摘要
高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract
Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.
Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.
The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.
Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
目录
摘要................................................................................................................................ I Abstract ......................................................................................................................... I I
第1章绪论 (1)
第2章预备知识 (3)
2.1 凸函数的定义 (3)
2.2 凸函数的定理 (6)
2.3 凸函数的简单性质 (9)
2.4 几种常见的不等式 (10)
第3章在数学中的应用 (12)
3.1. 初等不等式的证明 (12)
3.2 函数不等式的证明 (14)
3.3 积分不等式的证明 (15)
第4章凸函数在经济学的中应用 (19)
4.1 最优化问题 (19)
4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)
4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)
4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)
结论 (28)
参考文献 (29)
致谢 (30)
第1章绪论
提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。而在大学阶段对凸函数的研究就更加深入了。由于其有很多好的性质，因此在数学之中将其分离出来，独立研究。在整个函数研究领域中占有十分重要的地位。它的概念最先见于国外学者的著述之中。从众多的文献中我们知道现在对凸函数的研究已从定义上升到凸分析再到凸函数的运用，尤其是它在纯粹数学和运用数学之中的许多领域有着举足轻重的作用。如今已成为众多的学科有力工具和理论基础，比如说在对策论，数学规划，变分学，数理经济学以及最优控制等等学科。本文重点通过凸函数的性质引出凸函数的运用，在应用方面主要探讨的是凸函数在两大领域的运用——数学和经济学，当然凸函数在其他的方面也有很多的应用。
在数学领域中，本文主要讨论了运用凸函数的方法来证明复杂的不等式比传统的方法更加的便利，并通过一些实际的例子我们可以得出结论的是：利用凸函数的方法显然比较简洁。
在经济学领域中，作为凸函数应用的的新发展。主要是最优控制方面的简单介绍。介绍经济学中一些重要的方法和一些工具，目标函数，凸规划等。从这些方法中得出的结论给经济学中投资决策有着重要的依据。
到目前为止，我们知道凸函数在许多的方面都有应用，但是我们也要注意到凸函数的局限性。从以往的论文或者专著来看，凸函数还是有一定的局限性，最为突出的就是其在理论上的。使得凸函数的运用更为广泛显得很劲瓶。所以必须更深入的研究凸函数。
凸函数是一种十分重要的数学概念，它在许多领域都有具有广泛的应用。正是由于凸函数有许多优良的性质的应用，现已经成为许多学科的重要理论基础和有力工具。2010年梁艳在发表《凸函数的应用》[1]一文阐述了凸函数的性质在证明数学中不等式应用。2009年黑志华，付云权在他们的《凸函数在微观经济学中的应用》[2]一文中阐述如何利用凸函数的性质去解决经济学中的一些问题。同样的在国外也得到了广泛的应用。如Neculai Andnei发表的《Convex function》[3]，主要介绍了一些有关凸函数的性质定理以及例举出了一些实际的应用。
现在由于凸函数在概念上的净瓶，出现许多的新的发展，比如广义凸函数，下面简单的介绍一下些。
凸函数的理论起源于本世纪前期，最初的理论奠基来自于Jenson，Holder等的著述之中，但是那时候并没有引起人们的关注。然而就在本世纪的40，50年代才引起了广泛的重视，由于某种的需要随之而来的就是对其概念研究，已经在运用方面的研究。就在50年代初期和60年代的末期，我们的学者对其进行了大量的研究，并得到了一些重
要的，有价值的研究成果。于是在上世纪60年代产生了凸分析，其概念也被推广。
定义1.1[4]：我们可以设集合n R C ∈,C y x ∈,属于其中的数，令实数a 其中实数a 的取值范围在[]1,0，那么下面的不等式是成立：
()C y a ax ∈-+1
则称集合C 为凸集。
设h : R R A n →∈,其中A 为凸集
定义1.2[4]：如果有一个函数h 满足下面的不等式的话：
()[]()(){}y h x h y x h ,max 1≤-+λλ
对于任何的x,y 都属于开凸集C 中，其中
，则称h 是A 上的拟凸函数。h
为拟凸函数的充要条件的是x,y 属于开凸集C 中，那么目的函数h 在开凸集C 上可微的。
当以下不等式
()()()()y h x h y h y x C y x T
≥?≥∨-∈0,,
成立，则可以称h 在开凸集C 上的伪凸。
本文从结构上分为两个部分，第一部分就是凸函数的性质，这部分可以说是为第二部分做理论上的铺垫，重点是凸函数的性质及其一些相关定理和不等式。第二部分就是实际应用。
本文共分为4章，以下我对本文各个章节所做出的具体安排：
第1章为绪论。在本章的内容主要是阐述了本论文研究背景及其目的，凸函数在国内外研究现状，和一些最新的发展，最后就是涉及本论文的结构。
第2章为预备知识。预备知识是我们研究前为第一部分所做的准备工作。在本章首先介绍了凸函数的定义，凸函数的定理以及凸函数的简单的性质，最后就是一些常见的不等式以及这些性质的证明过程。
第3章就是凸函数在不等式证明的应用。本章主要分为两个方面进行凸函数应用的探讨。首先就是在数学中的应用，将其分为三个小块进行。在不等式的证明中又分为三个模块。
第4章就是凸函数在经济学中的应用，分为最优问题的介绍和Arrow-pratt 风险厌恶度量。在最优化之中分为线性下的最优化以及非线性下的最优化，并从非线性引出凸线性规划问题，最后简单的介绍了一下Arrow-pratt 风险厌恶度量。
最后就是结论。总结了本文的内容，并且对未来凸函数应用的展望。
第2章 预备知识
2.1 凸函数的定义
下面介绍一下有关凸函数的定义
定义2.1[5]：我们可以设函数h ，其中有R I →，I y x ∈?,，[]1,0∈?λ以下不等式
()[]()()()y h x h y x h λλλλ-+≤-+11
成立，则我们就称函数h 是I 上的凸函数。如果我们假设对于任意的数[]1,0∈λ，且有
y x ≠并且有以下的不等式成立
()[]()()()y h x h y x h λλλλ-+<-+11
则我们将这种称为函数h 是I 上的严格凸函数。
其实对于这些公式在纯粹的数学公式来说是很难理解的，在数学中我们一般用数学的几何图像来解释这些公式，这样我们就可以更加容易理解这些所代表的意思。当然随着我们知识的不断积累单纯，固定的思维不应该再我们脑袋里重复出现，导数就是一个例子。下面我们运用几何知识来解释凸函数的意义，但这只限于几何。
我们可以设函数()x h y =，在区间I 上有定义并且对于任意的两个数I x x ∈21,且连续。如下图2-1所示的那样我们就称这个函数在这个区间上是一个凸函数。这只是凸函数几何定义的文字叙述形式，这样看来是枯燥的，下面我们运用几何的形式来解释，这样更为直观些。
图2-1 凸函数几何图
下面我们列举几个等价的定义
定义2.2[5]：我们同样可以设函数h 在区间I 上有定义，如果这个函数在区间I 上的凸函数的话，就要满足以下式子：
,,21I x x ∈?有()()222121x h x h x x h +≤
??
? ??+ 如图所示
图2-2 凸函数几何图
下面是一个推论可以有定义2得出来，但是还是要经过一般性的推导
定义2.3[5]：同样根据定义2.2我们可以设函数h 在区间I 上有定义，函数h 称为凸函数，只有当以下式子得到满足时
I x x x n ∈?,,,21 ,有()()()n x h x h x h n x x x h n n +++≤
??
? ??+++ 2121 从中我们不难看出这三种定义不等式均是等价的。
在定义2.2成立的条件下可以证明定义2.3,我们用逆数学归纳法证明。下面我们对定义进行推导证明。
证明：我们可以先假设当2=n 时成立，显然根据定义2.2是成立的 当4=n 时
左边=??
?
??+++44321x x x x h ，右边=
()()()()44321x h x h x h x h +++ 由于()()222121x h x h x x h +≤
??
? ??+推导出下式
2
22
222
443214
3214321??? ??++??? ??+≤?????
?
??+++=??? ??+++x x h x x h x x x x h x x x x h
()()()()
()()()()123412342224
h x h x h x h x h x h x h x h x ++++++≤= 即
()()()()4443214321x h x h x h x h x x x x h +++≤??
? ??+++ 可以看出将2k n =时，经过上述的方法反复的计算可以证明其成立。我们可以另外设
m
x x x N m
+++=
21
则有
Nm x x x m =+++ 21
两边同时加上N 得：
N Nm N x x x m +=++++ 21
对其进行变形得
()121+=++++m N N x x x m
1
21++++=
m N
x x x N m
由1+=k n 时成立，故
()()()()()112121+++++≤
??
? ??+++++=m N h x h x h x h m N x x x h N h m n ()()()()()()N h x h x h x h N h m m ++++≤+ 211
()()()()()()N h x h x h x h N h N mh m ++++≤+ 21
()()()()m x h x h x h N mh +++≤ 21
()()()()
m
x h x h x h N h m +++≤
21
其中
()??
?
??+++=m x x x h N h n 21
2.2 凸函数的定理
在凸函数有很多非常重要的定理，这些定理在实际的应用中起到了举足轻重的作用。下面简单的介绍几个定理及其一些证明。
定理2.1[5]：可以设一个函数h 在区间I 上有定义，则以下的条件是等价的 （I x x x ∈321,,且有321x x x <<）()x h y =
（Ⅰ）()x h 在区间I 凸函数 （Ⅱ）
()()()()23231212x x x h x h x x x h x h --≤
-- （Ⅲ）
()()()()23231313x x x h x h x x x h x h --≤-- （Ⅳ）
()()()()1
3131212x x x h x h x x x h x h --≤-- 下面我们只给出其中之一的证明，其余的证明都是雷同的。现证明Ⅰ与Ⅳ等价。
图2-3 定理证明图
证明：根据凸函数的定义我们可以得到（其中31,x x 关系如图所示）
()[]()()()313111x h x h x x h λλλλ-+≤-+
将（Ⅳ）变换得到：
()()()()13131212x x x h x h x x x h x h --≤-- ()()()()[]131
31
212x h x h x x x x x h x h ---≤- ()()()[]()1131
31
22x h x h x h x x x x x h +---≤
()()()113123131
221x h x x x x x h x x x x x h ???
? ??---+--≤
()()()()11312133131
22x h x x x x x x x h x x x x x h ???
? ??----+--≤ ()()()113233131
22x h x x x x x h x x x x x h ???
? ??--+--≤
这是我们可以记1
31
2x x x x --=
λ，其中[]1,0∈λ，我们可以得到以下式子 ()2121213213131323131313111x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x λλ??----+-=
+-=+= ?----??
()2311x x x =-+λλ
()()()()()()()3221
21313313131
11x x x x h x h x x h x h x h x h x x x x x λλλλ--=+-≤+-=
+????-- 我们可以综合上面我们可以知道，从Ⅰ可以推到Ⅱ。反过来对于任意的[]1,0∈λ，记()1321x x x λλ-+=，反过来我们把上式改变下就可以得到由从Ⅱ 推到Ⅰ。故我们可以得到结论是：Ⅰ与Ⅳ等价。当然其他的等价条件我们同样可以仿效得到类似的结论。
显然我们可以通过上面的式子得到一个重要的等式如下
()x h 在区间凸函数，且在该区间三点满足如图3所示的关系，那么我们可以得到
以下不等式
()()()()()()2
32313131212x x x h x h x x x h x h x x x h x h --≤--≤-- 定理2.2[6]：设函数h 在区间I 上有定义且一阶可导，如果h 在区间区间I 上严格单调增，则函数h 严格凸的。
推论2.1[6]：设函数h 在区间I 上有定义且二阶可导，如果对于任意的I x ∈,()0>''x h （0≥），则函数h 严格凸的。
定理2.3[7]：如果函数h 在区间I 上有定义，则我们可以得到以下的一些等价的命题： （Ⅰ）()x h 在区间I 凸函数
（Ⅱ）对于1,021=+++≥?n i P P P P 对于I x x x n ∈?,,,21 有
()()()()n n n n x h P x h P x h P x P x P x P h +++≤+++ 22112211
（Ⅲ）对于0≥?i P 且i P (n i ,3,2,1=)不全为零，对于I x x x n ∈?,,,21 有不等式
n n
n n n
n P P P x P x P x P P P P x P x P x P h ++++++≤???
? ?
?++++++ 212211212211 现证明Ⅰ与Ⅱ等价
证明：对于上面的三个等价命题中，显然我们可以从Ⅱ推到Ⅰ，只需要将2=n 时即可，然后再根据第2章预备知识中定义2.1的不等式形式可以得出结论成立。
现只需证明从Ⅰ推到Ⅱ，在Ⅰ成立的条件下得出不等式
()()()()[]212111x h x h x x h λλλλ-+≤-+
显然我们可以已经数学归纳法，这是=2已经是成立的
假设k n =时也是成立的。即
()()()()k k k k x h P x h P x h P x P x P x P h +++≤+++ 22112211
则当1+=k n 时有
()()1122112211111111k k
k k k k k k k k Px P x P x h Px P x P x P x h P P x P ++++++??++++++=-+??-??
L L ()1112211111+++++???
?
?
?-+++-≤k k k k
k k x P P x P x P x P h P 其中
()()1122
11221111()()()1111k k
k k k k k k Px P x P x Ph x P h x P h x P h P P P ++++????++++++-≤- ???--????
L L
()()()k k x h P x h P x h P +++= 2211
综合以上的式子我们可以得到以下结果：
()()()()()112211112211++++++++≤++++k k k k k k k k x h P x h P x h P x h P x P x P x P x P h
所以当1+=k n 时不等式也是成立的
图2-4 定理4图
2.3 凸函数的简单性质
（Ⅰ）我们设函数h 及f 均为区间I 凸函数，那么f h +在区间I 也是凸函数[7]。 （Ⅱ）设函数h 及f 均为区间I 凸函数，则当02,1>k k 时，那么线性表达式f k h k 21+在区间I 也是凸函数。
(Ⅲ)设函数()U h 为单调递增凸函数，()x f U =是凸函数，则复合函数()()x f h 也是凸函数。
(Ⅳ)如果函数h 在区间I 上有定义且为凹函数且有()0>x h ，则()
x h 1
为区间I 上的凸函数，然而它的反推是不成立的
现在我们可以对Ⅳ性质进行简单的证明，证明如下所示： 证明：由于()0>x h 为凹函数，那么得到不等式
()[]()()()212111x h x h x x h λλλλ-+≥-+
其中I x x ∈21,且[]1,0∈λ
要证明
()
x h 1
是凸函数，我们只要证明下面不等式成立就可以了 ()[]()()()
2121111x h x h x x h λλ
λλ-+
≤-+ 我们可以得到
()[]()()()()
2212111
11x x h x h h x x h λλλλ-+≤
-+ 现在只需要综合以上的式子并由于()0>x h ，根据公式xy y x 222≥+得
()()()()y h x h y h x h 222≥+
故
()[]()()()
2121111x h x h x x h λλ
λλ-+
≤-+ 除此证明外我们还可以例举出一个实际而简单实例来说明如下式： 当()x e x h -=时在区间上为凸函数，但是()
x h 1
在区间上任然是凸函数，所以性质（Ⅵ）反推是不成立的。
2.4 几种常见的不等式
凸函数的最基本不等式如下[6]
设()x h 为区间I 凸函数，则对于I 内的任意一组值I x x x n ∈?,,,21 必有不等式
()()()n x h x h x h n x x x h n n +++≤
??
? ??+++ 2121 成立。
Jensen 不等式如下[6]
对于函数()x h ，在R I →是区间I
上的凸函数的充分必要条件是对于任意的及[]1,0∈k λ其中n k ,2,1=，并且有11=∑=n
k k λ，则不等式
()()()()n n n n x h x h x h x x h λλλλλλ+++≤+++ 2211221
称为Jensen 不等式
Cauchy-Schwarz 不等式如下[6]
Cauchy-Schwarz 不等式其实就是利用Jensen 不等式推导出来的下面的不等式就是Cauchy-Schwarz 不等式
∑∑∑===≤
n
k k
n
k k
n
k k k b a b a 1
2
1
2
1
Hadamard 不等式如下[5]
如果函数在区间[]b a ,上有定义且为凸函数，则对于b x x a ≤≤≤21则有不等式
()()()[]211
2212
1
122
1
x h x h dx x h x x x x h x x +≤
-≤
???
??+?
第3章 在数学中的应用
凸函数属于函数的一种，在数学之中使用的最为广泛。在数学中我们一般就是利用其性质来证明各类不等式，将复杂的不等式进行一定的变换得到你想要的凸函数形式，然后得出证明。这样便化难为简了。
本章讨论的关键问题是凸函数在数学中的不等式证明，将凸函数的性质用来证明不等式与传统的方法比如说数学归纳法比较，凸出前者的便利性。在本章中我们就三种不等式进行简单的证明，所用到的大多是凸函数的简单性质以及相关的定理[8]。在这些不等式中有些比较复杂，一般的证明方法来证明就比较困难了。然而当我们用凸函数时，这些实际问题便容易得到了解决[9]。所以证明不等式也就是凸函数性质的一个非常重要的应用，但是关键的是我们要把复杂的不等式经过一些变换从而得凸函数的形式。
3.1. 初等不等式的证明
例 3.1 证明不等式()122n
n n x y x y +??+> ???
其中,0,x y x y >≠且1>n
解析：当我们看到这个等式的时候，就会觉得如果我们用一般的数学归纳方法来证明就会出现两种结果。一是证明出来了就是过程太复杂，二是就根本就没有这么出来。像这样的就是非常复杂和繁琐的，包括里面的所需要的思想。两个不同的未知数，显然不能用一般的求导。这里我们可以选择构造法来解决。这是数学之中常用的一种来解决繁琐的方程或者不等式。此题如果不用构造法几乎是很难证明出来的，所以对于此题我们选择了构造法[10]。
证明：令()n t t h =（1,0>>n t ） 一阶求导可以得
()1'-=n nt t h
()()2''1--=n t n n t h ， 1,0>>n t
依据第二章中的凸函数的定义和定理我们可以得出
()t h 在()+∞,0上是严格的凸函数，再由凸函数的定义式我们可得
()()2221
21t h t h t t h +≤??
? ??+ 由上式变换得到
()122n
n n x y x y +??
+> ???
例 3.2 证明不等式，当,0,x y x y >≠时，有下列不等式
()ln ln ln
2
x y
x x y y x y ++>+ 成立
解析：这些不等是在历年的考研试卷出现的频率较高，难倒了不少的考生。其实这个不等式是俄罗斯的数学竞赛题，通过改编而来。当我们看到此不等式时，我们首先想
到的是将ln 2
x y
+用函数()t t h ln =来构造其中0>t 。则我们可以看到
ln 22x y x y h ++??
= ?
??
，但是如果我们仔细观察就会发现要证明这个不等式利用()t t h ln =是构造不出来
()()
2
h x h y +的，因此此构造法是不可行的。但是我们仔细观察你就会发现在不等式的两遍都有两个相同的数，这样我们可以构造出这样的一个函数来
()t t t h ln =(0>t ),再在不等式的两边同时乘以就2
1
可以得到形如ln ln ln 222
x x y y x y x y
+++>的不等式。
证明：设函数()t t t h ln =(0>t ) 一阶求导得到
()t t h ln 1'+=，其中0>t
可以看出()0'>t h
()()()001
''''>?>=
t h t t
t h 根据第二章凸函数的性质中的推理可以看出()t h 在()+∞,0上是严格的凸函数，又根据凸函数的定义得到：
对于任意的,0,x y x y >≠时都有
()()22h x h y x y h ++??
> ???
即 ln ln ln 222
x x y y x y x y +++>
()ln ln ln 2
x y
x x y y x y ++>+
这两道题都是初等不等式，用构造法来构造成凸函数证明显然就比较简单了。但是
如果我们用传统的方法来证明，证明的过程繁琐甚至证明不出来。从上面的几个例子我们可以得出的结论就是，运用凸函数的性质定理来证明初等不等式显得很简单及巧妙。
3.2 函数不等式的证明
例 3.3证明对于任何的非负数实数,x y ，有
2arctan arctan arctan 2x y x y +??
≥+ ???
解析：对于函数不等式，我们见得最多就是三角函数组成的不等式，比起初等不等式构造起来就更加困难了，但是还是可以仿效初等不等式来构造。构造成凸函数的形式，从而得到证明此题可以辅助函数[11]()x t h arctan -=其中要求0>x 。
证明：记()x t h arctan -=（ 0>x ）。二阶求导得
()()
()0122
2''>+=
x x x
x h
显然在()+∞,0上是严格的凸函数
由定义得到
对于任何的非负数实数,x y ，则有()()22h x h y x y h ++??≤
???
，则有 a r c t a n a r c t a n a r c t a n 2
2x y x y ++??
-
≥- ???
故有
2arctan arctan arctan 2x y x y +??
≥+ ???
例 3.4：设??
? ??∈2,0πx ，证明()()2cos sin 2cos 12cos 1≥++-x
x x x
解析：这个题看起来非常的复杂，难度也比前面的大，普通的方法是很难到达证明的，因为其中就要涉及到不等式符号大小的判定，我们可以记()2
sin x A =和()
2
cos x B =其中可以将x 2cos 1-化简得A 2，将x 2cos 1+化简得B 2。
证明：先变换得
()()()()B A x x x x x x 222cos 12cos 1cos sin cos sin +=++-
其中记()2
sin x A =和()2
cos x B =原式化简得到
原式()()B
A
B A +=,显然0,0>>B A
又记()n t t h =，由以上可知道()t h 在()+∞,0上是严格的凸函数，再由凸函数的定义
式我们可得()()22h A h B A B h ++??≤
???
则 ()(
)1
22
2
sin cos 1122222x x A B h h h ??++??????==== ? ? ? ? ?????????
然而
()()()()
22A B h A h B A B h ??++=??????
因此
()()2cos sin 2cos 12cos 1≥
++-x x x x
在证明函数不等式时我们还是可以利用构造法来解题，只不过函数不等式比初等不等式更加复杂。构造起来有点麻烦，但是一旦找到合适的辅助函数就变得简单了。
3.3 积分不等式的证明
在证明不等式时有一种思想是常用到的—分割[12]，这种思想是一种极限的思想，就是将极小不规则的图形看着是规则的。这种思想的应用使得不等式的证明变得简单易懂。
例3.5：我们设函数()x g ，()x h 在区间[]b a ,上是连续的，且有()0≥x g ，()?>b
a
dx x h 0，
()M x g m ≤≤,()x φ在闭区间[]b a ,上是有定义的，并且二介导数()0'
'>x φ证明不等式
()()()()()()()????≤????
? ??b a
b
a
b a b a dx
x h dx x h x g dx x h dx x h x g φφ
解析：此题在考研机构中经常被讲到，也是考研的热点题。此题就要设计一些微积分定义的知识，其中将要用到微元法。下面简答的介绍一些微元法。
图3-1 微元法
如图3-1所示，我们将函数()x h 在区间[]b a ,分成N 等份，这里面有N 分点：
b x x x a N =<<<= 10
那么第k 个子区间的长度为：
1--=?k k k x x x ()n k ,,2,1 =
从图中我们可以看出形成了一个曲边梯形。
在我们可以在区间[]k k x x ,1-取一点k λ，且其对应的曲边梯形的面积为k A ?
()k k k x h A ?≈?λ
那么所有的小曲边梯形就构成了整个曲边梯形的面积；
()k N
k N
k k k x h A A ?≈?=∑∑==1
1
λ
当N 无限的大时，则每个子区间的就会越来越少，我们设子区间的最大值为
{}max 0k d x =?→，上式就可以写成：
()()dx x h x h A b
a
k N
k k d ?∑=?==→1
lim λ
下面我们就要用到以上的结论了
证明：由于函数()x g ，()x h 在区间[]b a ,上是连续的，则我们可以依据微积分的微元法思想将区间[]b a ,分割成n 等份并将每等份的标记为：
()a b n
k
a x k -+
= ()n k ,,2,1 = 又由于''()0x φ>则得()x φ 在区间是凸函数，根据凸函数相关的性质定理得到：
()()()n n n n
n n h h h g h g h g h h h h g h g h g h +++++≤???
?
??+++++ 212211212211φφφφ 即:
()()()()()
()∑∑∑∑--≤?
????
?
??
--n
a
b x h n a
b x h x g n a b x h n a b x h x g k k k k k
k φ 当n →+∞时则取极限值，又根据以上积分的定义所得到的结论可以得证明即：
()()()()()()()????≤????
? ??b a
b
a
b a b a dx
x h dx x h x g dx x h dx x h x g φφ
例 3.6：我们设函数()h x 在闭区间[,]a b 上是可积函数，且有()m h x M ≤≤，设()x φ是区间()m x M φ≤≤上的连续凸函数，则
()()()??-≤???
??-b a
b a dx x h a
b dx x h a b φφ11 证明：由题意可知()x h 在闭区间[]b a ,上是可积函数的，则根据积分的定义我们可以将整个区间分成若干等份，则有：
()a b n k
a x k -+= ()n k ,,2,1 =
我们记()k k h x h = ()n
a b x k -=
?
由以上可以得如下不等式：
高中数学教学设计大赛 获奖作品汇编 4、对数函数及其性质（1） 一、教材分析 本小节主要内容是学习对数函数的定义、图象、性质及初步应用。对数函数是继指数函数之后的又一个重要初等函数，无论从知识或思想方法的角度对数函数与指数函数都有许多类似之处。与指数函数相比，对数函数所涉及的知识更丰富、方法更灵活，能力要求也更高。学习对数函数是对指数函数知识和方法的巩固、深化和提高，也为解决函数综合问题及其在实际上的应用奠定良好的基础。虽然这个内容十分熟悉，但新教材做了一定的改动，如何设计能够符合新课标理念，是人们十分关注的，正因如此，本人选择这课题立求某些方面有所突破。 二、学生学习情况分析 刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。 三、设计理念 本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对数函数的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。 四、教学目标 1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 2．能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3．通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生运用函数的观点解决实际问题。 五、教学重点与难点 重点是掌握对数函数的图象和性质，难点是底数对对数函数值变化的影响． 六、教学过程设计
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数
函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)
x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x
对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.
《对数函数及其性质》 学校：广西师范大学院系：数学科学学院 作者： 学号： 对数函数及其性质 一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的， GUANGXINOPMAL UNlVEPSITY 人教A版第二章第2.2.2节
针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计： 第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。 第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。 第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。 二、学情分析 （一）学习的知识起点 学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。 （二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a 的对数函数的性质不能很好地进行区分。从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的 规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。 三、教材分析 （一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质, 掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一, 对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作
对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较 (3)底数a对对数函数的图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上
摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
对数函数及其性质教学设计 三亚市第四中学邓影 课题：对数函数及其性质 使用教材：人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）》 第二章第2.2.2节第一课时 一、教材分析 1．本节教材的地位和作用 基本初等函数是函数的核心内容，而对数函数又是重要的基本初等函数之一。在此之前，学生已经学习了指数函数及对数运算，为本节的学习起着铺垫作用，同时对数函数作为常用数学模型是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供必要的基础知识。因此本节课具有承前启后的作用。 2．教学重难点 重点：本节课是新授课，,因此我把本节课重点定为对数函数的概念、图象，和性质。 难点：学生在探究对数函数性质时可能会遇到障碍，因此我把探究对数函数性质作为本节课的难点。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生实际情况及其认知结构心理特征制定教学目标如下： 1．知识与技能： （1）理解对数函数的概念； （2）掌握对数函数的图像和性质，并在探索过程中学会运用数形结合的方法研究问题； 2．过程与方法： （1）经历对数函数概念的形成过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，由具体到一般，提高学生归纳概括能力； （2）学生通过自己动手作图，分组讨论对数函数的性质，提高动手能力、合作学习能力以及分析解决问题的能力； （3）通过类比指数函数性质研究对数函数，培养学生运用类比的思想研究数学问题的素养；
3．情感、态度与价值观： 在知识形成的过程中，体会成功的乐趣，感受数学图形的美，激发学生学习数学的热情与爱国主义热情，培养学生勇于探索敢于创新的精神。 三、教法学法 1.教学方法 建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。 高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟. 在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究式 ．．．”教学方法。将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。其理论依据为建构主义学习理论。它很好地体现了“学生为主体，教师为主导，问题为主线，思维为主攻”的“四为主”的教学思想。 2. 学法指导 新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历创设情境→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→趁热打铁→画龙点睛→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极参与到教学活动中来。 3. 教学手段 本节课我选择计算机辅助教学。增大课堂容量，提高课堂效率；激发学生的学习兴趣，展示运动变化过程，使信息技术真正为教学服务． 4.教学流程
特征函数的概念及意义 目录： 一．特征函数的定义。 二．常用分布的特征函数。 三．特征函数的应用。 四．绪论。 一．特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =?
2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！ ，k=0,1， ，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=,
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.doczj.com/doc/4610629651.html,work Information Technology Company.2020YEAR
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).
\ 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征???? ? log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数 log a x 的真数：仅是自变量x 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因 是不符合对数函数解析式的特点． , 【例1－1】函数f (x )＝(a 2 －a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________． 解析：由a 2 －a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1 【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________． (1)y ＝log (a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2； (3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)； (5)y ＝log 6x ． 解析： 2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质
(1)图象与性质 谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y轴右侧，其单调性取决于底数．a＞1时，函数单调递增；0＜a＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． (2)指数函数与对数函数的性质比较
根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)
)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
【金版教程】2015-2016高中数学 2.2.2.2对数函数的图象及性质的 应用随堂练习 新人教A 版必修1 1.[2015·宁夏银川高一期中]已知y ＝(14 )x 的反函数为y ＝f (x )，若f (x 0)＝－12，则x 0＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．2 D.12 [解析] y ＝(14)x 的反函数是f (x )＝log 14 x ， ∴f (x 0)＝log 14 x 0＝－ 12. ∴x 0＝(14)－12 ＝[(12)2] －12 ＝2. [答案] C 2．已知y ＝log a (2－ax )在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2，＋∞) [解析] 题目中隐含条件a >0. 当a >0时，t ＝2－ax 为减函数， 故要使y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数， 则a >1，且t ＝2－ax 在x ∈[0,1]时恒为正数， 即2－a >0，故可得1log 53>0， 1>log 53>0， ∴log 54>(log 53)2 即a >b . 又∵log 45>1>log 54， 即c >a . ∴c >a >b . [答案] D 4．[2014·天津高考]函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)
中文题目：凸函数的性质及其应用 英文题目：The Property and Applications of Convex Functions 完成人： 指导教师： 系（院）别：数学与信息科技学院 专业、班级：数学与应用数学0602班 完成时间：二〇一〇年六月 河北科技师范学院数信学院制
目录 中文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 凸函数的定义 (2) 2.2凸函数的运算性质 (2) 2.3 Jesen不等式 (2) 3 本文的主要结果 (3) 3.1 凸函数的连续性 (3) 3.2 凸函数的微分性质 (3) 3.3 凸函数的积分性质 (6) 3.4 Jesen不等式及凸函数性质的应用 (7) 结束语 (12) 参考文献 (12) 英文摘要 (13) 致谢 (13)
凸函数的性质及其应用 (河北科技师范学院数学与信息科技学院 数学与应用数学专业0602班) 指导教师： 摘 要: 凸函数是一类重要的函数，它在数学理论研究中涉及了许多数学命题的讨论证明和应用。本文将散见于多种文献中的材料加以汇总并系统化，从凸函数的定义出发,讨论了定义在某区间上的凸函数经四则运算生成新的函数的凸性以及连续凸函数的一些性质，对凸函数的连续性、可微性、可积性等分析性质加以系统论述。并且讨论了凸函数Jesen 不等式和凸函数性质在不等式证明中的应用。 关键词: 凸函数；不等式；证明 1 引言 凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学分支, 它在数学规划、控制论、 多元统计等领域都有广泛的应用，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出【3】 。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面,凸函数有 着十分重要的作用【4】 。人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛深入的研究,凸函数的性质也有所发展。函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析。对函数凹凸性的研究,在数学分析的多个分支都有用处。在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是 最重要的【7】 。 凸函数的定义,最早是由Jenser 给出。本世纪初建立了凸函数理论以来, 凸函数这一重要概念 已在许多数学分支中得到了广泛应用【8】 。凸函数涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数在 现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用【10】 。由于凸函数具有较好的几何和代数性质, 在数学规划中有着广泛的应用背景, 一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中, 对风险厌恶的度量, 也可以表现为对效用函数凸性的选 择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了【11】 。另外, 由于凸函数理论的广泛性, 因此对其理论的研究成果还有待进一步的深入和推广。 2 预备知识 2.1 凸函数的定义 定义1 【10】 设()f x 在区间I 内有定义,如果对任意的1x , 2x ∈I , (1x ≠2x ) ,总有 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+ , 则称函数()f x 是区间I 内的凸函数,并称()f x 在I 内的图形是向下凸的;如果对任意的1212,()x x I x x ∈≠,对(0,1)λ?∈,总有 12 12[(1)](1)()() f x x f x f x λλλλ-+>-+, 则称函数()f x 是区间I 内的凹函数,并称()f x 在I 内的图形是向上凸的。若式子中的不等式改为严格不等式, 则相应的函数称为严格凸（凹） 函数。 定义2 【 10】 设()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1212,()x x x x ≠ ,恒有