中国科学技术大学
硕士学位论文
基于均匀化方法的多孔材料的本构数值研究和升阶谱有限元
姓名：庄守兵
申请学位级别：硕士
专业：固体力学
指导教师：吴长春
2002.6.1
摘要
摘要
本文在文献调研和前人研究的基础上，对均匀化有限元法在多孔材料的等效弹性模量模拟中的应用和基于非协调位移模式的升阶谱有限元进行了深入的研究。
首先，本文把基于小参数渐进展开的均匀化理论和有限元法相结合，建立了在细观体系下求解单胞宏观等效弹性模量的单变量变分原理。ｆ并在此基础上推导出基于单变量泛函的协调位移模式。针对单胞的周期性边界条件，通过等效处理使其在单元一级得到满足，即所谓的固定边界条件。，…
／
针对正方形孔洞结构的蜂窝材料，本文利用均匀化有限元法对其宏观等效
，
模量进行了数值计算，并与早期方法得到的结果进行比较。ｆ表明均匀化有限元
＼
方法可得到较准确的等效模量。同时还考察了胞壁固体相的力学性能参数ｋ对材料宏观力学性能的影响，首次从数值计算的角度利用有限元程序证明了胞壁
、
固体相的泊松比吒对多孔材料的宏观等效杨氏模量和剪切模量影响很小。户、—一
／’其次，本文介绍了非协调元的一般概念．分片检验条件和生成非协调形函数的一般公式，并将非协调元具体应用于弹性力学平面问题，构造阶次依次升
，
高的非协调元．ｆ首先采用常规的多项式作为必须附加的内位移，虽然无论是位ｔ
移模式在自然坐标下完备，还是在直角坐标下完备，通过～般公式进行修正后，均能通过分片检验．但随着单元位移阶次的升高，对一些算例的计算结果并没有得到预期的收敛效果．这是因为一些项使得数值结果明显变坏。去掉这些项，结果得到明显改善．这表明在进行修正时，使得一些项之问接近相关，导致了数值稳定性。但是采用勒让德正交多项式序列来重新建立二维非协调升阶谱有限元，不仅能通过分片检验，而且还可以得到较优的结果。卜１一～
关键词：均匀化理论，多孔材料，非协调元，升阶谱元
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ＦＥＭｉｎｐｒｅｄｉｃｔｉｎｇｅｆｆｅｃｔｉｖｅｅｌａｓｔｉｃＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＨｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ
ｍｏｄｕｌｕｓｏｆｃｅｌｌｕｌａｒｍａｔｅｒｉａｌｓａｎｄｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｅｌｅｍｅｎｔｕｓｉｎｇｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｐａｔｔｅｒｎｈａｖｅｂｅｅｎｆｕｌｌｙｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄｏｎａｖａｓｔａｍｏｕｎｔｏｆｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓａｎｄｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈＷＯｒｋｏｆｔｈｅｆｏｒｍｅｒｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ．
Ｆｉｒｓｔ，ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｂａｓｅｄｏｎｗｉｔｈｌｉｔｔｌｅｐａｒａｍｅｔｅｒｅｘｔｅｎｄａｎａｌｙｓｉｓｉｓｃｏｍｂｉｎｅｄｗｉｔｈｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｔｏｄｅｖｅｌｏｐｓｉｎｇｌｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎｆｏｒｍｕｌａｅｏｆｉｓｏｐａｒａｍｅｔｒｉｃｅｌｅｍｅｎｔｆｒｏｍｓｉｎｇｌｅｖａｒｉａｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｆｏｒｔｈｅｐｅｒｉｏｄｉｃａｌｂｏｕｎｄａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔ—ｃｅｌｌ，ｉｔＣａｎｂｅｆｉｔｔｅｄｉｎｅｌｅｍｅｎｔｂｙａｌｌｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｔｒｅａｔｍｅｎｔ，ｗｈｉｃｈａｒｅｓｏ－ｃａｌｌｅｄｆｉｘｅｄｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ．
Ｆｏｒｃｅｌｌｕｌａｒｍａｔｅｒｉａｌｓ，ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎＦＥＭｉｓｕｓｅｄｔｏｐｒｅｄｉｃｔｔｈｅ
ｍａｃｒｏａｎｄｍｉｃｒｏｓｃｏｐｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．ＢｙｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｐｒｅｓｅｎｔｍｅｔｈｏｄｗｉⅡ１ｔｈｏｓｅｏｆｏｔｈｅｒｍｅｔｈｏｄｓ．ｗｅＣａｌｌｓｅｅｔｈａｔＨｏｍｏＦＥＭｃａｎｇｉｖｅｍｏｒｅａｃｃｕｒａｔｅｒｅｓｕｌｔｓｏｆｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｏｄｕｌｕｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒ，ｗｅａｎａｌｙｚｅｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｐｏｉｓｓｒａｔｉｏｏｆｓｏｌｉｄｐｈａｓｅｏｎｔｈｅｍａｃｒｏ?ｍｅｃｈａｎｉｃａｌｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｃｅｌｌｕｌａｒｍａｔｅｒｉａｌｓａｎｄｇｉｖｅｔｈｅｓａｍｅｒｅｓｕｌｔｓａｓｓｏｍｅｅｘｐｅｒｉｅｎｔｉａｌｆｏｒｍｕｌａｅ．
垒堕竺！一——Ｍｏｒｅｏｖｅｒ’ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｅｌｅｍｅｎｔｓａｎｄｐａｔｃｈｔｅｓｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ（ＰＴＣ）ａｒｅｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ａｎｄｔｈｅｎａｐｐｌｉｅｄｔｏｌｉｎｅａｒｅｌａｓｔｉｃｔｗｏ．ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｑｕｅｓｔｉｏｎｓｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｅｌｅｍｅｎｔｂａｓｅｄｏｎｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．Ｆｉｒｓｔ，ｗｅａｄｏｐｔｒｏｕｔｉｎｅｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｅｒｉａｌｓａｓｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙａｄｄｉｔｏｒｙｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ．Ｔｈｏｕｇｈｔｈｉｓｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｏｄｅｃａｌｌｐａｓｓｔｈｅｐａｔｃｈｔｅｓｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｔｃａｒｌｎｏｔｇｉｖｅａｎｔｉｃｉｐａｎｔｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．Ｂｅｃａｕｓｅｓｏｍｅｉｔｅｍｓａｒｅａｂｏｕｔｒｅｌａｔｉｖｅｅａｃｈｏｔｈｅｒ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎａｃｃｕｒａｔｅ．Ｉｆｗｅｄｅｌｅｔｅｔｈｅｓｅｉｔｅｍｓｂｙｃｈｏｉｃｅ，ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｗｉｌｌｂｅｇｒｅａｔｌｙｉｍｐｒｏｖｅｄ．Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏｅｌｉｍｉｎａｔｅｔｈｅｍｅｎｔｉｏｎｅｄｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ，ｗｅｔｒｙｕｓｉｎｇＬｅｇｅｎｄｒｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｅｒｉａｌｓＳｔｈｅｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙａｄｄｉｔｏｒｙｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ．ＴｈｅｎｕｍｅｒｉｃａｌｒｅｓｕｌｔｓｔｅｌｌＵＳｔｈａｔｔｈｉｓｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｏｄｅｎｏｔｏｎｌｙｐａｓｓｅｄｔｈｅｐａｔｃｈｔｅｓｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｈｏｔａｌｓｏｇａｖｅｍｏｒｅｂｅｔｔｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙ，Ｃｅｌｌｕｌａｒｍａｔｅｒｉａｌ，Ｉｎｃｏｍｐａｔｉｂｌｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ，Ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌｅｌｅｍｅｎｔ．
毁谢
Ｐ五３ｓ０６３
致谢
本文是在导师吴长春教授的指导、关心下完成的，从论文的选题到最后的完成，吴老师都付出了大量的心血，作者在此表示深深的敬意和由衷的感谢。吴长春老师严谨的科学态度，渊博的专业知识，巨大的工作热情使作者受益匪浅。
本文的顺利完成也离不开力学和机械工程系的众多老师的帮助和支持，在此一并表示衷心的感谢。他们的悉心教导和辛勤培养使作者的理论知识和实验技能得到了全面的提高。
作者还要感谢计算力学实验室的黄颖青博士、冯淼林博士、袁振博士、李子然、何沛祥、王凡、周辉、杨向龙等同窗的支持，他们的热情帮助和有益讨论帮助了作者能够顺利完成本文。
最后衷心地感谢家人的养育和支持。
身如∥、卜／Ｉ上
！！宣：墨塾翌型竺查塑塾堕堕生————第一部分多孔材料的本构数值研究
引言
口多孔材料的发展背景
在我们生活的大自然界中，普遍存在着大量的疏松孔洞材料一一多孔材料（ＣｅｌｌｕｌａｒＭａｔｅｒｉａｌｓ），如木材、海绵、骨骼等，并且已经被人类使用了７０００多年。在我国的河姆渡文化遗址和埃及的金字塔中就曾经发现了古老的木制品和陶器，而软木自罗马时代就已经被应用于瓶塞和鞋底；在现代社会，多孔材料以其优异的力学性能和多种应用功能引起许多力学家和工程师的浓厚的兴趣和研究，被制作成各种材料为基底的蜂窝状结构和泡沫状结构新型的工程材料。
多孔材料的主要物理特征是孔隙尺寸及其微小，孔径相对于壁厚较大，及高孔隙率。多孔材料的这些表面物理特征产生的特殊作用，使其成为一种具有优异的阻尼、渗透、隔音和绝热等性能的功能材料，日益被广泛应用为民用、军事的结构材料，如德国大众汽车公司泡沫铝用于汽车的吸能装置。
多孔材料不仅具有多种优异的性能，而且制造工艺简单，通过调节一些结构参数，可以获得繁多的力学性能．因此，国内外许多研究机构把多孔材料作为新型工程材料进行研究．
多孔材料的结构可分为二维的蜂窝状结构和三维的泡沫状结构，这两种结构具有类似的变形机制，其性能主要依赖于相对密度、泡孔壁的性能和泡孔的几何参数。但泡沫状结构的几何形状及其性质却比蜂窝状结构复杂的多。二维结构的蜂窝材料（见图１．１），广泛应用于隔音、包装等领域，因而研究其力学性能具有突出的重要性；此外，研究蜂窝材料有助于帮助我们分析具有复杂三维结构的泡沫材料的力学性能。多孔材料是由胞壁和孔洞组成，对其进行研究，不仅要了解其宏观性能，还应建立宏、细观的关系，主要考虑到孔洞形式、尺寸及壁厚等因素在宏、细观尺度上对材料力学性能的影响。
弓Ｉ言：多孔材料的本构数值研究
口多孔材料等效弹性模量的研究现状
由于多孔材料具有多孔洞的结构，因而影响其等效弹性性能的因素主要是多孔材料内部微结构的特征，体现在孔洞的形状和孔隙率的大小等。为了研究微观孔洞结构特征对多孑Ｌ材料宏观性能的影响，许多科学工作者从细观的角度出发来解决一些理论和实际问题。下面将有关研究材料等效性能的代表性细观力学方法作一扼要的叙述。
早在１８８９年，ｖｏｊｇｔ川就根据晶体内的常应变假设研究了多晶体的有效模量。设复合材料的各组成相都是各向同性材料，得到复合材料的有效体积模量《和剪切模ｉＧ：为
Ｋ：＝∑ＧＫＧ：＝∑ｃＧｊ（Ｏ一１）
（ｏ－２）
式中墨，Ｅ和ｃｆ分别为第，相材料的体积模量、剪切模量和体积分数，Ⅳ为相的数目。而根据Ｒｅｕｓｓ假设ｆ”，我们有（０－３）
（０－４）
式中置：和Ｇ；分别为Ｒｅｕｓｓ理论中多晶体的有效体积模量和剪切模量。我们可以发现，Ｖｏｉｇｔ近似和Ｒｃｕｓｓ近似分别对应于刚度系数和柔度系数的混合律。Ｇｉｂｓｏｎ、Ａｓｈｂｙ等船。１利用简化的胞壁梁模型，同时考虑胞壁的伸缩变形和剪切变形，计算出蜂窝结构的二维等效弹性参数，称之为Ｇｉｂｓｏｎ—Ａｓｈｂｙ公式。对于一般的六边形的蜂窝结构（图卜２），Ｇｉｂｓｏｎ－Ａｓｈｂｙ公式给出的等效弹性参数乞和伊，，为：
Ｃ—Ｋｅ—ｑⅣ—、厶ｍⅣ—）－汹陪临“匡＝
＝●冉●月茁Ｇ．
垦：了ｔ３．可（ｈ／ｌ＋ｓｉｎＯ）（０＿５）—一＝一?———————●———一ｌＵ一０，Ｅ．Ｚ３ＣＯＳ３０…’譬＝乒?丽（ｈ丽／ｌ＋ｓｉｎ０）ｈ／Ｚ）＋２ｈ／１）ｃｏｓＯ（ｏ－ｅ）巨，３（２（１……当ｈ＝，。０＝３００时，可得规则正六边形蜂窝结构的等效弹性参数表达式：
圈卜Ｉ周期性的蜂窝结构几何结构圈１．２一般结构的基础胞元（ｏ－７）（０－８）而对于正方形蜂窝结构。我们令矗＝０，０＝４５０，带入（１）式可得杨氏模量
而对于Ｇ矗，却给出
鲁＝鲁＝２妥ｌＥ｜Ｅｌ
３焦：三
Ｅｌｌ（０－９）
（０－ｌＯ）Ｇｕｌａｔｉｉ５’在１９７５年指出，正方形蜂窝结构的面内弹性常数与规则正六边形蜂窝结构有着根本的区别。这是因为对于正方形蜂窝结构，只有在胞壁承受轴向拉伸或压缩的情况下，才存在弹性变形。并定义平行于胞壁方向的杨氏模量
，一，，一ｒＺ，卯２ｍ｜Ｉ＝Ｅ一巨晚一最
引言：多孔材料的本构数值研究
鱼：鱼：三
ＥｓＥｓｌ
（０—１１）Ｈａｓｈｉｎ．Ｓｈｔｒｉｋｍａｎ上下限…是研究两相复合材料弹性模量最常用的方法，将其应用与蜂窝结构的材料时，其上限简化为
妥≤要（ｏ－１２）
Ｅ３
争≤要（ｏ一１３）
Ｅ．８、。
其中卢‘、Ｅ’、妒分别为等效剪切模量、等效杨氏模量和相对密度。
Ｈ．Ｓ．Ｋｉｍｔ７Ｊ等给出了正方形蜂窝结构的面内弹性常数为
鱼：鱼：兰￡
Ｅ
ｓＥ
ｓ
３ｌｊ
由以上各式可见，前人对于正方形蜂窝结构的面内弹性常数的分析之间差异很大，因此，有必要重新进行探讨。
口本部分的研究内容
由于多孔材料具有多孔洞的结构，因而影响其等效弹性性能的因素主要是多孔材料内部微结构的特征，体现在孔洞的形状和孔隙率的大小等。为了研究微观孔洞结构特征对多孔材料宏观性能的影响，本文从细观的角度出发，基于渐进均匀化理论，来解决一些理论和实际问题。
本部分的主要研究内容是：
第一章，首先介绍了均匀化理论和基于小参数渐进展开的摄动技术，并建立了应用于细观问题求解的势能泛函，利用变分原理推导出均匀化求解的二维有限元格式。
第二章，针对二维结构的多孔材料一蜂窝结构，选取代表性的单胞模型，运用第一章推导的均匀化求解的二维有限元格式，来确定材料的宏观等效性能，并考察胞壁固体相的材料参数（泊松比ｖ）对宏观等效性能的影响。最后针对具有多级不均匀性和细观周期性的多孔材料，我们提出了二次均匀化方法。
第一章均匀化理论及有限元格式
§１．１均匀化理论
均匀化方法由法国科学家在二十世纪七十年代提出，并应用到具有细观周期性结构的材料数值分析中ｍ…。近几年该方法已成为分析夹杂、多孔材料、混凝土材料Ⅲ１的等效模量及材料的细观结构拓扑优化…１２３常用的方法之一。１９９９年国际杂志（ＣｏｍｐｕｔｅｒＭｅｔｈｏｄｓｉｎＡｐｐｌｉｅｄＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）就均匀化方法及其在先进多孔材料中的应用出了专集“”。均匀化方法既能从细观尺度分析材料的等效模量和变形，又能从宏观尺度分析结构的响应．它是根据材料细观周期性特点，将宏观结构中一点的位移和应力等物理量展开为表征细观结构尺度的小参数渐近级数，并用摄动技术建立一系列控制方程，依据这些方程可求解出平均化的材料参数、等效位移和等效应力。
在很多实际工程和科学问题中，描述某一物理现象的方程依赖于具有不同尺度的变量，如具有量级为ｌ的正常尺度和较小尺度，可将这些变量表示成Ｘ和ｘ／ｅ，这里ｘ可以是ｎ维向量ｘ＝（ｘ。…，ｘ。）。这一类含有小参数的数学问题可通过摄动法求其Ｐ（￡）的渐近解…１，大致步骤如下：
①把实际问题处理为含有小参数的数学问题。
②令ｘ／ｅ＝Ｏ，求解出非摄动问题Ｐ（０）的解ｕ。（ｘ），将其称为零级近似。
③运用摄动法求ｘ／ｅ＜＜ｌ时的解ｕ（ｘ，ｘ／ｅ），并要求：
《ｘ，ｏ）＝ｕｏ（ｘ）（卜１）在工程实际中，我们经常会遇到已知控制方程却难以求解的情形，所以就希望能够将这些方程进行简化，忽略一些影响细微的因素，使得在正常尺度下也能恰当地描述我们所研究和分析的对象。也就是找到与复杂的多尺度解ｕ（ｘ，ｘ／ｅ）相对应的单尺度解Ｕ。（ｘ）。这种由原始方程导出均匀化方程的过程称为“均匀化”。因此均匀化方法可看作是多重尺度摄动法的一种特殊应用。
第～章均匀化方法及其有限元格式
图卜ｌ所示的多孔材料弹性体，在Ｒ３空间中占据区域为ｒ。，在某一宏观点处的细观结构可看成是非均质的单胞在空间中周期性重复堆积而成。单胞的尺度相对于结构的宏观几何尺度来说为小量。结构细观层次的非均匀性随单胞的位置、形状及排列方式而变化，但在某一点邻域内，认为这种变化极其微小。因此从宏观角度来看。多孔材料仍具有周期性分布的特点。设该弹性体受体积力ｆ，边界ｒ。上的表面力ｔ，以及边界ｒ。上的给定位移的作用。当该物体处于静力平衡状态时，应满足弹性力学的基本方程和边界条件，但由于其存在着细观结构的非均匀性，当涉及孔洞层次的细微结构时。用传统的方法直接求解此边值问题非常困难。对于这种非均质材料，当宏观结构受外部作用时，结构场变量如位移和应力，将随宏观位置的改变而变化。但由于细观结构的高度非均匀性，使得这些场变量在宏观位置ｘ的非常小的邻域￡内有很大变化。因此可以假设所有的量都依赖于宏观与细观两种尺度，即在域∥内有：
中‘（ｘ）＝∞（ｘ，Ｙ），ｙ＝ｘ／￡（１－２）
ＹＩ
图１?１细观周期性的多孔材料
其中Ｘ为宏观尺度坐标，Ｙ为细观尺度的坐标，而￡为两种尺度之比。上标ｓ表示该函数具有两尺度的特征，以Ｑ‘表示随两尺度变化的连续介质。对于多孔材料结构宏观坐标中的任一点Ｘ，由于假设细观结构为周期性重复排列，可据此建立结构变量随两尺度变化的关系，即关于细观坐标ｙ＝ｘ／ｅ
／具有周期性：
西（ｘ，Ｙ）＝中（Ｘ，ｙ＋Ｙ）（１—３）这种特性称为Ｙ一周期性，Ｙ表示周期函数的周期，微观上对应于一个单胞或称基元Ｙ。这里假定宏观的波动（ｘ的波动）对场变量的影响较细观的波动（ｙ的波动）要小得多。单胞尺寸与宏观物体的尺度相比是很小的，可以用一个小的正数￡来表示。通过ｙ＝ｘ／￡坐标变换，将Ｑ‘中的一点放大成单胞Ｙ，当￡趋近于零时，物体Ｑｔ就成为原多孔材料体Ｑ的等效均质弹性体，因此可求得等效的弹性性能。
由于原多孔材料弹性体受体积力ｆ。边界ｒ。上表面力ｔ及边界ｒ。上给定位移的作用，其等效均质弹性体Ｑ‘，也应满足下列基本方程和边界条件：平衡方程：吒，＋，＝０
几何方程：
本构方程：
边界条件：
加Ｑ‘
加Ｑ‘
Ｄ玎ｒ＿
Ｄ＂Ｃ
其中ｃ‘ｌＪｋｌ为单胞中胞壁固体相的弹性常数：
ｃ玉Ｇ）＝ｃ埘Ｇ，），）
（１－４）
（卜５）
（卜６）
（卜７）
（１－８）
（１－９）通过式（Ｉ一４）…（１—８），将具有细观周期性结构的多孔材料弹性体ｙ‘的解转化为均匀弹性体Ｑ。的解。
§１．２摄动技术
摄动法求解的主要工具为小参数渐近展开方法．
将Ｑ‘中的周期性位移ｕ‘展开成关于小参数的渐近展开式：
嵋
％
一
咄
眈
≮，巾酊
錾％口
＝
，ｑ
笙二童望塑些查生墨基宣堡垂堑茎一
“ｒＧ）：Ｈ（。’（ｘ，ｙ）＋ｃｕ（１’Ｇ，），）＋ｓ２ＵＯ）（Ｘ，ｙ）＋…，Ｙ＝ｘ／ｃ．（１－ｌＯ）由于任一函数①对宏观坐标ｘ的偏导数为：
毒＠Ｇ，ｙ＝ｘ／占））＝筹＋１６丝０３＇，
则应变张量ｅ。ｊＪ成为：
《ｂ）＝占。巧”Ｇ，ｙ）＋Ｐ∥ｘ，ｙ）＋衅’ｘ，ｙ）＋＿．?（ｉ－１２）其中蹦（筹＋笏（１—１３）
∥：玎掣＋掣＋掣＋掣］，∽
㈤２９Ｉ反，苏，方，砂，Ｊ７…”
爵－２ｆ１型ｄｘｊ＋等＋筹＋等］，∽㈣
牡玎警＋－对－ａＴ２’＋等＋等扣∽㈣”Ｉ西，方，彦，Ｊ’
将上式带入本构方程中，可以得到应力的渐近展开式：
《Ｇ）＝占“仃ｆ”ｘ，ｙ）＋叮≯ｂ，ｙ）＋叫ｏＧ，ｙ）＋…（ｉ－１７）结合（Ｉ－１Ｉ）式可知：
口乒¨０，ｙ）＝ｃ０Ｇ，ｙ）４”Ｇ，Ｊ，），仃？’ｘ，Ｊ，）＝％Ｇ，ｙ－∥ｘ，ｙ），仃？’ｘ，Ｊ，）＝％ｘ，Ｊ，戡’Ｇ，ｙ），盯：”ｘ，Ｊ，）＝ｃ’归Ｇ，ｙＸ２’ｘ，ｙ），疗≥２（Ｉ－１８）
（Ｉ－ｉ９）
（１－２０）
（１－２１）将（卜１７）式代入平衡方程（卜４）式，并令￡‘（ｉ＝－２，一１，０，１…．）的系数
为零，于是得到一系列控制方程：
衍∥ｘ，Ｙ）砂，
＝０坌ｉ！塾兰！。—Ｏｃｒ：－Ｏ—（ｘ，ｙ）匆Ｊ反Ｊ
（１－２２）
＝０（卜２３）
掣掣＋掣＋，：ｏ∽ｚ。，
谚｜练｜
务．坌芝鱼塑：ｏ．ｎ＞２（ｔ－２５）
防，
两边同乘以甜！“．并在单胞区域Ｙ内积分，有
（卜２６）
Ｌ＂ｊ”《‘”刀，ｄＹ—Ｍｏ：％“删盯＝ｏ（１－２７）
式中“躜＝ａ“搿／砂，
根据周期性边界条件司知（１－２７）式第一项为０，又由弹性矩阵（‰正定性，可得
材∥＝ｏ及甜ｊ∞Ｇ，ｙ）－－甜ｊ吣Ｇ）（１－２８）
由此可见，第０阶解“ｊ∞（，，＂与细观坐标Ｙ无关，是结构的宏观位移。把（卜１４）式中的毋’ｘ，力项展开成如下形式：
Ｐ？’Ｇ，ｙ）＝％０扣’）＋Ｐ硝００’）（１－２９）
舯∥，＝故筹＋割∽ｓ。，
∥Ｇ坊得
∥，Ｇ一和入带式把
Ｐ知∽）＝圭（筹＋刳
于是（１－２３）式就转化为：
（卜３１）
私删忙等８“㈩∽ｓｚ，这是一个关于彰１’ｂ，ｙ）的线性方程，其解可写成非齐次项的线性组合：
甜？’Ｇ，ｙ）＝ｚ？ｃｙｋ（“‘。’Ｇ））（１－３３）设仞●｝是定义在单胞Ｙ中的一个以Ｙ一周期性函数，而ｅ。０‘。’）相当于一个放大因子。
这样（ｉ一３２）式就成为：
参ｂ‰∽）】＋鲁＝。∽ｓ。，将（１－３４）式代入（１－２９）式可得：
Ｐ？’＝Ｐ。－‘∞柳＋‰如“）ｊ（１—３５）其中，ｅ州如“）＝％时／饥＋彰／融），∥是一个四阶单位张量：掣＝％帆颤＋磊靠），６，，是ＫｒｏｎｅｃｋｅｒＤｅｌｔａ记号?
由此（１－１８）成为：
其中
仃∥＝毋◇并ｅ埘０‘。）），子（ｙ只＝ｃ捌口：＋勺。如“）】。
将（１－３５）式代入（１－２２）式，得到Ｙ一域内的平衡方程：
掰◇并．
————————二－５Ｕ
谚，（Ｉ－３６）（１－３７）
（１－３８）
仃（。’（ｘ，．ｙ）是仃‘Ｇ）的渐近展丌式的第二项，称为细观应力场?它考虑了细观波动变化。当￡趋于零时：
盯‘ｂ）一仃‘。’０，ｘ／占）—＇０（１—３９）如果只保留位移和应力瓞Ｊｒ式的前两项，得到Ｑ‘中的位移和应力分和：甜ｊＧ）＝甜Ｐ’Ｇ）＋叨，◇ｋ∞‘。’Ｇ”（１—４０）
《０）＝秽）－ｃ，雌＋Ｐ，ｂ“帆－¨）（１－４１）对于具有Ｙ一周期性的函数ｏ（Ｘ，Ｙ），我们定义其在域内平均值为
（Ｈｚ）
（。）２丽１ｆ①ｂ，ｙ如
同样，对（１－３６）式在Ｙ域内求平均值，得
（盯？’）＝锚ｅ。（”扣’）（１－４３）其中％兰（创）２南ｊｃ帅畦＋‰如“龋，ｒｃｔ州，我们定义％为多孔材料的等效弹性常数，它与细观坐标ｙ无关，对应于等效均质材料的弹性常数．
把（１－２４）式在单胞区域Ｙ内求平均值可得宏观均匀化的总体平衡方程
掣＋，＿ｏ’伽Ｑ。（１－４５）
上式对宏观域甜都是成立的，并且与ｙ无关。注意到（卜２８）式，有
（Ｍ）＝ⅣＰ’ｂ）（ｉ－４６）这表明对单胞位移的体积平均值就是均质材科全场问题的位移。利用（卜３６）式和（卜３８）式求解局部问题，通过（１—４４）式可以获得材料的等效弹性常数，然后求解全场问题（１—４ｊ），并结合式（１—４１），可获得细观结
笙二童望塑些查垄墨茎立堡垄垡茎——构的应力盯：Ｇ）…】。求解全场问题时边界条件为：
（盯？’）甩，＝ｆ
“（ｏ）＝玎
§１．３均匀化有限元格式
。行ｒ
Ｄ”Ｌ
（１－４７）
（１－４８）
将（１～３２）式两边同乘以以Ｙ为周期的广义虚位移勃？，并在单胞区域内
积分，有
工骈参‰铂∽渺＋工骈等甜＝。（１－４９）分部积分后得
４，骈％等啦＋Ｌ勃?％叫ｓ一
‘菇秘１，百ａｓｚ?驴：。ｎ＿∞
由于∥和觑●在单胞区域边界上满足周期性边界条件，故上式中的前两项为零，则有
￡锥Ｏ钆Ｚ“．ｄｙ＋Ｉｒ一筹ＣｗｄＹ＝。ｃ?堋，我们可以发现（ｉ－ｓ１）式是下面势能泛函的一阶变分，
町州＝￡圭挚帅筹仉工筹印ｃ?一ｓｚ，由上式我们可以得到均匀化方法计算等效模量的等参元列式。
对于单胞区域Ｙ。我们将其划分成小的单元Ｙ。，各单元之间满足
ｕＥ＝ｙ，匕ｎＫ＝彩和ａ匕ｎａＫ＝Ｓ∞（ａ，ｂ为任意两个单元）。
对于二维结构的多孔材料单胞，我们采用四节点等参元（见图２－２）进行数值模拟，则与位移相对应的节点等效位移场为：
『ｘ？１ｘ１２２Ｌ—ｘ１１ｘ；２圈２－２四节点等参元
等效位移场与节点值‘ｇ“有如下的线性插值关系：
ｚ：＝ＮＥｑＨ
其中
Ⅳ＝ＩＮ。Ｎ２Ｎ，Ｎ。】
１
Ⅳ，５寺（１＋夤踟＋ｒｌ，ｒ１）（ｊ『＝ｌ，２，３，４）
（孝，，７）代表等参元坐标系，（鲁，仇）是ｆ点的等参元坐标值（ｆ－－Ｉ，２，３，４）。
对于某节点，，其节点的等效位移值是：
钟删：。ｇ？２。碍；２］
。ｇ；２８ｑ：２ｊ．殳
２，Ｙ２）
（１—５４）
（１—５ｓ）
∞‘ｕ
一１（
］●●ｊ他●心２ＸＸ
第一章均匀化方法及其有限元格式
由上面的假定，我们有：
８州（ｚ尸）＝ｅ州（Ｎｅｑ盯）＝［Ｂ】洲ｑｉｔ－５６）
其中：
对单元而言，有
Ｂ＝对应的有限元离散方程为：
其中
旦Ｏ
０ｘ
Ｋ‘ｑ村＝Ｐ［Ｎ】＝Ｐ州（Ⅳ）陋］矿）＝｛Ｐ材）（１－５７）
（１－－５８）
（１—５９）
ｋ】＝ｆ，ｆ。陋ｋ【ｃ】３。，陋】３。。ｈｌＪｌｄＣａ＇ｌ
谚盯｝＝一ｆＩｆｌｃＢＥ，【ｃｋ，ｈｌＪｌｄＣｄ，７
这里Ｃ是单元的刚度矩阵．Ｊ代表Ｊａｃｏｂｉａｎ矩阵．当‘ｑ“由方程（１—５８）解出以后．均匀化后的等效弹性常数即可由方程（１－－４４）得到。
§１．４结论
本章简明扼要地介绍了均匀化理论，并对基于小参数展开的渐近均匀化过程给出了详细的推导和等参元有限元列式。现小结如下：
（１）首先介绍了均匀化理论的发展背景及其应用的现状，并对其基本的思想进行了阐述。
ａ一砂ａ一缸
。旦砂
第一章均匀化方法及其有限元格式
（２）其次，本章对基于小参数渐进展开的均匀化过程给出了详细的推导，并针对均匀化方法得出的细观方程，提出了单变量的泛函和变分原理。
（３）对于二维结构的多孑Ｌ材料单胞，给出了均匀化方法计算等效模量的四节点等参元列式及其离散方程。
关于有限元分析法及其应用举例 摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在 众多领域普遍使用。介绍了它的起源和国内外发展现状。阐述了有限元法的基 本思想和设计方法。并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤 酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。随着计算机的 发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。本文也在其软件开发方面进 行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。并就这一领域的 未来发展趋势进行阐述。 关键词：有限元分析法软件啤酒瓶 Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a modern design theory and methods used widely in in most respects. And this paper introduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinking and approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simple application of finite-element method———the analysis and optimized of an beer bottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .As computers mature and based on the finite element analysis of the software development is growing. This article introduces its application in the software development aspects as well, and briefly states the development and scope of the mainstream software. And it’s also prospect future development tendency in this area . Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle 0 绪论 有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；
有限元法的基本思想及计算步骤 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 用有限元法求解问题的计算步骤比较繁多，其中最主要的计算步骤为： 1）连续体离散化。首先，应根据连续体的形状选择最能完满地描述连续体形状的单元。常见的单元有：杆单元，梁单元，三角形单元，矩形单元，四边形单元，曲边四边形单元，四面体单元，六面体单元以及曲面六面体单元等等。其次，进行单元划分，单元划分完毕后，要将全部单元和结点按一定顺序编号，每个单元所受的荷载均按静力等效原理移植到结点上，并在位移受约束的结点上根据实际情况设置约束条件。 2）单元分析。所谓单元分析，就是建立各个单元的结点位移和结点力之间的关系式。现以三角形单元为例说明单元分析的过程。如图1所示，三角形有三个结点i，j，m。在平面问题中每个结点有两个位移分量u，v和两个结点力分量F x，F y。三个结点共六个结点位移分量可用列
1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学
金属材料金相热处理检验方法标准汇编 一、金属材料综合检验方法 GB／T4677.6—1984金属和氧化覆盖层厚度测试方法截面金相法 GB／T6394—2002金属平均晶粒度测定方法 GB／T6462—2005金属和氧化物覆盖层厚度测量显微镜法 GB／T13298—1991金属显微组织检验方法 GB15735—2004金属热处理生产过程安全卫生要求 GB／T15749一1995定量金相手工测定方法 GB／T18876.1—2002应用自动图像分析测定钢和其他金属中金相组织、夹杂物含量和级别的标准试验方法第1部分：钢和其他金属中夹杂物或第二相组织含量的图像分析与体视学测定 二、钢铁材料检验方法 GB／T224一1987钢的脱碳层深度测定法 GB／T225—1988钢的淬透性末端淬火试验方法 GB／T226—1991钢的低倍组织及缺陷酸蚀检验法 GB／T227—1991工具钢淬透性试验方法 GB／T1814—1979钢材断口检验法 GB／T1979—2001结构钢低倍组织缺陷评级图 GB／T4236一1984钢的硫印检验方法 GB／T4335—1984低碳钢冷轧薄板铁素体晶粒度测定法 GB／T4462—1984高速工具钢大块碳化物评级图 GB／T6401—1986铁素体奥氏体型双相不锈钢中а－相面积含量金相测定法 GB／T7216—1987灰铸铁金相 GB／T9441—1988球墨铸铁金相检验 GB／T9451—2005钢件薄表面总硬化层深度或有效硬化层深度的测定 GB／T10561—2005钢中非金属夹杂物含量的测定标准评级图显微检验法 GB／T11354—2005钢铁零件渗氮层深度测定和金相组织检验 GB／T13299—1991钢的显微组织评定方法 GB／T13302—1991钢中石墨碳显微评定方法 GB／T13305—1991奥氏体不锈钢中а－相面积含量金相测定法 GB／T13320—1991钢质模锻件金相组织评级图及评定方法 GB／T13925—1992铸造高锰钢金相 GB／T14979—1994钢的共晶碳化物不均匀度评定法 GB／T15711—1995钢材塔形发纹酸浸检验方法 GB／T16923—1997钢件的正火与退火 GB／T16924—1997钢件的淬火与回火 GB／T18683—2002钢铁件激光表面淬火 YB／T130—1997钢的等温转变曲线图的测定 YB／T153一1999优质碳素结构钢和合金结构钢连铸方坯低倍组织缺陷评级图 YB／T169一2000高碳钢盘条索氏体含量金相检测方法 YB／T4002—1991连铸钢方坯低倍组织缺陷评级图 YB／T4003—1997连铸钢板坯低倍组织缺陷评级图 YB／T4052—1991高镍铬无限冷硬离心铸铁轧辊金相检验 YB／T5127—1993钢的临界点测定方法(膨胀法) YB／T5128—1993钢的连续冷却转变曲线图的测定方法(膨胀法)
有限元理论基础
有限元理论基础 2.1 数值模拟技术 2.1.1数值模拟技术简介 在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。 在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。 目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。 2.2.2 有限元法 有限元法是一种基于能量原理的数值计算
方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计 算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。 限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。有限元求解问题中的单元分析：t t t a k F= 式中：:t F单元节点作用力。 t K:单元刚度矩阵。 t a：单元节点位移。 通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立 的结构整体平衡方程：P KU=
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
实验五铁碳合金平衡组织的显微观察一．实验目的 1.观察铁碳合金在平衡状态下的显微组织特征。 2.掌握铁碳合金成分，组织性能之间的变化规律。 二、实验器材 1、金相显微镜 2、金相标准试样 四．实验原理 铁碳合金室温下基本相和组织组成物的基本特征 1.铁素体（F）是碳溶入α-Fe中的间隙固溶体，晶体结构为体心立方晶格，具有良好的塑韧性，但强度硬度低，经4%硝酸酒精浸蚀呈白色多边形晶粒，在不同成分的碳钢中其形态为块状和断续网状。 2.渗碳体（Fe3C）是铁与碳形成的化合物，含碳量为6.69%。 晶格为复杂的八面体结构，硬度高，脆性大，用4%的硝酸酒精浸蚀后呈白色，用碱性苦味酸钠热蚀后呈黑色，用此法可以区分铁碳合金中的渗碳体和铁素体。由铁碳相图知，随着碳的质量分数的不同，渗碳体有不同的形态，一次渗碳体是由液态直接析出的渗碳体，呈白色长条状；二次渗碳体是从奥氏体中析出的渗碳体，呈网状分布，三次渗碳体是从铁素体中析出的渗碳体，沿晶界呈小片状，共晶渗碳体在莱氏体中为连续基体，共析渗碳体是同铁素体交替形成呈交替片状。
3.珠光体（P ） 是铁素体与渗碳体的机械混合物，在平衡状态下，铁素体和渗碳体是 片层相间的层状组织。在高倍下观察时铁素体和渗碳体都呈白色， 渗碳体周围有圈黑线包围着，在低倍下当物镜的鉴别能力小于渗碳体厚度的时候，渗碳体就成为一条黑线。见图3-1。 五。实验内容及步骤 观察以下铁碳合金组织 在铁碳状态图上，根据碳的质量分数的不同，铁碳合金分为工业纯铁，碳钢及白口铸铁。 1.工业纯铁 碳的质量分数小于 0.0218%的铁碳合金称为工业纯铁。室温下的组织为单相的铁素体晶粒。用4%的硝酸酒精浸蚀后，铁素体呈白色。当碳的质量 分数偏高时，在少数铁素体晶界上析出微量的三次渗碳体小薄片，见图 3-2。 2.碳钢 碳的质量分数在0.0218～2.11%范围内的铁碳合金称为碳钢，根据钢中含碳 图 3-2 工业纯铁显微组织 a （15000×） b （400×） 图2-1 不同放大倍数下珠光体的显微组织
1电磁仿真算法中的有限元法 1.1常规的电磁计算方法简介 从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。 ⑴矩量法 矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。 (2)单矩法 单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。 (3)时域有限差分法 时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界
金相检测步骤详细版 第一步：试样选取，部位确定及截取方式 选择取样部位及检验面，此过程综合考虑样品的特点及加工工艺，且选取部位需具有代表性。金相试样的选取及尺寸： 取样部位的选取应根据待检材料的特点、加工工艺以及热处理过程而定。生产中的常规检验所用试样的的取样方向、部位和数量在产品标准或相应的技术条件中都有规定。通常试样的尺寸大小以便于握持、易于磨制为准，建议尺寸为直径15mm、高15～20mm的圆柱体或边长为15～25mm的立方体。 a、对于失效分析材料，应在失效部位和未失效部位分别取样，进行比对分析，便于研究其失效原因。 b、对于铸件，应从表面到心部，上部至下部观察其组织差异。 c、对于热处理后的工件，由于其金相组织均匀，可截取任意一截面进行观察，但如果试样表面进行处理（如表面化学处理、镀层等）取样时应垂直于表面，以便观察其组织和测量表面处理层厚度。 d、对于加工（如轧制、型材、锻件等）过的试样，若要分析工件表层有无脱碳、折迭等缺陷和检验晶粒度大小，应横向取样；若要研究夹杂物、组织变形程度等，应纵向取样。 中国船舶重工集团公司第七二五研究所（洛阳船舶材料研究所）试验测试与计量技术研究中心是中国船级社（CCS）授权的船舶材料验证试验机构，具备集高、精、尖仪器设备和先进的软件分析技术于一体的评价手段，可快速进行金相检测、性能检测，并能全方位的开展失效分析及安全寿命评估、材料及构件工程适应性评价等工作。 第二步：镶嵌。 如果试样的尺寸太小或者形状不规则，则需将其镶嵌或夹持。 第三步：试样粗磨。 粗磨的目的是平整试样，磨成合适的形状。一般的钢铁材料常在砂轮机上粗磨，而较软的材料可用锉刀磨平。 第四步：试样精磨。 精磨的目的是消除粗磨时留下的较深的划痕，为抛光做准备。对于一般的材料磨制方法分为手工磨制和机械磨制两种。 第五步：试样抛光。 抛光的目的是把磨光留下的细微磨痕去除，成为光亮无痕的镜面。一般分为机械抛光、化学抛光、电解抛光三种，而最常用的为机械抛光。
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
我对有限元方法的认识 1有限元法概念 有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。 针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。 有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。 有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。 这种思想自古有之：古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法：即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个方向逼近真解。 近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源、科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。 国际上早在 60 年代初就开始投入大量的人力和物力开发有限元分析程序。“有限单元”是由Clough R W于1960年首次提出的。但真正的有限元分析软件是诞生于 70 年代初期，随着计算机运算速度的提高，内、外存容量的扩大和图形设备的发展，以及软件技术的进步，发展成为有限元分析与设计软件，但初期其前后处理的能力还是比较弱的，特别是后处理能力更弱。
2.1.1 有限元法基本原理（Basic Theory of FEM） 有限元法的基本思想是离散的概念，它是指假设把弹性连续体分割成数目有限的单元，并认为相邻单元之间仅在节点处相连。根据物体的几何形状特征、载荷特征、边界约束特征等，选择合适的单元类型。这样组成有限的单元集合体并引进等效节点力及节点约束条件，由于节点数目有限，就成为具有有限自由度的有限元计算模型，它替代了原来具有无限多自由度的连续体[24][25]。 有限元法从选择基本未知量的角度来看，可分为三类：位移法、力法和混合法。以节点位移为基本未知量的求解方法称为位移法；以节点力为基本未知量的求解方法称为力法；一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量的求解方法称为混合法。由于位移法通用性强，计算机程序处理简单、方便，成为应用最广泛的一种方法[26]。 有限元法的求解过程简单、方法成熟、计算工作量大，特别适合于计算机计算。再加上它有成熟的大型软件系统支持，避免了人工在连续体上求分析解的数学困难，使其成为一种非常受欢迎的、应用极广泛的数值计算方法[27]。 2.1.2 有限元法基本步骤（Basic Process of FEM） 有限元法求解各种问题一般遵循以下的分析过程和步骤[28][29]： 1. 结构的离散化 结构的离散化是进行有限元法分析的第一步，它是有限元法计算的基础。将结构近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的计算模型，习惯上称为有限元网格划分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来，而单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定。所以有限元法分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同种材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果是近似的。显然，单元越小（网格越密）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量将增大，因此结构的离散化是有限元法的核心技术之一。有限元离散过程中又一重要环节是单元类型的选择，这应根据被分析结构的几何形状特点、载荷、约束等因素全面考虑。 2. 位移模式的选择 位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数，位移模式的选择是有限元特性分析的第一步。由于多项式的数学运算比较简单、易于处理，所以通常是选用多项式作为位移函数。选择合适的位移函数是有限元分析的关键，它将决定有限元解的性质与近似程度。位移函数的选择一般遵循以下原则（有限元解的收敛条件）：
材料课件实验一光学金相 组织观察方法 Jenny was compiled in January 2021
实验一光学金相组织观察方法 目的 1．了解光学金相组织观察方法及步逐； 2．了解光学金相显微镜的结构，熟悉其使用的基本方法； 3．了解光学金相样品的制备过程，体会制过程对观察组织的影响。光学金相显微镜的结构 为观察材料的显微组织，必须借助显微镜，大家可能用过生物显微镜，知道其大致结构有：物镜、目镜、粗调、微调等，生物样品是透明的，可用自然光。 工程材料，如金属材料，是不透明的，成像利用的是反射光，因此在光学金相显微镜中，结构上明显特点是有一套照明设备，现用显微镜的照明设备包括：电源、变压器、灯泡、透镜组——得到平行光，经过孔径光栏、滤色片、视场光栏，再经过物镜照射到试样上。经过试样的反射光进入物镜经过一次放大，再经过目镜的再次放大，我们看到的是经过二次放大的虚像。因为最后看到的像和各人的视力的影响，不同人观察时对显微镜要进行微调。
显微组织成像原理 如图所示，从透镜内垂直照射 到试样上的平行光，将发生反射和 吸收。如果试样是镜面，光线全部 原路返回，最后成像为亮点；如果 试样有不平的沟槽，部分光线反射后不能进入物镜，这样这些地方成像为暗区。有明有暗就构成了表面的图象，就是我们观察到的组织形貌。金相试样的制备方法 取样：从材料或零件上截取准备观察的样品，要求组织要有代表性，大小要适合制样和观察，尺寸过小的还要进行镶嵌。 打平：让观察面宏观为平面，用砂轮、锉刀或其它方法来实现。 磨光：用不同粒度的金相砂纸，从粗到细依次细磨，让其粗糙度不断减小。细磨的方法有干磨和湿磨，可用手工细磨和机械细磨。
有限元法的理论基础-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元
百度文库- 让每个人平等地提升自我 第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来 有限元分析方法介绍 计算机软硬件技术的迅猛发展，给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化，数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果，根据不同行业的需求，不断扩充、更新和完善。 有限单元法的形成 近三十年来，计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步，诞生了商业化的有限元数值分析软件，并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE（Computer Aided Engineering）。这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性，使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员，CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展，CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中，作为产品上市前必不可少的环节。CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性： ?CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。 ?虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。 ?大幅度地降低产品研发成本。 ?在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。 ?能够快速对设计变更作出反应。 ?能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。 ?能够精确预测出产品的性能。 ?增加产品和工程的可靠性。 ?采用优化设计，降低材料的消耗或成本。 ?在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。 ?模拟各种试验方案，减少试验时间和经费。 ?进行机械事故分析，查找事故原因。 当前流行的商业化CAE软件有很多种，国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是由美国国1
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
金相实验的原理和方法 一实验目的: 金属材料的使用通常遵循着“成分—组织—性能”的相互关系。金相即金相学，就是研究金属或合金内部结构的科学。不仅如此，它还研究当外界条件或内在因素改变时，对金属或合金内部结构的影响。所谓内在因素主要指金属或合金的化学成分。所谓外部条件就是指温度、加工变形、铸造情况等。 二试验设备： 1. 金相试样切割机 2. 砂轮机 3. 镶嵌机 4. 预磨机 5. 抛光机 6. 腐蚀液 7. 金相显微镜 8. 摄影系统及电脑 三试验原理： 金相试验是将欲检验之试片表面经言磨抛光（或化学抛光、电化学抛光）至一定的要求光滑后，以特定的腐蚀液于以腐蚀，利用各相或同一相中方向不同对腐蚀程度的不同而能表现出各相之特征，并利用显微镜放大倍率观察判断之。
四试验方法： 1.试片之准备： 为使试片能合乎观察的要求必须以如下之步骤处理之。 (1)取样(SAMPLING): 取样必须考虑其整体或研究的主题的代表性，如材料属方向性者则应依各方面皆取样观察：如品管检查则可随机取样如破坏原因分析可取性质较差的材料以凸显破坏原因以利观察等等。 (2)切割(SECTIONING): 如材料硬度低则可直接用锯子予以切割，如硬度较高则可使用砂轮切割，但必须慎选砂轮，且切割时须冷却以避免因切割过程所产生的热对材料组织的影响。 (3)粗磨(COARSE GRINDING): 用砂轮机去除试片的毛边，并用较粗的砂纸(#80左右)或沙袋机磨平且可除去可能因切割所产生的变态层。 (4)嵌模(MOUNTING): 嵌模之目的为使试片握持方便或保持试片边缘之完整，如不考虑这两种因素，则此步骤可省略 嵌模的方法有两种，即热嵌模(Hot Molding)及冷嵌模(Cold Molding)。热嵌模亦称为加压嵌模(Compression Molding)，方法为将试片表面朝下置于金属磨中(一般内径为111/4及11/2等三种)再填以适量之树脂，如酚树脂(如电木粉、Bakelite)，预热至60~80℃后即加压至4,200PSI左右之压力，并继续加热至130~140℃，持热
有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插