第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题) 1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 解 梯形公式： ?+-≈ b a b f a f a b dx x f )]()([2 )(. 矩形公式： ?+-≈b a b a f a b dx x f )2 ()()(. 以上两求积公式以 ,1)(=x f x 代入公式两边，结果相等，而以2 )(x x f = 代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson 公式： ? +++-≈ b a b f b a f a f a b dx x f )]()2 (4)([6)(. 容易验证：以2 ,,1)(x x x f =分别代入Simpson 公式两边，结果相等。 以3 )(x x f =代入 左边= )(444 13a b dx x b a -=? 右边=[ ] 32 322322332 3 3 3 36246b ab b a a a b b b a a a b +++-=??? ?????+??? ??++- = ).(4 144 a b - Simpson 公式两边，结果相等。而以4 x 代入Simpson 公式两边，其结果 不相等。故Simpson 求积公式的代数精度为3. □ 3．对于? =h dx x f I 30 )(的数值积分公式? = h h dx x p I 30 )(，其中)(x p 为对)(x f 在 h h x 2,,0=进行插值的2次多项式.证明：)()0(8 354h O f h I I h +'''?=-. 证明： )(x P 为)(x f 于h h x 2,,0=进行插值的二次多项式，则： )()()(x R x P x f += 其中： )2()(! 3) ()(h x h x x f x R --'''=ξ. 求积分公式误差 ? ?-= h h dx x P dx x f f E 3030 )()()( ? --'''=h dx h x h x x f 30 )2()(! 3) (ξ
第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因,
故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和.
解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表
第一章 绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q
第一章 绪 论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )
1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。
第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ；
习题1 1． 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避免 误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字. 3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限. 95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==?===? 5. 证明1.2.3之定理1.1. 6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。（假定钢珠为标准的球形） 7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差. 8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字. 9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有 r r xf x f x k x k f x εε'≈= () (())(),() 其中 并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2 x π ≈时是病态问题． 11. 定义多元函数运算 1 1 1,,(),n n i i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中 求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ
500 .0105.0102.0||3412≈*?
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
第一章 绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7．求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。 解：2 5610x x -+= ， 故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字
9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？ 解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章 插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知，
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.
4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 Λ14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11Λ=-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择）
第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π=x ，2 2π= x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---=Λ求][1,0p x x x f Λ之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i Λ互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造） 10 构造一个三次多项式)(x H ，使它满足条件1)1(,1)2(,0)1(,1)0(='===H H H H （埃
第一章 绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51 ()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈
** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 6．设028Y = ，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…） 计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？ 解：1n n Y Y -=- 10099Y Y ∴=- 9998Y Y = 9897Y Y =-…… 10Y Y =- 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y = 27.982, 100027.982Y Y ∴=-