上饶市2017-2018学年度下学期期末教学质量测试
高二数学（文科）试卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若复数z 满足 2iz =，其中i 为虚数单位，则z 等于（ ）
A ．2-
B ．2i
C ．2-i
D ．2 2.已知命题p:实数x ，y 满足1x >且1y >，命题q: 实数x ，y 满足2x y +>，则p 是q 的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件3.命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是（ ）
A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >
B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >
C ． 对任意x ∈R ，都有32x x ≤
D ．存在0x ∈R ，使得32
00x x ≤
4.变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，
1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，
则( )
A ．210r r << B. 210r r << C.210r r << D ．21=r r 5.执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）
A ．15
B ．105
C ．120
D ．720 6.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于60°”时，应假设（ ）
A ．三个内角都小于60°
B ．三个内角都大于或等于60°
C ．三个内角至多有一个小于60°
D ．三个内角至多有两个大于或等于
60°
7.甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为23，34，2
5
，那么三人中
恰有两人合格的概率是（ ）
A ．25
B ．715
C ．11
30 D ．
16 8.若函数()3232f x x x m =+
+在[]2,1-上的最大值为9
2
，则实数m 的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9.投掷两粒骰子,得到其向上的点数分别为m 、n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( ) A.
14 B. 16 C.112 D.1
3
10. 已知三次函数)(x f y =的图像如下图所示，若)('x f 是函数)(x f 的导函数，则关于x 的不等式()()7xf x f '>的解集为（ ）
A.}410|{<< B. }7|{ C.}41|{< D. }104|{<<>x x x 或 11.设鄱阳中学高二女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x ﹣85.71，则下列结论中不正确的是（ ） A. y 与x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心（，） C. 若高二某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D. 若高二某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 12．已知双曲线)0(1322 2>=-b b y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为 x y 2=，点P 在该双曲线上，且821=?PF ，则=?21F PF S （ ） A ．4 B ．64 C ．8 D ．212 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.已知函数x x f cos )(=，则=+)2 (')2(π πf f . 14. 已知:12p x ->，22:210,(0)q x x a a -+-≥>，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ． 15.过椭圆()22 22` 10x y a b a b +=>>的左焦点1F 作X 轴的垂线交椭圆于P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆离心率为___________. 16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有 ()12 f x '<，则不等式()22 122x f x <+的解集为____________. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤） 17．（12分）已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数. （1）求复数z ；（2）若w ＝z 2＋i ，求复数w 的模|w |. 18.（12分）已知下列两个命题：P :函数()()224f x x mx m R =-+∈在[2，＋∞)单调递增； Q :关于x 的不等式()()244210x m x m R +-+>∈的解集为R .若 P Q ∨为真命题，P Q ∧为假命题，求m 的取值范围． 19.（12分）某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表: （1）求出表中数据b ，c; （2）判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关; （3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题：在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率. 附： 2 2 (), ()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20.(12分)已知椭圆()22 22` 10x y G a b a b +=>>：的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P (－3,2). (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积. 21.（12分）已知函()323 1()2f x ax x x R =-+∈，其中0a >. （1）若1a =，求曲线()y f x =在点（2，()2f ）处的切线方程； （2）若在区间11,22?? -???? 上，()0>x f 恒成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αα αα=+??=-? （α为参数）． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程； （Ⅱ）在以O 为极点，x 正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为 π1 sin()042 θ-+=，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 23.（10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[6,0]-． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若()(5)2f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 江西省 2017-2018学年高二下学期期末考试 数学（文科）试卷答案 一，选择题 1-5 CBDAB 6-10 ABCBA 11-12 DD 二、填空题 13.-1 14.(]02， ()(),11,-∞-+∞ 三、解答题 17.（10分）解：(1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ，………………3分 ∵(1＋3i)z 是纯虚数， ∴3－3b ＝0且9＋b ≠0， …………………………………………5分则b ＝1，从而z ＝3＋i. ………………………………………6分 (2)ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝＋－＋－＝75－1 5i. …………9分 ∴|ω|＝ ? ????752＋? ?? ??－152 ＝ 2. ………………12分 18.（12分）解: 函数f(x)＝x 2 －2mx ＋4(m ∈R)的对称轴为x ＝m ，故P 为真命题?m ≤2 ......... 3分 Q 为真命题?Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1＜0?1＜m ＜3. ........ 6分 ∵P ∨Q 为真，P ∧Q 为假，∴P 与Q 一真一假． ........7分 若P 真Q 假，则m ≤2，且m ≤1或m ≥3，∴m ≤1； ......... 9分 若P 假Q 真，则m ＞2，且1＜m ＜3，∴2＜m ＜3. ...... 11分 综上所述，m 的取值范围为{m|m ≤1或2＜m ＜3}． ..... 12分19.（12分）（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，c=75-25=50(人) ……………………………………2分 （2）因为2 2 125(20253050)8.66 6.635(2030)(5025)(2050)(3025) K ?-?=≈>++++，所以有99%的把 握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关.………………………7分 (说明：数值代入公式1分，计算结果3分，判断1分) （3）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E} {B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}共21种 ……………………………………………………9分 其中恰为一男一女的有{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b}共10种.……………………………………………………10分 因此所求概率为10 21 P = ……………………………………12分 20.（12分）解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝6 3 .解得a ＝23，………… 2分 又b 2＝a 2－c 2 ＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2 4 ＝1. ……………………… 4分 (2) 设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，由??? y ＝x ＋m x 2 12＋y 2 4＝1 得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2) (x 1 2 ＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4 ；…………………………6分 ∵AB 是等腰△PAB 的底边，有PE ⊥AB .∴PE 的斜率k ＝2－ m 4－3＋ 3m 4＝－1.……8分 解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0.所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.…………………………… 10分 此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝ |－3－2＋2|2 ＝32 2，所以△ PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9 2 .…………………………… 12分 21.（12分）（1）解：当a=1时，f （x ）=323 x x 12 -+，f （2）=3；()233f x x x '=-, ()26f '=.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即 y=6x-9 ………………………………4分 （2）解：()2333(1)f x ax x x ax '=-=-.令()0f x '=，解得x=0或x=1 a ……5分 以下分两种情况讨论： ①若11 0a 2a 2 <≤≥，则，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 当11x f x 22??∈-????，时，（）>0等价于5a 10,()0,82 15a ()0,0. 28f f -?? >->??????+??>>???? 即 解不等式组得-5 ②若a>2，则110<<.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 当11x 22?? ∈-????，时，f （x ）>0等价于1f(-)21f()>0,a ???????>0,即2 5811->0. 2a a -???????>0, 解不等式组得 52 a <<或2a <-.因此2 22. (10分)解：（1）由已知2 cos ,2sin y x y x -=+= θθ，由22sin cos 1θθ+=，消 去θ得：普通方程为2 2 122x y x y +-????+= ? ????? ，化简得22 2x y +=………………5分 （2）由2ρsin(4π-θ)+21=0知021 )sin (cos =+-θθρ， 化为普通方程为1 02 x y -+=， 所以圆心到直线l 的距离h =，由垂径定理AB ……………………10分 23.（10分）解：（1）由()3f x ≤，得||3x a -≤，∴33a x a -≤≤+， 又()3f x ≤的解集为[6,0]-．解得：3a =-；…………………………5分 （2） ()(5)|3||8|5f x f x x x ++=+++≥． 又()(5)2f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，5 25,2 m m ∴≤≤ ……………10分
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