数学运算之平均数问题
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平均数（讲义）
【例1】(2014年江苏)在数列{An}(n=1，2，....）中，A1=1959,A2=1995,且从第三项起，每项是它前两项平均的整数部分，则limAn=
A.1980
B.1981
C.1982
D.1983
【例2】（2015年北京）小王围着人工湖跑步，跑第二圈用时是第一圈的两倍，是第三圈的一半，三圈共用时35分钟。如小王跑第四圈和第五圈的时间分别是上一圈的一半，则他跑完5圈后，平均每圈的用时为多少分钟？（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【例3】（2011年江苏）已知数据34,22,23、25、26、27、28、24、20、33，用这10个数分别减去其平均数，所得10个数值的和为？（）
A.3
B.2
C.0
D.-3
【例4】（2014年广州）有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为（）分。
A.1.5
B.2
C.3
D.3.5
【例5】（2014年青海）兄弟五人年龄均不相等。已知今年五个人的平均年龄为50岁，较年长的三个人平均年龄为55岁，较年轻的三个人平均年龄为44岁。问大哥今年至少多少岁？
A.57
B.58
C.59
D.60
【例6】（2014年山东）某班级的一次考试阅卷后，发现有一道选择题的答案有误，正确答案应为A，但误写为C，此题分值为3分。调整答案时发现，此题未选A、C两个选项的人数为班级总人数的1/3，修改分数后班级平均分提高了1分。问选择A答案的人数占班级总人数的多少？
A.1/2
B.1/3
C.1/4
D.2/5
【例7】（2013年山东）某单位共有职工72人,年底考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（）
A.12
B.24
C.30
D.42
【例8】（2012年山东）某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有1/4被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。问录取分数线是多少分：
A.80
B.79
C.78
D.77
【例9】（2014年广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（）
A.48
B.45
C.43
D.40
【例10】（2014年深圳）8名同学参加公益义卖活动，义卖结束时筹得的善款前3名的同学平均每人筹得150元，而排名后5名的同学平均每人筹得的善款比8人的平均数少15元，则这8名同学平均每人筹得善款（）元。
A.110
B.115
C.120
D.125
【例11】（2011年国家）某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年
龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？
A.34
B.36
C.35
D.37
【例12】（2015年江苏A卷——资料分析）受访者2013年人均网购次数为19.4次，女性受访者人均网购次数为21.1次，比男性受访者高出3.8次。受访者中女性所占的比例约为（）。
A71.2％B65.7％
C55.3％D44.7％
平均数（笔记）
①山东：知识点“数列与平均数”近几年都有考，因此平均数这个知识点很
重要。
②平均数的概念：
例如：隔壁老王今年50岁，老王的媳妇46岁，两人的平均年龄？
求解：（50+46）/2=48岁，这就是平均数。
得公式：平均数×个数=总数
【例1】(2014年江苏)在数列{An}(n=1，2，....）中，A1=1959,A2=1995,且从第三项起，每项是它前两项平均的整数部分，则limAn=
A.1980
B.1981
C.1982
D.1983
【解析】例1.观察选项，ABCD的前两位都是19，所以看的时候就只看十位和个位就可以了。根据条件“每项是它前两项平均的整数部分”，仅用十位和个位，（59+95）/2=77，即A3的十位和个位为77，同理A4的十位和个位=（95+77）/2=86，A5十位和个位为81.5，这时发现A4和A5的十位相同，所以后面就只观
察个位，A6个位为（1+6）/2=3.5，则A6后两位为83，同理推得A7、A8后两位都为82，则A9后两位也是82，则推出An的后两位为82。【选C】【知识点】limAn代表的是极限的意思，n无穷大。
【例2】（2015年北京）小王围着人工湖跑步，跑第二圈用时是第一圈的两倍，是第三圈的一半，三圈共用时35分钟。如小王跑第四圈和第五圈的时间分别是上一圈的一半，则他跑完5圈后，平均每圈的用时为多少分钟？（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【解析】例2.根据题意，设第一圈用时为x，则第二圈用时为2x，第三圈用时为4x，三圈共用35分钟，则x+2x+4x=35，解得x=5。同理，第四圈为2x，第五圈为x，跑完5圈，用时为x+2x+4x+2x+x=10x，平均用时为10x/5=2x=10。【选C】
【例3】（2011年江苏）已知数据34、22、23、25、26、27、28、24、20、33用这10个数分别减去其平均数，所得10个数值的和为？（）
A.3
B.2
C.0
D.-3
【解析】例3.（34+22+23+25+26+27+28+24+20+33）=总数=平均数×10，“用这10个数分别减去其平均数”，就是要10个数的和减去10个平均数，总数=平均数×10，因此本题答案为0。【选C】
【例4】（2014年广州）有七位考官对一位应聘者评分，如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均分为7分；如果只去掉一个最高分，则平均分为6.75分；如果只去掉一个最低分，则平均分为7.25分。那么，这位应聘者所得的7个分数中，最高分与最低分的差值为（）分。
A.1.5
B.2
C.3
D.3.5
【解析】例4.设a1最高，a7最低，根据条件，“如果去掉一个最高分和一
个最低分”，则a2+a3+…+a5+a6=7×5①；“如果只去掉一个最高分”，则a2+a3+…+a6+a7=6.75×6②；“如果只去掉一个最低分”，得a1+a2+…+a5+a6=7.25×6③；a1-a7=③-②=7.25×6-6.75×6=0.5×6=3。【选C】
【注意】做题目的时候先不要着急把过程中的结果算出来，有的时候可以把式子先列在那里，会比都算出来再计算要快。
【例5】（2014年青海）兄弟五人年龄均不相等。已知今年五个人的平均年龄为50岁，较年长的三个人平均年龄为55岁，较年轻的三个人平均年龄为44岁。问大哥今年至少多少岁？
A.57
B.58
C.59
D.60
【解析】例 5.兄弟五人年龄分别是a1、a2、a3、a4、a5，根据题意得a1+a2+a3+a4+a5=50×5①；a1+a2+a3=55×3②；a3+a4+a5=44×3③；②+③-①=a3=（55+44）×3-250=（100-1）×3-250=47。通过②式可得出a1+a2=165-47=118，大哥和二哥的平均年龄为59，大哥大于二哥，则大哥一定大于两人的平均年龄，排除ABC。【选D】
【例6】（2014年山东）某班级的一次考试阅卷后，发现有一道选择题的答案有误，正确答案应为A，但误写为C，此题分值为3分。调整答案时发现，此题未选A、C两个选项的人数为班级总人数的1/3，修改分数后班级平均分提高了1分。问选择A答案的人数占班级总人数的多少？
A.1/2
B.1/3
C.1/4
D.2/5
【解析】例6.根据“此题未选A、C两个选项的人数为班级总人数的1/3”，则总人数是3的倍数，赋值总人数为3，未选A、C的为1，则选A、C的为2，设选A的有A人，选C的有C人，则A+C=2；选C的有C人，此题分值为3分，则修改前分数为3C。选A的有A人，修改后分数为3A，根据“修改分数后班级平均分提高了1分”，得3C+3=3A。根据方程式：A+C=2;C+1=A，解得A=3/2,A÷3=1/2。【选A】
【注意】①出现分数，要学会赋值为整数；②平均数是整体提高，平均数列式要理解要会。
【例7】（2013年山东）某单位共有职工72人,年底考核平均分数为85分,根据考核分数,90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（）
A.12
B.24
C.30
D.42
【解析】例7.方法一：假设优秀职工为x人，总分=72×85=92x+80×（72-x），化简得x=30。方法二：线段法：①混合之前写两边，混合之后写中间；②距离与量成反比。80和92写在线段的两边，85写中间，距离比为5:7，则量之比（普通员工：优秀员工）为7:5，则量共为12份为72人，则一份为6人，优秀占5份为30人。【选C】
线段法：
1、假设男生有a人，平均分83分；女生有b人，平均分为93分，班级平均分为87分。
【解析】根据关系列式：83×a+93×b=（a+b）×87，化简得（87-83）a=（93-87）b；b是数量，a也是数量，（87-83）、（93-87）为差值，根据式子可得数量和差的乘积相等，说明数量和差是成反比例关系。本题差的比为（87-83）：（93-87）=4:6=2:3，距离与量成反比，则男生人数：女生人数为3:2。
得口诀：①混合之前写两边，混合之后写中间；②距离与量成反比
2、男生人数为200人，平均数为83分，女生平均分为93分，班级平均分为85分，女生有多少人？
【解析】83和93写在线段的两边，85写中间，线段比为2:8=1:4，则量比（男生人数：女生人数）为4:1，男生为200人，则女生为50人。
【知识点】口诀：①混合之前写两边，混合之后写中间；②距离与量成反比
3、男生人数为200人，平均数为83分，女生有300人，平均分为93分，
班级平均分为多少？
【解析】83和93写在线段的两边，男女人数比为200:300=2:3，则距离比为3:2，则93-83=10为5份，则一份为2，班级平均分为83+3×2=89分。
【知识点】线段法可用的题型可以有：平均数，溶液，资料分析中的混合平均数，混合增长率，混合比重等。
4、男生平均分83分，女生400人，平均分93分，班级平均分为91分，男生有多少人？
【解析】83和93写在线段的两边，91写中间，距离之比为8:2=4:1，则量之比为1:4，女生为400人，因此男生为100人。
【知识点】口诀：①混合之前写两边，混合之后写中间；②距离与量成反比
压轴题：男生平均分为83分，女生平均分93分，班级平均分为87分，一共500人，求男生和女生各有多少人？
【解析】83和93写在线段的两边，87写中间。距离之比为4:6=2:3，则量之比为3:2，总共分成5份，5份为500人，则一份为100人。男生占3份为300人，女生占2份为200人。
【知识点】口诀：①混合之前写两边，混合之后写中间；②距离与量成反比
【例8】（2012年山东）某单位依据笔试成绩招录员工，应聘者中只有被录取。被录取的应聘者平均分比录取分数线高6分，没有被录取的应聘者平均分比录取分数线低10分，所有应聘者的平均分是73分。问录取分数线是多少分：A80 B79
C78 D77
【解析】例8.两者混合，可以用线段法。设录取分数线为x，根据题意被录取的分数线为x+6，未被录取的分数线为x-10，x-10和x+6写两边，73写中间。应聘者中只有1/4被录取，则量之比为3:1，那么距离比为1:3，共4份为x+6-（ x-10）=16，则每份为4，x-10=73-4=69，则x=79。【选B】
【例9】（2014年广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（）
A.48
B.45
C.43
D.40
【解析】例9.线段法：混合之前写两端：65和80写两边；混合之后写中间：72写中间。距离比为7：8，则量之比（女：男）为8:7，一共15份，则总人数一定是15的倍数，全部选手人数在35到50之间，排除ACD。【选B】
【例10】（2014年深圳）8名同学参加公益义卖活动，义卖结束时筹得的善款前3名的同学平均每人筹得150元，而排名后5名的同学平均每人筹得的善款比8人的平均数少15元，则这8名同学平均每人筹得善款（）元。
A.110
B.115
C.120
D.125
【解析】例10.属于平均数两者混合，可以用线段法。设8名平均为x元，则后5名平均数为x-15元，x-15和150写两边，x写中间，量之比（人数之比）为5:3，则距离比为3:5，x-15到x的距离为15分成了3份，则一份为5,150-x=5×5，则x=125【选D】
【例11】（2011年国家）某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？
A.34
B.36
C.35
D.37
【解析】例11.AB两者之间混合，38和24写线段两边，30写中间，距离比为4:3，则A:B为3:4；BC两者之间混合，24和42写线段两边，34写中间，距离比为5:4，则B:C为4:5，则A:B:C=3:4:5。所有人的平均分=总年龄/总人数=（38×3+24×4+42×5）/12。观察选项，尾数不一样，可以用尾数法，38×3+24×4+42×5的尾数为0,则答案末尾应该是5,【选C】
【知识点】三种混合也可以用线段法，做法就是将三者两两混合。
【例12】（2015年江苏A卷——资料分析）受访者2013年人均网购次数为19.4次，女性受访者人均网购次数为21.1次，比男性受访者高出3. 8次。受访者中女性所占的比例约为（）。
A71.2％B65.7％
C55.3％D44.7％
【解析】例12.男性受访者为21.1-3.8=17.3,17.3和21.1写线段的两边，19.4写中间，距离之比为2.1:1.7，则量之比（男：女）=1.7:2.1，女性比例为2.1/（1.7+2.1）=2.1/3.8，答案非常接近50%，且大于50%或者判断商5。【选C】
【拓展1】（国考2014年）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）（）。
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】混合之前写两端，10%和50%写两端，25%写中间，距离比为3:5，则量之比为5:3,5份为100g，则3份为60g，60/14=4.0+，4次不够，选5。【选B】
【拓展2】甲容器中有浓度为4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水放入甲中混成浓度为8.2%的盐水，问乙容器中盐水的浓度是多少？
A．9.6% B．9.8% C．9.9% D．10%
【解析】甲和乙混合，4%和乙的浓度“？”写两边，8.2写中间，量之比为150:450=1:3，则距离比为3:1,3份对应的是8.2-4=4.2，则1份为1.4，则？=8.2+1.4=9.6。【选A】
【总结】题型非常重要。口诀：①混合之前写两端，混合之后写中间；②距离和量成反比。
遇见不一样的自己come to meet a different you