第十一章多元线性回归与logistic回归

第十一章 多元线性回归与logistic 回归

一、教学大纲要求

（一）掌握内容

1．多元线性回归分析的概念：多元线性回归、偏回归系数、残差。

2．多元线性回归的分析步骤：多元线性回归中偏回归系数及常数项的求法、多元线性回归的应用。

3．多元线性回归分析中的假设检验：建立假设、计算检验统计量、确定P 值下结论。 4．logistic 回归模型结构：模型结构、发病概率比数、比数比。 5．logistic 回归参数估计方法。

6．logistic 回归筛选自变量：似然比检验统计量的计算公式；筛选自变量的方法。 （二）熟悉内容

常用统计软件（SPSS 及SAS ）多元线性回归分析方法：数据准备、操作步骤与结果输出。

（三）了解内容

标准化偏回归系数的解释意义。

二、教学内容精要

(一) 多元线性回归分析的概念

将直线回归分析方法加以推广，用回归方程定量地刻画一个应变量Y 与多个自变量X 间的线形依存关系，称为多元线形回归（multiple linear regression ），简称多元回归（multiple regression ）

基本形式：

01122?k k

Y b b X b X b X =+++???+ 式中Y ?为各自变量取某定值条件下应变量均数的估计值，1X ，2X ，…，k

X 为自变量，k 为自变量个数，0b 为回归方程常数项，也称为截距，其意义同直线回归，1b ，2b ，…, k b 称为偏回归系数（partial regression coefficient ），j b 表示在除j X 以外的自变量固定条件下，j X 每改变一个单位后Y 的平均改变量。

(二) 多元线性回归的分析步骤

Y ?是与一组自变量1X ，2X ，…，k

X 相对应的变量Y 的平均估计值。 多元回归方程中的回归系数1b ，2b ，…, k b 可用最小二乘法求得，也就是求出能使估计

值Y ?和实际观察值Y 的残差平方和22)?(∑∑-=Y Y e i 为最小值的一组回归系数1b ，2b ，…,

k b 值。根据以上要求，用数学方法可以得出求回归系数1b ，2b ，…, k b 的下列正规方程组

（normal equation ）：

??

?

??

??=+++=+++=+++ky kk k k k y

k k y k k l l b l b l b l l b l b l b l l b l b l b 22112222221111122111

式中

()()

()()i j ij ji i i j j i j X X l l X X X X X X n

==--=-

∑∑∑∑

∑∑∑∑-

=--=

n

Y X Y X Y Y X X

l i i i i

iy )

)(())((

常数项0b 可用下式求出：

k k X b X b X b Y b ----= 22110

（三）多元线性回归分析中的假设检验

在算得各回归系数并建立回归方程后，还应对此多元回归方程作假设检验，判断自变量1X ，2X ，…，k X 是否与Y 真有线性依存关系，也就是检验无效假设0H （1230k ββββ===== ）, 备选假设1H 为各j β值不全等于0或全不等于0。

检验时常用统计量F

)

1(--=

=

k n l k l MS MS F 误差回归误差

回归

式中n 为个体数，k 为自变量的个数。

式中 ky k y y l b l b l b l +++= 2211回归

回归总误差l l l -=

()∑=-=yy l Y Y l 2

总

(四) logistic 回归模型结构

设k X X X ,,,21 为一组自变量，Y 为应变量。当Y 是阳性反应时，记为Y =1；当Y 是阴性反应时，记为Y =0。用P 表示发生阳性反应的概率；用Q 表示发生阴性反应的概率，显然P +Q =1。

Logistic 回归模型为：

k

k k

k X X X X X X e e P ββββββββ+++++++++=

22110221101

同时可以写成：

k

k X X X e Q ββββ+++++=

2211011

式中0β是常数项；(12)j j k β= ，，，是与研究因素j X 有关的参数，称为偏回归系数。 事件发生的概率P 与x β之间呈曲线关系，当x β在()∞∞-，之间变化时， P 或Q 在（0，1）之间变化。

若有n 例观察对象，第i 名观察对象在自变量ik i i X X X ,,,21 作用下的应变量为i Y ，阳性

反应记为i Y =1，否则i Y =0。相应地用i P 表示其发生阳性反应的概率；用i Q 表示其发生阴性反应的概率，仍然有i P +i Q =1。i P 和i Q 的计算如下：

01122011221i i k ik

i i k ik

X X X X X X P i e e ββββββββ++++++++=+

011221

1i i k ik

i X X X Q e ββββ++++=

+

这样，第i 个观察对象的发病概率比数（odds ）为i i Q P ，第l 个观察对象的发病概率比数为l l Q P ，而这两个观察对象的发病概率比数之比值便称为比数比OR （odds ratio ）。对比数

比取自然对数得到关系式：

ln )()()(222111lk ik k l i l i l l i i X X X X X X Q P Q P -++-+-=?

??

?

??βββ 等式左边是比数比的自然对数，等式右边的()lj

ij X X -()k j ，，， 21=是同一因素i

X

的不同

暴露水平ij X 与lj X 之差。j β的流行病学意义是在其它自变量固定不变的情况下，自变量j X 的暴露水平每改变一个测量单位时所引起的比数比的自然对数改变量。或者说，在其他自变量固定不变的情况下，当自变量j X 的水平每增加一个测量单位时所引起的比数比为增加前的j

e

β倍。同多元线性回归一样，在比较暴露因素对反应变量相对贡献的大小时，由于各自变量的取值单位不同，也不能用偏回归系数的大小作比较，而须用标准化偏回归系数来做比较。标准化偏回归系数值的大小，直接反映了其相应的暴露因素对应变量的相对贡献的大小。标准化偏回归系数的计算，可利用有关统计软件在计算机上解决。

（五）logistic 回归参数估计

由于logistic 回归是一种概率模型，通常用最大似然估计法（maximum likelihood estimate ）求解模型中参数j β的估计值(12)j b j k = ，，，。

Y 为在k X X X ,,,21 作用下的阳性事件（或疾病）发生的指示变量。其赋值为：

?

??=应个观察对象出现阴性反，第应个观察对象出现阳性反，第i i Y i 01

第i 个观察对象对似然函数的贡献量为：

1i i

Y Y i i i

l P Q -= 当各事件是独立发生时，则n 个观察对象所构成的似然函数L 是每个观察对象的似然函数贡献

量的乘积，即

∏∏==-==n i n

i Y i Y i i i i Q P l L 1

1

1

式中∏为i 从1到n 的连乘积。

依最大似然估计法的原理，使得L 达到最大时的参数值即为所求的参数估计值，计算时通常是将该似然函数取自然对数（称为对数似然函数）后，用Newton —Raphson 迭代算法求

解参数估计值)21(k j b

j

，，， =。

（六）logistic 回归筛选自变量

在logistic 回归中，筛选自变量的方法有似然比检验（likelihood ratiotest ）、计分检验(score test)、Wald 检验(Wald test)三种。其中似然比检验较为常用，

用Λ表示似然比检验统计量，计算公式为：

()

)ln (ln 2ln 2''L L L L -==Λ

式中ln 为自然对数的符号，L 为方程中包含)(k m m <个自变量的似然函数值，'

L 为在方程中包含原m 个自变量的基础上再加入1个新自变量j X 后的似然函数值。在无效假设0H 条件下，

统计量Λ服从自由度为1的2χ分布。当2

)1(αχ≥Λ时，

则在α水平上拒绝无效假设，即认为j X 对回归方程的贡献具有统计学意义，应将j X 引入到回归方程中；否则，不应加入。逆向进行

即可剔除自变量。

三、典型试题分析

（一）单项选择题

1．多元线性回归分析中，反映回归平方和在应变量Y 的总离均差平方和中所占比重的统计量是（ ）。

A ． 复相关系数

B ． 偏相关系数

C ． 偏回归系数

D ． 确定系数 答案：D

[评析] 本题考点：多元线性回归中的几个概念的理解。

多元线性回归中的偏回归系数（multiple linear regression ）表示在其它自变量固定不变的情况下，自变量j X 每改变一个单位时，单独引起应变量Y 的平均改变量。确定系数（coefficient of determination ）表示回归平方和回归SS 占总离均差平方和总SS 的比例，简记为2

R 。即

总回归SS SS R =2。确定系数的平方根即R 称为复相关系数（multiple correlation coefficient ）,

它表示p 个自变量共同对应变量线性相关的密切程度，它不取负值， 即0≤R ≤1。

2．Logistic 回归分析适用于应变量为（ ）。

A ．分类值的资料

B ．连续型的计量资料

C ．正态分布资料

D ．一般资料

答案：A

[评析] 本题考点：logistic 回归的概念。

logistic 回归属于概率型回归，可用来分析某类事件发生的概率与自变量之间的关系。适用于应变量为分类值的资料，特别适用于应变量为二项分类的情形。模型中的自变量可以是定性离散值，也可以是计量观测值。

（二）计算题

根据表11-2数据，分别用SPSS 统计软件、SAS 统计软件写出多元线性回归的统计分

析步骤及其简要结果。

表11-1 某学校20名一年级女大学生肺活量及有关变量测量结果

编号 体重1X /kg 胸围2X /cm 肩宽3X /cm 肺活量Y /L

1 50.8 73.

2 36.

3 2.96 2 49.0 84.1 34.5 3.13 3 42.8 78.3 31.0 1.91

4 55.0 77.1 31.0 2.63

5 45.3 81.7 30.0 2.8

6 6 45.3 74.8 32.0 1.91

7 51.4 73.7 36.5 2.9

8 8 53.8 79.4 37.0 3.28

9 49.0 72.6 30.1 2.52 10 53.9 79.5 37.1 3.27 11 48.8 83.8 33.9 3.10 12 52.6 88.4 38.0 3.28 13 42.7 78.2 30.9 1.92 14 52.5 88.3 38.1 3.27 15 55.1 77.2 31.1 2.64 16 45.2 81.6 30.2 2.85 17 51.4 78.3 36.5 3.16 18 48.7 72.5 30.0 2.51 19 51.3 78.2 36.4 3.15 20 45.8 75.0 32.5 1.94 答案：

SPSS ：数据文件：“EXAP11—2．sav ”。 数据格式：4列20行。过程： Statistic

Regression Linear ...

Dependent ：Y

Independent(s)：1X ，2X ，3X

Method ： Enter 结果：

Variables Entered/Removed

a All requested variables entered.

b Dependent Variable: Y （肺活量）

Model Summary

a Predictors: (Constant),

3X ,2X ,1X

ANOVA

a Predictors: (Constant), 3X ,2X ,1X

b Dependent Variable: Y

Coefficients

a Dependent Variable: Y

SAS ：

数据步 过程步 DATA EXAP11—2；INPUT x1 x2 x3 y@ @； PROC REG ；

CARDS ； MODEL y=x1 x2 x3； 50.8 73.2 36.3 2.96…45.8 75.0 32.5 1.94； RUN ；

结果：

Analysis of Variance

Sum of Mean

Source DF Squares Square F V alue Pr > F

Model 3 3.36732 1.12244 13.41 0.0001 Error 16 1.33893 0.08368 Corrected Total 19 4.70626

Parameter Estimates Parameter Standard

Variable DF Estimate Error t Value Pr > |t| Intercept 1 -4.67553 1.32051 -3.54 0.0027 X1 1 0.06036 0.02082 2.90 0.0105 X2 1 0.03508 0.01544 2.27 0.0372 X3 1 0.05010 0.02888 1.73 0.1020

[评析] 本题考点：统计软件关于多元线性回归的分析方法及主要输出结果。 根据SPSS 或SAS 的输出结果，可进行以下分析： 1． 检验H 0：1230βββ===的方差分析表。F =13.413，P =0.0001，拒绝H 0，肺活量至少与一个自变量存在线性关系。

2． 估计偏回归系数b 1，b 2，b 3，给出多元线性回归方程 123

4.680.060.040.05Y X X X =+++，R 2=0.715，R a 2=0.662。 3． 偏回归系数检验，见表11-2。

表11-2 偏回归系数估计值及其检验

偏回归系数 估计值

SE t P b 0 -4.675 1.321 -3.54 0.00 b 1 0.060 0.021 2.90 0.01 b 2 0.035 0.015 2.27 0.04 b 3 0.050 0.029 1.73 0.10

四、习 题

（一） 单项选择题 1．

可用来进行多元线性回归方程的配合适度检验是： A ．

2χ检验 B ． F 检验

C ． U 检验

D ． Ridit 检验

2．

在多元回归中，若对某个自变量的值都增加一个常数，则相应的偏回归系数： A ． 不变

B ． 增加相同的常数

C ． 减少相同的常数

D ． 增加但数值不定

3． 在多元回归中，若对某个自变量的值都乘以一个相同的常数k ，则： A ． 该偏回归系数不变

B ． 该偏回归系数变为原来的1/k 倍

C ． 所有偏回归系数均发生改变

D ． 该偏回归系数改变，但数值不定

4．

作多元回归分析时，若降低进入的F 界值，则进入方程的变量一般会： A ． 增多 B ． 减少

C ． 不变

D ． 可增多也可减少

（二） 名词解释

1.多元线性回归

2.偏回归系数

3.复相关系数

4.确定系数

5.比数

6.比数比 （三） 简答题

logistic 回归模型中，偏回归系数i β的解释意义是什么？ （四） 计算题

某学者研究在某种营养缺乏状态下儿童的体重（Y ，kg ）与身高（1X ，cm ）、年龄（2X ，岁）的关系获得了12名观察对象的观测资料，计算得到如下基本数据：

∑=16111

X ，

∑=21963121

X ，∑=1062

X ，∑=97622

X ，∑=341Y ，

∑=98832

Y

，∑=144542

1

X X ，∑=464391

Y X ，∑=30792

Y X 。

（1） 请写出求解2

2110?X b X b b Y ++=二元线性回归方程的正规方程组。 （2） 设方程组的解为114.20=b ，135.01=b ，923.02=b ，请写出回归方程。 （3） 完成下列方差分析表。

表11-3 12名儿童体重与身高、年龄回归分析方差分析表 变异来源 v SS MS F 回归 2 残差 9 总和 11

五、习题答案要点

（一） 单项选择题

1． B 2． A 3． B 4． A

（二） 名词解释

1． 用回归方程定量地刻画一个应变量Y 与多个自变量X 间的线性依存关系，称为多元线性回归（multiple linear regression ），简称多元回归（multiple regression ）。

2． 多元线性回归的基本形式为：01122?k k

Y b b X b X b X =+++???+ 1b ，2b ，…, k b 称为偏回归系数（partial regression coefficient ），j b 表示在除j X 以外的自变量固定条件下，j X 每改变一个单位后Y 的平均改变量。

3． 复相关系数R （coefficient of multiple correlation ）, R 的大小表示所有自变量与应变量之间线性关系的密切程度。

4． 确定系数（coefficient of determination ）简记为2

R ，表示回归平方和回归SS 占总离均差平方和总SS 的比例，即总回归SS SS R /2

=。用2

R 可定量评价在y 的总变异中，由x 变量组建立的线性回归方程所能解释的比例。

5． logistic 回归模型为：

k

k k

k X X X X X X e e P ββββββββ+++++++++=

22110221101

同时可以写成：

k k X X X

Q ββββ++++=

221101

（三）简答题

答：j β的流行病学意义是在其它自变量固定不变的情况下，自变量j X 的暴露水平每改变一个测量单位时所引起的比数比的自然对数改变量。或者说，在其他自变量固定不变的情况下，当自变量j X 的水平每增加一个测量单位时所引起的比数比为增加前的j e β

倍。

（四） 计算题

1．求解2

2110?X b X b b Y ++=二元线性回归方程的正规方程组为： ????

?=+=+y y

l l b l b l l b l b 222221

11122111 2．当方程组的解为114.20=b ，135.01=b ，923.02=b ，回归方程为：

2

1

923.0135.0114.2?X X Y

++= 3．列方差分析表。

表11-4 12名儿童体重与身高、年龄回归分析方差分析表 变异来源 v SS MS F 回归 2 151.35 75.675 16.380 残差 9 41.57 4.62 总和 11 192.92

（尹平 白玉祥）

第十一章 一元线性回归分析

第十一章一元线性回归 11.1从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下： 要求： （1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。 （3）对相关系数的显著性进行检验（α = 0.05），并说明二者之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。 （2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。 （3）计算t统计量，得到t = 7.435453，在α = 0.05的显著性水平下，临界值为2.6337，统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著

的正线性相关关系。r大于0.8，高度相关。 11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下： 要求： （1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。 （2）r = 0.862109，大于0.8，高度相关。 11.3根据一组数据建立的线性回归方程为?100.5 =-。 y x

要求： ?β的意义。 （1）解释截距 ?β意义。 （2）解释斜率 1 （3）计算当x = 6时的E(y)。 解：（1）在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义。 ?β的意义为：当x增加1时，y减小0.5。 （2）斜率 1 （3）当x = 6时，E(y) = 10 – 0.5 * 6 = 7。 11.4 设SSR = 36，SSE = 4，n = 18。 要求： （1）计算判定系数R2并解释其意义。 （2）计算估计标准误差s e并解释其意义。 解：SST = SSR+SSE = 36+4 = 40， R2 = SSR / SST = 36 /40 = 0.9，意义为自变量可解释因变量变异的90%，自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。 s== 0.5，这是随机项的标准误差的估计值。 （2） e 11.5一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系，因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离（单位：km）和运送时间（单位：天）的数据如下：

贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习答案

第十一章一元线性回归练习题答案 二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需 检验；t 检验; 2. 图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映 线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。 三．计算题 1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。 （2）2418 /6080220/1/==-= SSE SSR F (3)判定系数%14.57140 802 === SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。 (4)7559.05714.02-=-=-=R r 相关系数为-0.7559。 (5)线性关系显著和：线性关系不显著 和y x y x H 10H : 因为414.424=>=αF F ，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。 2.（1） 方差分析表 df SS MS F Significance F 回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计 16 500 － － － （2）判定系数%8585.0500 425 2 ==== SST SSR R 表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。 （3）9220.085.02===R r 二者相关系数为0.9220，属于高度相关 （4） x y 248.1388.6?+= 分布；显著。 的自由度为t n r n r t 2);12 ||2 ---=

回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。 （5）线性关系显著性检验： 线性关系显著 ：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H 因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。 （6） 348.3120248.1388.6248.1388.6?＝＝?++=x y 当产量为10时，生产费用为31.348万元。

第10章-简单线性回归分析思考与练习参考答案

第10章 简单线性回归分析 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。 A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错 2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。 A ．总SS =残差SS B ．残差SS =回归 SS C ．总SS =回归SS D ．总SS ＞回归SS E. 回归MS =残差MS 3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。 A ．ρ=0时，r =0 B ．|r |＞0时，b ＞0 C ．r ＞0时，b ＜0 D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1 4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。 A ．简单线性回归的截距等于0 B ．简单线性回归的截距等于Y 或X C ．简单线性回归的残差SS 等于0 D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总 E ．简单线性回归的总SS 等于0 5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。 A ．各观测点距直线的纵向距离相等 B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C ．各观测点距直线的垂直距离相等 D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小

E ．各观测点距直线的纵向距离等于零 二、思考题 1．简述简单线性回归分析的基本步骤。 答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。 答：区别： （1）资料要求上，进行直线回归分析的两变量，若X 为可精确测量和严格控制的变量，则对应于每个X 的Y 值要求服从正态分布；若X 、Y 都是随机变量，则要求X 、Y 服从双变量正态分布。直线相关分析只适用于双变量正态分布资料。 （2）应用上，说明两变量线性依存的数量关系用回归（定量分析），说明两变量的相关关系用相关（定性分析）。 （3）两个系数的意义不同。r 说明具有直线关系的两变量间相互关系的方向与密切程度，b 表示X 每变化一个单位所导致Y 的平均变化量。 （4）两个系数的取值范围不同：-1≤r ≤1，∞<<∞-b 。 （5）两个系数的单位不同：r 没有单位，b 有单位。 联系： （1）对同一双变量资料，回归系数b 与相关系数r 的正负号一致。b ＞0时，r ＞0，均表示两变量X 、Y 同向变化；b ＜0时，r ＜0，均表示两变量X 、Y 反向变化。 （2）回归系数b 与相关系数r 的假设检验等价，即对同一双变量资料，r b t t =。由于相关系数r 的假设检验较回归系数b 的假设检验简单，故在实际应用中常以r 的假设检验代替b 的假设检验。 （3）用回归解释相关：由于决定系数2 R =SS 回 /SS 总 ，当总平方和固定时，回归平方 和的大小决定了相关的密切程度。回归平方和越接近总平方和，则2 R 越接近1，说明引入相关的效果越好。例如当r =0.20，n =100时，可按检验水准0.05拒绝H 0，接受H 1，认为两变量有相关关系。但2 R =(0.20)2=0.04，表示回归平方和在总平方和中仅占4％，说明

第九章 相关与简单线性回归分析

第九章相关与简单线性回归分析 第一节相关与回归的基本概念 一、变量间的相互关系 现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。 二、相关关系的类型 1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。 2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。 3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。 二、相关分析与回归分析概述 相关分析就是用一个指标（相关系数）来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。 相关分析与回归分析的区别： 目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。 对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。 注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/平均水平而言的。 第二节简单线性回归 一、基本概念 如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x与存款额y为例，对n个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。 二、回归方程 在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y的概率分布是否相同/y的总体均值是否相等。 在x=xi的条件下，yi的均值记作E(yi)，如果它是x的函数，E(yi) =f(xi)，即回归方程，就表示y和x之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。 一元线性回归方程表达式：E(y i )= α+βx i ，其中α称为常数，β称为回

第十九章直线相关与回归试题

第十九章 直线相关与回归 A 型选择题 1、若计算得一相关系数r=0.94,则（ ） A 、x 与y 之间一定存在因果关系 B 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为正值 C 、同一资料作回归分析时，求得回归系数一定为负值 D 、求得回归截距a>0 E 、求得回归截距a ≠0 2、对样本相关系数作统计检验（H 0：ρ=0），结果0.05()v r r >，统计结论是（ ）。 A. 肯定两变量为直线关系 B 、认为两变量有线性相关 C 、两变量不相关 B. 两变量无线性相关 E 、两变量有曲线相关 3、若1210.05()20.01(),v v r r r r >>，则可认为（ ）。 A. 第一组资料两变量关系密切 B. 第二组资料两变量关系密切 C 、难说哪一组资料中两变量关系更密切 D 、两组资料中两变量关系密切程度不一样 E 、以上答案均不对 4、相关分析可以用于（ ）有无关系的研究 A 、性别与体重 B 、肺活量与胸围 C 、职业与血型 D 、国籍与智商 E 、儿童的性别与体重 5、相关系数的假设检验结果P<α,则在α水平上可认为相应的两个变量间（ ） A 、有直线相关关系 B 、有曲线相关关系 C 、有确定的直线函数关系 D 、有确定的曲线函数关系 E 、不存在相关关系 6、根据样本算得一相关系数r ，经t 检验，P ＜0.01说明（ ）

A 、两变量有高度相关 B 、r 来自高度相关的相关总体 C 、r 来自总体相关系数ρ的总体 D 、r 来自ρ≠0的总体 E 、r 来自ρ＞0的总体 7、相关系数显著检验的无效假设为（ ） A 、r 有高度的相关性 B 、r 来自ρ≠0的总体 C 、r 来自ρ＝0的总体 D 、r 与总体相关系数ρ差数为0 E 、r 来自ρ＞0的总体 8、计算线性相关系数要求（ ） A ．反应变量Y 呈正态分布，而自变量X 可以不满足正态分布的要求 B ．自变量X 呈正态分布，而反应变量Y 可以不满足正态分布的要求 C ．自变量X 和反应变量Y 都应满足正态分布的要求 D ．两变量可以是任何类型的变量 E ．反应变量Y 要求是定量变量，X 可以是任何类型的变量 9、对简单相关系数r 进行检验，当检验统计量t r >t 0.05(ν)时，可以认为两变量x 与Y 间（ ） A ．有一定关系 B ．有正相关关系 C ．无相关关系 D ．有直线关系 E ．有负相关关系 10、相关系数反映了两变量间的（ ） A 、依存关系 B 、函数关系 C 、比例关系 D 、相关关系 E 、因果关系 11、)2(,2/05.0-

第11章 一元线性回归

第11章一元线性回归 1.具有相关关系的两个变量的特点是（） A．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值也一定增大 D．一个变量的取值增大时，另一个变量的取值肯定变小 2.下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（） A．判断变量之间是否存在关系 B．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C．描述变量之间的关系强度 D．判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.下面的假定中，哪个属于相关分析中的假定（）

A．两个变量之间是非线性关系 B．两个变量都是随机变量 C．自变量是随机变量，因变量不是随机变量 D．一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 4.如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称两个变量之间为（）A．正线性相关关系 B．负线性相关关系 C．线性相关关系 D．非线性相关关系 5.如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，称为两个变量之间为（） A．完全相关关系 B．正线性相关关系 C．非线性相关关系 D．负线性相关关系 6.下面的陈述哪一个是错误的（） A．相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量

B．相关系数是一个随机变量 C．相关系数的绝对值不会大于1 D．相关系数不会取负值 7.如果相关系数r=0，则表明两个变量之间（） A．相关程度很低 B．不存在任何关系 C．不存在线性相关关系 D．存在非线性相关关系 8.在回归分析中,被预测或被解释的变量称为（） A．自变量 B．因变量 C．随机变量 D．非随机变量 9.在回归分析中,描述因变量y如何依赖于自变量x和误差项的方程称为（）A．回归方程 B．估计的回归方程 C．回归模型 D．经验回归方程 中，ε反映的是10. 在一元回归模型ε β β+ + y =x 1

第三章多元线性回归模型(stata)

一、邹式检验（突变点检验、稳定性检验） 1.突变点检验 1985—2002年中国家用汽车拥有量（t y ，万辆）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ，元），数据见表。 表 中国家用汽车拥有量（t y ）与城镇居民家庭人均可支配收入（t x ）数据 年份 t y （万辆） t x （元） 年份 t y （万辆） t x （元） 1985 1994 1986 1995 4283 1987 1996 1988 1997 1989 1998 1990 1999 5854 1991 2000 6280 1992 2001 1993 2002 下图是关于t y 和t x 的散点图：

从上图可以看出，1996年是一个突变点，当城镇居民家庭人均可支配收入突破元之后，城镇居民家庭购买家用汽车的能力大大提高。现在用邹突变点检验法检验1996年是不是一个突变点。 ：两个字样本（1985—1995年，1996—2002年）相对应的模型回归参数相等H H ：备择假设是两个子样本对应的回归参数不等。 1 在1985—2002年样本范围内做回归。

在回归结果中作如下步骤(邹氏检验)： 1、 Chow 模型稳定性检验（lrtest） 用似然比作chow检验，chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化* 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All * 用似然比检验检验结构没有发生变化的约束 得到结果如下;

(如何解释) 2.稳定性检验（邹氏稳定性检验） 以表为例，在用1985—1999年数据建立的模型基础上，检验当把2000—2002年数据加入样本后，模型的回归参数时候出现显著性变化。 * 用F-test作chow间断点检验检验模型稳定性 * chow检验的零假设：无结构变化，小概率发生结果变化 * 估计前阶段模型 * 估计后阶段模型 * 整个区间上的估计结果保存为All

简单线性相关(一元线性回归分析)..

第十三讲 简单线性相关（一元线性回归分析） 对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。 一、一元线性回归模型及其对变量的要求 （一）一元线性回归模型 1、一元线性回归模型示例 两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示： Y=A + BX + ε 方程中的A 、B 是待定的常数，称为模型系数，ε是残差，是以X 预测Y 产生的误差。 两个变量之间拟合的直线是： y a bx ∧ =+ y ∧ 是 y 的拟合值或预测值，它是在X 条件下Y 条件均值的估计 a 、 b 是回归直线的系数，是总体真实直线A 、B 的估计值，a 即 constant 是截距，当自变量的值为0时，因变量的值。 b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。 可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程： y x ∧ =β β 为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（Z X X S j j j = -），因变量Y 的标准差的平均变化。

由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y的重要性。 （二）对变量的要求：回归分析的假定条件 回归分析对变量的要求是： 自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。自变量X值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。 回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。 （三）数据要求 模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为1个自变量）。 因变量：要求间距测度，即定距变量。 自变量：间距测度（或虚拟变量）。 二、在对话框中做一元线性回归模型 例1：试用一元线性回归模型，分析大专及以上人口占6岁及以上人口的比例（edudazh）与人均国内生产总值（agdp）之间的关系。 本例使用的数据为st2004.sav，操作步骤及其解释如下： （一）对两个变量进行描述性分析 在进行回归分析以前，一个比较好的习惯是看一下两个变量的均值、标准差、最大值、最小值和正态分布情况，观察数据的质量、缺少值和异常值等，缺少值和异常值经常对线性回归分析产生重要影响。最简单的，我们可以先做出散点图，观察变量之间的趋势及其特征。通过散点图，考察是否存在线性关系，如果不是，看是否通过变量处理使得能够进行回归分析。如果进行了变量转换，那么应当重新绘制散点图，以确保在变量转换以后，线性趋势依然存在。 打开st2004.sav数据→单击Graphs → S catter →打开Scatterplot 对话框→单击Simple →单击 Define →打开 Simple Scatterplot对话框→点选 agdp到 Y Axis框→点选 edudazh到 X Aaxis框内→单击 OK 按钮→在SPSS的Output窗口输出所需图形。 图12－1 大专及以上人口占6岁及以上人口比例与人均国内生产总值的散点图

第三章 多元线性回归分析1

第三章 多元线性回归分析 主要内容： ? 多元线性回归模型 ? 多元线性回归模型的参数估计 ? 多元线性回归模型的统计检验 ? 多元线性回归模型的预测 ? 案例 3.1 多元线性回归模型 一、多元线性回归模型 多元线性回归模型:表现在线性回归模型中的解释变量有多个。 一般表现形式： i ki k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110 i=1，2，…，n 其中:k 为解释变量的数目，j β称为回归参数（regression coefficient ）。 ki k i i ki i i i X X X X X X Y E ββββ+???+++=2211021),,|( 经济解释：j β也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，j X 每变化1个单位时， Y 的均值E(Y)的变化; 或者说j β给出了j X 的单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。 样本回归函数：用来估计总体回归函数 i =1,2…,n 其随机表示式: i e 称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项i u 的近似替代。 i ki ki i i i e X X X Y +++++=ββββ????22110 ki ki i i i X X X Y ββββ?????22110++++=

§3.2 多元线性回归模型的估计 一、普通最小二乘估计 对于随机抽取的n 组观测值 对样本回归函数： i=1,2…n 根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解 ∑∑∑===+???+++-=-==???????? ?????????=?? =?? =?? =?? n i ki k i i i n i n i i i i k X X X Y Y Y e Q Q Q Q Q 1 2 2211011 22 210))????(()?(0?0?0?0?ββββββββ其中 即 Y X X X '='β?)( 由于X X '满秩，故有 Y X X X ''=-1)(?β 随机误差项μ的方差σ的无偏估计 可以证明，随机误差项u 的方差的无偏估计量为 二、参数估计量的性质 在满足基本假设的情况下，其结构参数β的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。 1、 线性 CY Y X X X =''=-1)(?β 其中,C =X X X ''-1 )( 为一仅与固定的X 有关的行向量 2、无偏性 3、有效性（最小方差性） 参数估计量β ?的方差-协方差矩阵 β μX X X βμX βX X X Y X X X β 11=''+=+''=''=---)()())()(())(()?(1E E E E 11 ?2 2 --'= --=∑k n k n e i e e σ Ki ki i i i X X X Y ββββ?????22110++++= k j n i X Y ji i ,2,1,0,,,2,1),,(==

线性回归方程中的相关系数r(20191224045858)

线性回归方程中的相关系数r r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]

R2就是相关系数的平方， R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数 判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 ——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。 R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切； R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切 相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关 相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。 如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相 差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。 分为一元线性回归和多元线性回归 线性回归方程中,回归系数的含义 一元： Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元： Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量 以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位 就一个reg来说y=a+bx+e a+bx的误差称为explained sum of square e的误差是不能解释的是residual sum of square

第十一章多元线性回归与logistic回归

第十一章 多元线性回归与logistic 回归 一、教学大纲要求 （一）掌握内容 1．多元线性回归分析的概念：多元线性回归、偏回归系数、残差。 2．多元线性回归的分析步骤：多元线性回归中偏回归系数及常数项的求法、多元线性回归的应用。 3．多元线性回归分析中的假设检验：建立假设、计算检验统计量、确定P 值下结论。 4．logistic 回归模型结构：模型结构、发病概率比数、比数比。 5．logistic 回归参数估计方法。 6．logistic 回归筛选自变量：似然比检验统计量的计算公式；筛选自变量的方法。 （二）熟悉内容 常用统计软件（SPSS 及SAS ）多元线性回归分析方法：数据准备、操作步骤与结果输出。 （三）了解内容 标准化偏回归系数的解释意义。 二、教学内容精要 (一) 多元线性回归分析的概念 将直线回归分析方法加以推广，用回归方程定量地刻画一个应变量Y 与多个自变量X 间的线形依存关系，称为多元线形回归（multiple linear regression ），简称多元回归（multiple regression ） 基本形式： 01122?k k Y b b X b X b X =+++???+ 式中Y ?为各自变量取某定值条件下应变量均数的估计值，1X ，2X ，…，k X 为自变量，k 为自变量个数，0b 为回归方程常数项，也称为截距，其意义同直线回归，1b ，2b ，…, k b 称为偏回归系数（partial regression coefficient ），j b 表示在除j X 以外的自变量固定条件下，j X 每改变一个单位后Y 的平均改变量。 (二) 多元线性回归的分析步骤 Y ?是与一组自变量1X ，2X ，…，k X 相对应的变量Y 的平均估计值。 多元回归方程中的回归系数1b ，2b ，…, k b 可用最小二乘法求得，也就是求出能使估计 值Y ?和实际观察值Y 的残差平方和22)?(∑∑-=Y Y e i 为最小值的一组回归系数1b ，2b ，…, k b 值。根据以上要求，用数学方法可以得出求回归系数1b ，2b ，…, k b 的下列正规方程组 （normal equation ）：

统计学-第11章一元线性回归学习指导

第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导 一、本章基本知识梳理 基本知识点 含义或公式 相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。 函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。 因果关系 有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。 因果关系?相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。 相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按 相关形态分为线性相关、非线性相关等。 线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。 () () ∑∑∑∑∑∑∑ - - -= = 2 2 2 2 y y n x x n y x xy n S S S r y x xy 相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()(). 2;,212:0 :,0:0 2 02 2 1 H n t t H n t t r n r t H H ，拒绝 不能拒绝 检验统计量-?-?--= ≠=α α ρρ 回归方程中的 参数β0和β1 为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时， 其他各种因素对因变量y 的平均影响； β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动 量。 β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑ ?? ? ??--= 2 2 1 x x n y x xy n β 估计标准误差 反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。 ()代替。用大样本条件下，分母可 ；n n y y S e 2 ?2 --= ∑ 总离差平方和S S T 反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。 回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。 残差平方和（剩余）S S E 反映除x 以外的其他因素对y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或残差平方和。

贾俊平第四版统计学-第十一章一元线性回归练习题

第十一章一元线性回归练习题 一． 选择题 1．具有相关关系的两个变量的特点是（ ） A ．一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 B ．一个变量的取值由另一个变量唯一确定 C ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值也一定增大 D ．一个变量的取值增大时另一个变量的取值肯定变小 2．下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题 A ．判断变量之间是否存在关系 B ．判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 C ．描述变量之间的关系强度 D.判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关系 3.根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（ ） A. 正线性相关关系 B. 负线性相关关系 C. 非线性关系 D. 函数关系 4.下面的陈述哪一个是错误的（ ） A.相关关系是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 B ．相关系数是一个随机变量 C ．相关系数的绝对值不会大于1 D ．相关系数不会取负值 5.根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的（ ） A. -0.86 B. 0.78 C. 1.25 D. 0 6.如果相关系数r=0,则表明两个变量之间（ ） A.相关程度很低 B. 不存在任何关系 C ．不存在线性相关关系 D.存在非线性关系 7. 下列不属于相关关系的现象是（ ） A. 银行的年利息率与贷款总额 B.居民收入与储蓄存款 C.电视机的产量与鸡蛋产量 D.某种商品的销售额与销售价格 8.设产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.87，这说明二者之间存在着（ ） A. 高度相关 B.中度相关 C.低度相关 D.极弱相关 9.在回归分析中，被预测或被解释的变量称为（ ） A.自变量 B.因变量 C.随机变量 D.非随机变量 10. 对两变量的散点图拟合最好的回归线，必须满足一个基本的条件是（ ） A. 2?()y y ∑-最小 B. 2 )(y y ∑-最大 C. 2?()y y ∑-最大 D. 2 )(?y y ∑-最小 11. 下列哪个不属于一元回归中的基本假定（ ） A.误差项i ε服从正态分布 B. 误差项i ε的期望值为0

第8章 相关分析与回归分析及答案

第八章相关与回归分析 一、本章重点 1．相关系数的概念及相关系数的种类。事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。 2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。 3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。 4．应用相关与回归分析应注意的问题。相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。 二、难点释疑 本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。 三、练习题 （一）填空题 1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。 2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。 3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。 4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归） 5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数） 6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。 7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。 8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。

线性相关与线性回归方程

时间：2018年3月20日必修3第二章统计 第9课时线性相关与线性回归方程 学习目标：能在散点图中作出线性回归直线，能用线性回归方程进行预测 了解最小二乘法的含义及思想 理解数形结合、数学模型化的数学思想与方法 学习过程： 一、最小二乘法是什么？怎样得到线性回归直线方程？ 1．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据。 人体的脂肪百分比和年龄： 年龄23 27 39 41 45 49 50 脂肪9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄53 54 56 57 58 60 61 脂肪29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 根据上述数据，人体的脂肪含量y与年龄x之间有怎样的关系？ （1）回归直线方程可不可以象前节一样取其中两个点得到？ （2）可不可以考虑选择不同的几组点求出相应的直线的斜率与截距，再求这些斜率、截距的平均值得到回归直线方程？ （3）你认为回归直线相对于样本数据的各点而言应具备什么特点才可靠？ （4）怎样刻画“样本数据的各点到回归直线的距离最小”？ （5）将表中的年龄作为x代入所求回归方程，得出的数值与真实值之间有什么关系？你怎样看待这种情况？ 2．当两个变量线性相关时，这两个变量的线性回归直线方程（简称回归方程）如何求？ 其中系数可直接由公式求之： 回归直线方程表明回归直线过点（称之为样本点的中心）

二、问题分析 1．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71， 则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x，y） C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重为58.79kg 2．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 摄氏温度/℃－5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 （1）画出散点图； （2）从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律； （3）求回归方程； （4）如果某天气温是2℃，预测这天卖出的热饮杯数。 三、总结性思考 1．最小二乘法是什么意思？ 2．怎样根据样本数据求线性回归直线方程？ 四、课后作业 P94 A3 五、再思考

多元线性相关与回归分析

第三节 多元线性相关与回归分析 一、标准的多元线性回归模型 上一节介绍的一元线性回归分析所反映的是１个因变量与１个自变量之间的关系。但是，在现实中，某一现象的变动常受多种现象变动的影响。例如，消费除了受本期收入水平的影响外，还会受以往消费和收入水平的影响；一个工业企业利润额的大小除了与总产值多少有关外，还与成本、价格等有关。这就是说，影响因变量的自变量通常不是一个，而是多个。在许多场合，仅仅考虑单个变量是不够的，还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察，才能获得比较满意的结果。这就产生了测定与分析多因素之间相关关系的问题。 研究在线性相关条件下，两个和两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型相类似，只是在计算上比较麻烦一些而已。限于本书的篇幅和程度，本节对于多元回归分析中与一元回归分析相类似的内容，仅给出必要的结论，不作进一步的论证。只对某些多元回归分析所特有的问题作比较详细的说明。 多元线性回归模型总体回归函数的一般形式如下： t kt k t t u X X Y ++?++=βββ221 (7.51) 上式假定因变量Y 与(k-1)个自变量之间的回归关系可以用线性函数来近似反映.式中，Y t 是变量Y 的第ｔ个观测值；X jt 是第j 个自变量X j 的第ｔ个观测值(j=1,2,……，k)；u t 是随机误差项；β1，β2，… ，βk 是总体回归系数。βj 表示在其他自变量保持不变的情况下，自变量X j 变动一个单位所引起的因变量Y 平均变动的数额，因而又叫做偏回归系数。该式中，总体回归系数是未知的，必须利用有关的样本观测值来进行估计。 假设已给出了ｎ个观测值，同时1?β，2?β…，k β? 为总体回归系数的估计，则多元线性回归模型的样本回归函数如下： t kt k t t e X X Y ++?++=βββ???221 (7.52) (t ＝1,2,…,n) 式中，e t 是Y t 与其估计t Y ? 之间的离差，即残差。与一元线性回归分析相类似，为了进行多元线性回归分析也需要提出一些必要的假定。多元线性回归分析的标准假定除了包括上一节中已经提出的关于随机误差项的假定外，还要追加一条假定。这就是回归模型所包含的自变量之间不能具有较强的线性关系，同时样本容量必须大于所要估计的回归系数的个数即n ＞k 。我们称这条假定为标准假定６。 二、多元线性回归模型的估计 （一）回归系数的估计

第十章直线相关与回归

第十章 直线相关与回归 一、教学大纲要求 （一） 掌握内容 ⒈ 直线相关与回归的基本概念。 ⒉ 相关系数与回归系数的意义及计算。 ⒊ 相关系数与回归系数相互的区别与联系。 （二）熟悉内容 ⒈ 相关系数与回归系数的假设检验。 ⒉ 直线回归方程的应用。 ⒊ 秩相关与秩回归的意义。 （三）了解内容 曲线直线化。 二、 学内容精要 (一) 直线回归 1. 基本概念 直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程，并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归（simple regression ）。 直线回归方程bX a Y +=?中，a 、b 是决定直线的两个系数，见表10-1。 表10-1 直线回归方程a 、b 两系数对比 a b 含义 回归直线在Y 轴上的截距（intercept ）。 表示X 为零时，Y 的平均水平的估计值。 回归系数（regression coefficient ），即直线的斜率。表示X 每变化一个单位时，Y 的平均变化量的估计值。 系数>0 a >0表示直线与纵轴的交点在原点的上方 b >0，表示直线从左下方走向右上方，即Y 随X 增大而增大 系数<0 a <0表示直线与纵轴的交点在原点的下方 b <0，表示直线从左上方走向右下方，即Y 随X 增大而减小 系数=0 a =0表示回归直线通过原点 b =0，表示直线与X 轴平行，即Y 不随X 的变化而变化 计算公式 X b Y a -= XX XY l l X X Y Y X X b =---= ∑∑2 )())(( 2. 样本回归系数b 的假设检验 （1）方差分析； （2）t 检验。

第十一章线性相关分析报告与线性回归分析报告

第十一章线性相关分析与线性回归分析 11.1 两个变量之间的线性相关分析 相关分析是在分析两个变量之间关系的密切程度时常用的统计分析方法。最简单的相关分析是线性相关分析，即两个变量之间是一种直线相关的关系。相关分析的方法有很多，根据变量的测量层次不同，可以选择不同的相关分析方法。总的来说，变量之间的线性相关关系分为三种。一是正相关，即两个变量的变化方向一致。二是负相关，即两个变量的变化方向相反。三是无相关，即两个变量的变化趋势没有明显的依存关系。两个变量之间的相关程度一般用相关系数r 来表示。r 的取值范围是：-1≤r≤1。∣r∣越接近1，说明两个变量之间的相关性越强。∣r∣越接近0，说明两个变量之间的相关性越弱。相关分析可以通过下述过程来实现： 11.1.1 两个变量之间的线性相关分析过程 1．打开双变量相关分析对话框 执行下述操作： Analyze→Correlate(相关)→Bivariate（双变量）打开双变量相关分析对话框，如图11-1 所示。 图11-1 双变量相关分析对话框 2．选择进行相关分析的变量 从左侧的源变量窗口中选择两个要进行相关分析的变量进入Variable 窗口。 3．选择相关系数。 Correlation Coefficient 是相关系数的选项栏。栏中提供了三个相关系数的选项：（1）Pearson:皮尔逊相关，即积差相关系数。适用于两个变量都为定距以上变量，且两个

变量都服从正态分布的情况。这是系统默认的选项。 （2）Kendall：肯德尔相关系数。它表示的是等级相关，适用于两个变量都为定序变量的情况。 （3）Spearman:斯皮尔曼等级相关。它表示的也是等级相关，也适用于两个变量都为定序变量的情况。 4．确定显著性检验的类型。 Test of Significance 是显著性检验类型的选项栏，栏中包括两个选项： （1）Two-tailed:双尾检验。这是系统默认的选项。 （2）One-tailed:单尾检验。 5．确定是否输出相关系数的显著性水平 Flag significant Correlations:是标出相关系数的显著性选项。如果选中此项，系统在输出结果时，在相关系数的右上方使用“*”表示显著性水平为0.05；用“**”表示显著性水平为0.01。 6. 选择输出的统计量 单击Options 打开对话框，如图11-2 所示。 图11-2 相关分析选项对话框 （1）Statistics 是输出统计量的选项栏。 1）Means and standard deviations 是均值与标准差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出均值与标准差。 2）Cross- product deviations and covariances 是叉积离差与协方差选项。选择此项，系统将在输出文件中输出每个变量的离差平方和与两个变量的协方差。 上述两项选择只有在主对话框中选择了Pearson:皮尔逊相关后，计算结果才有价值。 （2）缺失值的处理办法 Missing Valuess 是处理缺失值的选项栏。 1）Exclude cases pairwise 是成对剔除参与相关系数计算的两个变量中有缺失值的个案。2）Exclude cases listwise 是剔除带有缺失值的所有个案。 上述选项做完以后，单击Continue 按钮，返回双变量相关分析对话框。 8．单击OK 按钮，提交运行。系统在输出文件窗口中输出相关分析的结果。 11.1.2 两个变量之间的线性相关分析实例分析