）：虞福中 课题：27.1图形的相似 一、教学目标 1.通过实例知道相似图形的意义. 2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然. 二、教学重点和难点 1.重点：相似图形和相似多边形的意义. 2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？ 生：（齐答）叫全等图形. 师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）. 师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）. （二）尝试指导，讲授新课 师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的模型，它们也是相似图形. 师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？ 生：……（让几名同学回答） （师出示下面的板书） 形状相同的两个图形叫做相似图形. 师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读） 师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相同，也可能不相同. 师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相似图形） 师：好了，下面请大家做一个练习. （三）试探练习，回授调节 1.下列各组图形哪些是相似图形？ (1) (2) (3)
4.1比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 2.a 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、 d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？
说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值？ 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比。如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ (2)比与比例有什么区别？ (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？ 回答(1)2：（—3）=—23 ；—4：6=—46 =—23 ；2—3 =—46 ，2，—3，—4，6四个数成 比例。注意四个数字的书写顺序 (2)比是一个值；比例是一个等式。 (3)a:b=c:d a b =c d ，a,d 叫做比例外项，b,c 叫做比例内项，d ，叫做a,b,c 的第四比 例项。 注意这里的字母是泛指，概念只与位置有关，第四比例项必须描述清楚是谁的第四比例项。 补充练习： ①指出x y =e f 的比例内项、比例外项及第四比例项。 ②求3，4，5的第四比例项。 P96做一做1,2 (2答案：等式a b =c d 的两边同乘以bd ，可由a b =c d 推出ad ＝bc 。反过来等式ad ＝bc 两 边同除以bd ，即可由ad ＝bc 推出a b =c d ) 比例的基本性质：基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 两内项之积等于两外项之积。 说明：由a b =c d =>ad ＝bc 的形式是唯一的，而由ad ＝bc=>a b =c d 的形式不唯一，有8个 不同的比例式。可以补充，但不出现更比定理的名称。
第二十七章相似（全章教案）
（2）教材P24.引入． （3）相似图形概念：把形状相同的图形说成是相似图形．（强调：见前面） （4）让学生再举几个相似图形的例子． （5）讲解例1． 2．问题：如果把老师手中的教鞭与铅笔，分别看成是两条线段AB 和CD ，那么这两条线段的长度比是多少？ 归纳：两条线段的比，就是两条线段长度的比． 3．成比例线段：对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相 等，如d c b a =（即ad=b c ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【注意】 （1）两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；（2）线段的比是一个没有单位的正数；（3）四条线段a,b,c,d 成比例，记作d c b a =或a:b=c:d ；（4）若四条线段满足d c b a =，则有ad=bc ． 例题讲解 例1（补充：选择题）如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是（ ） 分析：因为图A 是把图拉长了，而图D 是把图压扁了，因此它们与左图都不相似；图B 是正六边形，与左图的正五边形的边数不同，故图B 与左图也不相似；而图C 是将左图绕正五边形的中心旋转180o后，再按一定比例缩小得到的，因此图C 与左图相似，故此题应选C. 例2（补充）一张桌面的长a=1.25m ，宽b=0.75m ，那么长与宽的比是多少？ （1）如果a=125cm ，b=75cm ，那么长与宽的比是多少？
（2）如果a=1250mm ，b=750mm ，那么长与宽的比是多少？ 解：略．（ 3 5 b a =） 小结：上面分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的 b a 的值是相等的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致． 例3（补充）已知：一张地图的比例尺是1:32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm ，求北京到上海的实际距离大约是多少km ？ 分析：根据比例尺=实际距离 图上距离 ，可求出北京到上海的实际距离． 解： 略 答：北京到上海的实际距离大约是1120 km ． 课堂练习 1．教材P25的观察． 2．下列说法正确的是（ ） A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B ．商店新买来的一副三角板是相似的. C ．所有的课本都是相似的. D ．国旗的五角星都是相似的. 3．如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽， （1）（小）长是_______cm ，宽是_______cm ； （大）长是_______cm ，宽是_______cm ； （2）（小）=长宽 ；（大）=长宽 ． （3）你由上述的计算，能得到什么结论吗？ （答：相似的长方形的宽与长之比相等） 4．在比例尺是1:8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离时7.5cm ，那么福州与上海之间的实际距离是多少？ 5．AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5cm ，那么这张平面地图的比例尺是多少？ 作业 设计 必做 教科书P27：1、4 选做 教科书P29：8
课题：27.1图形的相似（第1课时）教学设计 一、教学目标 知识技能 1.通过实例知道相似图形的意义. 2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，反之亦然. 过程与方法 1．初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。 3．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。 4．能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 情感态度价值观 1．积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 2．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。 3．在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。 4．敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。 二、教学重点和难点 1.重点：相似图形和相似多边形的意义. 2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等. 三、教学过程 （一）创设情境，导入新课 师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，大小也相同，它们叫什么图形？ 生：（齐答）叫全等图形. 师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相似（板书：相似）. 师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：
第二十七章 相似 27.1 图形的相似（一） 一、教学目标 1．理解并掌握两个图形相似的概念． 2．了解成比例线段的概念，会确定线段的比． 二、重点、难点 重点：相似图形的概念与成比例线段的概念． 难点：成比例线段概念． 难点的突破方法： （1）对于相似图形的概念，可用大量的实例引入，但要注意教材中“把形状相同的图形说成是．．．相似图形”，只是对相似图形概念的一个描述，不是定义；还要强调：①相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关（其大小可能一样，也有可能不一样，当形状与大小都一样时，两个图形就是全等形，所以全等形是一种特殊的相似形）；②相似形不仅仅指平面图形，也包括立体图形的情况，如飞机和飞机模型也是相似形；③两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似图形． （2）对于成比例线段：①我们是在学生小学学过数的比，及比例的基本性质等知识的基础上来学习成比例线段的；②两条线段的比与所采用的长度单位没有关系，在计算时要注意统一单位；③线段的比是一个没有单位的正数；④四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 d c b a =或a:b=c:d ； ⑤若四条线段满足d c b a =，则有ad=b c （为利于今后的学习，可适当补充：反之，若四条线段满足ad=bc ，则有d c b a =，或其 它七种表达形式）． 三、例题的意图 本节课的三道例题都是补充的题目，例1是一道判断图形相似的选择题，通过讲解要使学生明确：（1）相似形一定要形状相同，与它的位置、颜色、大小无关；（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作有另一个图形放大或缩小得到的，而把一个图形的部分拉长或加宽得到的图形和原图形不是相似 图形；（3）在识别 相似图形时，不要以位置为准，要“形状相同”；例2通过分别采用m 、cm 、mm 三种不同的长度单位，求得的 b a 的值相等，使学生明确：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；例3是求线段的比的题， 要使学生对比例尺有进一步的认识：比例尺=实距图距 实际距离图上距离=，而求图上距离与 实际距离的比就是求两条线段的比．
初三数学九（下）第二十七章：相似 第1课时图形的相似（1） 教学目标: 1、知识目标： 从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念． 2、能力目标： 在相似图形的探究过程中，让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题． 3、情感目标： 在探究相似图形的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． 重点、难点 教学重点: 认识图形的相似． 教学难点: 理解相似图形概念． 一.创设情境 活动1观察图片，体会相似图形 同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2) 师生活动: 教师出示图片，提出问题；学生观察，小组讨论；师生共同交流．得到相似图形的概念． 教师活动:什么是相似图形? 学生活动:共同交流,得到相似图形的概念． 学生归纳总结：(板书) 形状相同的图形叫做相似图形 在活动中,教师应重点关注：学生用数学的语言归纳相似图形的概念； 活动2 思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?
学生活动: 学生观察思考，小组讨论回答； 二. 通过练习巩固相似图形的概念 活动3 练习问题： 1.如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？ 2．如图，图形a～f中，哪些是与图形（1）或(2)相似的？ 教师活动:教师出示图片，提出问题； 学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题. 教师活动:在活动中,教师应重点关注：在练习中检验学生对相似图形的几何直觉． 三. 小结巩固 活动3 (1)谈谈本节课你有哪些收获． (2)课外作业 1、下列说法正确的是（） A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的. 2、填空题 1、形状的图形叫相似形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。 课后反思：
《第27章相似》复习 一、诱导复习 1.导入课题 通过对本章的学习，你学习了哪些知识？它们之间有何关联？重点是什么？如何运用这些知识解决问题呢？（板书课题） 2.复习目标 （1）疏通本章知识，弄清知识脉络. （2）进一步熟悉相似三角形的判定及其性质，并能运用这些判定和性质解决一些相应的问题. （3）知道什么是位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，知道位似变换的点的坐标变化规律. 3.学习重、难点 重点：相似三角形的判定和性质、位似图形的性质. 难点：相似三角形的判定和性质的应用. 二、分层复习 1.复习指导 （1）复习内容：教材P24~P59. （2）复习时间：10分钟. （3）复习方法：阅读课本，运用图表梳理本章知识. （4）复习参考提纲: ① 形状 相同的两个图形，叫做相似图形, 当相似比等于1时，这两个图形全等 .相似多边形的对应角 相等 ，对应边 成比例 . ② 相似三角形有哪些判定方法？又有哪些性质？ ......a b c ????? 三边成比例的两个三角形相似判定方法两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似 .... a b ???相似三角形对应线段的比等于相似比性质相似三角形面积的比等于相似比的平方 ③什么叫位似？位似与相似有何关系？位似变换的点的坐标有何规律？ 两个图形相似且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形.位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k ，那么与原图形上的点（x ,y ）对应的位似图形上的点的坐标是（kx ,ky ）或（-kx ,-ky ）.
比例线段(1) 教学目标： 1.理解比例的基本性质。 2.能根据比例的基本性质求比值。 3.能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形。 教学重点、难点： 教学重点：比例的基本性质 教学难点：例2根据条件判断一个比例式是否成立，不仅要运用比例的基本性质，还要运用等式的性质等方法是本节教学的难点。 > 知识要点： 1.如果两个数的比值与另两个数的比值相等，那么这四个数成比例。 、b 、c 、d 四个实数成比例，可表示成a:b ＝c:d 或a b =c d ，其中b 、c 叫做内项，a 、d 叫做外项。 3.基本性质：a b =c d <=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零) 重要方法： 1.判断四个数a 、b 、c 、d 是否成比例， 方法1:计算a:b 和c:d 的值是否相等； 方法2:计算ad 和bc 的值是否相等，(利用ad ＝bc 推出a b =c d ) - 2.“a c =b d <=>a b =c d ”的比例式之间的变换是抓住实质ad ＝bc 。 3.记住一些常用的结论： a b =c d =>a ＋b b =c ＋d d ，a b =a ＋c b ＋d 。 教学过程： 一、复习引入 1、举例说明生活中大量存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成,许多美丽的形状都与这个比值有关。你知道这个比值的来历吗 % 说明学习本章节的重要意义。 3.如何求两个数的比值 二、自学新课，探究结论 阅读思考题 (1)什么是两个数的比2与—3的比；—4与6 的比。如何表示其比值相等吗用小学学过的方法可说成为什么可写成什么形式 (2)比与比例有什么区别 (3) 用字母a,b,c,d 表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式你知道内项、外项和第四比例项的概念吗
图形的相似（1） 1. 我们把形状的图形叫做相似图形. 2. 下列图形相似的是( A.两个圆 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个菱形 3. 下列是图形相似的有( 两辆轿车两个五角星两只足球建筑物的设计图纸与建筑物A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．下列每组图中的两个图形是相似图形的是（） A B C D 5. 举出相似图形的例子 (至少两个 6. 在方格纸中平移图形, 使A 平移到A
’处 , 画出放大一倍的图形. 7. 下列说法正确的是( A.人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像相似. B. 人们从平面镜里看到的像与人的关系是相似图形, 但不是全等图形. C. 拍照时, 镜头的取景与照片上的画面是相似的 D. 放幻灯片时投在屏幕上的画面与幻灯片上的图形是全等的 8. 选出与下面左图相似的图（） 9. 请将下面的直角三角形放大三倍 .
10. 请指出下列图形中哪几对是相似图形, 并说明理由. 正方形圆长方形正六边形菱形 11．如图，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，图中相似三角形的对数是（） A ．3 B．4 C．5 D． 6 12. 已知图中的每个正方形的边长都是1个单位, 在图中画出一个与格点三角形DEF 相似但不全等的格点三角形 .
图形的相似（2） 1、下列命题中正确的有( 个. 如果两个三角形相似, 且相似比为1, 那么这两个三角形全等. 如果两个三角形都与第三个三角形相似, 那么这两个三角形相似. 如果两个三角形全等, 那么这两个三角形一定相似 如果两个三角形相似, 那么这两个三角形全等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图, 四边形EFGH 相似于四边形ABCD, 求∠A 、∠C 、∠H 以及x,y,z 的值 3、初三体育中考时, 一个同学跳远情况如图(比例尺1∶200, l 是起跳线, 这个同学的实际成绩为米(结果保留一位小数 4、如图梯形ABCD 中,AD ∥BC,EF ∥BC, 且梯形AEFD ∽梯形EBCF, 已知AD=2,AB=6,BC=8,求AE 的长度 .
第二十七章相似 本章学习重难点 【本章重点】通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于相似比的平方．了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件． 【本章难点】通过具体实例观察和认识生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题．【学习本章应注意的问题】 通过生活中的实例认识物体和图形的相似，探索并认识相似图形的特征，掌握相似多边形的对应角相等，对应边成比例以及面积的比与相似比的关系，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题，了解图形的位似，能利用位似将一个图形放大或缩小，会建立坐标系描述点的位置，并能表示出点的坐标． 知识网络结构图 专题总结及应用 一、知识性专题 专题1 比例线段 【专题解读】解决有关比例线段的问题时，常常利用三角形相似来求解． 例1 如图27－96所示，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相 交于点C，AE＝8，OC＝12，∠EDC＝∠BAO． (1)求证CD CE AC CB =； (2)计算CD·CB的值，并指出CB的取值范围． 分析利用△CDE∽△CAB，可证明CD CE AC CB =． 证明：(1)∵∠EDC＝∠BAO，∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CAB，∴CD CE AC CB =. 解：(2)∵AE＝8，OC＝12， ∴AC＝12+4＝16，CE=12－4＝8． 又∵CD CE AC CB =， ∴CD·CB＝AC·CE＝16×8＝128． 连接OB，在△OBC中，OB＝1 2 AE＝4，OC=12， ∴8＜BC＜16．
【解题策略】将证CD CE AC CB =转化为证明△CDE∽△CAB. 专题2 乘积式或比例式的证明 【专题解读】证明形如 2 2 a c b d =， 3 3 a c b d =或 abc def =1的式子，常将其转化为若干个比例式之积来解 决．如要证 2 2 a c b d =，可设法证 a c b x =， a x b d =，然后将两式相乘即可，这里寻找线段x便是证题的关键。 例2 如图27－97所示，在等腰三角形ABC中，过A作AD⊥BC，过C作CE⊥AB，又作DF⊥ CE，FG⊥AD，求证 2 3 FG BD AG AD =． 分析欲证 2 3 FG BD AG AD =，可将其分成三个比例式 BD FG AD x =， BD y AD AG =， BD x AD y =，再将三式相乘 即可．不难得知x就是CD，而线段y在原图中没有，由相似关系可延长FG交AB于K，则y就是GK， 只要证明BD GD AD GK =就可以了． 证明：延长FG交AB于K，连接DK， ∵DF⊥EC，BE⊥EC，∴DF∥BE， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC，∴EF＝C F． ∵FG∥BC，∴∠1＝∠2， ∴Rt△FDC≌Rt△E K F， ∴K F＝DC，∠3＝∠4， ∴四边形K FCD是平行四边形，∴∠2＝∠5， ∴∠EKD＝∠3+∠5＝∠4+∠2＝90°， ∴DK⊥AB， ∴DF∥AB，∴∠BAD＝∠FDG， ∴Rt△ADB∽Rt△DGF，∴BD FG AD GD =．① ∵GK∥BD，∴△AKG∽△ABD，∴BD KG AD AG =．② 在△ABD中，∠ADB＝90°，DK⊥AB，∴△ADB∽△AKD． 又△AKD∽△KGD,△ADB∽△KGD，∴BD CD AD KG =．③ 由①×②×③，得 3 3 BD FG AD AG =． 例3 如图27－98所示，在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1：2：4，求证 111 AB AC BC +=. 分析原式等价于BC BC AB AC +＝1，也就是 BC AC BC AB AC - =，在CA上取一点D， 使CD＝BC，原式就变成BC AD AB AC =，要证明这个比例式，需要构造相似三角形， 为此作∠ACB的平分线CE，交AB于点E，连接DE，显然有△BCE≌△DCE，从而易证AD＝DE＝CE， 于是只需证BC CE AB AC =即可． 证明：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：4， ∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝4x 作CE平分∠BCA，交AB于E，