杭州商学院微积分(上)模拟试卷(一)
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、设???
??<≥=0 , 10 , )(x x
x x x f ，则=)]([x f f 。
2、=???
??++-∞→x x x x 42341lim 。
3、函数2
3)
3ln()(2
+++=
x x x x x f 的可去间断点为 。 4、设023lim
22≠=-+-→b x
a
x x x ，则=a ，=b 。 5、若tx
x x
t t t f )1(lim )(+
=∞
→，则=')(t f 。 6、设x y 2e -=，则=)(n y 。
7、某商品的需求量Q (单位：只)与价格p (单位：元)的函数关系是230000p Q -=,当
=p 元时，涨价1%，需求将按1%的幅度下降。
8、函数x y ln =在]e ,1[上使用拉格朗日中值定理成立的=ξ 。 9、设x x f e )13(=+'，则=)(x f 。 10、已知C x x x f +=?3d )(，则=?
x x f x
d )(ln 1
。 二、单项选择题（每小题2分，共10分）
1、函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。
（A ）x 轴 （B ）y 轴 （C ）原点 （D ）直线x y = 2、当0→x 时，下列无穷小中，与x 不等价的是（ ）。
（A ）1e -x （B ）x tan （C ）11-+x （D ）)1ln(
x + 3、设)(x f 为可导函数，则=---→1
)
1()2(lim
1
x f x f x （ ）
（A ）)1(-'-x f （B ）)1(-'f （C ）)1(f '- （D ）)2(f '
4、论断：Ⅰ 极大值必大于极小值；
Ⅱ 可导函数)(x f 在0x 处取得极值，则0)(0='x f ； Ⅲ 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点可导的必要条件。 以上论断正确的是（ ）。
（A ）Ⅲ （B ）Ⅰ，Ⅲ （C ）Ⅱ，Ⅲ （D ）Ⅰ，Ⅱ 5、如果)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ）。 （A ）x sin 1+（B ）x cos 1+（C ）x sin 1-（D ）x cos 1-
三、计算题（每小题6分，共48分）
1、求 ??
? ??-→x x x x 1sin 1cot lim 0
。
2、求 x
x
x x 2023
2lim ???
?
?
?+→。 3、设?????
=≠=0 , 0 0
, 1cos )()(x x x
x g x f ，0)0()0(=='g g ，求)0(f '。 4、设)1ln(3sec arcsin 22++++=x x x x y ，求y '。 5、设)(x y y =是由方程y
x
y x -=+e
所确定的隐函数，求0
d =x y
。
6、求 ?-x x x d )1(432。
7、求 ?-x x x d 1
122。 8、求 ?
+x x
x
d 2cos 12。
四、应用题（共16分）
1、(6分)某工厂在生产过程中,次品数y 依赖于日产量x ,且???
??≥<-=100 , 100 , 101x x x x x
y 。该工厂
每售出一件产品可盈利A 元，但出一件次品将损失A /3元，问：为获最大利润，日产量应为多少？
2、（10分）讨论函数2
)
1(1
2--=x x y 的形态，并作图。 五、证明题（6分）
设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且在),(b a 内0)(≠'x f 。证明：)(x f 在),(b a 内至多有一个零点。
杭州商学院微积分(上)模拟试卷(一)答案
一、填空题（每小题2分共20分）
1、x
2、-2
3、2-=x
4、1,2-==b a
5、2
e )21()(2t t t
f +=' 6、x n 2e )2(-- 7、100=p 8、1e - 9、C x +-3
1e 3 10、C x +3)(ln
二、单项选择题（每小题2分共10分） 1、C 2、C
3、C
4、C
5、C
三、计算题（每小题6分,共48分）
1、求??
? ??-→x x x x 1sin 1
cot lim 0
解：原式61
3cos 1lim sin lim sin )sin (cos lim
203020=-=-=-=→→→x
x x x x x x x x x x x x 2、求x
x
x
x 2023
2lim ???
?
??+→ 解：x
y x x x x 2
ln )32ln(lim 2ln lim 00-+=→→
6ln 3ln 2ln 3
23ln 32ln 2lim 20=+=++=→x x x x x ∴ 原极限66ln ==e
3、设?????
=≠=0 , 0 0
, 1cos )()(x x x
x g x f ，0)0()0(=='g g ，求)0(f '。 解：x
x x g x f x f f x x 1
cos )(lim 0)0()(lim
)0(00
?=--='→→， 而0)0()0(=='g g ，即0)
(lim 0)0()(lim
)0(00
==--='→→x
x g x g x g g x x ， ∴ 01
cos )(lim
)0(0
=?='→x
x x g f x 4、设)1ln(3sec arcsin 22++++=x x x x y ，求y '。 解：1
13tan 3sec 3122
4
++
+-=
'x x x x
x y
5、设)(x y y =是由方程y
x
y x -=+e 所确定的隐函数，求0
d =x y
。
解：两边关于x 求导，2
e
1y y x y y y
x '-?
-='+-
，
将0=x ，1=y 代入得2)0(-='y ，∴ x y x d 2d 0
-==
6、求?-x x x d )1(432 解：=-?x x x d )1(432.)1(15
1d )1(315
3343C x x x +--=-? 7、求?
-x x x
d 1
12
2
解：令t x sec =，t t t x d tan sec d =，
C t t t t t t t
t x x x
+===-???sin d cos d tan sec tan sec d 1
1
222
C x
x +-=1
2 8、求?+x x
x
d 2cos 12
解：????
===
+x x x x x x x x
x x
x
tan d d sec
d cos 22d 2cos 122
2
.sec ln tan d tan tan C x x x x x x x +-=-=? 四、应用题（共16分）
1、(6分)某工厂在生产过程中,次品数y 依赖于日产量x ,且???
??≥<-=100 , 100 , 101x x x x x
y 。该工厂每
售出一件产品可盈利A 元，但出一件次品将损失A /3元，问：为获最大利润，日产量应为多少？
解：y A y x A x L 3)()(--=???
????
≥-<--=100
, 3 100 , 10134x x A x x
x A Ax ，
当100 令x x x x --='??? ? ? --，得4.89≈x ， 当100≥x 时，利润为负值，所以当产量89≈x (件)时，利润最大。 2、（10分）讨论函数2 )1(1 2--=x x y 的形态，并作图。 解：3 ) 1(2--= 'x x y ，令()0='x f ，得驻点0=x ，间断点12=x 4 )1(-= ''x y ，令0=''y ，得21 -=x ，间断点12=x 拐点为：?? ? ??--9,2 渐近线：0lim =∞ →y x ，∴ 水平渐近线为0=y ；铅直渐近线：1=x 五、证明题（6分） 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且在),(b a 内0)(≠'x f 。证明：)(x f 在),(b a 内至多有一个零点。 证：设)(x f 在),(b a 内至少有两个零点d c ,,d c <，在],[d c 上对)(x f 应用罗尔定理， ,),(),(b a d c ?∈?ξ使0)(='ξf ，矛盾。 杭州商学院微积分(上)模拟试卷(一)详解: 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设??? ??<≥=0 , 10 , )(x x x x x f ，则=)]([x f f 。x x f f =))((，R x ∈ 2. =??? ??++-∞→x x x x 42341lim 。242341lim -=?? ? ??++-∞→x x x x 3. 函数2 3) 3ln()(2+++= x x x x x f 的可去间断点为 。 间断点为2,1-=-=x x ，而∞=+++-→2 3) 3ln(lim 21x x x x x ， 21 lim 23)3ln(lim 222=+=+++-→-→x x x x x x x x ，故2-=x 为可去间断点。 4. 设023lim 22≠=-+-→b x a x x x ，则=a ，=b 。 a x x +-32 在2=x 处为0，∴ 2=a ，122 3lim 22-=-+-=→x x x b x 5. 若tx x x t t t f )1(lim )(+=∞→，则=')(t f 。 ， 22 e )1(lim )1(lim )(t t t x x tx x t x t t x t t t f =+=+=?∞→∞→ .e )21()(2 2t t t f +=' 6. 设x y 2e -=，则=)(n y 。x n n y 2)(e )2(--= 7. 某商品的需求量Q (单位：只)与价格p (单位：元)的函数关系是230000p Q -=,当=p 元时，涨价1%，需求将按1%的幅度下降。 13000022 2 =--=p p η ? 100=p 8. 函数x y ln =在]e ,1[上使用拉格朗日中值定理成立的=ξ 。 1 e 1 ln e ln 1 )(--= = 'ξ ξf ? 1e -=ξ 9. 设x x f e )13(=+'，则=)(x f 。 x x f e )13(=+' ? 3 1e )(-='x x f ，C x x f x x +==--?3 13 1e 3d e )( 10.已知C x x x f +=?3d )(，则=?x x f x d )(ln 1 。 .)(ln ln d )(ln d )(ln 1 3C x x x f x x f x +==?? 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。 （A ）x 轴 （B ）y 轴 （C ）原点 （D ）直线x y = 奇函数，图形关于原点对称 2、当0→x 时，下列无穷小中，与x 不等价的是（ ）。 （A ）1e -x （B ）x tan （C ）11-+x （D ）)1ln(x + x x 2 1 ~ 11-+ 3、设)(x f 为可导函数，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （ ） （A ）)1(-'-x f （B ）)1(-'f （C ）)1(f '- （D ）)2(f ' 令t x =-2，)1(1) 1()(lim 1 f t f t f t '-=--→ 4、论断：Ⅰ 极大值必大于极小值； Ⅱ 可导函数)(x f 在0x 处取得极值，则0)(0='x f ； Ⅲ 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点可导的必要条件。 以上论断正确的是（ ）。 （A ）Ⅲ （B ）Ⅰ，Ⅲ （C ）Ⅱ，Ⅲ （D ）Ⅰ，Ⅱ 5、如果)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 的一个原函数是（ ）。 （A ）x sin 1+（B ）x cos 1+（C ）x sin 1-（D ）x cos 1- x x f sin )(='，, cos d sin )(C x x x x f +-==?.sin d )(C x x x f +-=? 习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ； 北京语言大学网络教育学院 《微积分（上、下）》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（ ）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =， 则dy =（ ）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x + 5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（ ） 6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数433 4 +-=x x y 的二阶导数是（ ）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （ ） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（ ） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（ ） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧， 则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a 三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ? 2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径 （）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中 (3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。 微积分(上)期末考试试题（B） 对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期 《微积分》（上）期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??（1~14） 学号：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 成绩：___________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 成 绩 一、 选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1． 下列极限正确的是 _________。 （A ）1 0lim 20x x + →= （B ） 10lim 20 x x - →= （C ）1lim(1) x x e x →∞ -=- （D ） 01lim (1)1x x x +→+= 2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，() f x 在 x a =点_________。 （A ） 不连续 （B ） 连续 （C ）可导 （D ） 不可导 ３． 设f （x ）有二阶连续导数，且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定 ４．下列函数中满足罗尔定理条件的是 。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-（） 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?（） ()sin sin [0,] C f x x x x π=+（） 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -（） 5．若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导，且，那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．设函数f （x ）可导，则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3．设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么 。 4 ． 设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点，则、的值为 。 5． 设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数 一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分） （在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是 （ ） A ．x sin B . x C . 1-x e D . x cos 1- 2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有 （ ） （A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 3．2 2 11 011lim x x x e e +-→的极限为 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在 补充：2=x 是函数x x f -=21 arctan )(的 （ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x f x f x 2) 1()31(lim 0（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6 5．已知某商品的需求函数为5P e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（ ） （A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6% （C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每小题2分，共10分） 1．函数)1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =? ?? ??-+∞→，则=k 4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f x x sin -与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程） （本大题分12小题，每小题5分，共60分） 1．求极限x x x 2cot ) 2(lim 2ππ -→ 2．x x x ln 1 )(cot lim +→ AP Calculus Practice Exam BC Version - Section I - Part A Calculators ARE NOT Permitted On This Portion Of The Exam 28 Questions - 55 Minutes 1) Given Find dy/dx. a) b) c) d) e) 2) Give the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the graph of y = ln(x), the x-axis, the lines x = 1 and x = e, about the y-axis. a) b) c) d) e) 3) The graph of the derivative of f is shown below. Find the area bounded between the graph of f and the x-axis over the interval [-2,1], given that f(0) = 1. a) b) c) d) e) 4) Determine dy/dt, given that and a) b) c) d) e) 5) The function is invertible. Give the slope of the normal line to the graph of f -1 at x = 3. a) b) c) d) e) 6) Determine a) b) c) d) e) 7) Give the polar representation for the circle of radius 2 centered at ( 0 , 2 ). a) b) c) d) e) 8) Determine a) b) c) d) e) 江西财经大学 06－07第一学期期末考试试卷 试卷代码：12003A 授课课时：52 课程名称：微积分I （双语） 适用对象：06级国际学院本科生 1. (10pts) Evaluate 3221sin 2lim 1x x x x π→--. 2. (10pts) pute ?-+-x x x x x d ) 1(arcsin 1. 3. (12pts) Calculate )0(y ''and x d provided that two variables x and y satisfy the equation 0,cos 2>+=y xy y x y . 4. (12pts) Find A and B given that the derivative of ? ??>-≤++=2,2,2)(22x A Bx x Bx Ax x f is continuous for all real x . 5. (12pts)Find the area of the region bounded by cures 4,==y x y and the equation of the tangent to the graph x y =at the point )1,1(. What is the volume of the solid generated by revolving the region about the x -axis? 6. (12pts)A manufacturing plant has a capacity of 30 articles per week. Experience has shown that n articles per week can be sold at a price of p dollars each where n p 15.010-=and the cost of producing n articles is n 330+dollars. How many articles should be made each week to give the largest profit? 7. (16pts)Sketch the graph of the function 1 22 -=x x y . 8. (8pts)Let )(x f be continuous on ],0[a , differentiable on ),0(a . If 0)(=a f , then for every real R there is at least one number c in ),0(a for which 0)()(='+c f c c Rf . 9. (8pts)Is it true or false that )(2x f is differentiable implies )(x f exists antiderivative ？Justify your answer. 一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号 3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ? (3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。 高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 3.设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim 0（ B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 21 4. =? x x xf x d )(d d 2 （ A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(2 1 (C) )(2 1 x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ? +∞ d e x x (B) ? +∞-0 d e x x (C) ? +∞1d 1 x x (D) ? +∞ 1 d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数) 1ln(92 --=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ． 2.函数? ??≤>-=0sin 0 1x x x x y 的间断点是 X=0 ． 3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ． 4.函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ． 5.='?x x d )(sin sinx + c ． 三、计算题（每小题9分，共54分） 1.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 2.设2 2sin x x y x +=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求． 4.设 是由方程y x y e cos =确定的函数，求 ． 5.计算不定积分? x x x d 3cos ． 6.计算定积分? +e 1 d ln 2x x x ． 四、应用题（本题12分） 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 五、证明题（本题4分） 当0>x 时，证明不等式x x arctan >． 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 [考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷11 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( ) （A）x1＞x2，y1＜y2． （B）x1＞x2，y1＞y2． （C）x1＜x2，y1＜y2． （D）x1＜x2，y1＞y2． 2 交换积分次序∫1e dx∫0lnx f(x，y)dy为( ) （A）∫0e dy∫0lnx f(x,y)dx （B）∫ey e d y∫01f(x,y)dx （C）∫0lnx dy∫1e f(x,y)dx （D）∫01dy∫ey e f(x,y)dx 3 设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于( ) （A）xy． （B）2xy． （C） （D）xy+1． 4 则积分域为( ) （A）x2+y2≤a2． （B）x2+y2≤a2(x≥0)． （C）x2+y2≤ax． （D）x2+y2≤ax(y≥0)． 5 设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则( ) （A）不一定存在． （B）存在且等于f(0，0)． （C）存在且等于πf(0，0)． （D）存在且等于． 6 设区域D由曲线=( ) （A）π． （B）2． （C）一2． （D）一π． 7 设平面D由及两条坐标轴围成， 则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I1＜I3＜I2． （D）I3＜I2＜I1． 8 设D为单位圆x2+y2≤1， ，则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I3＜I2＜I1． （D）I1＜I3＜I2． 9 设其中函数f可微，则=( ) （A）2yf'(xy)． （B）一2yf'(xy)． 一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解： 关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020 清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。 2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案) 电气092班 电气092班 2 【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二） 地点：主教楼1601教室 以下题目供同学们复习参考用！！！！ 《高等数学》（二）期末模拟试题 一、填空题：（15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤ 电气092班 电气092班 3 （A ）???Ω +dv y x )(22; （B ）???1 1 2 0 r dz rdr d π θ； （C ）?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ； （D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ??.（8分） 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2. x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221 ??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (微积分复习题题库超全
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