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不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法

一、教学目的

1、掌握绝对值的三角不等式;

2、掌握不等式证明的基本方法

二、知识分析

定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab ≥0时,等号成立。

几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a 与-b的距离等于它们到原点距离之和。

(2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。

|a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。

定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立

,即b落在a,c之间。

推论1

推论2

[不等式证明的基本方法]

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。

比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。

比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。

如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。

2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。

所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。

综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。

3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。

4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。

【典型例题】

例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明:

证明:

证法一:

①当ab≤-1时,式①显然成立;

当ab>-1时,式①②

∵a≠b,∴式②成立。故原不等式成立。

证法二:当a=-b时,原不等式显然成立;

当a≠-b时,

∴原不等式成立。

点评:此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考。

例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证:。

思路:本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1

这三个数中哪一个最大?如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息:m≥|a|、m≥|b|、m≥1。

证明:

故原不等式成立。

点评:将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键。

例3、函数的定义域为[0,1]且。当∈[0,1],

时都有,求证:。

证明:不妨设,以下分两种情形讨论。

,若

综上所述

点评:对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法。

例4、已知a>0,b>0,求证:。

思路:如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分?从题目结构特点看,应采取局部通分的方法。

证明:

∴原不等式成立。

点评:在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成。

例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证:

思路:注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手。

证明:∵x>0,y>0,且x≠y,

点评:在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法。应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述。本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得。

例6、已知a、b、c∈R+,求证:。

思路:因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解。结合a、b、c∈R+的条件,运用重要不等式,采用综合法进行证明。

解析:

点评:用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件。另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到。

例7、证明:对于任意实数x、y,有

思路:采取分析法和比较法二者并用的方法来处理。

证明:用分析法

不等式②显然成立,下面证明不等式①

同号

,即

点评:上述证明中,前半部分用的是分析法,后半部分用的是比较法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意。

例8、(1)用反证法证明以下不等式:已知,求证p+q≤2。

(2)试证:(n≥2)。

思路:运用放缩法进行证明。

证明:(1)设p+q>2,则p>2-q,

这与=2矛盾,

(2),

又。将上述各式两边分别相加得

点评:用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等。放缩时要注意适度,否则不能同向传递。

【模拟试题】

1、设a、b是满足ab<0的实数,那么()

A、 B、

C、 D、

2、设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;

④|a+b|>|a|-|b|中,正确的是()

A、①和②

B、①和

③ C、①和④ D、②和④

3、下面四个式子①;②;③;

④中,成立的有()

A、1个

B、2个

C、3

个 D、4个

4、若a、b、c∈R,且,则下列不等式成立的是()

A、 B、

C、 D、

5、设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式成立的一个充要条件是()

A、a、b、c全为正数

B、a、b、c全为非负实数

C、 D、

6、已知a<0,-1

A、

B、

C、 D、

7、设实数x、y满足,若对满足条件的x、y,x+y+c≥0恒成立,c的取值范围是()

A、

B、

C、 D、

8、对于任意的实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是_________。

9、若a>c>b>0,则的值的符号为__________。

10、设a、b、c∈R+,若,则__________。

11、已知x,y∈R,且,则z的取值范围是__________。

12、设,

求证:。

13、已知a、b是不等正数,且,

求证:。

14、已知,求证:中至少有一个不小于。

15、设a、b为正数,求证:不等式①

成立的充要条件是:对于任意实数x>1,有

【试题答案】

1、B

2、C

3、C

4、

B 5、

C 6、

D 7、A

8、(-∞,3)

9、负

10、9

11、

12、证明:

13、证明:a、b是不等正数,且

而一定成立,故成立。

14、证明:用反证法。假设都小于,则

,相互矛盾,

中至少有一个不小于。

15、证明:设,那么不等式②对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b。

当且仅当,时,上式等号成立。故的最小值是。

因此,不等式②对x>1恒成立的充要条件是>b 。

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要:不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词:不等式,公式法,构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象,难懂,证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换,通过化简后使不等式变得简单,更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证:)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母,则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23(*) 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. (*)式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数,且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证:n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式 一、比较法 所谓比较法,就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号(范围)确定a 与b 大小关系的方法,即通过“0a b ->,0a b -=,0a b -<;或1a b >,1a b =,1a b <”来确定a ,b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈,求证:224224x y x y ++≥+. 证明: 224224x y x y ++-- =2221441x x y y -++-+ =22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥, 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知:a >b >c >0, 求证:222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++??. 证明:222a b c b c a c b c a b c a b c +++????=222a b c b a c c b c a b c ------?? >222a b c b a c c b c c c c ------??

=0c =1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??>1 ∴222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明: 960+>> 5456<成立运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈,1a b +=,求证:221125()()2 a b a b +++≥ 证明:∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

证明不等式的几种方法

昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日

证明不等式的几种方法 摘 要:证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词:不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式,确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有:比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式,两边的差(或商)然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小;或若当+∈R B A ,时,直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为: 1.作差:观察不等式左右两边构成的差式,将其看成一个整体。 2.变形:把不等式两边的差进行变形,或变形成一个常数,或为若干个因式的积,或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断:根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围:当被证的不等式两端是多项式,对于分式或对数式时,一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是:“∈b a ,+R ,若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为: 1.作商:将左右两端作商。 2.变形:化简商式到最简形式。

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法]

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证: 思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明: 证明: 证法一:

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题:第01课时不等式的证明方法之一:比较法 一.教学目标 (一)知识目标 (1)了解不等式的证明方法——比较法的基本思想; (2)会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式;(3)明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。 (二)能力目标 (1)培养学生将实际问题转化为数学问题的能力; (2)培养学生观察、比较、抽象、概括的能力; (3)训练学生思维的灵活性。 (三)德育目标 (1)激发学习的内在动机; (2)养成良好的学习习惯。 二.教学的重难点及教学设计 (一)教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 (二)教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途 (三)教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。 2.教学内容的处理 (1)补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 (2)补充一组证明不等式的变式练习。 (3)在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究,合作交流与教师引导相结合。 三.教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四.教学过程 (一)、新课学习: 1.作差比较法的依据: a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

数列不等式证明的几种方法

数列不等式证明的几种方法 一、巧妙构造,利用数列的单调性 例1. 对任意自然数n,求证:。 证明:构造数列 。 所以,即为单调递增数列。 所以,即 。 点评:某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题,均可构造数列,通过数列的单调性解决。 二、放缩自然,顺理成章 例2. 已知函数,数列的首项,以后每项按如下方 式取定:曲线处的切线与经过(0,0)和两点的直线平行。 求证:当时: (1);

(2)。 证明:(1)因为,所以曲线处的切线斜率为。 又因为过点(0,0)和两点的斜率为,所以结论成立。(2)因为函数 , 所以,即,因此 ; 又因为。 令,且。 所以 因此, 所以

三、导数引入 例3. 求证: 证明:令,且当时,,所以 。要证明原不等式,只须证 。 设, 所以。 令, 所以。 设, 所以上为增函数 所以,即

所以 同理可证 所以。对上式中的n分别取1,2,3,…, ,得。 四、裂项求和 例4. 设是数列的前n项和,且 (1)求数列的首项,及通项; (2)设,证明。 解:(1)首项(过程略)。 (2)证明:将, 得,

则 点评:本题通过对的变形,利用裂项求和法化为“连续相差”形式,从而达到证题目的 五、独辟蹊径,灵活变通 独辟蹊径指处事有独创的新方法,对问题不局限于一种思路和方法,而是善于灵活变通,独自开辟新思路、新方法。 例5. 已知函数。设数列,数列满足 (1)求证:; (2)求证:。 证明:(1)证法1:由 令,则只须证;易知,只须证。 由分析法:

。 因为,, 所以,得证。 证法2:由于的两个不动点为。又,所以 所以 所以 , 由上可求得, 因此只需证, 即证:

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值,再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式,而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法: 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(,求证:当1->x 时,恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析:本题是双边不等式,其右边直接从已知函数证明,左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ,从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时,0)(>'x f ,即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时,0)(<'x f ,即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-,单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ,因此,当1->x 时, 0)0()(=≤f x f ,即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( (右面得证) , 现证左面,令11 1)1ln()(-+++=x x x g , 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 , 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数,在),0(+∞∈x 上为增函数, 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g , ∴当1->x 时,0)0()(=≥g x g ,即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ,综上可知,当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大(小)值,则有()f x ≤()f a (或()f x ≥()f a ), 那么要证不等式,只要求函数的最大值不超过0就可得证. 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证:在区间),1(∞+上,函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方;

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a, b为实数,则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时,等号成立。 几何说明:(1)当ab〉O时,它们落在原点的同一边,此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边,a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a—b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 b 0 a _b | ---- I b I -- H" lol十I 定理2 设a, b, C为实数,则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立 ^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。 推论1 II ad - I b |国a + b |

推论2 Ha|-|b||<|a-b| [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“U”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述淸楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证ANB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得5

不等式的几种证明方法及其应用

不等式的几种证明方法及其应用 不等式的证明方法多种多样,常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等,高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法.本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结,并以例题的形式展示这些方法的应用. 1 利用构造法证明不等式 “所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中,为完成从条件向结论的转化,利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统,找到解决原问题的具体方法.利用构造思想方法不是直接解决原问题,而是构造与原问题相关或等价的新问题.”) 52](1[P 在证明不等式的问题中,构造思想 方法常有以下几种形式: 1.1 构造函数证明不等式 构造函数指根据所给不等式的特征,巧妙地构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式. 1.1.1 利用判别式 在含有两个或两个以上字母的不等式中,若根据题中所给的条件,能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的,都可考虑使用判别式法. 例1 设R z y x ∈,,,证明0)(32 2 ≥+++++z y x z y xy x 成立. 解 令2 2 2 33)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数. 由2 2 2 2 )(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=?知0≤?,所以0)(≥x f . 故0)(322 ≥+++++z y x z y xy x 恒成立. 对于某些不等式,若能根据题设条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2+(x a 2-22)b +…+2 )(n n b x a -,由0)(≥x f 得出0≤?,从而即可得出所需证的不等式. 例2 设+ ∈R d c b a ,,,,且1=+++d c b a ,求证 614141414<+++++++d c b a )18](2[P . 证明 令)(x f =(x a 14+-1)2+(114-+x b )2+)114(-+x c 2+)114(-+x d 2

高中数学教案 选修4-5教案 第二讲 证明不等式的基本方法 三 反证法与放缩法

三 反证法与放缩法 ☆学习目标: 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ?知识情景: 1. 不等式证明的基本方法:10. 比差法与比商法(两正数时). 20. 综合法和分析法. 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法:从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系:12n A B B B B ????? 3. 分析法:从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系: ?新知建构: 1.反证法:利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立. 分析:反设x y +1≥2,y x +1≥2 ∵x , y > 0,可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 例2 已知a + b + c > 0,a b + bc + c a > 0,a bc > 0,求证:a , b , c > 0 . 12 ( ) n B B B B A ?????结步步寻求不等式已 论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例x y y x y x y x ++>+>. ,0,0,0.0.0,0 )(,0, 0,00,0)2(.0,0,0,0)1(. 00,0, ,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能 相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a

几种常见的放缩法证明不等式的方法

For personal use only in study and research; not for commercial use 几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、 放缩后转化为等比数列。 例1. {}n b 满足:2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ (1) 用数学归纳法证明:n b n ≥ (2) 1231111...3333n n T b b b b = ++++++++,求证:12n T < 解:(1)略 (2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ , *n N ∈ 迭乘得:11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32 n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤ ++++=-< 点评:把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形,然后去掉 一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法, 似乎是不可能的,为什么?值得体味! 二、放缩后裂项迭加 例2.数列{}n a ,1 1(1)n n a n +=-,其前n 项和为n s 求证:2n s < 解:2111111...234212n s n n =- +-++-- 令12(21) n b n n =-,{}n b 的前n 项和为n T

当2n ≥时,1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤ +++-+-++-- 71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。 值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大, 命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数()(0)b f x ax c a x =++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =- (1)用a 表示出,b c (2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围 (3)证明:1111...ln(1)232(1) n n n n + +++>+++ 解:(1)(2)略 (3)由(II )知:当)1(ln )(,2 1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x x x >->时 令)],1 11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1 11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得 ,) 1(21)13121(21)1ln(++++++< +n n n 整理得 .) 1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评:本题是2010湖北高考理科第21题。近年,以函数为背景建立一个不等关系, 然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特 别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。

几种常见的放缩法证明不等式的方法

几种常见的放缩法证明不等式的方法 一、 放缩后转化为等比数列。 例1. {}n b 满足:2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+ (1) 用数学归纳法证明:n b n ≥ (2) 1231111...3333n n T b b b b = ++++++++,求证:12n T < 解:(1)略 (2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥ 132(3)n n b b +∴+≥+ , *n N ∈ 迭乘得:11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32 n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤ ++++=-< 点评:把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形,然后去掉一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的,为什么?值得体味! 二、放缩后裂项迭加 例2.数列{}n a ,1 1(1)n n a n +=-,其前n 项和为n s 求证:2n s < 解:2111111...234212n s n n =- +-++-- 令12(21) n b n n =-,{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时,1111()2(22)41n b n n n n ≤ =--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--

71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。 例3.已知函数()(0)b f x ax c a x =++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =- (1)用a 表示出,b c (2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围 (3)证明:1111...ln(1)232(1) n n n n + +++>+++ 解:(1)(2)略 (3)由(II )知:当)1(ln )(,2 1≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x x x x f a 有 且当.ln )1(21,1x x x x >->时 令)],1 11()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),1 11(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得 ,) 1(21)13121(21)1ln(++++++< +n n n 整理得 .) 1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评:本题是2010湖北高考理科第21题。近年,以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特别关注。当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例4.*1111,(14)16 n n a a a n N +==++∈. (1) 求23,a a

证明不等式几种常见方法

本科毕业论文(设计) 题目:证明不等式的几种常用方法___ 学生:王云学号: 200940510438 学院:数学与计算科学学院__ 专业:数学与应用数学 入学时间: 2009 年 9 月 15 日 指导教师:黄瑞老师职称:讲师 完成日期: 2013 年 3 月 9 日

证明不等式的几种常用方法 摘要: 本文首先对不等式的证明进行了总结,证明不等式的常用方法有比较法,反证法,放缩法,数学归纳法等等,并且比较了这些方法中的优点和缺点,对不同的题更适合采用哪种方法也进行了详细的解说。其次针对不同的方法都举出了相应的例题,用来加强对方法的理解。最后强调了这些方法在高考中的应用。 关键词:证明;不等式;方法 On the Common Use Method of Proofing Inequality Abstract : This paper prove the inequality proof methods are summarized, inequality has comparative method, reduction to absurdity, scaling, mathematical induction and so on, and these methods are compared and the advantages and disadvantages of the different questions, more suitable to adopt what kind of method is given a detailed explanation. Secondly, different methods are corresponding examples was put forward, to strengthen the methods of understanding. Finally emphasized the application of these methods in the national college entrance examination. Key words: proof;inequality;method

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