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2021年上海市闵行区九年级数学一模试卷含答案

闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试

数 学 试 卷

(测试时间:100分钟,满分:150分)

1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.

2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.

3.本次考试不可以使用科学计算器.

一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)

1.下列函数中,是二次函数的是

(A )223y x x

=--; (B )22(1)y x x =--+; (C )21129y x x =+; (D )2y ax bx c =++.

2.已知在Rt △ABC 中,90C ∠=?,B β∠=,AB = 5,那么AC 的长为

(A )5cos β; (B )5sin β; (C )5cos β; (D )

5sin β. 3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y a x b x c =++图像经过点O (0,0),那么根据图像,下列判断中正确的是

(A )0a <; (B )0b >;

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(C )0ab >; (D )0c =.

4.以下说法错误的是

(A )如果0k a =,那么0a =;

(B )如果2a b =-,那么2a b =; (C )如果23a b =(b 为非零向量),那么a //b ; (D )如果0a 是与非零向量a 同方向的单位向量,那么0a a a =.

5.已知⊙A 与⊙B 的半径分别是6和8,圆心距AB = 2,那么⊙A 与⊙B 的位置关系是

(A )相交; (B )内切; (C )外切; (D )内含.

6.古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度(上半身的长度)与肚脐至足底的长度 (下半身的长度)的比值为“黄金分割数”时,人体的身材是最优美的.一位女士身 高为154cm ,她上半身的长度为62cm ,为了使自己的身材显得更为优美,计划选择 一双合适的高跟鞋,使自己的下半身长度增加.你认为选择鞋跟高为多少厘米的高 跟鞋最佳?

(A )4cm ; (B )6cm ; (C )8cm ;

(D )10cm . 二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)

7.如果230a b b =≠(),那么a b

= ▲ . 8.化简:12(3)33

a b b -

++= ▲ .

9.抛物线23y x x =--在对称轴的右侧部分是 ▲ 的(填“上升”或“下降”).

10.将抛物线22y x x =+向下平移1个单位,那么所得抛物线与y 轴的交点的坐标为

▲ .

11.已知两个相似三角形的相似比为4︰9,那么这两个三角形的周长之比为 ▲ .

12.在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,且DE // BC ,如果25

DE BC =, 那么AE EC

= ▲ . 13.在直角坐标平面内有一点A (12,5),点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角

为θ,那么cos θ= ▲ .

14.在港口A 的南偏东52?方向有一座小岛B ,那么从小岛B 观察港口A 的方向是

▲ .

15.正六边形的边心距与半径的比值为 ▲ (结果保留根号).

16.如图,在△ABC 中,AB = 2AC ,点D 在边AB 上,且∠ACD =∠B , 那么ACD ABC

S S ??= ▲ . 17.如图,在Rt △ABC 中,∠C = 90°,5AB =,3BC =,点P 在边AC 上,⊙P 的半

径为1.如果⊙P 与边BC 和边AB 都没有公共点,那么线段PC 长的取值范围是 ▲ .

18.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB = 90°,AB = 3,1tan 2

B =.将△AB

C 绕着点A 顺时针旋转后,点B 恰好落在射线CA 上的点

D 处,点C 落在点

E 处,射线DE 与边AB 相交于点

F ,那么BF = ▲ .

三、解答题:(本大题共7题,满分78分)

19.(本题满分10分) 计算:24sin 452cos60cot 30tan 601

??-?+?-.

B P

C A . (第17题图) A B C (第16题图)

D B A C (第18题图)

A B C E D F (第23题图) A

B C D E O (第21题图) . 20.(本题共2小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,满分10分)

如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O .E 为OC 的中点,联结BE 并延长,交边CD 于点F .设BA a =,BC b =.

(1)填空:向量AE = ▲ ;

(2)填空:向量BF = ▲ ,并在图中画出向

量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量.

(注:本题结果用含向量a b 、的式子表示.画图不要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)

21.(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB 长为4,AB AC =,联结CO 并延长,交边AB 于点D ,交AB 于点E ,且E 为AB

的中点.

求:(1)边BC 的长; (2)⊙O 的半径.

22.(本题共2小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,满分10分) 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度,通常会

在下引桥处设置电子眼进行区间测速.如图,电子

眼位于点P 处,离地面的铅垂高度PQ 为9米.区

间测速的起点为下引桥坡面点A 处,此时电子眼的

俯角为30?;区间测速的终点为下引桥坡脚点B 处,

此时电子眼的俯角为60?(A 、B 、P 、Q 四点在同

一平面).

(1)求路段BQ 的长 (结果保留根号);

(2)当下引桥坡度1:23i =时,求电子眼区间测速路段AB 的长 (结果保留根号).

23.(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

如图,点E 为△ABC 边BC 上一点,过点C 作

CD BA ⊥,交BA 的延长线于点D ,交EA 的延长线

于点F ,且AF CD BC AD ?=?.

(1)求证:AE BC ⊥;

(2)如果BE CE =,求证:22BC BD AC =?.

(第22题图) P Q A B v (第20题图) A C E D O B F

24.(本题共3小题,每小题4分,满分12分)

在平面直角坐标系xOy 中,如果抛物线2y ax bx c =++上存在一点A ,使点A 关于坐标原点O 的对称点A ′也在这条抛物线上,那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线,点A 叫做这条抛物线的回归点.

(1)已知点M 在抛物线224y x x =-++上,且点M 的横坐标为2,试判断抛物线224y x x =-++是否为回归抛物线,并说明理由;

(2)已知点C 为回归抛物线22y x x c

=-+的顶点,如果点C 是这条抛物线的回归点,求

这条抛物线的表达式;

(3)在(2)的条件下,所求得的抛物线的

对称轴与x 轴交于点D .联结CO 并延长,交该

抛物线于点E .点F 是射线CD 上一点,如果∠CFE =∠DEC ,求点F 的坐标.

25.(本题满分14分,其中第(1)小题4分、第(2)、(3)小题各5分) 如图,在矩形ABCD 中,2AB =,1AD =,点E 在边AB 上(点E 与端点A 、B 不重合),联结DE ,过点D 作DF ⊥DE ,交BC 的延长线于点F ,联结EF ,与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H .设AE x =,DH y =.

(1)求证:△ADE ∽△CDF ,并求EFD ∠的正切值;

(2)求y 关于x 的函数解析式,并写出该函数的定义域;

(3)联结BG .当△BGE 与△DEH 相似时,求x 的值.

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(第25题图)

x

y

O

(第24题图)

(备用图)

闵行区2020学年第一学期九年级质量调研考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题:

1.C ; 2.B ; 3.D ; 4.A ; 5.B ; 6.C .

二、填空题:

7.32

(或3︰2); 8.a b -+; 9.下降; 10.(0,-1); 11.4︰9(或49); 12.23(或2︰3); 13.1213; 14.北偏西52?;

15

; 16.14(或1︰4); 17.713

PC <<; 18

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.3- 三、解答题: 19.解:

原式24122?=?…………………………………………………(8分)

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11)=………………………………………………………(1分)

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2=………………………………………………………………………(1分)

20.解:(1)3344a b -+.(4分) (2)13

a b +.(4分)画图及结论正确.…(2分) 21.解:(1)∵CE 过圆心O ,E 为AB 的中点,∴CE 垂直平分弦AB . ………(1分)

∴AC = BC .……………………………………………………………(1分) ∵AB AC =,∴AB = AC .……………………………………………(1分) ∴BC = AB .……………………………………………………………(1分) ∵AB = 4,∴BC =4.……………………………………………………(1分)

(2)联结AO .

∵AB = AC ,AC = BC ,∴AB = AC = BC .∴△ABC 是等边三角形.

∴∠ACB =∠BAC = 60°.………………………………………………(1分)

又∵CD ⊥AB ,∴AD = BD = 2,1302

ACD ACB ∠=∠=?.…………(1分) ∵OA = OC ,∴∠OAC =∠OCA = 30°.

又∵∠OAC +∠OAD =∠BAC = 60°,∴∠OAD = 30°.……………(1分) 在Rt △ADO 中,∠ADO = 90°,得cos AD OAD AO ∠=

∴2cos cos30AD AO OAD =

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==∠?.…………………………………(2分)

22.解:(1)过点P 作PM // BQ .

根据题意可知:∠PQB = 90°,∠MP A = 30°,∠MPB = 60°.

∵PM // BQ ,∴∠MPB =∠PBQ .∵∠MPB = 60°,∴∠PBQ = 60°.(1分)

在Rt △PQB 中,∠PQB = 90°,得cot BQ PBQ PQ

∠=.

∵PQ = 9,∴=cot 9cot 60BQ PQ PBQ ?∠=??=2分)

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∴路段BQ 的长为……………………………………………(1分)

(2)过点A 作AH // BQ 交PQ 于H ,过点A 作AG ⊥BQ 交QB 延长线于点G .

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………………………………………………………………………… (1分)

设AG =x ,则BG =.

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根据题意可得:∠PHA = 90°,HQ =AG =x ,PH =9– x ,AH =GQ =.

∵AH // BQ ,PM // BQ ,∴PM // AH .∴∠P AH =∠MP A ,∴∠P AH =30°.

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在Rt △PHA 中,∠PHA = 90°,得cot AH PAH PH

∠=,cot AH PH PAH =?∠.

∴=cot30(9)x ??-,得)x -.………(2分)

解得x =2.………………………………………………………………(1分)

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∴AG =2,BG =

∵AG ⊥BQ ,∴∠AGB = 90°.

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在Rt △ABG 中,∠AGB = 90°,AG = 2,BG =,

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利用勾股定理,得AB =1分)

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∴电子眼区间测速路段AB 的长为米.…………………………(1分)

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23.证明:(1)∵AF CD BC AD ?=?,∴AF AD BC CD

=.……………………………(1分) ∵CD ⊥BA ,∴∠ADF =∠ADC = 90°.……………………………(1分)

在Rt △ADF 与Rt △CDB 中,

AF AD BC CD

=. ∴Rt △ADF ∽Rt △CDB .∴∠F =∠B .……………………………(2分) 又∵∠ADF +∠F +∠F AD =180°,∠AEB +∠B +∠BAE =180°,

且∠F AD =∠BAE .∴∠AEB =∠ADF = 90°.

∴AE ⊥BC .…………………………………………………………(2分)

(2)∵AE ⊥BC ,BE = CE ,即AE 是BC 的垂直平分线.∴AB = AC .

∴∠B =∠ACB .………………………………………………………(1分)

又∵AE ⊥BC ,∴90AEC ∠=?,

又∵∠ADC = 90°,∴∠AEC =∠ADC

∴△AEC ∽△CDB .…………………………………………………(1分) ∴

CE AC BD BC

=.………………………………………………………(1分) ∴BC CE BD AC ?=?.………………………………………………(1分)

∵BE = CE ,∴12

CE BC =.………………………………………(1分) ∴12

BC BC BD AC ?=?.即22BC BD AC =?.……………………(1分) 24.解:(1)抛物线224y x x =-++是回归抛物线. ……………………………(1分)

理由如下,当2x =时,将其代入224y x x =-++中,得

222244y =-+?+=.

∴M (2,4).……………………………………………………………(1分)

∴点M 关于坐标原点O 的对称点M '的坐标为(-2,-4).………(1分)

当2x =-时,将其代入224y x x =-++中,得4y =-.……………(1分)

∴M '(-2,-4)在抛物线224y x x =-++上.

∴抛物线224y x x =-++是回归抛物线.

(2)由22y x x c =-+,得2(1)1y x c =-+-.

∴顶点C 的坐标为(1,1)c -.…………………………………………(1分)

∴点C 关于坐标原点O 的对称点C '的坐标为(1,1)c --.………(1分)

又∵顶点C 为抛物线22y x x c =-+的回归点,

∴点C '在抛物线22y x x c =-+上,即21(1)2c c -=-++.………(1分)

∴1c =-.

∴这条抛物线的表达式为221y x x =--.……………………………(1分)

(3)由(2)中顶点C 为抛物线22y x x c =-+的回归点,

可知点E 与点C ′重合, 即点E 的坐标为(-1,2).………………(1分)

∵∠CFE =∠DEC ,∠ECD =∠FCE ,

∴△CDE ∽△CEF .∴CD CE CE CF

=.……………………………………(1分)

又∵CD = 2,CE =

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=∴ CF = 10.…………………(1分) ∴点F 的坐标为(1,8).……………………………………………(1分)

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25.解:(1)在矩形ABCD 中,∠BAD =∠ADC =∠BCD = 90°,AB = CD .

又∵∠BCD +∠DCF = 180°,∴∠DCF = 90°,∴∠DCF =∠BAD . ∵DF ⊥DE ,∴∠EDF = 90°,

∴∠EDF =∠ADC = 90°,∴EDF EDH ADC EDH ∠-∠=∠-∠.

∴∠ADE =∠CDF .……………………………………………………(1分)

∴△ADE ∽△CDF .∴

AD DE CD DF

=.…………………………………(1分) 又∵AD = 1,CD = AB = 2,∴12DE DF =.……………………………(1分)

在Rt △DEF 中,∠EDF = 90°,∴1tan 2DE EFD DF ∠=

=.…………(1分) (2)∵△ADE ∽△CDF ,∴12

AE AD CF CD ==.………………………………(1分) ∵AE = x ,∴2CF x =. ………………………………………………(1分) 在矩形ABCD 中,AB // CD ,AD = BC .

由AB // CD ,得CH CF BE BF

=. 又∵21BF x =+,2CH y =-,2BE x =-,∴

22221y x x x -=-+.…(1分) ∴ y 关于x 的函数解析式为22221

x y x +=+.……………………………(1分) 其定义域为02x <<. …………………………………………………(1分)

(3)延长BG ,交射线CD 于点P .

由AB // CD ,得∠BEG =∠DHE . ……………………………………(1分) ∴当△EDH ∽△BEG 时,可以有以下两种情况:

① 当∠DEH =∠BGE 时,ED // BG ,又∵AB // CD ,∴四边形BEDP 是平行 四边形.∴2EB DP x ==-,∴PC x =.

∵DH y =,∴2222(2)222121

x x x HC y x x +-=-=-=++. ∵AB // CD ,∴HC HG AE GE =,HG PG GE GB =,PG PC GB AB =.∴HC PC AE AB

=. 即2(2)

212x x x x x -+= 02x <<()

,解得x .

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∴x =.………………………………………………………(2分) ② 当∠DEH =∠GBE 时,

∵EB // DH ,∴∠DEH =∠GBE =∠BPC .∴tan 2BC BPC PC

∠==. ∴

14

HC PC AE AB ==. 即2(2)

1214x x x x -+= 02x <<(),解得32x =. ∴32

x =.………………………………………………………………(2分)

综上所述,x =或32

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x =.

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