第二十一章塑性力学的应用
第一节金属塑性加工中的摩擦
在塑性加工过程中．被加工的金属〔以下简称为工件)中，位于与与工、模具的
接触面上的任—质点，都有着相对运动或相对运动的趋势，因而在该质点上便产
生了阻止其切向运动的阻力，称为(外)摩擦，在金属的塑性加工过程中，工件与
工、模具的接触面上的摩擦是不可避免的，如何减小或合理利用这种摩擦，是工艺
设计时必须认奥考虑的一个技术问题，有时甚至是工艺成败的关键。
一、摩擦对金属塑性加工的影响
在塑性加工过程中，摩擦对金属塑性加工的影响有正、负二面，通常负面的
影响足主要的，这主要表现为：
(1)由于工件在接触面上的质点受到摩擦阻力的作用，流动困难，从而导致
工件塑性变形不均匀，有时其至会引发附加的拉应力，使得工件产生裂纹甚至开
裂。
(2)增大了塑性加工的能量和成形力。
(3)使工、模具磨损加剧，降低了模具的使用寿命
(4)使工件表面发生粘结、擦伤等现象，影响了产品的质量。
但是，摩擦有时候也表现出对塑性加工有利的一面；例如，模锻时利用桥部
的摩擦阻力迫使坯料允满型腔；薄板拉仲时，增加凸缘处的摩擦阻力可避免工件
起皱等等。
二、金属塑性加工时摩擦的特点与机理
金届塑性加工中的摩擦与机械传动中的摩擦有很大差别，塑性加工中的摩擦
有以下的特点：
(1)这是一种伴随着金属的塑性变形而产生的摩擦。在工件的接触面上各质
点的相对速度不相同，有的流动快，有的流动慢，还有的粘着不动，而从各质点
的法向压力各不相同，因而各质点的摩擦也不相同。同时，工件的接触面上还会
不断出现新的质点和表面，摩擦也将随之变化。
(2)这是一种在高压下的摩擦，压力一般在500MPa，而钢零件冷挤压时的
压力可高达2500MPa，比之在重载荷下的轴承工作压力20-40MPa要大的多，使
得原先涂在工件表面上的润滑剂有很大一部分被挤掉。
（3）在许多情况下，这又是一种高温下的摩擦，例如热锻时温度通常在1000℃以上，导致工件的表面会产生氧化皮，使摩擦变得更加复杂。
一般说来，金属塑性加工中的摩擦既不是在接触面上没有润滑剂的干摩擦，也不是在接触面上有一层完整或较为完整的润滑油薄膜的流体摩擦，而是一种边界摩擦。这时，在工件的接触面上模具的接触面上的大量离散的微小凹坑中，会有少量的残留润滑剂形成许多面积微小的润滑薄膜，它的厚度大约为0.1μm 。同时，位于接触面上的工件质点的分子与模具的分子，在高压下还会相互作用，产生非滑动接触粘应力。因此，金属塑性加工中的摩擦是由于接触表面的凸凹不平产生的沟犁阻力与非滑动接触粘应力综合作用的结果。
三、目前计算摩擦阻力的二个常用公式
对于金属塑性加工中的摩擦进行定量描述，是塑性成型力学中最不成熟的理论问题之一。目前，人们大都采用以下二种近似方法来描述塑性加工中的摩擦应力。
1、库仑摩擦定律库仑摩擦定律认为，接触面上的摩擦应力τf为
式中，μ是库仑摩擦系数; σn是作用在质点上法向应力。
库仑摩擦定律通常用来分析金属的冷变形，例如板料冲压、冷挤等。
2、常摩擦力条件常摩擦力条件假设接触面上的摩擦应力τf为
式中, m是摩擦因子； K 是剪切屈服应力；μ’=m/ 3称为修正的摩擦因子。
对于服从Mises屈服准则的材料，有K=σs / 3，而σs= ￣σ是真实应力。常摩擦力条件主要用于分析体积成形，如锻造、挤压等。
由于接触点的摩擦应力的方向，与该质点在接触面上的相对速度的方向相反。于是，在一般情况下，摩擦应力τf的表达式为
第二节主应力法及其应用
金属塑性成型问题是一个非常复杂的非线性问题。求解这一问题所需的方程有静力平衡微分方程、速度与应变速率的关系方程、屈服条件及边值条件，总数有十多个。在塑性成形的数值模拟，即有限元分析的理论、方法和相关软件开发和应用以前，人们主要通过近似方法来求解金属塑性成形问题，本章将依次介绍这方面的三个近似方法。
一、主应力的基本思想
主应力法是求解金属塑性成形问题的一种简便近似方法。它的基本思想就是通过引进一些假设，建立新的能求解的常微分形态的应力平衡微分方程。它的具体过程如下：
（1）沿着模具的作用力的方向选取一个基元块，或选取一个单元体。在每个面元上画出相应的应力，并假设在每个面元上应力均匀分布。
（2）沿某一方向写出静力平衡方程，展开并忽略高阶微量，得一应力平衡微分方程。在主应力法中，每个应力字母都表示绝对值而给代数值。列方程时，每个应力字母前面的正、
负号，由该应力的指向与所选取的方向的指向是一致还是相反来决定。
（3）将正应力视为主应力，通常认为沿模具作用方向的正应力的绝对值为最大，且根据正应力的指向来确定它是拉应力还是压应力，由此确定近似的σ1与σ3。然后代入用参数表示的Mises屈服准则
中，建立近似塑性条件。再将近似塑性条件代入应力平衡微分方程中，把该方程进一步简化为只含一个未知应力的常微分方程。
（4）积分求解该微分方程，得到含有一个积分常数的表达式。
（5）根据外力边值条件，确定上述积分常数。
二、主应力法的应用举例
例1 设矩形板的长度L 远大于高度h 和宽度a ，故可近似地认为坯料沿长度方向的变形为零，即当作平面应变问题来处理。设摩擦应力τ=μ’σ为材料的真实应力。试用主应力法求平面的应变镦粗时的单位流动压力？
解沿方向选取一个单位厚度的基元块，如图21-1 b) 所示。于是，基元块沿x方向的静力平衡方程为
得
由于σx、σy都是压应力，故σ1= - σx、σ3 = -σy，得近似条件为
故
积分上式得
有边值条件，当x=a/2 时，σx =0 ,得σy =βσ代入式 (e)，可得
得
由此，镦粗力 P 和单位流动压力 p 可由下式求得
及
例2 圆板坯拉深为圆筒件，如图21-2a 所示，设厚度为t，材料真实应力为σ。不计接触面上的摩擦，且忽略凹模口处的弯曲效应，试用主应力法求图示瞬间的拉深力？
解在工件的凸缘部分取一扇形基元体，如图21-2b 所示。沿负的径向的静力平衡方程为
展开并略去高阶微量，可得
由于σr 是拉应力，σθ是正应力，故σ1= σr, σ3=-σθ得近似塑性条件为
联解式(b) (c) ，就有
式中的为σ的积分中值。当R=R0时，σr=0 得C=βσInR0。最后得拉深力为
例3 设有一球壳，外径为R0，内径为r0，如图21-3a所示。材料的真实应力为σ，用液压胀形，试用主应力法求内压强 p？
解用四个二二夹角为dθ的大圆和二个同心球面切取一个单元体，如图21-3b所示。
沿径向的静力平衡方程式为
展开且忽略高阶微量，有
近似塑性条件
故
积分上式，可得
当r=R0时，σρ=0 得C=2βσLnR 。最后得压强P为
第三节塑性成形问题的滑移线解法
滑移线法是求解理想刚塑性材料的平面问题的精确理论，只不过在具体求解时，所给出的
滑移线场都是近似的曲线族，故本书仍称之为一种近似方法。
一、平面应变的特性
如果在塑性变形时，刚塑性变形体中的所有质点都仅在与某一直线垂直的平面上流动，且
质点的速度与z坐标无关，则称为平面应变状态，上述的这类平面称为塑性流动平面。于是
有
得
及
由式（21-5b）可知，σz 主平面平行于 O-xy 坐标平面，而σ 1 σ3主平面垂直于O-xy 坐标平面。
二、滑移线的定义
由最大应力理论可知，最大切应力成对出现，它所在的平面与σ 1 面及σ3面的夹角均为45°且与σ2面垂直。在平面应变问题中，内于Гzx =Гzy =0，故最大切应力与σ2面平行。因此，最大切应力与σ1方向及σ3方向的夹角均为45 ,且与O-xy 坐标平面平行.
设O-xy 平面为塑性流动平向，则该平面上任一点的最大切应力都位于该平
面上，在 O-xy 平面上．将无限接近的最大剪应力连接起来，可得二族正交曲线，
曲线上任一点的切线方向即为该点处的最大切应力的方向.这二族正交的曲线族
称为滑移线，它们分布在塑性变形区内，形成滑移线场.这二族曲线分别称为α线与β线，由应力莫尔圆得它们的定义如下：由σ1的方位线顺时针转45°到达的
滑移线称为α线，而由σ3的方位线顺时针转45°到达的滑移线称为β线。α线与β线的正向按右旋规则人为规定，即由α线的正向逆时针转过90°到达β线的正向.
在塑性变形区任取一点a ，如图21-4所示。设a 点处沿α线的切线与x轴的夹角为ω，设β线的切线与x铀的夹角为φ，且以x轴作为计算夹角的起始线，则有
三、汉基方程
由应力莫尔圆可知，各应力分量与σm ω的关系如下
及各主应力与σm 、K的关系为
上二式中, K为剪切屈服应力。不难验证，由式(21—7a)、式(21—5b)确定的应力张量恒满足Mises屈服淮则。
平面应变的应力平衡微分方程为
将式(2l—7a)代人式(a)中，可得
对于塑性区的任—点a ，则a点与过该点的一条α线与—条β线是一一对应的，故数组（α, β）可以作为点a的参数坐标，即有
于是，在α线上有
而在β线上有
在式(d)、(e)中，α0与β0分别是某二个常数。
在塑性区任取一点a ，以过a 点的α线与β线的切线分别作为x轴与Y铀，
组成一个右旋的局部正交坐标系a-xy 。由于在a 点的无限小的邻域内，α线与β线的微分弧元可认为与切线重合，故在a 点的无限小的邻域内，有
及
将式(f)，(g)代入式(b)个，就有
对式(h)作以下二点说明：
(1)式(h)是以无限小的单元体为对象，在顶点a的曲线坐标系，即局部坐
标系中推导出来的。
(2)内于dsα是过a 点的α线上的微分弧元的长度，而dω是沿着α线正向
的dsα的二个端点处的两条切线的夹角，它们都与坐标系的选择无关，因此，式
(h)的第一式适用于塑性变形区的任一点。同理，第二式也适用于整个塑性变形
区。
格式(h)的第一式对α积分，第二式对β积分，可得
式(21—8)称为汉基方程。
推论沿同一条滑移线上，平均应力的变化与滑移线的转角成正比，比例系数为2k，即有
证任取一条滑移线，设a 、b为其上的任二点，对于α线有
得
若为β线，由ω= Φ－∏/2可得
得
四、常见滑移线的类型
(1)二族正交直线，为均匀应力场.
(2)一族滑移线为直线，另一族为与直线正交的曲线,为简单应力场.常见
的简单加力场有
1)由直线族与同心圆族组成，圆心为奇点，应力不确定。
2)一族为某一包络线的切线，另一族为渐开线.
简单应力场只能与均匀应力场相邻．且交界线必定足一条公共滑移线.
五、应用实例
应用滑移线法求解刚塑性体的平面应变问题时，首先须画出滑移线场，并找出σ1与σ2的作用线为已知的一点，由此来确定α线与β线，再正确运用汉基力程的推论.以下举三个应用实例。
例1 求光滑冲头压人半无限体时的单位流动压力p.
解半无限体是指锻件的宽度比冲头的宽度大得多，且冲头的长度比宽度大得多，
可视为平面应变。
在图示的点A 处，有σy＝0，σx <0，故σ1＝σ3=0，σ3＝σx，由此确定α线与β线．如图21—6所示。由
得
及
在点C处,有Φc ＝∏／4. 于是，沿β线可有
得
由于△DCO为均匀应力场，故σmd＝σmc。由线逆时针转45°，可知在点C处有σnc ＝σmc ，即
得
例2 如图21—7所示，挤压比H/h =2，不计接触面上的摩擦，求平面应变
正挤时的单位流动压力p .
解由于对称性,故在轴线ox上的剪应力为零, 且有σx =0，σy < 0。因此，在点C处可得σ1 =σx＝0，σ3＝σy = -2K，故σmc = -K.由此确定α线与β线如图所示.显然,ωc ＝3∏／4 , ωB＝∏／4。于是,沿α线可有
得
由于△ADB是均匀应力区，故σmA =σm B. 在A点处由β线(即AB)逆时针转45°可得沿AD的法向应力σnA 为
故
例3 不计摩擦应力及弯曲效应，试用滑移线法求图2l—2a所示的圆板坯拉深为圆筒件的单价流动压力。
解如果在拉深过程中，工件的板厚t不变，可设u z =0,为平面应变问题.
由于Гrθ＝0，1可知σr 与σθ都足主应力，且σr ＞0，σθ< 0，得σ1＝σr ，σ3＝σθ.由
此可得α、β线如图a)所示。于是，在任一点处，滑移线与径线的夹角均为
∏/4，可有
得
由△aof与△bef分别可得
式中的是沿线上过点的切线与过点的切线的夹角。
故
得
在外缘点d处，= ＝0，＝＝—2K，得＝—K。于是有
得
式中的Do为凸缘的外径。于是，单位流动压力为
第四节求解塑性成形问题的上限法
上限法是一种能比较全面地求解金属塑性成形问题的近似方法，由它所确定
的载荷是真实载荷的上界。上限法的理沦基础是虚功率原理。
一、虚功率原理的新形式
在分析金属塑性成形的过程中．包括工件自重在内的体积力通常放忽略，而
作用在工件上的外力只有工件与模具接触面上的表面力。由此，虚功率原理的—
般形式为
式中，是工件的密度；与分别是工件质点的速度与加速度。
按照塑性加工时模具的运动属性，可将模具分为二类：
(1)运动模具，即作功模具，它与工件的接触面记为。
(2)静止模具，不作功，它与工件的接触面记为。
任取工件接触面上的一个质点，由运动学可知，该接触质点的速度(指绝对速度) 可表示为
式中，是接触质点的牵连速度，它等于模具的速度；是接触质点对于模具表面的相对速度，它位于模具表面在该点处的切平面上。
已知作用在工件的任一接触质点上的表面力强度p为
式中，是正压力，沿着模具表面在该点处的法线方向；是摩擦应力，位于模具表面在该点处的切平面上，且与相对速度方向相反，得
由式(b)、(c)、(d)可有
已知在上，有=0，故在上有
又由式(17—21)可得
于是，由式(e)、(f)及式(2l—l0)，可得式(a)的等价形式为
上式的物理意义为．在金属塑性变形的任一瞬时，运动模具所作的功率，等于工件的弹塑性变形功率、动能变化率及接触面上的摩擦所消耗的功率之和。对
于金属塑性加工而言，在上是常矢量，故有
式中、p是塑性加工时的成形力。于是，式(21—11)又可写为
二、间断概念、运动学容许的速度场
从这一小节开始，以下的讨论仅限于刚塑性材料。
一般说来，金属塑性变形时，变形体内的应力与速度的变化都是连续的。但是，若在某一点或某一曲面片的一个微小邻城内，应力或速度的变化很剧烈时，
可简化为间断问题来处理。例如，对于沿曲面片的间断问题，就是设某个力学量
的值在曲面片的两侧发生了跳跃。
运动学容许的速度场是用上限法求解金属塑性成形问题的切入点。如果速度场满足以下三个条件：①速度边界条件，即在su上，有＝；②体积连
续性条件，不产生重叠和开裂；②体积不可压缩条件；则称为运动学容许的
速度场。但是，在这速度场对应的应力场不一定满足应力平衡微分方程和
外力边界条件。所谓对应，是指应力场与由产牛的应变速率场=
满足塑性力学中的本构方程，对于刚塑性问题，就足满足Mi 本构方程。
三、应力间断
设为应力间断面，将变形体沿面分成与二部分，如图2l—9所示。任取一个跨越间断面的微元体，在微无体上，切向应力与不连续，但法向应力与切应力必定连续，即
而切向应力本身保持平衡。于是有
由此，不难推得在有应力间断面的条件下．虚功率原理仍然成立.
四、速度间断
设为速度间断面,将变形体沿面分成与二部分.由于塑性变形时沿面不拉裂也不重叠，故有
但切向速度可以发生间断.
1．沿面的切应力达到极限切应力以二维问题为例，
任取一个跨越面的单元体,如图2l—l0所示。以切线方向为轴，法线方向为轴，于是，切向速度沿法线力向，即沿y轴方向的变化率非常大，使得
也非常大，大大超过其他的应变速率，因而
得
2．沿面多消耗的功率为
式中的为沿面两侧的切向速度的跳跃量由于
由此可得，当有速度间断面时，式(21—12)变为
上式右边的最后一项表示因内摩擦多消耗的功率.
五、上限法基本方程
设有一刚塑性变形体v(现时构形)，是真实的应力场，是真实的等效应
力场。又设是任一运动学允许的速度场，与是互相对应的应变速率场
与应力场.由最大塑性功原理可得
于是有
已知＝= ，记与动容速度场对应的近似载菏为。
一般说来．在塑性加工过程中，有P·＝。于是，由式(a)可得上限法
的基本方程为
式中，是材料的真实应力。显然，由上式求得的近似载荷是真实载荷的一个上界。
六、应用实例
用上限法求解金属塑性成形问题，关键是要找出一个运动学容许的速度场。
运动学容许的速度场有二种模式：①离散的速度场，即刚性块滑移模式；②连续
的或分块连续的速度场。关于刚性块滑移模式，—方面它只适用于平面应变问
题，并且在这一模式下，物体的应变速率和塑性变形功率处处为零，对于金属塑
性成形来说已无什么意义可吉，故本书不予介绍，只介绍用连续速度场求解金属
塑性加工问题的三个实例。
例1 平行砧板间的圆柱体热镦，上模的速率为，摩擦应力= ，
是材料的真实应力，试用上限法求单位流动压力P?
解设圆柱体的—种连续的速度场为
由此可知，当＝时，=0；=0时，=0；= 时，=- 。速度边界条件满足。
由式(a)可得
及
得
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
弹塑性力学简答题 2002年 1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 3两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 4虚位移原理等价于哪两组方程？推导原理时是否涉及到物理方程？该原理是否适用于塑性力学问题？ 平衡微分方程和静力边界条件。不涉及物理方程。适用于塑性力学问题。 5应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量、、不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6什么是加载？什么是卸载？什么是中性变载？中性变载是否会产生塑性变形？加载：随着应力的增加，应变不断增加，材料在产生弹性变形的同时，还会产生新的塑性变形，这个过程称之为加载。
卸载：当减少应力时，应力与应变将不会沿着原来的路径返回，而是沿接近于直线的路径回到零应力，弹性变形被恢复，塑性变形保留，这个过程称之为卸载。 中性变载：应力增量沿着加载面，即与加载面相切。应力在同一个加载面上变化，内变量将保持不变，不会产生新的塑性变形，但因为应力改变，会产生弹性应变。 7用应力作为未知数求解弹性力学问题时，应力除应满足平衡方程外还需要满足哪些方程？协调方程和边界条件。 8薄板弯曲中，哪些应力和应变分量较大？哪些应力和应变分量较小？ 平面内应力分量最大，最主要的是应力，横向剪应力较小，是次要的应力；z方向的挤压应力最小，是更次要的应力。 9什么是滑移线？物体内任意一点沿滑移线的方向的剪切应力是多少？ 在塑性区内，将各点最大剪应力方向作为切线而连接起来的线，称之为滑移线。 剪切应力是最大剪应力。 10什么是随动强化？试用单轴加载的情况加以解释？ 2004 1对于各项同性线弹性材料，应用广义胡克定律说明应力与应变主轴重合？ ，当某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零，这说明应力的主方向与应变的主方向重合。 2应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3虚位移原理等价于哪两组方程？这说明了什么？
应用弹塑性力学李同林第四章 这是变形理论。这个理论首先由亨斯基提出，然后由前苏联的伊留申进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这个理论也被称为亨奇-伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个条件: (1)外载荷(包括体力)成比例增加，变形体处于主动变形过程中(即应力强度无中间卸载)； (2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比μ = 1/2进行计算；(3)材料的应力-应变曲线具有幂强化形式，即 或者 ； 在变形过程中 (4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。满足上述条件后，变形理论将给出正确的结果。如果负载没有成比例地增加，则外部负载成比例地增加是简单负载的必要条件。这样不仅不能保证物体内部的简单加载状态，而且物体表面也不能满足简单加载条件。体积不可压缩性和泊松比μ=1/2的假设不仅简化了具体计算，而且与实验结果基本一致，因此变形理论的物理关系主要表现为应力挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。 法律。 使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区，但实际上该模型对不同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数a的指
数m来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件，而且证明了简单加载定理。他提出，在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正比，即: 如果使用主应力，有 等效应变的表达式为: 从这里 因此，Hench-Ilyushin理论的应力-应变关系可以写成如下: 展开等式(4-84): 根据胡克定律(4-33)，弹性应变为: 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得: 公式(4-86)可以缩写为: 实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为R，平均直径为D，壁厚为T，圆筒长度为L，并且承受内压P以产生塑性变形。材料是各向同性的。尝试找到: (1)如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一点处增加； (2)如果材料是不可压缩的，即μ=1/2，圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。 因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力ζr=0。
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
弹塑性力学理论及其在工程上的应用 摘要：弹塑性力学理论在工程中应用十分的广泛，是工程中分析问题的一个重要手段，本文首先是对弹塑性力学理论进行了阐述，然后讨论了它在工程上面的应用。 关键词：弹塑性力学；工程；应用 第一章 弹塑性力学的基本理论 （一）应力理论 1、 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作 用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图1.1)。如 将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上 的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?， 如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σo ，即 σ=??→?S F S 0lim 2、二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式 上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。为简单起见，首先讨论平面问题。掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无 关。平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。 （1） 平面应力问题 如果考虑如图所示物体是一个很薄的 平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即 xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均 为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0) (2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δ δ ττz zy z zx 图2.2平面应力问题 因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布， 所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。由此， 在垂直于z 轴的任一微小面积上均有 0=z σ， 0==zy zx ττ 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。因而对于平面应力状态的应力张量为 ???? ??????=00000y yx xy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。 （2）平面应变问题 如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分 布地作用在垂直于oz 方向，如图1.4所示的水坝是这类问题的典型例子。忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位
第十一章 习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1：（1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 ,A s B s M M M M =-= 设C 点支反力为C R ，则： 12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -= 由上二式得() ()111 42p M l l P l l l * -= - 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则： 11,(2)A C l l l θδθδ==- () 1122B A C l l l l δ θθθ=+= - 外力功e W P δ=
内力功() 1 1142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+= - 由e i W W =，可得极限载荷上限为 () 1 1142s l l P M l l l *-= - 由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为： ()()()2 12 B M x R l x q l x =--- 在极限状态时，有 ()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令 () 0dM x dx =得1()B q l x R -= （1） 而21 2 B s R l ql M -=- （2） ()()2 1112 B s R l x q l x M ---= （3） 联立解（1）、（2）、（3）得 2 1 22s s M qM ql l ??=- ??? 解得21122s M q l ?= ?
第四章弹性变形·塑性变形·本构方程 当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此，弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答，就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究。考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程，同时再满足具体问题的边界条件，从理论上讲就可使问题得到解答。 在第二、三两章中，我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程，即平衡微分方程式(2-44)和几何方程式(3-2)等。所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。 大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变，而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线(如图4-1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。 在图4-1中，OA段为比例变形阶段。在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的，即可用虎克定律来表示: ζ=Eε(4-1) 式中E为弹性模量，在弹性变形过程中，E为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作ζP。由A点到B 点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作ζr。对于许多材料，A点到B点的间距很小，也即ζP与ζr数值非常接近，通常并不加以区分，而均以ζr表示，并认为当应力小于ζr时，应力和应变之间的关系满足式(4-1)。在当应力小于ζr时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由O到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段。C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作ζs。有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到0.01。由E点开始，材料出现了强化现象，即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回，而是沿着一条平行于OA线的MO'''(或HO'、KO'')路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形，但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O'''(或O'、O'')重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着O'''MFG (或O'HEFG、O''KFG)变化，在M点(或H点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然，这就相当于提高了材料的屈服极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高，塑性降低，增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化(或硬化)。
《工程弹塑性力学》习题 1、（1）试分析下列应力函数可解什么样的平面应力问题： 2232 343y q c xy xy c F +???? ??-=? （2）为使函数φ(r ，z)＝C(r 2十z 2)n 能够作为轴对称情况下的应力函数，式中n 应为何值? 2、已知下列应力状态： Pa ij 5101138303835????? ??????=σ 试求八面体正应力与剪应力。 3、已知材料的真实应力应变曲线为：B T =σ? n 或 m T c εσ=，试证： n e m --=1 4、试证： ()dV u dS u n dV u u i V j ij i j s ij i j j i ij V ???????-=+,,,21σσσ 5、试证图示悬臂梁的应变能公式及泛函ΠP 为： ()dx w EJ U l 20 ''21?= 及 () ()()l Fw l Mw Pw dx w EJ l l P +--=∏??0'20''21 并说明其附加条件 6、试求图示斜坡的最大承载能力。 7、对Mises 屈服条件，证明 8、已知理想弹塑性材料的悬臂梁，一端受集中力P 作用，如此杆的截面ij ij ij s J f =σ??=σ??2
为矩形，其尺寸为h b 2?，弹性模量E ，屈服极限为s σ，试求作用点的挠度值。 9、试证明虚位移与虚应力原理是下列高斯散度定理的特殊情况： dS u T dS u T dV u F dV i S i i S i i V i ij V ij u T ????????++=εσ 10、名词解释 1、主平面、主应力、应力主方向 2、李兹法 3、工程应变 4、滑移线 5、Drucker 公设 6、伽辽金法 7、壳体、壳体的厚度、中曲面 8、屈服面、屈服函数 9、增量理论 10、完全解 11、简答题 1、什么是八面体及其特点？ 2、阐述弹性力学的平面问题的基本假设？ 3、矩形、圆形薄板弯曲的三类边界条件的区别？ 4、在大应变问题中，为什么只有用自由应变才能得出合理的结果？ 5、Tresca 和Mises 的屈服条件的比较？ 6、论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？ 7、各向均匀受压对金属材料体积的影响及写出Bridgman 提出p 与单位体积的关系式。 8、阐述弹性本构理论的特点？ 9、阐述滑移线的性质？ 12、（1）矩形薄板其边界条件见图，不受 横向载荷(q ＝0)，但在两个简支边上受有均 布弯矩M ，在两个自由边上受均布弯矩 μM ，证明：ω＝f(x)能满足一切条件，并求 出挠度、弯矩和反力。
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ； 试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。 解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件： OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0 代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0； OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0 则：cos sin 0cos sin 0x xy yx y σβτβτβσβ+=?? +=?………………………………（a ） 将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得： ()()() 1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=???--+-=??L L L L L L L L L L L L L L L L L L 化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β； 化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β 2—17.己知一点处的应力张量为3 1260610010000Pa ??????????? 试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得： (()()3 1.2333 3 121010 2217.0831******* 6.082810 4.9172410 x y Pa σσσ?++?==????=?=±?=? 则显然：3 312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=?=?= σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算） ()22612sin 226 12102 cos 2xy x y tg τθθσσθ--?-++ ====+=--+ 显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688B 40°16＇ 或（-139°44＇）
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
2003年结构工程博士研究生入学考试 弹塑性力学试卷答案 第一道题答案： 圣维南原理可以这样陈述：如果把作用在物体表面一小部分边界上的面力，被分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对同一点的主矩也相同)所代替，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但远处所受的影响小得可以忽略不计。 圣维南原理也可以这样陈述：如果物体一小部分边界上的面力是一自相平衡的力系(主矢量及主矩都等于零)，那么，这个面力就只会在靠近受力表面附近产生显著的应力，远处(与受力表面之尺寸相较)产生的应力可以忽略不计。 上面两种陈述是一致的，因为，静力等效的两组面力，它们的差异是一个平衡力系。 正确理解和运用圣经南原理的关键是弄清“一小部分”，“静力等效”，“近处与远处”的概念。 实践应用中，圣维南原理可提供： 1．我们知道，弹性力学问题在数学上被称为边值问题，其待求的未知量(应力、位移、应变)完全满足基本方程并不困难，但是，要求在全部边界上都逐点地满足边界条件，往往会发生很大困难。为了使问题得到简化或有解，在符合圣维市原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的以合力形式表示的整体边界条件。这对于离边界较远处的应力状态，并无显著的误差。这已经为理论分析和实验所证实。 2．当物体的一小部分边界，仅仅知道物体所受外力的合力，而不能确知其分布方式时，就不能逐点地写出面力的边界条件，因而难以求解或无法求解。根据圣维南原理，可以在这一小部分边界，直接写合力条件进行求解。 3．当物体一小部分边界上的位移边界条件不能精确满足时，有时也可以应用圣维南原理得到有用的解答。 4．在工程结构的受力分析中，根据圣维南原理，有时可近似地判断应力分布和应力集中的情况。 第三道题答案：
我所认识的弹塑性力学 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。 一绪论 1、弹塑性力学的概念和研究对象 弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。 2、弹塑性简化模型及基本假定 在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性
假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。 3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别 一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。 弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别
第一章弹塑性力学基础 1.1什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 解：静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 1.2对照应力张量与偏应力张量，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 解：两者主方向相同。。 1.3 简述应力和应变Lode参数定义及物理意义： 解：μσ的定义、物理意义：； 1) 表征S ij的形式；2) μσ相等，应力莫尔圆相似，S ij形式相同；3) 由μσ可确定S1：S2：S3。 1.4设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应 力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解：该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为：
1.5利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解：求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为， 1.6 已知应力分量为，其特征方程为 三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式 ，求以及与的关系。 解：求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系
代入数据得，， 1.7已知应力分量中，求三个主应力。 解：在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 1.8已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解：先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。 由此求得： 然后求得：，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 1.9 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及 306.768 6.77() 104 sin 2cos 2sin 602cos 6022 1 32 3.598 3.60() 22 x y xy MPa MPa σστατα=----+= ?+= ?-=-?-?=-- 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τ xy = +2 3030( )cos 2sin 22 2 1041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104 sin 2cos 2sin 602cos 602 2 1 32 3.598 3.60()2 x y x y xy x y xy MPa MPa σσσσσατα σστατα+-= ++---+= ++=--?+=----+=- ?+=- ?+=+?= 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： 题图 1-3
c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??= ==?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε= = ； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-????+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P 、正应力σn 及剪应力τ n 。 题—图 16
应用弹塑性力学读书报告 姓名： 学号： 专业：结构工程 指导老师：
弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学） 假设物体是线弹性的。就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk pk δδδδδ=; 答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-; 解：(3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 （需证明） 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：因为1 231 111232221 2 33 3 3i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ???? ??????=?????????????????? ， 所以 1 231111232221 2 33 3 3 1 231 1112322212 333 3det det()i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ?? ??????????==??? ??????????????? 即得 123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证明：()()??=a b c d ?
应用弹塑性力学习题 解答 Revised on November 25, 2020
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。
解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，，
，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得
第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，， ，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得 则主应变有
一、简答题 1答：（1）如图1所示，理想弹塑性力学模型： e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 （2）如图2所示，线性强化弹塑性力学模型： () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 （3）如图3所示，幂强化力学模型：n A σε= （4）如图4所示，钢塑性力学模型：（a ）理想钢塑性： s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 （b ）线性强化钢塑性： ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 （a ） （b ） 图4钢塑性力学模型 2答：
3答：根据德鲁克公设， ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中，可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的，因此，在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义： ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥，?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值，要使上式成立，?必须为锐角，因此屈服面必须是凸的。 4 答：逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律，然后分析它所对应的边界条件，以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数，从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答。否则需另外假定，重新求解。 二、计算题 1解：对于a 段有：0N a a a a F A E a a σσεε==?= ，对b 段有：0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解：代入公式，116I =，227I =-，30I = 故117.5MPa σ=，20MPa σ=， 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解：（1）代入公式，110I =，2200I =-，30I = 故主应力：120MPa σ=，20MPa σ=， 310MPa σ=-
《弹塑性力学》复习提纲 1. 弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？ 研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状结构则在弹性力学里研究 研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状结构一般不必引用那些假定，得到的结果比较精确。并可用来校核材料力学得出的近似解。 2. 弹性力学有哪些基本假设？ （1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的 3. 弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。 (1)平面问题的平衡微分方程: 平面问题的几何方程： 平面应力问题的物理方程： (在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程) (2)空间问题的平衡微分方程;
空间问题的几何方程; 空间问题的物理方程： 4. 按照应力求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？ (1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力 分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应力分量。要使得位移分量在区域里满足微分方程，并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件。 (2)应力法是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移 分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。满足区域里的平衡微分方程，区域里的相容方程，在边界上的应力边界条件，其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。 5. 掌握以下概念：应力边界条件和位移边界条件；圣文南原理；平面应力与平 面应变；逆解法与半逆解法。 位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每一点，位移函数u和v和应满足条件=，=（在 上） 应力边界条件：若在部分边界上给定了面力分量(s)和(s),则可以由边界 上任一点微分体的平衡条件，导出应力与面力之间的关系式。 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 平面应力问题：设所研究的物体为等厚度的薄板，在z方向不受力，外力沿z