2012年普通高等学校招生全国统一考试
(四川卷)数 学(理科)
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+ 2
4S R p =
如果事件相互独立,那么 其中R 表示球的半径
()
()()P A B P A P B ? 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 3
43V R
p =
在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)
(0,1,2,,)k
k
n k
n n P k C p p k n -=-=…
第一部分 (选择题 共60分)
注意事项:
1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上.
2、本部分共12小题,每小题5分,共60分.
一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、7
(1)x +的展开式中2
x 的系数是( )
A 、42
B 、35
C 、28
D 、21
2、复数2
(1)2i i
-=( )
A 、1
B 、1-
C 、i
D 、i -
3、函数29
,3()3ln(2),3x x f x x x x ?-
=-??-≥?
在3x =处的极限是( )
A 、不存在
B 、等于6
C 、等于3
D 、等于0 4、如图,正方形A B C D 的边长为1,延长B A 至
E ,使1A E =,连接E C 、E D 则
sin C ED ∠=( )
A 、
10
B 、
10
C 、
10
D 、
15
5、函数1(0,1)x
y a a a a
=-
>≠的图象可能是(
)
6、下列命题正确的是( )
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
7、设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||
a b
a b =
成立的充分条件是( ) A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b =
8、已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则||OM =( )
A
、 B
、 C 、4 D
、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克;生产乙产品1桶需耗A 原料2千克,B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( )
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元
10、如图,半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内,过点O 作
平面α的垂线交半球面于点A ,过圆O 的直径C D 作平面α成45
角的平面与半球面相交,所得交线上到平面α的距离最大的点为
B ,该交线上的一点P 满足60BOP ∠=
,则A 、P 两点间的球面距离为( )
A
、arccos
4
R B 、
4
R
π C
、arccos
3
R D 、
3
R
π
11、方程2
2
ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( )
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条
12、设函数()2cos f x x x =-,{}n a 是公差为8
π
的等差数列,125()()()5f a f a f a π++???+=,
则2313[()]f a a a -=( ) A 、0 B 、
2
1
16π C 、218
π D 、21316π
第二部分 (非选择题 共90分)
注意事项:
(1)必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚.答在试题卷上无效. (2)本部分共10个小题,共90分.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.)
13、设全集{,,,}U a b c d =,集合{,}A a b =,{,,}B b c d =,则
=)()(B C A C U U _______.
14、如图,在正方体1111ABC D A B C D -中,M 、N 分别是C D 、1C C 的中点,则异面直线1A M 与D N 所成角的大小是____________. 15、椭圆
2
2
14
3
x
y
+
=的左焦点为F ,
直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当F A B ?的周长最大时,F A B ?的面积是____________.
16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数,例如,[2]2=,[1.5]1=,[0.3]1-=-.设a 为正
整数,数列{}n x 满足1x a =,1[
]
[
]()2
n n
n a x x x n N *
++=∈,现有下列命题:
①当5a =时,数列{}n x 的前3项依次为5,3,2; ②对数列{}n x 都存在正整数k ,当n k ≥时总有n k x x =; ③当1n ≥
时,1n x >
;
N
A 1
④对某个正整数k ,若1k k x x +≥,则n x =.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)
三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意
时刻发生故障的概率分别为110
和p .
(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950
,求p 的值;
(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.
18、(本小题满分12分)
函数2
()6cos
3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图
象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且A B C ?为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;
(Ⅱ)若0()5
f x =
,且0102
(,)33
x ∈-
,求0(1)f x +的值.
19、(本小题满分12分)
如图,在三棱锥P A B C
-中,90
∠= ,
APB Array ==,平面PAB⊥平面ABC.
PAB
60
∠= ,A B B C C A
(Ⅰ)求直线P C与平面ABC所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角B A P C
--的大小.
20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.
(Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg }n
a a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最
大值.
21、(本小题满分12分) 如图,动点M 到两定点(1,0)A -、
(2,0)B 构成M A B ?,且2
MBA MAB ∠=∠,设动点M 的轨
迹为C .
(Ⅰ)求轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ,与轨迹C 相交于点Q R 、,且||||PQ PR <,求||||
PR PQ 的取值范围.
y
x
B A
O
M
22、(本小题满分14分)
已知a 为正实数,n 为自然数,
抛物线2
2
n
a
y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ,设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距. (Ⅰ)用a 和n 表示()f n ; (Ⅱ)求对所有n 都有
3
3
()1()1
1
f n n
f n n -≥
++成立的a 的最小值;
(Ⅲ)当01a <<时,比较1
1
()(2)
n
k f k f k =-∑
与
27(1)()
4(0)(1)
f f n f f --
的大小,并说明理由.
参考答案
一、选择题
1 [答案]D
[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2
273x C T 、=
21C x 2
72=∴的系数为
[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力. 2 [答案]B.
[解析]2
(1)2i i
-=
12212
-=-+i
i
i
[点评]突出考查知识点12
-=i ,不需采用分母实数化等常规方法,分子直接展开就可以. 3 [答案]A
[解析]分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值,故不存在极限. [点评]对于分段函数,掌握好定义域的范围是关键. 4 [答案]B
10
10cos 1sin 10
103EC ED 2CD
-EC
ED
CED cos 1
CD 5CB AB EA EC 2
AD
AE
ED 11AE ][2
2
2
22
2
2
2
=
∠-=
∠=?+=
∠∴==++==+=∴=CED CED ,)(,正方形的边长也为解析
[点评]注意恒等式sin 2α+cos 2α=1的使用,需要用α的的范围决定其正余弦值的正负情况. 5 [答案]C
[解析]采用排除法. 函数(0,1)x y a a a a =->≠恒过(1,0),选项只有C 符合,故选C. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 6 [答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式. 7 [答案]D
[解析]若使||||
a b
a b =
成立,则方向相同,与b a 选项中只有D 能保证,故选D.
[点评]本题考查的是向量相等条件?模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零
向量,其模为0且方向任意. 8
[答案]B
[解析]设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为(0,2p
),准线方程为x=2
p -
,
3
2)
22(2||22,222,13
2p 2,32
p -2.2
2
02
2
02
=+=
∴∴===+
=+∴∴OM M y p y M M )(点解得:)(且)(线的距离到焦点的距离等于到准在抛物线上,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点M 到准线的距离). 9 [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X 桶,乙种产品Y 桶,公司共可获得 利润为Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
且??
?
??
??≥≥≤+≤+00122122Y X Y X Y X
画可行域如图所示,
目标函数Z=300X+400Y 可变形为 Y=400
z x 43+
-
这是随Z 变化的一族平行直线
解方程组??
?=+=+12
y 2x 12y x 2 ???==∴4
y 4x 即A (4,4) 280016001200max =+=∴Z
[点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数变形式的平行线)、四求(求出最优解). 10
[答案]A
[解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴,
则A )0,2
3,2
1(),2
2,0,2
2(R R P R R
4
2arccos =∠∴AOP
4
2arccos
?=∴R P A
[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 11 [答案]B
[解析]方程22
ay b x c =+变形得2
2
2
b
c y b
a x -
=
,若表示抛物线,则0,0≠≠b a
所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:
4
22
=
?=
∠∴R
PO AO AOP COS
(1)若b=-3,???
???
?-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13
,2,1,0,2或或或,或或或或或或或或或c a c a a
c a ; (2)若b=3, ???
??
?
?-==-==-===-=2
,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或,或或或或或或或或或c a c a
a
c a
以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;
同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条.
综上,共有23+23+16=62种
[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12 [答案]D
[解析]∵数列{a n }是公差为
8
π
的等差数列,且125()()()5f a f a f a π++???+=
∴π5)cos cos (cos 2521521=+++-+++a a a a a a )(
∴,0)cos cos (cos 521=+++a a a 即 π55223521=?=+++a a a a )(
得4
3,4
,2
513ππ
π
=
=
=
a a a
∴2
313[()]f a a a -=16
1316
3)cos 2(2
2
2
51233πππ
=
-=--a a a a
[点评]本题难度较大,综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用,需考生加强知识系统、网络化学习. 另外,,0)cos cos (cos 521=+++a a a 隐蔽性较强,需要考生具备一定的观察能力.
二、填空题
13
[答案]{a, c, d}
[解析]∵d}{c,=)(A C U ;}{a B C U =)( ∴=)()(B C A C U U {a,c ,d} [点评]本题难度较低,只要稍加注意就不会出现错误. 14 [答案]90o
[解析]方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1 ,DN⊥D 1M, 所以,DN⊥平面A 1MD 1,
又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o
方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D (0,0,0),N (0,2,1),M (0,1,0)A 1(2,0,2) 故,),(),(2,121,2,01-==MA DN 所以,cos<|
MA
||DN |1
11MA DN MA DN ?=
??, = 0,故DN⊥D 1M ,所以夹角为90o
[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 15 [答案]
3
2
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又522=-c a
3
2,2==
∴=∴a c e c
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
16
[答案]①③④
[解析]若5a =,根据1[
]
[
]()2
n n
n a x x x n N *
++=∈
当n=1时,x 2=[
2
15+]=3, 同理x 3=2]2
13[
=+, 故①对.
对于②③④可以采用特殊值列举法:
当a=1时,x 1=1, x 2=1, x 3=1, ……x n =1, …… 此时②③④均对. 当a=2时,x 1=2, x 2=1, x 3=1, ……x n =1, …… 此时②③④均对 当a=3时,x 1=3, x 2=2, x 3=1, x 4=2……x n =1, ……此时③④均对
N
A 1
综上,真命题有 ①③④ .
[点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.
三、解答题
17
[解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么 1-P (C )=1-10
1P=
50
49 ,解得P=
5
1………………………………4 分
(2)由题意,P (ξ=0)=100011013
3
=)(C P (ξ=1)=100027
10
111012
1
3
=
-
)()(C
P (ξ=2)=1000
24310111012
23
=-)()(C P (ξ=3)=1000
72910
1110
13
3
3
=
-
)()(C
所以,随机变量ξ的概率分布列为:
故随机变量X 的数学期望为: E ξ=010
271000
72931000
24321000
2711000
10=?
+?
+?
+?
……………………12分.
[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.
18
[解析]
(Ⅰ)由已知可得:2
()6cos 3(0)2x
f x x ωωω=+
->
=3cosωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+=x x
又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数4
82824)(π
ωω
π
=
==?=,得,即
的周期T x f
所以,函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分 (Ⅱ)因为,由538)(0=
x f (Ⅰ)有
,
5
38)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 5
4)3
4
(s i n 0
=
+
π
πx 即
由x 0)2
,2()34x (323100π
πππ-∈+-
∈),得,( 所以,5
3
)54(1)3
4(
cos 20=-=
+
ππx 即
故=+)1(0x f =+
+
)3
4
4
(
sin 320
π
π
πx ]4
)3
4(
sin[320
π
π
π+
+
x
)
2
25
32
25
4(
324
s i n
)3
4
c o s (
4c o s )34(
[s i n 3200?
+
?
=+
++=ππππππx x
5
67= ………………………………………………………12分
[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想. 19
[解析](1)连接
OC.由已知,
ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角
设AB 的中点为D ,连接PD 、CD.
因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.
因为为,所以,PAD PAB APB ??=∠?=∠6090等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=3,AB=4. 所以CD=23,OC=131212
2
=
+=
+CD
OD
.
在Rt 中,OCP ?tan 13
3913
3===∠OC
OP OPC .
故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arctan
13
39…………………6分
(2)过D 作DE AP ⊥于E ,连接CE.
由已知可得,CD ⊥平面PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥PA,
所以,的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由(1)知,DE=3 在Rt△CDE 中,tan 2==
∠DE
CD CED
故2arctan 的大小为——二面角C AP B ……………………………12分
[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查思维能力、空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 20
[解析]取n=1,得,2a 211212a a s s a +=+= ① 取n=2,得,22212
2a a a += ② 又②-①,得 2122)(a a a a =- ③ (1)若a 2=0, 由①知a 1=0,
(2)若a 21012=-≠a a ,易知, ④ 由①④得:;22,1221+
=+=
a a ;22,2121-
=-
=a a …………………5分
(2)当a 1>0时,由(I )知,;22,1221+
=+=a a
当n n s s a n +=+
≥2222)时,有( , (2+2)a n-1=S 2+S n-1
所以,a n =)2(21≥-n a n
所以111)2()12()2(--?+==n n n a a 令1
1
12
100lg
2
1)
2lg(
1,10lg
--=
-==n n n n
n b a a b 则
所以,数列{b n }是以2lg 2
1-为公差,且单调递减的等差数列. 则 b 1>b 2>b 3>…>b 7=01lg 810lg =>
当n≥8时,b n ≤b 8=128
100lg
21
01lg 2
1=<
所以,n=7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=
2lg 2
21
72771-=+)(b b …………………………12分 [点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21
[解析](1)设M 的坐标为(x,y ),显然有x>0,0≠y . 当∠MBA=90°时,点M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=
MAB
MAB ∠-∠2
tan
1tan 2,即
2
)
1
||(
11
||22
||+-+=--
x y x y x y
化简得:3x 2-y 2-3=0,而又经过(2,,±3)
综上可知,轨迹C 的方程为3x 2-y 2-3=0(x>1)…………………5分
(II)由方程
???=--+-=0
3322
2y x m x y 消去y ,可得0342
2=++-m mx x .(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内,设34)(2
2
++-=m mx x x f
y
x
B A
O
M
所以????
?????>+--=?>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1242
22
2m m m m f m
解得,m>1,且m ≠2
设Q 、R 的坐标分别为),(),,(00R R y x y x ,由PR PQ <有
)1(32,)1(322
02
--
=-+
=m m x m m x R
所以
)
11(3241)11(32)11(32)
1(32)1(322
2
2
2
2
m
m
m m m m m x x PQ
PR Q
R -
-
+
-=-
-
-+=--
-+=
=
由m>1,且m ≠2,有 .7m
11324
1,347)11(324112
2
≠-
-+
-+<-
-
+
-<)
(且m 所以
PQ
PR 的取值范围是())347,7(7,1+ ................................................ 12分
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性. 22
[解析](1)由已知得,交点A 的坐标为
???
?
?
?
?
0,2a
n
,对x y y
a
x
n
22
1'
2
-=+
-=求导得
则
抛物线在点A 处的切线方程为a
a
a a
a n
n
n
n
n
n f x y x y =
+
-=--=)(.2),2
(2则即
(2)由(1)知f (n)=a n
,则
121
1
)(1)(3
3
3
+≥+≥
+-n n n
n f n f a
n
成立的充要条件是
即知,1
23
+≥n a
n
对于所有的n 成立,特别地,取n=2时,得到a≥17
当时3,17==
n a ,
?
+?+?+?+==
>
+33)
31(4
3
322131C C C a
n n n n
n
n
333
3
2
2
1
31?+?+?+≥C C C n n n ???
?
??-++
+=-)52(521
21)2(2
3
n n n n
>2n 3+1
当n=0,1,2时,显然123
)17(+≥n n
故当a=17
时,
1
1
)(1)(3
3
+≥
+-n
n n f n f 对所有自然数都成立
所以满足条件的a 的最小值是17
.
(3)由(1)知a
n
k f =
)(,则∑
∑
==-
=
-n
k n
k k
k
a
a
k f k f 1
1
21
)
2()(1,
a
a f f n f f a
n
--
=
--1)
1()0()()1(
下面证明:.)
1()0()()1(4
27)
2()(11
f f n f f k f k f n
k --?>
-∑
=