第二章静电场
本章我们把电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场
本章内容：
1.静电场的标势及其微分方程
2. 唯一性定理
3. 分离变量法
4. 镜像法
5. 格林函数法
6. 电多级矩
??
?=??=×?ρ
D E 0麦克斯韦方程组的电场部分为：
（1.1）（1.2）
这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础
●静电场的无旋性是它的一个重要特性
●
由于无旋性，电场强度E 可以用一个标量场的梯度
来表示，和力学中用势函数描述保守力场的方法一样
讨论：
(a) 只有两点的电势差才有物理意义
(b) 在实际计算中，常常选取某个点为参考点，规定其上的电势为零，这样全空间的电势就完全确定了
(d) 一个具体问题中只能选一个零势点
∫∞
?=P
P l
E d )(?(c) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选取无穷远的电势为零0
)(=∞?
（2）给定电荷分布所激发的电势
根据电势和电场强度的关系:
●当已知电场强度时,可以由积分公式求出电势●已知电势时，通过求梯度就可以求出电场强度
由以上讨论可知:
①若空间中所有电荷分布都给定，则电场强度和电势均可求出
②但实际情况往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须找出电荷与电场相互作用的微分方程
P 2，由于电场强度时，将电荷从P 1 移到P 2，电场
σ?
郭硕鸿《电动力学》课后答案
第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=
电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 21??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ? = ρ，利用电荷守恒定律0=??+ ??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?=的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
电动力学答案 第一章电磁现象得普遍规律 1、根据算符得微分性与向量性,推导下列公式: ２。设就是空间坐标得函数,证明: ,, 证明: 3。设为源点到场点得距离,得方向规定为从源点指向场点。 (1)证明下列结果,并体会对源变量求微商与对场变量求微商得关系: ; ; ; , 。 (２)求,,, ,及 ,其中、及均为常向量。 4。应用高斯定理证明,应用斯托克斯(Sｔokeｓ)定理证明 5、已知一个电荷系统得偶极矩定义为,利用电荷守恒定律证 明ｐ得变化率为: 6。若ｍ就是常向量,证明除点以外,向量得旋度等于标量得梯度得负值,即,其中Ｒ为坐标原点到场点得距离,方向由原点指向场点、 ７、有一内外半径分别为与得空心介质球,介质得电容率为,使介质球内均匀带静止自由电荷,求:(１)空间各点得电场;(２)极化体电荷与极化面电荷分布。 8. 内外半径分别为与得无穷长中空导体圆柱,沿轴向流有恒定 均匀自由电流,导体得磁导率为,求磁感应强度与磁化电流。９.证明均匀介质内部得体极化电荷密度总就是等于体自由电荷密度得倍。 １０、证明两个闭合得恒定电流圈之间得相互作用力大小相等方向相反(但两个电流元之间得相互作用力一般并不服从牛顿第三定律) 11。平行板电容器内有两层介质,它们得厚度分别为与,电容率为与,今在两板接上电动势为Ｅ得电池,求:(1)电容器两极板上得自由电荷面密度与; (2)介质分界面上得自由电荷面密度。(若介质就是漏电得,电导 率分别为与当电流达到恒定时,上述两物体得结果如何？) 12、证明: (1)当两种绝缘介质得分界面上不带面自由电荷时,电场线得曲折满足 其中与分别为两种介质得介电常数,与分别为界面两侧电 场线与法线得夹角。 (2)当两种导电介质内流有恒定电流时,分界面上电场线得曲折满足 其中与分别为两种介质得电导率。 13。试用边值关系证明:在绝缘介质与导体得分界面上,在静电情况下,导体外得电场线总就是垂直于导体表面;在恒定电流情况下,导体内电场线总就是平行于导体表面。 14。内外半径分别为ａ与b得无限长圆柱形电容器,单位长度荷电为,板间填充电导率为得非磁性物质。 (1)证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消,因此 内部无磁场。 (２)求随时间得衰减规律、 (3)求与轴相距为得地方得能量耗散功率密度、 (4)求长度l得一段介质总得能量耗散功率,并证明它等于这段得 静电能减少率。 第二章静电场 1、一个半径为Ｒ得电介质球,极化强度为,电容率为。 (1)计算束缚电荷得体密度与面密度:
第二章 习 题 1. ε ε0 R (1) 2 2 323222323211r K r K r r K r K r r K r K r K r K P -=-?--=-?--=??-??? ? ???-=??? ????-=?-?=r r r r r P ρ ()2 P R K K R R σ∧ ∧ =?=?=r P R n r (2) E E P 0001εεεεχ??? ? ??-==e ()2 K r εε=ε= =ε-εε-ε00P r D E () 2r K f 0r D εεερ= ??-=??= (3) R r <<0 ()r K r E d r 2 2 4? ??-==?εεεπε0S D ()r K E 0εε-= R r > ()r K r E d R 2 2 04???-==?εεεπε0S D ()2 00r KR E εεεε-= ()()r KR dr r KR r out 002 00 εεεεεεεε?-=-=? ∞ ()()()()??? ? ??+??? ??-= ? ? ? ??-+-=-+-=??∞ 000000200ln ln εεεεεεεεεεεεεεεε?r R K r R K K dr r K dr r KR R R r in (4) ()()()()2 000202002 0200202 02 00212ln ln 2ln ln 2ln 24ln 2121 ? ??? ??-???? ? ?+=???? ??++--=???? ? ?++--= ???? ? ?+??? ??-= ???? ??+??? ??--== ??????εεεεπεεεεεπεεεεεπεεεεεπεπεεεεεεε?ρK R R R R R R R K dr R r K dr r R K dr r r R K r K dV W R R R in f e 0 2. (1) 边界条件：设未放置导体球时，原点电位 为0?，任意点电位则为 ?-=?-=z R E d 0 0001cos θ???0l E 球外空间0=ρ，电位?满足拉普拉斯方程 02=?? 解为：()∑∞ =+??? ? ? +=01cos n n n n n n P R b R a θ? 放入导体球后：01, ??→∞→R
电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?= ?d d )(， u u u d d )(A A ? ?=??， u u u d d )(A A ??=?? 证明：
3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-= 为源点'x 到场点 x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。 （1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系： r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。 （2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及 )]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。 4. 应用高斯定理证明 f S f ?=????S V V d d ，应用斯托克斯 （Stokes ）定理证明??=??L S ??l S d d
5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t V x x p ?=ρ，利用电荷守恒定律0 =??+??t ρ J 证明p 的变化率为：?=V V t t d ),'(d d x J p 6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3 /R ）（R m A ?= 的旋度等于标量3 /R R m ?=?的梯度的负值，即 ?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原 点指向场点。
1. 根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式 ?(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar × (?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2 ? (Ar ??)Ar 2 解 1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av + Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv 首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ?将作用于 Av 和Bv 又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 cv × (av ×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 B v v 2 根据第一个公式 令 A B 可得证 2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数 证明 ?f (u) = df ?u du ?? Ar(u) = ?u ? dAr du r ?× Ar(u) = ?u × . dA du 证明 1 ?f (u) = ?f (u) er x + ?f (u) er y + ?f (u) er z = df du ? e x + r ?u er y + df ?ur ? ? e z = df ?u ?u ?x ?y ?z du ?y du ?z du 2 ?Ar y (u) ?y dAr y (u) du ?Ar x (u) + ?x + ?Ar z z(u) = dAr x (u) ? ?u + ? ?u + dAr z (u) ? ?u r ?z = ?u ? du ?? Ar(u) = dA ?z du ?x ?y dz 3 r r r e z ? e e ?Ar y )er x + (?Ar ? ?z ?Ar ?Ar x )er z = ?y r r x y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )e y + ( y ? ?x ? ? A A r z z ?x ?y A y (u) A z (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u)
第二章 静 电 场 静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场 一．主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。 本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。 首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。 知 识 体 系： 1.静电场的微分方程：0=??E D ρ??= 边值关系：() 12-?E E n () 21n D D σ?-= 静电场的能量：12W E DdV ∞= ??1 2 V W dV ρ?=? 2.静电边值问题的构成： 引入电势： 12 212 1 S S S S n n ? ???εεσ ?=????-=-????
2 1122121 S S S S S S n n n ρ?ε????εεσ????=-?? =?? ???-=-???? ????? 或 3．静电边值问题的基本解法： （1）镜像法 （2）分离变量法 条件：电势满足拉普拉斯方程：20??= （3）电多极矩 (4) 格林函数法 二．内容提要： 1．静电场的电势及其微分方程： （1）电势和电势梯度 因为静电场为无旋场,即0=??E ，所以可以引入标量函数?，引入 后 ?-?=E 电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义
第一章电磁现象的普遍规律 一、主要内容： 电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。完成由普通物理到理论物理的自然过渡。 二、知识体系： 三、内容提要： 1．电磁场的基本实验定律： （1）库仑定律：
对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即： （2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） （3）电磁感应定律 ①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。 ②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 （4）电荷守恒的实验定律 , ①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。 ② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。 稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。 2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程 其中：
1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。 2当，过渡到真空情况： 3当时，回到静场情况： 4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。介质中： 3、介质中的电磁性质方程 若为非铁磁介质 1、电磁场较弱时：均呈线性关系。 向同性均匀介质： ，， 2、导体中的欧姆定律 在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。 4．洛伦兹力公式 考虑电荷连续分布，
第四章 电磁波的传播 电磁波：随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空间互相激发，在空间以波动的形式存在，就是电磁波 主要内容：研究电磁场在空间存在一定介质和导体的情况下的波动情况;在真 空与介质，介质与介质，介质与导体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等，这些本质上是边值问题。电磁波在空间传播有各种各样的形式，最简单、最基本的波型是平面电磁波。 知识体系： 1．自由空间（介质）：指0=ρ，0=J 的无限大空间. 麦氏方程为： ??? ? ? ?? ??=??=????=????-=??00B D t D H t B E 定态波 220B k B i E B ωεμ?+==? ????? ? -----定态波亥姆霍兹方程 基本解：()() 0,i k x t E x t E e ω?-=，()() 0,i k x t B x t B e ω?-= 性质：（1）B 与E 的关系：E k B ?=ω B E ⊥，() k B E ,,构成右手螺旋关系 （2）B 与E 同位相； （3）E v B k ω===振幅比为波速（因为k B E ,,相互垂直，E k B ω=）。 （4）平面电磁波的能量和能流 ● 能量密度：() ??? ? ??+=?+?=2212121B E B H D E w με ，με22 B E w == 电场能等于磁场能，能量密度平均值为202 1E w ε= ● 能流密度：S E H vwn =?= （n 为k 方向上的单位矢量）
平均值：() n E H E S 2021Re 21μ ε=?=* 1． 良导体：0ρ≈，J E σ= 00B E t D H E t D B σ????=-? ?? ????=+??? ???=? ??=? 220 B k B i E B ωεμ'?+==?? ??' 基本解：()()()00,i k x t i x t x E x t E e E e e ωβωα'?-?--?==， 2 2k i i k βασεεωωμε?'=+? ?'=+??'=?? 2． 电磁波在界面反射和折射 ( )() ???=-?=-?0 01212H H n E E n 3． 谐振腔 定态波：???? ??? ??=?=???-==??=+?) (00022一般未知ααωμ H n E n E i H E E k E 在求解中主要用到???????=??=?=??=+?00002 2S n n E E n E E k E （1）解为：?????????? ?=++===0 cos sin sin sin cos sin sin sin cos 332211 32133 2123211A L p A L n A L m z L p y L n x L m A E z L p y L n x L m A E z L p y L n x L m A E z y x π πππ πππ ππ 两个独立常数由激励谐振的信号强度来确定。 A ． 入射波，反射波，折射波波矢量位于同一平面， k k '=，θθ'=（反射定律） B ． 1221121 12221sin sin n n n v v ==≈==''εεμεμεθθ（折射定律）
第六章 狭义相对论 主要内容：讨论局限于惯性系的狭义相对论的时空理论，相对论电动力学以及相 对论力学 一．狭义相对论基本原理： 1、相对性原理（伽利略相对性原理的自然扩展） （1）物理规律对于所有惯性系都具有完全相同的形式。 （2）一切惯性系都是等价的，不存在绝对参照系 2、光速不变原理 真空中光速相对任何惯性系沿任何一个方向大小恒为c ，且与光源运动速度无关。 二．洛仑兹变换： 坐标变换：2x 'y 'y z 'z v t x t '? ==?? ? =? ? ?=? ?-?= ? ?? 逆变换： 2x y y 'z z 'v t 'x t ? =??? =???=? ?-?= ? ?? 速度变换：2 1x x x u v u vu c -'== - ， 2 1y x u c '= - ， 2 1z x u c '= - 三．狭义相对论的时空理论： 1．同时是相对的：在某一贯性参考系上对准的时钟，在另一相对运动的贯性参考系观察是不对准的。 2．运动长度缩短：沿运动方向尺度收缩。其中v 是物体相对静止系的速度； l l = 3．运动时钟延缓：运动物体内部发生的自然过程比静止的钟测到的静止物
体内部自然过程经历的时间延缓。 2 2 1c t ν τ-?= ? ⑴ 运动时钟延缓：τν ?>?∴<-t c 112 2 只与速度有关，与加速度无关； ⑵ 时钟延缓是相对的，但在广义相对论中延缓是绝对的； ⑶ 时钟延缓是时空的另一基本属性，与钟的内部结构无关； ⑷ 它与长度收缩密切相关。 四．电磁场的洛仑兹变换: 112233 32()()γγ'=??'=-??'=+?E E E E vB E E vB 11 2232 3 322()()γγ??'=? ? '=+?? ? '=-?? B B v B B E c v B B E c 五．相对论力学： 1．运动质量： m = 2 ．相对论动量： p m v == 3．质能关系：物体具有的能量为 24 W m c c = 4 ．相对论动能：()2 2 2 000T W W m c m m c =-==- 5．相对论力学方程： dp F dt dW F v dt = ?= 本章重点：1、狭义相对论基本原理、洛仑兹变换并熟练利用洛仑兹变换解决具 体问题 2、理解同时的相对性和尺缩、钟慢效应，并会利用相关公式计算.