《圆锥曲线》测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF
=+21(a ＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）.
A. 椭圆
B. 线段
C. 不存在
D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线21y x m
=
的焦点坐标为（ ） .
A ．1,0m ??
???４ B ． 10,4m ?? ??? C ． ,04m ??
???
D ．0,4m ?? ???
3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）.
A ．14-
B ．4-
C ．4
D ．14
4、椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点F 的准线方程为
7
2
x =-
，则这个椭圆的方程是（ ）. Ａ．
222(1)21213x y -+= Ｂ．22
2(1)21213x y ++= Ｃ．
2
2(1)15
x y ++= Ｄ．
2
2(1)15
x y -+=
5、设11229
(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆
221259
x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）. A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既非充分也非必要
6、P 是双曲线22
x y 1916
－＝
的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2
＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）.
A. 6
B.7
C.8
D.9
7、过双曲线2
2
12
y x -=的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若|AB|=4，则这样的直
线的条数为（ ）.
A. 1
B.2
C.3
D.4 8、设直线=1:
2l y x ，直线2l 经过点(2,1)，抛物线C:=24y x ，已知1l 、2l 与C 共有
三个交点，则满足条件的直线2l 的条数为（ ）.
A. 1
B.2
C.3
D.4
9、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1
的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）. A.直线 B. 抛物线 C.双曲线 D. 圆
10、以过椭圆+=>>22
221(0)x y a b a b
的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的
位置关系是（ C ）.
A. 相交
B.相切
C. 相离
D.不能确定
11、过双曲线M:2
2
21y x b
-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M
的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ). 3 D.2
12、若抛物线2
1y ax =-上总存在两点关于直线0=+y x 对称，则实数a 的取值范围是
（ ）.
1
.(,)4A +∞ 3.(,)4B +∞ 1.(0,)4C 13.(,)44
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13、已知双曲线的渐近线方程为y=±
3
4
x ，则此双曲线的离心率为________. 14、长度为a 的线段AB 的两个端点A 、B 都在抛物线)20(22p a p px y >>=且上滑动，则线段
B
A 1C 1
AB 的中点M 到y 轴的最短距离是 .
15、12F , F 是椭圆22
221x y a b
+=的两个焦点，点P 是椭圆上任意一点，从1F 引∠12FPF 的外
角平分线的垂线，交2F P 的延长线于M ，则点M 的轨迹是 .
16、已知12F F ，为双曲线22
221(00)a b x y a b a b
≠-=>>且，的两个焦点，P 为双曲线右支
上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题（ ）. Ａ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x a =上； Ｂ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线x b =上； Ｃ．12PF F △的内切圆的圆心必在直线OP 上； Ｄ．12PF F △的内切圆必通过点0a ()，． 其中真命题的代号是
（写出所有真命题的代号）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分12分)
椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且 |P F 1|=34,| P
F 2|=
3
14
， P F 1⊥PF 2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线L 过圆x 2
+y 2
+4x-2y=0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线L 的方程. 18、 (本小题满分12分)
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案是：如图，航天器运行（按顺时针方向）的
轨迹方程为
125
10022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、
??? ?
?764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点
)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：若航天器在x 轴上方，则在观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ 19、 (本小题满分12分)
已知两定点())
12
,F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线
E ，直线1y kx =-与曲线E 交于,A B 两点.如果AB =AB 的方程。
20、(本小题满分12分)
如图，双曲线22221x y a b -=(00)a b >>，12F F ，分别为左、右焦点，
M 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且121
4
F M F M ?=-
． （1）求双曲线的方程； （2）设(0)A m ，和10(01)B m m ??
<<
???
，是x 轴上的两点，
过点A 作斜率不为0的直线l ，使得l 交双曲线于C D ，两点，作直线BC 交双曲线于另一点E ．证明直线DE 垂直于
x 轴.
21、(本小题满分12分)
已知抛物线x 2
＝4y 的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且AF →＝λFB →（λ＞0）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ． （1）证明FM →·AB →
为定值；
（2）设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值． 22、 (本小题满分14分)
如图，椭圆Q ：22
22x y 1a b
＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F
转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点. （１）求点P 的轨迹H 的方程；
（２）在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2
＝sin θ（0<θ≤
2
π ），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？
答案详解
1. 答案：D ． 解：当6a >时轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆；当6a =时轨迹是线段12F F ；当6a <时轨迹不存在．故选D.
2.答案：D. 解：∵抛物线方程的标准形式为：2x my =，∴其焦点坐标为0,4m ?? ???
，故选D.
3.答案：A. 解：
221mx y +=是双曲线，∴ m<0，且其标准方程为2
2
11x
y m
-=-.又
其虚轴长是实轴长的2倍，∴ 14m -
=，∴1
4
m =-，故选A. 4.答案：C. 解：
椭圆的中心为(1,0),-它的一个焦点为(3,0),F - ∴ 2c =. 又相应
于焦点F 的准线方程为7
2x =-， ∴ 272a c =１＋， ∴
22a c =５，∴225,4,1a b ===2 c ，∴所求椭圆的方程是22
(1)15
x y ++=，故选C. 5.答案：A.解：a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，F （4，0）， e ＝
4
5
.由焦半径公式可得|AF|＝5－
4
5
x 1， |BF|＝5－
45×4＝95，|CF|＝5－45x 2，故,,AF BF CF 成等差数列?（5－4
5x 1）＋（5－45x 2）＝2×9
5
?128x x +=，故选A.
6.答案：D. 解：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是
两
圆
的
圆
心
.
1122PM MF PF , PN NF PF ,
-≤+≥∴
1212PM PN PF PF MF NF -≤-++
126MF NF =++＝6＋2＋1＝9,当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及点P 与N 、F 2三点
共线时取等号，故选D.
7.答案：C. 解：∵22,a =而4AB =,∴A,B 分别在双曲线两支上的直线有2条；又∵通径长＝4,∴A,B 在双曲线同一支上的直线恰有1条，∴满足条件的直线共有3条. 故选C.
8.答案：C. 解：∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线1l 与抛物线C 相交于A,B 两点，∴过点P 的直线2l 再过点A 或点B 或与x 轴平行时符合题意，∴满足条件的直线2l 共有3条. 9.答案：B.解：易知点P 到直线C 1D 1的距离为1PC .由C 1是定点, BC 是定 直线.据题意，动点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离.由抛物线的定义,知轨迹为抛物线.故选B.
10. 答案：C. 解：设过焦点P 的弦的两个端点及弦的中点分别为A 、B 、P,它们在右准线上的射影分别为'A 、'B 、P ',则圆心P 到准线的距离()'''=
+1
2
PP AA BB ,而圆的半径＝()()''=+=+1222
AB e
AF BF AA BB ,又∵e<1,∴圆心P 到准线的距离>圆的半径, ∴圆与右准线相离.
11. 答案：A. 解：据题意，直线l 的方程为y=x －1, 代入双曲线M 的渐近线
2
2
20y x b
-=方程得22(1)210b x x -+-=，设两交点为1122(,),(,)B x y C x y , 则
122
1222111x x b x x b ?
+=??-?
??=
?-?
，∴x 1+x 2=2x 1x 2.又||||BC AB =,∴点B 为AC 的中点，∴2x 1=1+x 2，解得12141
2
x x ?
=????=-??，∴ b 2
=9
，∴c =∴双曲线M 的离心率
e=c a = A.
12. 答案：B. 提示：设P 、Q 关于0=+y x 对称，则可设直线PQ 的方程为：
b x y b x y +=+=由,和12-=ax y 联立，消去y 得2
,10ax x b ---=.∴△
=1+40)1(>+b a ,……① 又PQ 中点11
(
,)22M b a b
+在0=+y x 上，得a b 1-=……②
联立①②，解得4
3
>
a ，故选B. 13. 答案：
53或54. 解：据题意，34a b =或4
3
，∴53e =或54.
14. 答案：)(2
1
p a -.提示：当线段AB 过焦点时，点M 到准线的距离最小，其值为)(2
1
p a -. 15. 答案：以点2F 为圆心，以2a 为半径的圆. 提示：∵｜MP ｜=|F 1P|,∴|PF 1|+|PF 2|=|MF 2|=2a,∴点M 到点F 2的距离为定值2a,∴点M 的轨迹是以点2F 为圆心，以2a 为半径的圆.
16. 答案：A 、D.解：设12PF F △的内切圆分别与PF 1、PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则|PA|＝|PB|，|F 1A|＝|F 1M|，|F 2B|＝|F 2M|，又点P 在双曲线右支上，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|F 1M|－|F 2M|＝2a ，而|F 1M|＋|F 2M|＝2c ，设M 点坐标为（x ，0），则由|F 1M|－|F 2M|＝2a 可得（x ＋c ）－（c －x ）＝2a ，解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故A 、D 正确.
17. 解：(1) ∵点P 在椭圆C 上，∴6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522
1
2221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c=5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4, ∴椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (2)设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）、（x 2, y 2）. ∵圆的方程为（x+2）2
+(y －1)2
=5, ∴圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C 的方程得
（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k)x+36k 2+36k －27=0. ……（*）
又∵A 、B 关于点M 对称. ∴.29491822
221-=++-=+k
k k x x 解得98
=k ， ∴直线l 的方程为,1)2(9
8
++=
x y 即8x-9y+25=0. 此时方程（*）的 0≥?，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
解法二：(1)同解法一.
(2)已知圆的方程为（x+2）2
+(y －1)2
=5, ∴圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2). 由题意x 1≠x 2且
,1492121=+y x ……① ,14
92
222=+y
x ……②
由①－②得
.04
)
)((9))((21212121=+-++-y y y y x x x x ……③
又∵A 、B 关于点M 对称，∴x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2, 代入③得
2
121x x y y --＝98
，即直线l 的斜率为
9
8
， ∴直线l 的方程为y －1＝9
8（x+2），即8x －9y+25=0. 此时方程（*）的 0≥?，故所求的直线方程为8x-9y+25=0.
18. 解：（1）由题意，设曲线方程为 7
64
2+
=ax y ， 将点D(8,0)的坐标代入，得7
64
640+
?=a . ∴71
-
=a , ∴ 曲线方程为 7
64712+-=x y .
（2）设变轨点为C(x,y)，根据题意可知()()???
????+-==+2,764711,12510022
2 x y y x 将（２）代
入（１），得
4y 2-7y-36=0，解之，得y=4（y=-9/4舍去），于是x=6，所以点 C 的坐标为（6，
4）．
所以52=AC ,4=BC .
因此，在观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为4,52时，应向航天器发出变轨指令． 19. 解：由双曲线的定义可知，曲线E
是以(
))
12
,F F 为焦点的双曲线的左
支，
且1c a =
=，∴1b =， 故曲线E 的方程为()2210x y x -=<.
设()()1122,,,A x y B x y ，由题意建立方程组22
11y kx x y =-??
-=?，
，
消去y ，得()
22
1220k x kx -+-=.
已知直线与双曲线左支交于两点,A B ，∴()()222
12
2122102810201201k k k k x x k x x k ?-≠??=+->???-?+=?-?
，，，
，
∴1k <<-.
又∵ 12AB x x =-===
依题意得 ， 整理后得 42
2855250k k -+=，
∴257k =
或2
54k = 但1k <<- ∴k =， 故直线AB 的方程为102
x y ++=.
20. 解：(1)根据题设条件，12(,0),(,0).F c F c -
设点(,),M x y 则x 、y 满足
C
2..a x c b y x a ?=-???
?=-?
?
c e a =
=
∴可解得(M ，
12.((F M F M c c =+?-故 222441
.554
a c
b =
-+=-
由222,a b c +=得25,4c =于是22
11 , .4
a b == 因此，所求双曲线方程为2241x y -=.
（2）设点112233(,),(,),(,),C x y D x y E x y 则直线l 的方程为 1
1().y y x m x m
=
--
于是11(,)C x y 、22(,)D x y 两点坐标满足1122()41
y y x m x m x y ?=-?-??-=?
①②
将①代入②得2222222221111111(24)8420.x x m m y x my x y m x mx m -+-+--+-=
由已知，显然2
1210.m x m -+≠于是222
111122
12.21
x mx m x x x m x m -+=--+ 10,x ≠
∴211
2212.21x m m x x m x m -+=--+ 同理，11(,)C x y 、33(,)E x y 两点坐标满足
1122
1()141y y x m x m x y ?=-??-??-=??，，
可解得2
2111132
211112()2.112()21x x m x m x m m x x m m x m m -+-+=-=--+-+ 所以23x x =，故直线DE 垂直于x 轴.
21. 解：(1)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由AF →＝λFB →
， 得(－x 1，1－y)＝λ
(x 2，y 2－1)，∴ ?
????－x 1＝λx 2 ①
1－y 1＝λ(y 2－1) ②
将①式两边平方并把y 1＝14x 12，y 2＝14x 22代入得 y 1＝λ2
y 2 ③
由②、③得y 1＝λ，y 2＝1λ
，∴x 1x 2＝－λx 22
＝－4λy 2＝－4.
又
抛物线方程为y ＝14x 2，∴y′＝1
2
x ．
∴过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是：
y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2，即y ＝12x 1x －14x 12，y ＝12x 2x －14x 22
． 由此可得两条切线的交点M 的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 24)＝(x 1＋x 22
，－1)．
∴FM →·AB →＝(x 1＋x 22，－2)·(x 2－x 1，y 2－y 1)＝12(x 22－x 12)－2(14x 22－14x 12)＝0，
∴FM →·AB →
为定值0．
(2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝1
2
|AB||FM|．
又
|FM|
＝
(x 1＋x 22
)2＋(－2)2
＝
14x 12＋14x 22＋1
2x 1x 2
＋4＝
y 1＋y 2＋1
2×(－4)＋4
＝
λ＋1λ＋2＝λ＋1λ
．
又据抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝(λ＋1λ
)2
．
∴S ＝12|AB||FM|＝12(λ＋1λ)3
，
由λ＋
1λ
≥2知S ≥4，当且仅当λ＝
1λ 即λ
＝1时等号成立，∴min S =4．
22. 解：如图，（1）设椭圆Q ：
22
22
x y
1a b ＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，
y ），则()()
2222221
122
2222
22b x a y a b b x a y a b ?????＋＝,1＋＝,
2 1? 当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2，
（1）－（2）得 b 2
（x 1－x 2）?2x ＋a 2
（y 1－y 2）?2y ＝0，
∴212212y y b x y x x a y x c
－＝－＝－－ ， ∴b 2
x 2
＋a 2y 2
－b 2
cx ＝0 (3)
F
2? 当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，适合方程（3）. 故所求点P 的轨迹H 的方程为：b 2x 2
＋a 2y 2
－b 2
cx ＝0.
（2）因为椭圆Q 的右准线l 的方程是x ＝2a c ，原点距l 的距离为2a c ，c 2＝a 2－b 2
，
又a 2
＝1＋cos θ＋sin θ，b 2
＝sin θ（0<θ≤2π），∴2a c
＋＋＝2sin （2θ＋4π
）.
∴当θ＝
2
π时，上式达到最大值，此时a 2＝2，b 2
＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1， 从而椭圆Q 的方程为22
x y 12
＋＝
. 设椭圆Q 上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则三角形ABD 的面积S ＝12|y 1|＋12|y 2|＝1
2
|y 1－y 2|.
又设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22
x y 12
＋＝
，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0， 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －
＋，y 1y 2＝2
1
2k －＋， ∴4S 2
＝（y 1－y 2）2
＝（y 1＋y 2）2
－4 y 1y 2＝222
8k 1k 2（＋）
（＋）
. 令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2
＝
2
8t 88
21t 14t 2t
≤＝＝（＋）＋＋，当且仅当t ＝1，k ＝0时取等号， ∴当直线m 绕点F 转到垂直x 轴的位置时，三角形ABD 的面积最大.
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =
圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+，2 2()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线 的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-， 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x （0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+ . 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212 2. 8.抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px = . 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<=
专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则 有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)
圆锥曲线专题练习 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ．116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 3．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 4．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 5．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 6．如果22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 二. 填空题 7．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。 8．设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点， 则AB OM k k ?=____________。 三.解答题 9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。
10、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12- . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |= 3 24时，求直线l 的方程.
圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法： （1）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （2）代入求轨法（坐标平移法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （3）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 （5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 1、（1）一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切，求动圆圆心的轨迹方程； （2）又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢？ 2、△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程.
3、在平面直角坐标系中，若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程； 一、填空： 1．平面内到点A （0，1）、B （1，0）距离之和为2的点的轨迹为 2．已知M （－2，0）、N （2，0），动点P 满足|PM |－|PN |=4，则动点P 的轨迹方程是____________ 3．已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列，则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4．P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为______ 5．点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是 6．动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理）两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 二、选择： 10、,a b 为任意实数，若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上，则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上，那么曲线(,)0f x y =的几何特征是（ ） （A ）关于x 轴对（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x －y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是（ ） （A ）y 轴或圆（B ）两点（0，1）与（0，－1）（C ）y 轴或直线y =1±（D ）答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x ＋1，定点A （3，1），B 是抛物线上任意一点，点P 在AB 上满足 BP ：P A =1：2，当点B 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线？ 19、理）过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程。
京翰提示：圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等,解答题目相对较难,同时平面向量的介入,增加了本专题高考命题的广度圆锥曲线高考热点题型归纳。正圆锥曲线的考题一般是两个选择、一个填空、一个解答题,客观题的难度为中等。 高二数学—圆锥曲线综合练习 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知|→ a |=|→ b |，→ a ⊥→ b ，且（→a +→b ）⊥（k → a -→ b ） ，则k 的值是( ) A ．1 B ．-1 C ．0 D ．-2 2、已知3a =r ，23b =r ，3a b ?=-r r ，则a r 与b r 的夹角是（ ） A 、150? B 、120? C 、60? D 、30? 3、若)()(),1,2(),4,3(b a b x a b a -⊥+-==且,则实数x=（ ） A 、23 B 、223 C 、323 D 、4 23 4、已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x =（ ） A 、－3 B 、34 - C 、0 D 、 34 5．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ） A ． 45 B ．2 5 C ．32 D ．4 5 6．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82 -= B ．y x 82 = C ． y x 162 -= D ．y x 162 = 7．若过原点的直线与圆2 x +2 y +x 4+3=0相切，切点在第三象限，直线的方程是( ） A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 3 3 = D ．x y 3 3- =
高中数学《圆锥曲线方程》重要公式 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -= 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=? . 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00 221x y a b ? +<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200 22 1x y a b ? +>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. （3）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00 221x y a b ? ->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200 2 21x y a b ? -<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.
经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又
故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（），
将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点.
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 有交点. 二、圆： 1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程：①当22 40D E F +->时，一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方，将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时，方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ?点M 在圆C 内，||MC r =?点M 在圆C 上，||MC r >?点M 在圆C 外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定.